Formule MFII vjezbe 01 - FSB Online · PDF fileFORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...

Click here to load reader

  • date post

    31-Jan-2018
  • Category

    Documents

  • view

    297
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Formule MFII vjezbe 01 - FSB Online · PDF fileFORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...

  • FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3

    Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

    OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, CILINDARSKIM I SFERNIM KOORDINATAMA

    ===

    zzsinrycosrx

    2 2r x yyarctgx

    z z

    = + +=

    =

    ===

    cosRzsinsinRycossinRx

    =

    +=

    +++=

    xy

    arctg

    zyx

    arctg

    zyxR

    22

    222

    Cilindarske koordinate Sferne koordinate TABLICA 1.1 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u kartezijevim koordinatama

    kji zyxzzyyxx vvvevevevv ++++=

    kji zyxzzyyxx wwweweweww ++++= ( )

    =

    zzzyzx

    yzyyyx

    xzxyxx

    TTTTTTTTT

    T

    zv

    yv

    xv

    v zyx

    +

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    zs

    ys

    xss

    +

    +

    =

    [ ]xss x

    = [ ]

    zv

    yvv yzx

    = [ ]z

    Ty

    Tx

    T zxyxxxx

    +

    +

    =TDiv

    [ ]yss y

    = [ ]

    xv

    zvv zxy

    = [ ]z

    Ty

    Tx

    T zyyyxyy

    +

    +

    =TDiv

    [ ]zss z

    = [ ]

    yv

    xv

    v xyz

    = [ ]

    zT

    yT

    xT zzyzxz

    z

    +

    +

    =TDiv

    [ ]z

    wv

    yw

    vx

    wvwv xz

    xy

    xxx

    +

    +

    =

    [ ]z

    wv

    yw

    vx

    wvwv yz

    yy

    yxy

    +

    +

    =

    [ ]z

    wv

    yw

    vx

    wvwv zz

    zy

    zxz

    +

    +

    =

    x y

    z

    (x,y,z)ili(r,,z)

    xy

    z

    (x,y,z)ili(R,,)

    R

    x y

    z

    xy

    z

    r

    Alternativne oznake

    ii

    exs

    ss

    == grad

    i

    i

    xv

    vv

    == div

    rot kijk ij

    vv v ex

    = =

    2 ==

  • FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 3

    Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

    TABLICA 1.2 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u cilindarskim koordinatama

    zzrr evevevv ++= sinvcosvv yxr +=

    zzrr eweweww ++= cosvsinvv yx += zz vv =

    ( )

    =

    zzzzr

    zr

    rzrrr

    TTTTTTTTT

    T

    zvv

    rrv

    rrv zr

    +

    +

    =1)(1)(

    2

    2

    2

    2

    22 1)(1)(

    zss

    rrsr

    rrs

    +

    +

    =

    [ ]rss r

    = [ ]

    zvv

    rv zr

    =

    1

    [ ]

    =

    sr

    s 1 [ ]r

    vz

    vv zr

    =

    [ ]zss z

    = [ ]

    = rzv

    r)rv(

    rrv 11

    [ ]r

    TT

    zT

    rrT

    rr zrrrrr

    +

    +

    =1)(1DivT

    [ ]r

    TTT

    zT

    rTr

    rrrr

    zr

    +

    +

    +

    =1)(1Div 2

    2T

    [ ] zzzrzz TzTrrTrr

    +

    +

    = 1)(1DivT

    [ ] )()1()(z

    wv

    rww

    rv

    rw

    vwv rzrr

    rr

    +

    +

    =

    [ ] )()1()(z

    wv

    rww

    rv

    rw

    vwv zr

    r

    ++

    +

    =

    [ ] )()1()(z

    wv

    wr

    vr

    wvwv zz

    zzrz

    +

    +

    =

    xy

    z

    ree

    ze

    r

    xyz

  • FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 3 / 3

    Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

    TABLICA 1.3 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u sfernim koordinatama

    evevevv RR ++= cosvsinsinvcossinvv zyxR ++=

    eweweww RR ++= sinvsincosvcoscosvv zyx +=

    cosvsinvv yx +=

    =

    TTTTTTTTT

    R

    R

    RRRR

    T

    +

    +

    =v

    sinRsinv

    sinRvR

    RRv R

    1)(1)(1)( 22

    2

    2

    2222

    22 1)(1)(1)(

    +

    +

    =s

    sinRssin

    sinRRsR

    RRs

    [ ]Rss R

    = [ ]

    =v

    sinRsinv

    sinRv R

    1)(1

    [ ]

    =

    sR

    s 1 [ ] )(11 RvRRv

    sinRv R

    =

    [ ]

    =

    ssinR

    s 1 [ ]

    = Rv

    RRv

    RRv 1)(1

    [ ]R

    TTT

    sinRsinT

    sinRTR

    RRRRRRR

    +

    +

    +

    =1)(1)(1Div 2

    2T

    [ ]R

    cotTTTT

    sinRsinT

    sinRTR

    RRRR

    R

    +

    +

    +

    =)(1)(1)(1Div 3

    3T

    [ ]R

    cotTTTT

    sinRsinT

    sinRTR

    RRRR

    R

    +

    +

    +

    +

    =)(1)(1)(1Div 3

    3T

    [ ]

    +

    +

    =

    Rww

    Rv

    Rww

    Rv

    Rw

    vwv RRRRR

    sin11

    [ ]

    +

    +

    +

    =

    cotRww

    sinRv

    Rww

    Rv

    Rw

    vwv RR11

    [ ]

    ++

    +

    +

    =

    cotsin11

    Rw

    Rww

    Rv

    wR

    vR

    wvwv RR

    y

    z

    x

    Re

    y

    e

    eR z

    x

  • FORMULE: 2. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1

    Potencijal brzine i strujna funkcija elementarnih strujanja

    (u kartezijskim i polarnim koordinatama)

    Strujanje Potencijal Strujna funkcija Brzine 1v i 2v

    Paralelno

    strujanje

    brzinom

    1 2( , )V V V=

    1 1 2 2V x V x = +

    1 2cos sinV r V r = +

    1 2 2 1V x V x =

    1 2sin cosV r V r = 1 1v V=

    2 2v V=

    Izvor ( Q >0) ili

    ponor (Q

  • FORMULE: 3. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1

    Optjecanje krunog cilindra polumjera 0r , brzinom V

    (kombinacija paralelnog strujanja brzinom V i dipola jaine 202m r V=

    orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)

    Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2

    0 cosr

    V rr

    = +

    Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2

    0 sinr

    V rr

    =

    Obodna brzina po povrini cilindra: 0( , ) 2 sinV r V =

    Promjena tlaka po povrini cilindra: 2

    2

    0( , ) (1 4sin )2

    Vp r p

    = +

    Koeficijent tlaka po povrini cilindra: 2

    21 4sin

    2

    p

    p pC

    V

    = =

    Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)

    Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2 0F = .

  • FORMULE: 4. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 2

    Cirkulacijsko optjecanje krunog cilindra polumjera 0r , brzinom v

    (kombinacija paralelnog strujanja brzinom v , dipola jaine 2

    02m r v = orijentiranog

    suprotno paralelnom strujanju i vrtloga jaine u ishoditu)

    Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2

    0 cos2

    rv r

    r

    = +

    Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2

    0 sin ln2

    rv r r

    r

    = +

    Obodna brzina po povrini cilindra: ( )00

    , 2 sin2

    v r vr

    =

    Promjena tlaka po povrini cilindra:

    ++=

    2

    0

    2

    2sin21

    2 rv

    vpp

    Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)

    Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2F v = .

    Kutta i ukovski su pokazali da izraz 2F v = za silu uzgona vrijedi pri ravninskom

    potencijalnom optjecanju bilo kakvog profila (zatvorene konture). Smjer sile se dobije

    tako da se vektor brzine paralelnog strujanja zakrene za o

    90 u suprotnom smjeru od

    smjera cirkulacije . Pri optjecanju aeroprofila, potrebnu jainu cirkulacije odreuje se na temelju hipoteze Kutta-ukovskoga koja kae da je potrebna cirkulacija ona koja

    e na stranjem bridu osigurati konanu brzinu.

  • FORMULE: 4. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 2

    Potencijal brzine elementarnih prostornih strujanja

    (u kartezijskim i sfernim koordinatama)

    (oznaka polarnog kuta ovdje je zamijenjena oznakom )

    Strujanje Potencijal

    Paralelno strujanje brzinom

    1 2 3( , , )V V V V=

    1 1 2 2 3 3V x V x V x = + +

    1 2 3sin cos sin sin cosV R V R V R = + +

    Izvor ( Q >0) ili ponor (Q

  • FORMULE: 5. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1

    Hidrodinamika reakcija i pridruena masa Pri ubrzanom gibanju tijela kroz fluid (ak i u potencijalnom strujanju) javlja se sila izmeu fluida i tijela, koju zovemo hidrodinamikom reakcijom HF . Fizikalno je to sila kojom tijelo ubrzava fluid. Hidrodinamika reakcija se definira izrazom HF a= gdje je pridruena masa, a a ubrzanje tijela. Pridruena masa zavisi od oblika tijela i smjera gibanja tijela (osim god kugle zbog simetrinosti oblika).

    Pridruena masa kugle jednaka je polovini mase fluida istisnute kuglom. Pridruena masa cilindra u ravninskom strujanju okomitom na os cilindra jednaka je

    punoj masi fluida istisnutoj cilindrom. Osnosimetrino potencijalno strujanje Strujanje kod kojeg se slika strujanja ponavlja u ravninama konst. = cilindarskog koordinatnog sustava, tako da se strujanje opisuje r i z koordinatom. Cauchy-Riemannovi uvjeti za osnosimetrino potencijalno strujanje glase

    1zv z r r

    = =

    1rv r r z

    = =

    Primjeri strujnih funkcija u osnosimetrinom strujanju u cilindarskim koordinatama

    Strujanje Potencijal Strujna funkcija Paralelno strujanje paralelno s osi 3z x 3(0,0, )V V= 3

    V z = 232V r =

    Izvor (Q >0) ili ponor (Q

  • FORMULE: 7. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 5

    Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

    TABLICA 1.4 Tenzor brzine deformacije