Click here to load reader

• date post

31-Jan-2018
• Category

## Documents

• view

297
• download

6

Embed Size (px)

### Transcript of Formule MFII vjezbe 01 - FSB Online · PDF fileFORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...

• FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3

Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, CILINDARSKIM I SFERNIM KOORDINATAMA

===

zzsinrycosrx

2 2r x yyarctgx

z z

= + +=

=

===

cosRzsinsinRycossinRx

=

+=

+++=

xy

arctg

zyx

arctg

zyxR

22

222

Cilindarske koordinate Sferne koordinate TABLICA 1.1 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u kartezijevim koordinatama

kji zyxzzyyxx vvvevevevv ++++=

kji zyxzzyyxx wwweweweww ++++= ( )

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

TTTTTTTTT

T

zv

yv

xv

v zyx

+

+

=

2

2

2

2

2

22

zs

ys

xss

+

+

=

[ ]xss x

= [ ]

zv

yvv yzx

= [ ]z

Ty

Tx

T zxyxxxx

+

+

=TDiv

[ ]yss y

= [ ]

xv

zvv zxy

= [ ]z

Ty

Tx

T zyyyxyy

+

+

=TDiv

[ ]zss z

= [ ]

yv

xv

v xyz

= [ ]

zT

yT

xT zzyzxz

z

+

+

=TDiv

[ ]z

wv

yw

vx

wvwv xz

xy

xxx

+

+

=

[ ]z

wv

yw

vx

wvwv yz

yy

yxy

+

+

=

[ ]z

wv

yw

vx

wvwv zz

zy

zxz

+

+

=

x y

z

(x,y,z)ili(r,,z)

xy

z

(x,y,z)ili(R,,)

R

x y

z

xy

z

r

Alternativne oznake

ii

exs

ss

== grad

i

i

xv

vv

== div

rot kijk ij

vv v ex

= =

2 ==

• FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 3

Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

TABLICA 1.2 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u cilindarskim koordinatama

zzrr evevevv ++= sinvcosvv yxr +=

zzrr eweweww ++= cosvsinvv yx += zz vv =

( )

=

zzzzr

zr

rzrrr

TTTTTTTTT

T

zvv

rrv

rrv zr

+

+

=1)(1)(

2

2

2

2

22 1)(1)(

zss

rrsr

rrs

+

+

=

[ ]rss r

= [ ]

zvv

rv zr

=

1

[ ]

=

sr

s 1 [ ]r

vz

vv zr

=

[ ]zss z

= [ ]

= rzv

r)rv(

rrv 11

[ ]r

TT

zT

rrT

rr zrrrrr

+

+

=1)(1DivT

[ ]r

TTT

zT

rTr

rrrr

zr

+

+

+

=1)(1Div 2

2T

[ ] zzzrzz TzTrrTrr

+

+

= 1)(1DivT

[ ] )()1()(z

wv

rww

rv

rw

vwv rzrr

rr

+

+

=

[ ] )()1()(z

wv

rww

rv

rw

vwv zr

r

++

+

=

[ ] )()1()(z

wv

wr

vr

wvwv zz

zzrz

+

+

=

xy

z

ree

ze

r

xyz

• FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 3 / 3

Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

TABLICA 1.3 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u sfernim koordinatama

evevevv RR ++= cosvsinsinvcossinvv zyxR ++=

eweweww RR ++= sinvsincosvcoscosvv zyx +=

cosvsinvv yx +=

=

TTTTTTTTT

R

R

RRRR

T

+

+

=v

sinRsinv

sinRvR

RRv R

1)(1)(1)( 22

2

2

2222

22 1)(1)(1)(

+

+

=s

sinRssin

sinRRsR

RRs

[ ]Rss R

= [ ]

=v

sinRsinv

sinRv R

1)(1

[ ]

=

sR

s 1 [ ] )(11 RvRRv

sinRv R

=

[ ]

=

ssinR

s 1 [ ]

= Rv

RRv

RRv 1)(1

[ ]R

TTT

sinRsinT

sinRTR

RRRRRRR

+

+

+

=1)(1)(1Div 2

2T

[ ]R

cotTTTT

sinRsinT

sinRTR

RRRR

R

+

+

+

=)(1)(1)(1Div 3

3T

[ ]R

cotTTTT

sinRsinT

sinRTR

RRRR

R

+

+

+

+

=)(1)(1)(1Div 3

3T

[ ]

+

+

=

Rww

Rv

Rww

Rv

Rw

vwv RRRRR

sin11

[ ]

+

+

+

=

cotRww

sinRv

Rww

Rv

Rw

vwv RR11

[ ]

++

+

+

=

cotsin11

Rw

Rww

Rv

wR

vR

wvwv RR

y

z

x

Re

y

e

eR z

x

• FORMULE: 2. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1

Potencijal brzine i strujna funkcija elementarnih strujanja

(u kartezijskim i polarnim koordinatama)

Strujanje Potencijal Strujna funkcija Brzine 1v i 2v

Paralelno

strujanje

brzinom

1 2( , )V V V=

1 1 2 2V x V x = +

1 2cos sinV r V r = +

1 2 2 1V x V x =

1 2sin cosV r V r = 1 1v V=

2 2v V=

Izvor ( Q >0) ili

ponor (Q

• FORMULE: 3. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1

Optjecanje krunog cilindra polumjera 0r , brzinom V

(kombinacija paralelnog strujanja brzinom V i dipola jaine 202m r V=

orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)

Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2

0 cosr

V rr

= +

Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2

0 sinr

V rr

=

Obodna brzina po povrini cilindra: 0( , ) 2 sinV r V =

Promjena tlaka po povrini cilindra: 2

2

0( , ) (1 4sin )2

Vp r p

= +

Koeficijent tlaka po povrini cilindra: 2

21 4sin

2

p

p pC

V

= =

Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)

Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2 0F = .

• FORMULE: 4. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 2

Cirkulacijsko optjecanje krunog cilindra polumjera 0r , brzinom v

(kombinacija paralelnog strujanja brzinom v , dipola jaine 2

02m r v = orijentiranog

suprotno paralelnom strujanju i vrtloga jaine u ishoditu)

Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2

0 cos2

rv r

r

= +

Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2

0 sin ln2

rv r r

r

= +

Obodna brzina po povrini cilindra: ( )00

, 2 sin2

v r vr

=

Promjena tlaka po povrini cilindra:

++=

2

0

2

2sin21

2 rv

vpp

Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)

Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2F v = .

Kutta i ukovski su pokazali da izraz 2F v = za silu uzgona vrijedi pri ravninskom

potencijalnom optjecanju bilo kakvog profila (zatvorene konture). Smjer sile se dobije

tako da se vektor brzine paralelnog strujanja zakrene za o

90 u suprotnom smjeru od

smjera cirkulacije . Pri optjecanju aeroprofila, potrebnu jainu cirkulacije odreuje se na temelju hipoteze Kutta-ukovskoga koja kae da je potrebna cirkulacija ona koja

e na stranjem bridu osigurati konanu brzinu.

• FORMULE: 4. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 2

Potencijal brzine elementarnih prostornih strujanja

(u kartezijskim i sfernim koordinatama)

(oznaka polarnog kuta ovdje je zamijenjena oznakom )

Strujanje Potencijal

Paralelno strujanje brzinom

1 2 3( , , )V V V V=

1 1 2 2 3 3V x V x V x = + +

1 2 3sin cos sin sin cosV R V R V R = + +

Izvor ( Q >0) ili ponor (Q

• FORMULE: 5. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1

Hidrodinamika reakcija i pridruena masa Pri ubrzanom gibanju tijela kroz fluid (ak i u potencijalnom strujanju) javlja se sila izmeu fluida i tijela, koju zovemo hidrodinamikom reakcijom HF . Fizikalno je to sila kojom tijelo ubrzava fluid. Hidrodinamika reakcija se definira izrazom HF a= gdje je pridruena masa, a a ubrzanje tijela. Pridruena masa zavisi od oblika tijela i smjera gibanja tijela (osim god kugle zbog simetrinosti oblika).

Pridruena masa kugle jednaka je polovini mase fluida istisnute kuglom. Pridruena masa cilindra u ravninskom strujanju okomitom na os cilindra jednaka je

punoj masi fluida istisnutoj cilindrom. Osnosimetrino potencijalno strujanje Strujanje kod kojeg se slika strujanja ponavlja u ravninama konst. = cilindarskog koordinatnog sustava, tako da se strujanje opisuje r i z koordinatom. Cauchy-Riemannovi uvjeti za osnosimetrino potencijalno strujanje glase

1zv z r r

= =

1rv r r z

= =

Primjeri strujnih funkcija u osnosimetrinom strujanju u cilindarskim koordinatama

Strujanje Potencijal Strujna funkcija Paralelno strujanje paralelno s osi 3z x 3(0,0, )V V= 3

V z = 232V r =

Izvor (Q >0) ili ponor (Q

• FORMULE: 7. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 5

Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

TABLICA 1.4 Tenzor brzine deformacije