Formule MFII vjezbe 01 - FSB Online · PDF fileFORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...
date post
31-Jan-2018Category
Documents
view
297download
6
Embed Size (px)
Transcript of Formule MFII vjezbe 01 - FSB Online · PDF fileFORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...
FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, CILINDARSKIM I SFERNIM KOORDINATAMA
===
zzsinrycosrx
2 2r x yyarctgx
z z
= + +=
=
===
cosRzsinsinRycossinRx
=
+=
+++=
xy
arctg
zyx
arctg
zyxR
22
222
Cilindarske koordinate Sferne koordinate TABLICA 1.1 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u kartezijevim koordinatama
kji zyxzzyyxx vvvevevevv ++++=
kji zyxzzyyxx wwweweweww ++++= ( )
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
TTTTTTTTT
T
zv
yv
xv
v zyx
+
+
=
2
2
2
2
2
22
zs
ys
xss
+
+
=
[ ]xss x
= [ ]
zv
yvv yzx
= [ ]z
Ty
Tx
T zxyxxxx
+
+
=TDiv
[ ]yss y
= [ ]
xv
zvv zxy
= [ ]z
Ty
Tx
T zyyyxyy
+
+
=TDiv
[ ]zss z
= [ ]
yv
xv
v xyz
= [ ]
zT
yT
xT zzyzxz
z
+
+
=TDiv
[ ]z
wv
yw
vx
wvwv xz
xy
xxx
+
+
=
[ ]z
wv
yw
vx
wvwv yz
yy
yxy
+
+
=
[ ]z
wv
yw
vx
wvwv zz
zy
zxz
+
+
=
x y
z
(x,y,z)ili(r,,z)
xy
z
(x,y,z)ili(R,,)
R
x y
z
xy
z
r
Alternativne oznake
ii
exs
ss
== grad
i
i
xv
vv
== div
rot kijk ij
vv v ex
= =
2 ==
FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 3
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.2 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u cilindarskim koordinatama
zzrr evevevv ++= sinvcosvv yxr +=
zzrr eweweww ++= cosvsinvv yx += zz vv =
( )
=
zzzzr
zr
rzrrr
TTTTTTTTT
T
zvv
rrv
rrv zr
+
+
=1)(1)(
2
2
2
2
22 1)(1)(
zss
rrsr
rrs
+
+
=
[ ]rss r
= [ ]
zvv
rv zr
=
1
[ ]
=
sr
s 1 [ ]r
vz
vv zr
=
[ ]zss z
= [ ]
= rzv
r)rv(
rrv 11
[ ]r
TT
zT
rrT
rr zrrrrr
+
+
=1)(1DivT
[ ]r
TTT
zT
rTr
rrrr
zr
+
+
+
=1)(1Div 2
2T
[ ] zzzrzz TzTrrTrr
+
+
= 1)(1DivT
[ ] )()1()(z
wv
rww
rv
rw
vwv rzrr
rr
+
+
=
[ ] )()1()(z
wv
rww
rv
rw
vwv zr
r
++
+
=
[ ] )()1()(z
wv
wr
vr
wvwv zz
zzrz
+
+
=
xy
z
ree
ze
r
xyz
FORMULE: 1. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 3 / 3
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.3 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u sfernim koordinatama
evevevv RR ++= cosvsinsinvcossinvv zyxR ++=
eweweww RR ++= sinvsincosvcoscosvv zyx +=
cosvsinvv yx +=
=
TTTTTTTTT
R
R
RRRR
T
+
+
=v
sinRsinv
sinRvR
RRv R
1)(1)(1)( 22
2
2
2222
22 1)(1)(1)(
+
+
=s
sinRssin
sinRRsR
RRs
[ ]Rss R
= [ ]
=v
sinRsinv
sinRv R
1)(1
[ ]
=
sR
s 1 [ ] )(11 RvRRv
sinRv R
=
[ ]
=
ssinR
s 1 [ ]
= Rv
RRv
RRv 1)(1
[ ]R
TTT
sinRsinT
sinRTR
RRRRRRR
+
+
+
=1)(1)(1Div 2
2T
[ ]R
cotTTTT
sinRsinT
sinRTR
RRRR
R
+
+
+
=)(1)(1)(1Div 3
3T
[ ]R
cotTTTT
sinRsinT
sinRTR
RRRR
R
+
+
+
+
=)(1)(1)(1Div 3
3T
[ ]
+
+
=
Rww
Rv
Rww
Rv
Rw
vwv RRRRR
sin11
[ ]
+
+
+
=
cotRww
sinRv
Rww
Rv
Rw
vwv RR11
[ ]
++
+
+
=
cotsin11
Rw
Rww
Rv
wR
vR
wvwv RR
y
z
x
Re
y
e
eR z
x
FORMULE: 2. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
Potencijal brzine i strujna funkcija elementarnih strujanja
(u kartezijskim i polarnim koordinatama)
Strujanje Potencijal Strujna funkcija Brzine 1v i 2v
Paralelno
strujanje
brzinom
1 2( , )V V V=
1 1 2 2V x V x = +
1 2cos sinV r V r = +
1 2 2 1V x V x =
1 2sin cosV r V r = 1 1v V=
2 2v V=
Izvor ( Q >0) ili
ponor (Q
FORMULE: 3. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
Optjecanje krunog cilindra polumjera 0r , brzinom V
(kombinacija paralelnog strujanja brzinom V i dipola jaine 202m r V=
orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)
Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2
0 cosr
V rr
= +
Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2
0 sinr
V rr
=
Obodna brzina po povrini cilindra: 0( , ) 2 sinV r V =
Promjena tlaka po povrini cilindra: 2
2
0( , ) (1 4sin )2
Vp r p
= +
Koeficijent tlaka po povrini cilindra: 2
21 4sin
2
p
p pC
V
= =
Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)
Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2 0F = .
FORMULE: 4. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 2
Cirkulacijsko optjecanje krunog cilindra polumjera 0r , brzinom v
(kombinacija paralelnog strujanja brzinom v , dipola jaine 2
02m r v = orijentiranog
suprotno paralelnom strujanju i vrtloga jaine u ishoditu)
Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2
0 cos2
rv r
r
= +
Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2
0 sin ln2
rv r r
r
= +
Obodna brzina po povrini cilindra: ( )00
, 2 sin2
v r vr
=
Promjena tlaka po povrini cilindra:
++=
2
0
2
2sin21
2 rv
vpp
Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)
Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2F v = .
Kutta i ukovski su pokazali da izraz 2F v = za silu uzgona vrijedi pri ravninskom
potencijalnom optjecanju bilo kakvog profila (zatvorene konture). Smjer sile se dobije
tako da se vektor brzine paralelnog strujanja zakrene za o
90 u suprotnom smjeru od
smjera cirkulacije . Pri optjecanju aeroprofila, potrebnu jainu cirkulacije odreuje se na temelju hipoteze Kutta-ukovskoga koja kae da je potrebna cirkulacija ona koja
e na stranjem bridu osigurati konanu brzinu.
FORMULE: 4. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 2
Potencijal brzine elementarnih prostornih strujanja
(u kartezijskim i sfernim koordinatama)
(oznaka polarnog kuta ovdje je zamijenjena oznakom )
Strujanje Potencijal
Paralelno strujanje brzinom
1 2 3( , , )V V V V=
1 1 2 2 3 3V x V x V x = + +
1 2 3sin cos sin sin cosV R V R V R = + +
Izvor ( Q >0) ili ponor (Q
FORMULE: 5. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
Hidrodinamika reakcija i pridruena masa Pri ubrzanom gibanju tijela kroz fluid (ak i u potencijalnom strujanju) javlja se sila izmeu fluida i tijela, koju zovemo hidrodinamikom reakcijom HF . Fizikalno je to sila kojom tijelo ubrzava fluid. Hidrodinamika reakcija se definira izrazom HF a= gdje je pridruena masa, a a ubrzanje tijela. Pridruena masa zavisi od oblika tijela i smjera gibanja tijela (osim god kugle zbog simetrinosti oblika).
Pridruena masa kugle jednaka je polovini mase fluida istisnute kuglom. Pridruena masa cilindra u ravninskom strujanju okomitom na os cilindra jednaka je
punoj masi fluida istisnutoj cilindrom. Osnosimetrino potencijalno strujanje Strujanje kod kojeg se slika strujanja ponavlja u ravninama konst. = cilindarskog koordinatnog sustava, tako da se strujanje opisuje r i z koordinatom. Cauchy-Riemannovi uvjeti za osnosimetrino potencijalno strujanje glase
1zv z r r
= =
1rv r r z
= =
Primjeri strujnih funkcija u osnosimetrinom strujanju u cilindarskim koordinatama
Strujanje Potencijal Strujna funkcija Paralelno strujanje paralelno s osi 3z x 3(0,0, )V V= 3
V z = 232V r =
Izvor (Q >0) ili ponor (Q
FORMULE: 7. VJEBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 5
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.4 Tenzor brzine deformacije
