Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A

1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o užeBD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što je prikazano naslici desno. Odrediti:

a) silu i napon u užetu BD, te silu u opruzi,

b) promjenu dužine užeta BD i opruge BC.

Podaci: LAB = 1.5 m, α = 20◦, q = 70 kN/m; uže BD –EBD = 200 GPa, ABD = 4 cm2, LBD = 2 m; opruga BC– kBC = 80 MN/m.

B

C

A

D

LAB

LBD

q

(20+5=25%)

2. Čelično šuplje vratilo dužine 1.5 m, vanjskog prečnika 50 mm i unutrašnjeg prečnika 40 mm, opterećenoje momentom uvijanja od 100 Nm.Odrediti:

a) napon na vanjskom i unutrašnjem prečniku vratila,

b) ugao uvijanja vratila,

c) maksimalan moment uvijanja, ako je stepen sigurnosti 2, a granica tečenja materijala 250 MPa.

(10+7+8=25%)

3. Za gredu punog kružnog poprečnog presjeka opterećenukao na slici desno, odredi dimenzije poprečnog presjekagrede, ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 150MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 75 MPa.Ostali podaci: LAB = 0.3 m, LCD = 0.3 m, LBC = 0.5 m,MA = 10 kNm, MD = 10 kNm, q = 50 kN/m.

q

LBC

B C D

MD

LAB LCD

A

MA

qF F

(25%)

4. Za dio na slici desno, izračunaj vrijednosti tangencijal-nih i normalnih napona koji vladaju u tačkama A i Cusljed djelovanja sile od 20 kN. Dio je konstantnog punogpoprečnog presjeka poluprečnika 30 mm.

30 mm

Ax

y

zB

C

20 kN

150 mm150 mm

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Jan-25

ISPIT 25.01.2018 - GRUPA A

1. ZADATAK

LBD 2m EBD 200GPa ABD 4cm2

kBC 80MN

m

LAB 1.5m

q 70kN

m α 20°

Rješenje

a) Problem je statički neodređen, pa pored uslova ravnoteže moramo postaviti i uslovekompatibilnosti. Pretpostavimo da se poluga AB okreće u smjeru kazaljke na satu, tako da seuže BD izdužuje, a opruga BC skraćuje, odnosno sile opruge i užeta u tački B na krutu polugudjeluju prema gore. Uslov ravnoteže je:

i

Mi

B

0= FBD sin α( ) LAB qLAB

2

2 FBC LAB 0= 1( )

Uslov kompatibilnosti (vertikalna pomjeranja kraja užeta i opruge su jednaka)

δBDv δBC= 2( )

pri čemu vrijedi (za uže postaviti Williot-ov plan pomjeranja):

δBDv sin α( )FBD LBD

EBD ABD= δBC

FBC

kBC= 3( )

Uvrštravajući (3) u (2) dobija se

FBD

EBD ABD

LBD kBCsin α( ) FBC= 0.171FBC= 4( )

Sada se uvrštavanjem (4) u (1) dobija

FBC

qLAB

2

EBD ABD

LBD kBCsin α( ) sin α( ) 1

49.599 kN

FBD

EBD ABD

LBD kBCsin α( ) FBC 8.482 kN

pa je napon u užetu (sile djeluju suprotno od onih koje djeluju na krutu gredu)

σBD

FBD

ABD21.205 MPa istezanje

b) Promjene dužina

δBD

FBD LBD

EBD ABD0.212 mm izduženje

δBC

FBC

kBC0.62 mm skraćenje

Provjera: δBD

sin α( )0.62 mm

2. ZADATAK

dv 50mm

du 40mm ψdu

dv0.8

L 1.5m

T 100N m

E 210GPa ν 0.33 GE

2 1 ν( )78.947 GPa

ReH 250MPa S 2

Rješenje

Io

dv4

π

321 ψ

4 3.623 10

5 mm

4

Wo

dv3

π

161 ψ

4 1.449 10

4 mm

3

a)

σvT

Wo6.901 MPa σu σv

du

dv 5.521 MPa

b)

φT L

G Io5.245 10

3 φ 0.301 °

c)

σT

Wo

ReH

S= Tmax

ReH

SWo 1.811 10

3 N m

3. ZADATAK

LBC 0.5m MA 10kN m

LAB 0.3m q 50kN

m

LCD 0.3mMD 10kN m

Id

3π

64= A

d2

π

4=

σdoz 150MPa τdoz 75MPa

Rješenje

i

Fi 0= FB FC q LBC 0= (1)

i

MB 0= MA FC LBC q LBCLBC

2 MD 0= (2)

Iz (2) sijedi: FC

qLBC

2

2 MD MA

LBC12.5 kN

FB q LBC FC 12.5 kNIz (1) slijedi:

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.1830.3670.550.7330.917 1.150

30

10

10

30

50

x, m

F, k

N

0 0.22 0.44 0.66 0.88 1.120

10

0

x, m

M, k

Nm

Dimenzionisanje na osnovu najvećeg momenta savijanja

Maksimalni moment savijanja je na prepustima: Mmax MA 10 kN m

σmax

Mmax ymax

I=

Mmaxd

2

d4

π

64

=32Mmax

d3

πσdoz=

d

332 Mmax

σdoz π87.896 mm (gornja vlakna izložena zatezanju)

Provjera tangencijalnog napona:

Maksimalna transferzalna sila po intenzitetu je u presjecima B i C s unutrašnjestrane dijela BC:

Fmax FC 12.5 kN

Ad

2π

46.068 10

3 mm

2

τmax

4Fmax

3A2.747 MPa τmax τdoz d

16

3

Fmax

τdoz π 16.821 mm

pa dimenzija h= 87.9 mm zadovoljava.

4. ZADATAK

L 150mm

d 60mm

F 20kN

Rješenje

Id

4π

646.362 10

5 mm

4

Ad

2π

42.827 10

3 mm

2

Wod

3π

164.241 10

4 mm

3 d

3π 6.786 10

4 m

3

a) uvijanje silom F na poluprečniku - tangencijalni napon

τA

Fd

2

Wo14.147 MPa τC τA 14.147 MPa

b) savijanje silom F na dužini L - normalni napon

σCF L

I

d

2 141.471 MPa pririsak( )

σA 0 neutralna linija( )

c) smicanje silom F - tangancijalni napon

τA4

3

F

A 9.431 MPa

τC 0

*****************************************************************************************************************

Pismeni ispit iz MEHANIKA MATERIJALA I - grupa B

1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena ouže BD, nosi (trouglasto) kontinuirano opterećenje, kaošto je prikazano na slici desno. Odrediti:

a) silu i napon u užetu BD te silu u opruzi,

b) promjenu dužine užeta BD i opruge BC.

Podaci: LAB = 1 m, α = 40◦, q0 = 100 kN/m; uže BD– EBD = 150 GPa, ABD = 5 cm2, LBD = 1.5 m; oprugaBC – kBC = 50 MN/m.

B

CA

D

LAB

LBD

q0

(20+5=25%)

2. Aluminijumsko šuplje vratilo dužine 0.75 m, vanjskog prečnika 25 mm i unutrašnjeg prečnika 20 mm,opterećeno je momentom uvijanja od 80 Nm.Odrediti:

a) napon na vanjskom i unutrašnjem prečniku vratila,

b) ugao uvijanja vratila u stepenima,

c) maksimalan moment uvijanja, ako je dozvoljeni ugao uvijanja 10◦.

(10+7+8=25%)

3. Odredi minimalne dimenzije drvene grede s prepustima,kvadratnog poprečnog presjeka i opterećene kao na slicidesno, ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 15 MPa,a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 2 MPa.Podaci: LAB = LCD = 0.4 m, LBC = 0.8 m, FA = 2 kN,FD = 2 kN, q = 10 kN/m.

q

LBC

B C

LAB LCD

A

FA FD

D

(25%)

4. Za dio na slici desno, izračunaj vrijednosti tangencijal-nih i normalnih napona koji vladaju u tačkama C i Busljed djelovanja sile od 15 kN. Dio je konstantnog punogpoprečnog presjeka poluprečnika 40 mm.

40 mm

Ax

y

zB

C

15 kN

200 mm200 mm

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Jan-25

ISPIT 25.01.2018 - GRUPA B

1. ZADATAK

LBD 1.5m EBD 150GPa ABD 5cm2

kBC 50MN

m

LAB 1m

q0 100kN

m α 40°

Rješenje

a) Problem je statički neodređen, pa pored uslova ravnoteže moramo postaviti i uslovekompatibilnosti. Pretpostavimo da se poluga AB okreće u smjeru kazaljke na satu, tako da seuže BD izdužuje, a opruga BC skraćuje, odnosno sile opruge i užeta u tački B na krutu polugudjeluju prema gore. Uslov ravnoteže je:

i

Mi

B

0= FBD sin α( ) LAB q0

LAB2

3 FBC LAB 0= 1( )

Uslov kompatibilnosti (vertikalna pomjeranja kraja užeta i opruge su jednaka)

δBDv δBC= 2( )

pri čemu vrijedi (za uže postaviti Williot-ov plan pomjeranja):

δBDv sin α( )FBD LBD

EBD ABD= δBC

FBC

kBC= 3( )

Uvrštravajući (3) u (2) dobija se

FBD

EBD ABD

LBD kBCsin α( ) FBC= 0.643FBC= 4( )

Sada se uvrštavanjem (4) u (1) dobija

FBC

q0

LAB

3

EBD ABD

LBD kBCsin α( )

2 1

23.588 kN

FBD

EBD ABD

LBD kBCsin α( ) FBC 15.162 kN

pa je napon u užetu (sile djeluju suprotno od onih koje djeluju na krutu gredu)

σBD

FBD

ABD30.324 MPa istezanje

b) Promjene dužina

δBD

FBD LBD

EBD ABD0.303 mm izduženje

εBC

FBC

kBC0.472 mm skraćenje

Provjera: δBD

sin α( )0.472 mm

2. ZADATAK

dv 25mm

du 20mm ψdu

dv0.8

L 0.75m

T 80N m

E 72GPa ν 0.35 GE

2 1 ν( )26.667 GPa

φdoz 10°

Rješenje

Io

dv4

π

321 ψ

4 2.264 10

4 mm

4

Wo

dv3

π

161 ψ

4 1.811 10

3 mm

3

a)

σvT

Wo44.167 MPa σu σv

du

dv 35.333 MPa

b)

φT L

G Io0.099 φ 5.694 °

c)

φmaxT L

G Ioφdoz= Tmax

G Io φdoz

L140.505 N m

3. ZADATAK

LBC 0.8m FA 2kN

LAB 0.4m q 10kN

m

LCD 0.4mFD 2kN

LBD LBC LCD 1.2 m LAC LAB LBC 1.2 m

Ib

4

12= A b

2=

σdoz 15MPa τdoz 2MPa

Rješenje

i

Fi 0= FB FC q LBC FA FD 0= (1)

i

MB 0= FA LAB FC LBC q LBCLBC

2 FD LBD 0= (2)

Iz (2) sijedi: FC

qLBC

2

2 FD LBD FA LAB

LBC6 kN

FB q LBC FC FA FD 6 kNIz (1) slijedi:

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.2670.533 0.8 1.0671.333 1.65

3

1

1

3

5

x, m

F, k

N

0 0.32 0.64 0.96 1.28 1.61

0.5

0

0.5

1

x, m

M, k

Nm

Dimenzionisanje na osnovu najvećeg momenta savijanja

Maksimalni moment savijanja je u osloncima: Mmax M LAB 0.8 kN m

σmax

Mmax ymax

I=

Mmaxb

2

b4

12

=6Mmax

b3

σdoz=

b

36 Mmax

σdoz68.399 mm (gornja vlakna izložena zatezanju)

Provjera tangencijalnog napona:

Maksimalna transferzalna sila po intenzitetu je u presjecima B i C s unutrašnje

strane dijela BC:

Fmax Ftr LAC 4 kN

A b2

4.678 103

mm2

τmax

3Fmax

2A1.282 MPa τmax τdoz h

3

2

Fmax

τdoz 54.772 mm

pa dimenzija h= 68.4 mm zadovoljava.

4. ZADATAK

L 400mm

d 80mm

F 15kN

Rješenje

Id

4π

642.011 10

6 mm

4

Ad

2π

45.027 10

3 mm

2

Wod

3π

161.005 10

5 mm

3

a) uvijanje silom F na poluprečniku - tangencijalni napon

τC

Fd

2

Wo5.968 MPa τB τC 5.968 MPa

b) savijanje silom F na dužini L - normalni napon

σBF L

I

d

2 119.366 MPa pritisak( )

σC 0 neutralna linija( )

c) smicanje silom F - tangancijalni napon

τC4

3

F

A 3.979 MPa

τB 0

*****************************************************************************************************************

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Štapni sistem, sastavljen od aluminijumske cijevi (1) van-jskog prečnika do i unutrašnjeg prečnika di i čeličnog štapa(2) i (3) prečnika d, uklješten je na oba kraja i opterećensilom PC , kao na slici desno. Treba odrediti:

a) reakcije oslonaca,

b) napon, izduženje i deformaciju u dijelu BC,

c) pomjeranje uC ,

Podaci: do = 45 mm, di = 30 mm, d = 10 mm, L1 = L2 =L3 = 400 mm, PC = 20 kN, E1 = 70 GPa, E2 = E3 = 210GPa.

L2 L3L1

do di

uB uC

A

Dd

B

C

(1)

(2) (3)

PC

(15+5+5=25%)

2. Za puno vratilo ABC konstantnog prečnika od 35 mm sas-tavljeno iz dva dijela (mesing i aluminijum) te opterećenomomentom uvijanja kao na slici desno, treba:

a) izračunati napone uvijanja u pojedinim dijelovimavratila te maksimalan napon u presjeku B,

b) izračunati ugao uvijanja presjeka C u odnosu napresjek A u stepenima,

c) odrediti maksimalni prečnik dijela AB vratila, ako jeumjesto mesinga izrađen od čelika, ako je dozvoljeniugao uvijanja tog dijela na 1.5◦.

Mesing

200 mm

300 mm

A

B

C

Aluminijum

100 N · m

(10+5+10=25%)

3. Odredi minimalne dimenzije drvene grede kružnogpoprečnog presjeka, opterećene kao na slici desno, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 15 MPa, a dozvoljenitangencijalni napon τdoz = 0.9 MPa.

AB

2 m 2 m

10 kN 10 kN

15 kN?m

2 m

(25%)

4. Za dio krana prikazan na slici desno izračunati normalnei tangencijalne napone u tačkama A i B usljed djelovanjavanjskog opterećenja. Dio je kvadratnog poprečnog pres-jeka stranice 100 mm, a tačke A i B leže na vanjskojpovršini, u istoj ravni, koja je okomita na osu dijela (premaslici, tacka A je na sredini poprečnog presjeka, a B na don-joj površini).Napomena: Zanemariti težinu pojedinih dijelova i uzeti daje kran statički opterećen (sila u užetu P jednaka je težinitereta).

z

A

B

xy

90 mm

45°

4 kN

3 m

70 mm

A

B

C

P

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Apr-27

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Aluminijumska cijev, vanjskog prečnika 100 mm i un-utrašnjeg prečnika 80 mm, ispunjena je betonom i prit-inuta silom F = 80 kN, kao na slici desno. Odrediti

a) sile, napone i deformacije u oba dijela,

b) maksimalnu silu da ne dođe do plastične deformacijecijevi, ako je granica tečenja cijevi ReH = 150 MPa.

Ostali podaci: EAl=70 GPa, Ebet = 24 GPa.

500 mm

80 kN

(15+10=25%)

2. Za konzolu pravougaonog poprečnog presjeka visine 10cm i širine 5 cm, opterećenu kao na slici desno, odredimaksimalni intenzitet opterećenja q0, ako je dozvoljeninapon na savijanje σdoz = 15 MPa, a dozvoljeni tangenci-jalni napon τdoz = 2 MPa.Podaci: LAB = 0.5 m.

q

LAB

A B

q0

(25%)

3. Stub kružnog poprečnog presjeka poluprečnika 100 mm,opterećen je silom P = 2 kN, kao što je prikazano na slicidesno.Odrediti tangencijalne i normalne napone u presjeku A,u tački koja leži na površini cijevi na pozitivnom dijelu xose.

A

P

B

C

z

y

x

1.5 m

9 m

w has

3.2 m

2.5 m

(25%)

4. Element od bronze kružnog prstenastog poprečnog presjeka, vanjskog prečnika 80 mm i debljine stijenke10 mm, opterećen je silom zatezanja od 8 kN i momentom uvijanja od 150 Nm. Za najugroženiji diopoprečnog presjeka odrediti:

a) glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon,

b) stepen sigurnosti koristeći von Mises kriterij,

c) najveći moment uvijanja, uz konstantnu silu zatezanja, da ne dođe do otkaza materijala koristiti Trescakriterij. Stepen sigurnosti protiv plastičnih defromacija je 1.75.

Granica tečenja materijala je ReH = 100 MPa.

(10+5+10=25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Jun-14

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Okvir na slici desno opterećen je silom P = 40 kN. Akoje veza BD izrađena od čelika i dimenzija 60 × 32 mm,odrediti:

a) napon, deformaciju i promjenu dužine veze BD,

b) maksimalnu silu koju sistem može podnijeti, ako jedozvoljeni napon veze BD 250 MPa, a stepen sigur-nosti 2.

6 m

5 m

C

DA

B

P

(10+15=25%)

2. Za čelično vratilo, opterećeno momentom uvijanja 15 kNm,kao na slici desno, izračunati:

a) ugao uvijanja vratila,

b) stepen sigurnosti, ako je dozvoljeni napon na uvi-janje 250 MPa,

c) prečnik zamjenskog aluminijumskog vratila punogpoprečnog presjeka, koji ima isti ugao uvijanja kaočelično vratilo na slici.

2.5 m

40 mm

50 mmA

B

T0

(7+8+10=25%)

3. Za gredu opterećenu kao na slici desno, odredi dimenzijepoprečnog presjeka grede, ako je dozvoljeni napon na sav-ijanje σdoz = 12 MPa, a dozvoljeni tangencijalni naponτdoz = 0.9 MPa. Greda je kružnog poprečnog presjeka.

20 kN10 kN 20 kN

1 m

A B C D

10 kN

E F

1 m 1 m 1 m 1 m

(25%)

4. Za dio opterećen kao na slici desno, izračunaj (maksi-malne) vrijednosti tangencijalnih i normalnih napona kojivladaju u presjeku B, a koje pojedinačno izazivaju vanjskaopterećenja. Dio je konstantnog punog kružnog presjekaprečnika 40 mm.

0.7 m

1.5 m

1.5 m

B

A

y

z

x

C

3

4

5

N

200 N

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Jun-28

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Luster mase 100 kg visi na užadima AB i BC, prečnika 4i 5 mm, respektivno, kao što je dato na slici desno (ugaoθ = 45 ◦). Odrediti:

a) napone u užadima,

b) maksimalnu težinu lustera ako je dozvoljeni napon uužadima 150 MPa. B

A

C

308

u

(10+15=25%)

2. Za čelično vratilo AD, prikazano na slici desno, treba:

(a) naći maksimalni i minimalni napon u uklještenju,

(b) naći ugao uvijanja presjeka A u odnosu na ukl-ještenje,

(c) odrediti maksimalan unutrašnji prečnik dijela CD,ako je dozvoljeni tangencijalni napon 150 MPa.

B

D

C

A

0.18 m

0.36 m

0.5 m

50 mm

26 mm

220 N

· m

1700 N · m38 mm

(10+5+10=25%)

3. Za gredu pravouogaonog poprečnog presjeka opterećenukao na slici desno, odredi dimenzije poprečnog presjekagrede, ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 20 MPa,a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 4 MPa. Širinagrede je dva puta manja od visine.Ostali podaci: LAB = LBC = LCD = LDE = 0.4 m,FA = 5 kN, FC = 2 kN, FE = 3 kN.

LBC

LBD

B C D

FC

E

FELAB LDE

AFA

(25%)

4. Za dio krana prikazan na slici desno izračunati normalne itangencijalne napone u tačkama A i B usljed djelovanjavanjskog opterećenja. Dio je kružnog poprečnog pres-jeka poluprečnika 50 mm, a tačke A i B leže na vanjskojpovršini (prema slici, tacka A je na sredini poprečnog pres-jeka, a B na donjoj površini).Napomena: Zanemariti težinu pojedinih dijelova i uzeti daje kran statički opterećen (sila u užetu P jednaka je težinitereta).

z

A

B

xy

90 mm

45°

4 kN

3 m

70 mm

A

B

C

P

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Aug-30

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I

1. Kruta poluga ABC opterećena je kontinuiranimopterećenjem q = 8 kN/m kao na slici desno i pričvršćenaje užadima BD i CE, koja su od istog materijala (E = 100GPa) i poprečnih presjeka površine ABD = 1.5 cm2 iACE = 2 cm2. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine štapova,

b) ugao rotacije krute poluge u stepenima.is small compared to the length of member

C

1.5 m

E

D

1.5 m

1 m

BA

2 m

q

ME

(20+5=25%)

2. Za gredu kružnog poprečnog presjeka, opterećenu kao naslici desno, odredi dimenzije grede, ako je dozvoljeni naponna savijanje σdoz = 100 MPa, a dozvoljeni tangencijalninapon τdoz = 50 MPa. Odnos unutrašnjeg i vanjskogprečnika je 0.75.Ostali podaci: LAB = LBC = LCD = LDE = 0.4 m,FB = 5kN, FC = 5kN, ME = 5kNm.

LAC

LAD

FBLAB

BA C D

FC

E

LAE

ME

(25%)

3. Za dio prikazan na slici desno treba izračunati normalne itangencijalne napone u tački H usljed djelovanja vanjskihopterećenja.

50 mm

250 mm

180 mm

30 mm

5 kN

0.3 kN

2 kN

15 mm

z

x

y

A

B

D

H

(25%)

4. Čelični element kružnog prstenastog poprečnog presjeka, vanjskog prečnika 50 mm i odnosa vanjskog iunutrašnjeg prečnika 1.25, opterećen je momentom uvijanja od 100 Nm i momentom savijanja od 150Nm. Za najugroženiji dio poprečnog presjeka odrediti:

(a) glavne normalne i maksimalni tangencijalni napon,

(b) stepen sigurnosti koristeći Tresca hipotezu,

(c) minimalan prečnik zamjenskog vratila punog poprečnog presjeka, ako je dozvoljeni napon 100 MPa.

Granica tečenja materijala je ReH = 150 MPa.

(10+5+10=25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

PTF-UNZE, 2018-Sep-13