REDUKCIJA SISTEMA NA TA ČKU KOORDINATNOG PO ČETKAGlavni vektor

Glavni moment

iFOiii MFrFrrrrrr

=×=)(M

∑= ig FFrr

∑∑ += jig F MMMrrrr

)(

∑∑ += jFOg

iM MMrrr r

kZjYiXF gggg

rrrr++=

kji zgygxgg

rrrrMMMM ++=

∑∑∑ === igigig ZZYYXX ,,

∑∑∑ =+= xixjFxxg MM i MMr

∑ ∑∑ =+= yiyjFyyg MM i MMr

∑∑∑ =+= zizjFzzg MM i MMr

⇒θ=⋅ cosgggg FF MMrr

gg

gg

F

F

M

Mrr

⋅=θcos

gzggyggxggg ZYXF MMMM ++=⋅rr

Primer 10.1 Za zadat proizvoljan prostornisistem sila i spregova (Sl.1) silesu definisane vektorima:

,2211 kjiFrrrr

−−=

,1422 kjiFrrrr

−+=

,2113 kjiFrrrr

+−−=

kjrrrr

111 +−=

jirrrr

212 +=

kjrrrr

133 +=

Projekcije sila su u kilonjutnima ([kN]) a koordinate napadnih tačaka sila u metrima ([m]).Vektori spregova koji pripadaju zadatom sistemu su:

,22221 kirrr

+=M kjirrrr

7192 −−−=M

Projekcije spregova u kilonjutnmetrima ([kNm]).

Odrediti: glavni vektor, glavni moment tačku za koordinatnog početka O i ugao

između glavnog vektora i glavnog momenta?

kN2121 =−+==∑ ig XX

kN1142 =−+−==∑ ig YY

kN1212 −=+−−==∑ ig ZZ

kjiFg

rrrr112 −+=

( ) ( ) kN2112 222 =−++=gF

( ) +−=+−= ∑∑ 1111 YzZyYzZy xjiiiixg MM

=++−+−+ xxYzZyYzZy 2133332222 MM

( ) ( ) ( ) −⋅+⋅−−⋅+−⋅−−⋅−= 2340122121 ( ) kN2292211 =−+−⋅

( ) 1111 ZxXzZxXz yjiiiiyg −=+−= ∑∑ MM

=++−+−+ yyZxXzZxXz 2133332222 MM

( ) ( ) ( ) −−⋅+−⋅−⋅+−⋅−⋅= 1111202011 01020 =−+⋅( ) +−=+−= ∑∑ 1111 XyYxXyYx zjiiiizg MM

=++−+−+ zzXyYxXyYx 2133332222 MM

( ) ( ) ( ) −−⋅+−⋅+⋅−−−⋅= 1022411120 ( ) kN172213 =−+−⋅

kig

rrr122 +=M ( ) kNm31022 222 =++=gM

( ) ( ) mkN31110222 2=−⋅+⋅+⋅=⋅ gg Frr

M

0602

1

23

3cos =θ⇒=

⋅=

⋅=θ⇒

gg

gg

F

F

M

Mrr

SVOĐENJE PROIZVOLJNOG PROSTORNOG SISTEMA SILA I SPREGOVA NA DINAMU

Proizvoljan prostorni sistem sila i spregova u opštem slučaju, kada je ,0rr

≠gF ,0rr

≠gM ,90,180,0 000 ≠θ≠θ≠θmože da bude sveden na dinamu, koju čine dva vektora čiji pravci su isti. Prava u prostoru na kojoj leži dinama nosi naziv centralna osa. Jedan od vektora koji čine dinamu je glavni vektor čija napadna linija je centralna osa. Drugi vektor, koji će biti označavan sa , je spreg čiji naziv je“moment diname”.

gFr

CMr

nCg MMMrrr

+=g

gzggyggxg

g

ggC F

ZYX

F

F MMMMM

++=⋅=

rr

Spreg se zamenjuje spregom sila ( ) koji leži u ravni π (Sl.3), upravnoj na vektor tog sprega.

nMr

gg FFrr

,′

Sila , koja pripada tom spregu sila, ima za napadnu liniju centralnu osu. Vektor položaja , ma koje tačke centralne ose, ima oblik

gFr

rr kzjyixr

rrrr ++=gde sux, y i z, osim što su projekcije vektora , i tekuće koordinatecentralne ose.

rr

Uklanjanjem sila i , koje dejstvuju u tački O i premeštanjem sprega na centralnu osu dobija se dinama, prikazana na slici 4.

gF ′r

gFr

CMr

Spreg , izražen preko momenta sile za tačku ima oblik:nMr

ggg

gn

ZYX

zyx

kji

Fr

rrr

rrr=×=M ( ) ( ) +−+−= jZxXziYzZy gggg

rr ( ) kXyYx gg

r−

Vektor momenta diname ima oblik:CMr

kji zCyCxCngC

rrrrrrMMMMMM ++=−=

gde su njegove projekcije određene izrazima

( )ggxgxC YzZy −−= MM

( )ggygyC ZxXz −−= MM

( )ggzgzC XyYx −−= MM

Pošto su vektori diname i kolinearni važi vektorska jednakostCMr

gFr

gde je p koeficijent proporcionalnosti koji se naziva parametrom diname.

( )*,gC Fprr

=M

Projektovanjem ove vektorske jednačine na osu koja je istog pravca i smera kao glavni vektor , dobija se skalarna jednačina na osnovu koje se dobija sledeća formula koja određuje parametar diname:

gFr

gC Fp=M

2g

gzggyggxg

g

C

F

ZYX

Fp

MMMM ++==

Znajući parametar diname, jednačine koje određuju centralnu osu (što je prava u prostoru) dobijaju se projektovanjem vektorske jednačine (*) na koordinatne ose. Te projekcije, odnosno jednačine centralne ose imaju oblik:

( ) gggxg XpYzZy =−−M

( ) gggyg YpZxXz =−−M

( ) gggzg ZpXyYx =−−M

Svaka od dobijenih jednačina, posmatrana zasebno, predstavlja jednačinu ravni, koja sadrži centralnu osu a upravna je na jednu od koordinatnih ravni.

Prva od tih jednačina predstavlja ravan upravnu na zOy ravan, druga na zOxa treća na xOy. Presek svih triju ravni je prava u prostoru koja predstavlja centralnu osu.

S obzirom da su samo dve ravni, koje se seku, dovoljne da odrede pravu u prostoru, jasno je da centralnu osu mogu da odrede bilo koje dve od ovihjednačina. U cilju skiciranja centralne ose najpogodnije je da se, u skladu sa jednačinama, odrede koordinate dveju njenih tačaka (obično se bira da su to tačke prodora centralne ose kroz dve od tri koordinatne ravni). S obzirom da dve tačke određuju pravu, skiciranjem tih tačaka, centralna osa je određena.

Primer 10.2 Svesti na dinamu proizvoljan prostorni sistem sila i spregova kojidejstvuje na prikazanu laku prizmu.

kN211 −=−−==∑ ig XX

kN211 =+==∑ ig YY

kN112 =−==∑ ig ZZ

kjiFg

rrrr122 ++−=⇒

( ) kN3122 222 =++−=gF

0211 542 =⋅+⋅−⋅−= FFFxgM

+⋅−⋅−⋅−= 211 531 FFFygM =+⋅ yF M26 kNm1−

kNm5.632 32 =+⋅+⋅= zzg FF MM

kjg

rrr5.61 +−=⇒M

kNm5.13

5.62 =+−=⋅

=g

ggC F

Frr

MM

m21

35.1 ===

g

C

Fp

M

Jednačine centralne ose su:

( ) ( )⇒−⋅=⋅−⋅− 221

210 zy 012 =−− zy

( )[ ] ⇒⋅=⋅−−⋅−− 221

121 xz 022 =−+ zx

( )[ ] ⇒⋅=−⋅−⋅− 121

225.6 yx 03 =−+ yx

Odredimo sada sve koordinate tačke A, u kojoj centralna osa prodire xOyravan.

Pošto tačka A pripada xOy ravni njena z koordinata jednaka je nuli, dakle, .0=Az

012 =−− zy

022 =−+ zx

03 =−+ yx

Za ,0=Az iz

m1=⇒ Ay

Za ,0=Az iz

m2=⇒ Ax A(2,1,0)

Pošto tačka B pripada zOy ravni njena x koordinata jednaka je nuli, dakle, .0=Bx

Za iz,0=Bx 022 =−+ zx

m1=⇒ Bz

Za iz,0=Bx

B(0,3,1)m3=⇒ By

REAKCIJE SFERNOG I CILINDRI ČNOG ZGLOBA

U praksi se veomačesto sfernizglobA i cilindrični B koriste u paru kako je prikazano na slici 3 (odnosno, 4).

Tako postavljen cilindričnizglob dopušta obrtanje okojedne ose (ovde je to osaz) i kretanje bez otpora u pravcu teose. Iz navedenih razloga, zaprikazan cilindrični zglobB, nepostoji reakcija u z pravcu većpostoje reakcije u pravcimax i y.

Sferni zglob (Sl.1) je veza kojadozvoljava elementu obrtanje okozgloba ali mu sprečava kretanje u bilo kom pravcu.

RAVNOTEŽA PROIZVOLJNOG PROSTORNOG SISTEMA SILA I SPREGOVA

U slučaju kada su i glavni vektor i glavni moment jednaki nula vektoru, telo na koje dejstvuje proizvoljan prostorni sistem sila i spregova se nalazi u ravnoteži. Dakle, za ravnotežu sistema moraju biti zadovoljene sledeće vektorske jednakosti: ,0

rr=gF .0

rr=gM

Projektovanjem ovih vektorskih jednakosti na koordinatne ose, dobijaju se sledeći nezavisni uslovi ravnoteže proizvoljnog prostornog sistema sila i spregova:

∑ = 0iX

∑ = 0iY

∑ = 0iZ

0=∑ ixMSuma momenata, nekog prostornog sistema sila i spregova, koji ima rezultantu, za neku osu, jednaka je momentu njegove rezultante za istu osu. (Varinjonova teorema)

0=∑ iyM

zbog

0=∑ izM

Neka proizvoljan prostorni sistem sila i spregova ima rezultantu

0∑ =+ ′RFxix MMr

∑=⇒ ixFx MM R

r

RR Fx

Fx MM

rr

−=′

Primer 10.3 Kruto telo sačinjeno od tri kruto spojena međusobno upravna istovetna homogena štapa, težina G, dužina l, održava u ravnoteži šest lakih štapova kao što je na slici 1 prikazano. Na teški vertikalni štap dejstvuje spreg momenta M, koji leži u ravni upravnoj na taj štap, smera datog na slici. Na teški štap, koji ima pravac ose y, dejstvuje spreg momenta M koji leži u ravni upravnoj na taj štap, smera datog na slici. Za prikazan ravnotežni položaj, u zavisnosti od poznatih veličina G, M, M i l, odrediti reakcije lakih štapova.

∑ == 02

24SX i

04 =⇒ S

∑ =−−= 021 SSYi l

MS −=⇒ 1

∑ =−+−−−= 032

26543 GSSSSZi G

lS 25 −=⇒

M

02 6 =⋅+⋅−=∑ lSl

GM ix 26

GS =⇒

02 3 =+⋅+⋅=∑ MlSl

GM iy 23

G

lS −−=⇒

M

02 =+⋅−=∑ MlSM iz l

MS =⇒ 2

Primer 10.4 Horizontalna homogena kvadratna ploča ABCD, težineG, stranicea, vezana je u tački A sfernim zglobom a u tački B cilindričnim (Sl.1). Za tačku D ploče vezan je laki štapKD, gde su zadate koordinateK(0,a,a). Na ploču dejstvuje spreg momentaM koji leži u ravni ploče smera datog na slici. Za prikazan ravnotežni položaj, u zavisnosti od poznatih veličinaG, M i a, odrediti reakcije veza u tačkamaA i B kao i silu u lakom štapuKD.

( ) ( ) kajaiaDKaaKaDrrr

++−=⇒,,0,0,0, ( ) 3222 aaaaDK =++−=

0

,

===

DD

D

zy

ax ( )kajaiaa

SDK

DK

SS

rrrr++−==

3 kS

jS

iS

Srrrr

333++−=

3,

3,

3

SZ

SY

SX SSS ==−=

0=−= SDSDSx YzZyMr

Jednačine ravnoteže:

3

SaZxXzM SDSD

Sy −=−=r

3

SaXyYxM SDSD

Sz =−=r

∑ =−+= 03

SXXX BAi

∑ =+= 03

SYY Ai

∑ =+−+= 03

SGZZZ BAi

a

MX A =⇒

2

GYA −=⇒

0=⇒ AZ

02

=⋅−⋅=∑a

GaZM Bix

2

GZB =⇒

032

=⋅−⋅=∑ aSa

GM iy GS2

3=⇒

03

=−⋅+⋅−=∑ MaS

aXM Biza

MGX B −=⇒

2

Primer 10.5Homogena kvadratna ploča ABCD (Sl.1), težineG, stranicea, kojasa horizontalnomxAy ravni gradi ugao od 300, vezana je u tački A sfernimzglobom a u tački B cilindričnim. Za tačku C ploče vezan je vertikalni laki štapKC. Na ploču dejstvuje spreg momenta M koji leži u ravni ploče smera datog naslici. Za prikazan ravnotežni položaj, u zavisnosti od poznatih veličinaG, M i a

odrediti reakcije veza u zglobovimaAi B kao i silu u lakom štapu.

∑ =+= 0BAi XXX

Jednačine ravnoteže:

a

MX A 2

3=⇒

∑ == 0Ai YY 0=⇒ AY

∑ =+−+= 0SGZZZ BAi aMG

Z A 22−=⇒

02

1

2=⋅−⋅−⋅+⋅=∑ M

aGaSaZM Bix a

MZB 2

=⇒

02

3

2

3

2=⋅−⋅=∑ aS

aGM iy

2

GS =⇒

02

3 =−⋅−=∑ MaXM Biz a

MX B 2

3−=⇒