Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ( SPLDV )
description
Transcript of Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ( SPLDV )
Sistem persamaan linear dua variabel adlh sistem persamaan yg mengandung dua variabel yg tdk diketahui.
Bentuk Umumnya :
aaxx + b + byy = c … persamaan (1) = c … persamaan (1)ppxx + q + qyy = r … persamaan (2) = r … persamaan (2)
Dg a, b, c, p, q & r ϵ Ra, p = koefisien dari xb, q = koefisien dari y
Ada 4 metode penyelesaian SPLDV tsb, yaitu :1)1)Metode EliminasiMetode Eliminasi2)2)Metode SubstitusiMetode Substitusi3)3)Metode CampuranMetode Campuran4)4)Metode DeterminanMetode Determinan
1. Metode Eliminasi1. Metode EliminasiMetode ini digunakan dg cara
mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya, shg diperoleh sebuah persamaan dg satu variabel.Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dg metode eliminasi !2x + 3y = 1 … pers.(1)3x + y = 5 … pers.(2)Jawab :Mengeliminasi x2x + 3y = 1 x3 6x + 9y = 33x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 –
7y = - 7 y = -1
Mengeliminasi y2x + 3y = 1x1 2x + 3y = 13x + y = 5 x3 9x + 3y = 15 –
- 7x = - 14 x = 2
Jd, HP = { 2, -1 }
Catatan :“ Jika kita mengeliminasi (menghilangkan)
variabel x maka yg akan kita dapatkan nantinya adlh nilai dari variabel y dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yg akan kita dapatkan nantinya adlh nilai dari variabel x “
Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode eliminasi !
1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1 Jawab
2) 3x + 5y = 4
3x – y = 10 Jawab
3) 5x + y = 5
17x + y = - 5 Jawab
4) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39 Jawab
Ke slide Metode Substitusi
Jawab1) * Mengeliminasi variabel y
2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 4
3x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -
x = 3
* Mengeliminasi variabel x
2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 6
3x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -
y = 4
Jd, HP = { 3, 4}
Kembali ke slide soal
Jawab2) * Mengeliminasi variabel x
3x + 5y = 4
3x – y = 10 -
6y = - 6
y = - 1
* Mengeliminasi variabel y
3x + 5y = 4 x 1 3x + 5y = 4
3x – y = 10 x 5 15x – 5y = 50 +
18x = 54
x = 3
Jd, HP = { 3, - 1}
Kembali ke slide soal
Jawab3) * Mengeliminasi variabel y
5x + y = 5
17x + y = - 5 -
- 12x = 10
* Mengeliminasi variabel x
5x + y = 5 x 17 85x + 17y = 85
17x + y = - 5 x 5 85x + 5y = - 25 -
12y = 110
Kembali ke slide soal
6
5
12
10
x
6
19
12
29
12
110y
}{6
19,
6
5HP
Jawab4) * Mengeliminasi variabel p
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28
7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
* Mengeliminasi variabel q
2p – 3q = 4 x 2 4p – 6q = 8
7p + 2q = 39 x - 3 - 21p - 6q = - 117 -
25p = 125
Jd, HP = { 5, 2} Kembali ke slide soal
225
50
q
525
125p
2. Metode Substitusi2. Metode SubstitusiPada metode ini, salah satu variabel dari salah
satu persamaan disubstitusikan shg diperoleh sebuah persamaan dg satu variabel sajaContoh :a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi !
3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)Jawab :Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :3x + 4y = 11 Harga y = 2 kmd
⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) :
⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14
x = 1Jd, HP = { 1, 2 }
217
34
y
2x + 3y = 1 … pers.(1)
3x + y = 5 … pers.(2)
Jawab :
Dari pers.(2) didapat : y = 5 – 3x … pers.(3). Harga x = 2 kmd
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : disubstitusikan ke pers.(3) :
2x + 3y = 1 y = 5 – 3x
2x + 3(5 – 3x) = 1 y = 5 – 3(2)
2x + 15 – 9x = 1 y = 5 – 6
2x – 9x = 1 – 15 y = - 1
- 7x = - 14
x = 2 Jd, HP = { 2, - 1}
1) 2x – y = 23x – 2y = 1 Jawab
2) 3x + 5y = 43x – y = 10 Jawab
3) 5x + y = 517x + y = - 5 Jawab
4) 2p – 3q = 47p + 2q = 39 Jawab
Jawab
1) 2x – y = 2 … pers.(1)
3x – 2y = 1 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan
- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2
⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2
⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2
⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6
⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4
⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4
⇔ x = 3
Jd, HP = { 3, 4}
Jawab
2) 3x + 5y = 4 … pers.(1)
3x – y = 10 … pers.(2)
Dari pers.(2) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan
- y = 10 – 3x ⇔ y = - 10 + 3x … pers.(3) ke pers.(2) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x – y = 10
⇔ 3x + 5y = 4 ⇔ 3(3) – y = 10
⇔ 3x + 5(-10 + 3x) = 4 ⇔ 9 – y = 10
⇔ 3x – 50 + 15x = 4 ⇔ - y = 10 – 9
⇔ 3x + 15x = 4 + 50 ⇔ - y = 1
⇔ 18x = 54 ⇔ y = - 1
⇔ x = 3
Jd, HP = { 3, - 1 }
Jawab
3) 5x + y = 5 … pers.(1)
17x + y = - 5 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga
y = 5 – 5x … pers.(3) kmd disubstitusikan ke pers.(1) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 5x + y = 5
17x + y = - 5
⇔ 17x + 5 – 5x = - 5
⇔ 17x – 5x = - 5 – 5 ( x 6 )
⇔ 12x = - 10 ⇔ - 25 + 6y = 30
⇔ 6y = 30 + 25
⇔ 6y = 556
5
12
10
x
6
5x
56
55 )( y
56
25)( y
6
19
6
55 y
}{6
19,
6
5HP
Jawab4) 2p – 3q = 4 … pers.(1)
7p + 2q = 39 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga q = 2 kmd disubstitusikan
2p – 3q = 4 ⇔ 2p = 4 + 3q ke pers.(1) :
2p – 3q = 4
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : ⇔ 2p – 3(2) = 4
⇔ 7p + 2q = 39 ⇔ 2p – 6 = 4
⇔ 2p = 4 + 6
⇔ 2p = 10
⇔ p = 5
( x 2)
⇔ 28 + 21q + 4q = 78 Jd, HP = { 5, 2 }
⇔ 21q + 4q = 78 – 28
⇔ 25q = 50 ⇔ q = 2
)3.(...2
34pers
qp
3922
347 )(
q
q
3922
2128 )(
3. Metode Campuran3. Metode CampuranPada metode ini, merupakan gabungan dari cara
eliminasi dan substitusi.Contoh :a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode campuran !
3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)Jawab :3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -
- 17y = - 34 ⇔ y = 2
Harga y = 2 kmd substitusikan ke pers(2) :
x + 7y = 15⇔ x + 7(2) = 15⇔ x + 14 = 15⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jd, HP = { 1, 2 }
2x + 3y = 1 … pers.(1)4x – 3y = 11 … pers.(2)
Jawab :2x + 3y = 14x – 3y = 11 +⇔ 6x = 12⇔ x = 2
Harga x = 2 kmd substitusikan ke pers.(1) :2x + 3y = 1⇔ 2(2) + 3y = 1⇔ 4 + 3y = 1⇔ 3y = 1 – 4⇔ 3y = - 3⇔ y = - 1 Jd, HP = { 2, -1 }
1) 5x + y = 5
17x + y = - 5 Jawab
2) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39 Jawab
1) 5x + y = 5 … pers.(1)17x + y = - 5 … pers(2)
5x + y = 5 Harga kmd17x + y = - 5 - disubstitusikan ke pers(1) : - 12x = 10 5x + y = 5
( x 6 )⇔ - 25 + 6y = 30⇔ 6y = 30 + 25⇔ 6y = 55
6
5
12
10
x
6
5x
56
55 )( y
56
25)( y
6
19
6
55 y
}{6
19,
6
5HP
2) 2p – 3q = 4 … pers.(1)7p + 2q = 39 … pers(2)
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 287p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
2p – 3q = 4⇔ 2p – 3(2) = 4⇔ 2p – 6 = 4⇔ 2p = 4 + 6⇔ 2p = 10⇔ p = 5
Jd, HP = { 5, 2 }
225
50
q
4. Metode Determinan4. Metode DeterminanSistem persamaan, misalkan :
ax + by = cpx + qy = r
Menurut aturan determinan diubah mjd :
Artinya dan utk variabel x dan ydidefinisikan :
,
qp
ba
pbqaqp
ba..
pbqa
rbqcqr
bc
x..
..
pbqa
pcrarp
ca
y..
..
4x – 5y = 22
7x + 3y = 15
Kita cari dl determinannya :
Jd, HP = { 3, -2}
347
141
47
7566
47
15)5(3.22315
522
x
4735127)5(3.437
54
247
94
47
15460
47
7.2215.4157
224
y
1) 2x – y = 23x – 2y = 1
Kita cari dl determinannya :
Jd, HP = { 3, 4}
31
3
1
14
1
1)1()2(221
12
x
1343)1()2(223
12
41
4
1
62
1
3.21.213
22
y
2) 3x + 5y = 43x – y = 10
Kita cari dl determinannya :
Jd, HP = { 3, -1}
318
54
18
504
18
10.5)1(4110
54
x
181533.5)1(313
53
118
18
18
1230
18
3.410.3103
43
y