Post on 22-Dec-2015
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PRUEBA DE HIPOTESIS
ACERCA DE MEDIAS DE DOS
POBLACIONES NORMALES
INDEPENDIENTES CON
VARIANZAS CONOCIDAS
DEFINICION: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población N(u1 σ1
2 ) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u2 σ2
2 ) donde σ12 y σ2
2 son conocidas. Supongamos que las poblaciones son independientes.
2
12
1
11
21
n
n
Xyn
n
X jj
ii YX
),(2
22
1
21
2121nn
uuNXX
PRUEBA DE HIPOTESIS BILATERALHipótesis:Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
)0(,:)0(,: 2121121210 uuuuHvsuuuuH
1)(0
2/
2
22
1
21
21
Z
nn
XXZC
2
22
1
21
21
2
22
1
21
2121 )()(
nn
XX
nn
uuXXZ
PRUEBA DE HIPOTESIS UNILATERALHipótesis:Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: uuHvsuuH
1)(0
Z
nn
XXZC
2
22
1
21
21
2
22
1
21
21
nn
XXZ
Ejemplo: En la facultad de Ciencias Administrativas de la UCV, se selecciono una m. a. de 20 estudiantes (grupo A) de una población de estudiantes pertenecientes a familias en que ambos padres trabajan. Se selecciono también una m. a. de 16 estudiantes (grupo B) pertenecientes a familias en que solamente el padre trabaja. El análisis de los puntajes de rendimiento académico de los dos grupos son:
Grupo Promedio Mensual
A 14
B 17
La experiencia muestra que las poblaciones de puntajes para ambos grupos se aproximan a una normal, con varianzas σA
2 =36 y σB
2 =20, ¿Se puede concluir, con estos datos, que la media de la población de la que se selecciono el grupo A es inferior a la media de la población de la que se selecciono el grupo B?
Solución: Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica: Para α=0.05, en la tabla se encuentra:
Conclusión: Se rechaza Ho, pues Z=-1.7178<-1.645 y concluimos, que en la facultad de Ciencias Administrativas, los puntajes promedios generales de rendimiento de estudiantes que pertenecen a la familias en que ambos padres trabajan son inferiores a los de los estudiantes que pertenecen a familias en que solamente el padre trabaja
BABA uuHvsuuH :: 10
0.05
645.1:
:
ZRZC
ZZRZC
7178.1
16
20
20
36
714
2
22
1
21
21
nn
XXZ
645.1Z
PRUEBA DE HIPOTESIS
ACERCA DE MEDIAS DE DOS
POBLACIONES NORMALES
INDEPENDIENTES CON
VARIANZAS DESCONOCIDAS
DEFINICION: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población N(u1 , σ1
2 ) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u2 , σ2
2 ) donde σ12 y σ2
2 son desconocidas, tenemos sus respectivas medias y varianzas muéstrales:
1
)(
1
)(
2
1
22
22
2
12
1
1
21
21
1
11
22
11
n
YY
n
XX
nX
Sn
n
X
nX
Sn
n
X
jj
jj
ii
ii
A.- PRUEBA DE HIPOTESIS BILATERAL
A.1.- MUESTRAS GRANDES Y VARIANZAS
DESCONOCIDAS: n1 + n2 >30
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
)0(,:)0(,: 2121121210 uuuuHvsuuuuH
1)(0
2/
2
22
1
21
21
Z
n
S
n
S
XXZC
2
22
1
21
21
n
S
n
S
XXZ
A.2.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y
VARIANZAS DESCONOCIDAS : σ12 = σ2
2 = σ2
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: uuHvsuuH
1)(0
)2(, 212/ nntTC
2121
222
211
21
11
2
)1()1(
nnnn
SnSn
XXT
A.3.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DISTINTAS: σ1
2 ≠ σ22
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: uuHvsuuH
1)(0
)(,2/ gtTC
2
22
1
21
21
n
S
n
S
XXT
2
11
2
2
2
22
2
1
1
21
2
2
22
1
21
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
g
B.- PRUEBA DE HIPOTESIS UNILATERAL
B.1.- MUESTRAS GRANDES Y VARIANZAS
DESCONOCIDAS: n1 + n2 >30
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: uuHvsuuH
1)(0
Z
n
S
n
S
XXZC
2
22
1
21
21
2
22
1
21
21
n
S
n
S
XXZ
B.2.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y
VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO
IGUALES: σ12 = σ2
2 = σ2
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: uuHvsuuH
1)(0
)2(, 21 nntTC
2121
222
211
21
11
2
)1()1(
nnnn
SnSn
XXT
B.3.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DISTINTAS: σ1
2 ≠ σ22
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: uuHvsuuH
1)(0
)(, gtTC
2
22
1
21
21
nS
nS
XXT
2
11
2
2
2
22
2
1
1
21
2
2
22
1
21
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
g
CONTRASTE PARA LA
IGUALDAD DE VARIANZAS DE
DOS POBLACIONES
NORMALES
A.- CONTRASTE BILATERAL Hipótesis:Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:Región critica:
Conclusión: Se rechaza Ho si:
22
211
22
210 :: HvsH
1)(0
)1,1()1,1( 212
2
2
2
121)
21(2
2
2
1 nnFonnFC FSSF
SS
)1,1( 212
2
2
1 nnFFSS
)1,1()1,1( 21
221)
21(
nnFonnFC FF
)1,1(1
)1,1(:12
2
21)2
1()2
1(
nnnnNota
FFF
B.- CONTRASTE UNILATERAL Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Conclusión: Se rechaza Ho si:
22
211
22
210 :: HvsH
1)(0
)1,1( 212
2
2
1 nnFC FSS
)1,1( 212
2
2
1 nnFFSS
)1,1( 21 nnFC F
Ejemplo: Dos técnicas de ventas son aplicados por dos grupos de vendedores; la primera (técnica A) por 12 vendedores y la segunda (técnica B) por 15 vendedores. Se espera que la técnica B da mejores resultados. Al final de un mes, se obtuvieron los siguientes resultados:
¿Hay diferencias significativas entre las ventas resultantes de las dos técnicas?
VENTAS
TECNICA A TECNICA B
MEDIAVARIANZA
78 45
82 70
Solución: Nos situamos en el caso de que la variable en estudio elegida en cada una de las dos poblaciones sea normal, N(uA, σA
2 ) y N(uB, σB2 ),
respectivamente, donde σA2 y σB
2 son desconocidas.
Como se trata de muestras pequeñas
(n1 + n2 =12+15=27<30), necesitamos comprobar estadísticamente si σA
2 y σB2 son iguales o no.
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Luego la región critica es:
Conclusión: No se rechaza Ho, pues F=0.6429ɇC y concluimos que: σA
2 = σB2
221
220 :: BABA HvsH
0.05
29762.036.3
1
)11,14(
1)1,1(
1.3)14,11()1,1(
15,12,025.02
,05.0
,025.0,2/1
,025.0,2/
FnnF
FnnF
nn
BA
BA
BA
6429.070
452
2
B
A
S
SF
}1.329762.0{ FoFC
Ahora hacemos el contraste de medias: Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Conclusión: No se rechaza Ho, pues T=-1.3446>-1.708 y concluimos, de que no hay evidencia de que la técnica B da mejores resultados que la técnica A
BABA uuHvsuuH :: 10
0.05
708.1)25(,)2(,
708.1)25(,)2(,,05.0
05.0
05.0
tnntTC
tnnt
BA
BA
3446.1
15
1
12
1
25
)70(14)45(11
8278
11
2
)1()1(
2121
222
211
21
nnnn
SnSn
XXT
Ejemplo: Una compañía quiere probar la resistencia de dos tipos de vigas de acero, A y B. Para esto toma una muestra de 15 vigas del tipo A y una muestra de 15 vigas del tipo B, obteniendo los siguientes resultados.
¿La resistencia media de los dos tipos de vigas es la misma?
TIPO MEDIA VARIANZA
AB
70.584.3
81.6280.5
Solución: Supongamos que la variable en estudio elegida en cada una de las dos poblaciones sea normal N(uA, σA
2 ) y N(uB, σB2 ),
respectivamente, donde σA2 y σB
2 son desconocidas.
Como se trata de muestras pequeñas
(nA + nB =30), necesitamos comprobar
estadísticamente si σA2 y σB
2 son iguales o no.
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
Luego la región critica es: Conclusión: Se rechaza Ho, pues F=0.2909ɇC y
concluimos que: σA2 ≠σB
2
221
220 :: BABA HvsH
0.05
3356.098.2
1
)14,14(
1)1,1(
98.2)14,14()1,1(
15,15,025.02
,05.0
,025.0,2/1
,025.0,2/
FnnF
FnnF
nn
BA
BA
BA
2909.05.280
6.812
2
B
A
S
SF
}98.23356.0{ FoFC
Ahora hacemos un contraste de igualdad de medias de poblaciones normales con varianzas desconocidas pero distintas con muestras pequeñas Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
BABA uuHvsuuH :: 10
1)(0
8087.2
15
5.280
15
6.81
3.845.7022
B
B
A
A
BA
n
S
n
S
XXT
Región Critica: El grado de libertad del estadígrafo del contraste T es:
Conclusión: Se rechaza Ho pues T=-2.8087<-2.069 y concluimos, de que hay evidencia de que los dos tipos de vigas tienen resistencias medias diferentes
235827.222705225.23
7396.582
2
16
15
5.280
16
15
6.81
15
5.280
15
6.81
2
11
22
2
2
2
2
22
2
1
1
21
2
2
22
1
21
g
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
g
069.2069.2069.2)(,
069.2)23(,)(,23025.02
2/
%5.22/
ToTgtTC
tgtgy
PRUEBA DE HIPOTESIS
ACERCA DE PROPORCIONES
DE DOS POBLACIONES
INDEPENDIENTES
DEFINICION: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli B(1, p1) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli B(1, p2). Supongamos que las poblaciones son independientes. Denotemos las proporciones muéstrales:
21
21
22
2
2
1
11
1
1
1
22
11
2
1
nn
XXpdonde
n
muestralaenexitodeNumero
n
X
n
n
muestralaenexitodeNumero
n
X
nn
jj
n
ii
Yp
Xp
CONTRASTE BILATERAL
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: ppHvspppH
21
21
11)1(
nnpp
ppZ
1)(0
2/
2/2/
zzC
zzozzC
CONTRASTE UNILATERAL
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Estadígrafo de Contraste:
Región critica:
211210 :: ppHvsppH
21
21
11)1(
nnpp
ppZ
1)(0
2/zzC
Ejemplo: Un evento sorprendente ocurrió durante la campaña para la alcaldía de Lima en 1983. La campaña de encuesta Datum informo que de 1078 votantes, 51% favorecía a Barnechea y 39% a Barrantes. En cambio en una encuesta realizada poco después por la compañía POP, de 950 personas 52% favorecía a Barrantes y 41% a Barnechea. Si quisiéramos comparar los porcentajes que favorecen a Barnechea en las dos muestras, ¿proporcionan los datos suficiente evidencia que indique que los datos fueron seleccionados de poblaciones distintas?.
Solución: Sea p1 y p2, las proporciones de votantes que respaldan a Barnechea en las poblaciones definidas por Datum y POP.
46.09501078
390550,41.0,950,51.0,1078 2211
ppnpn
Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:
Región Critica:
211210 :: ppHvsppH
51.4
950
1
1078
1)46.01(46.0
41.051.0
11)1(
21
21
nnpp
ppZ
0.05
96.1,025.02
,05.0 2/ z
96.1
96.196.1
zC
zozC
Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula pues
z = 4.51>1.96 y concluimos, que los datos fueron seleccionados de poblaciones distintas
aceptaciondegionRe
96.12/ z 0 96.1
2/z
HrechazaSe0HrechazaSe
0
Hrechazaseno0
51.4Z025.0025.0