08ea-Phipotesis 2 Medias 2013

Material de Clases G:P.P 29/10/2013

Germn Elas Pomachagua Prez

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CLASE 09:INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DOS POBLACIONES


INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 1 - 2

a) Conociendo 21 y 2

2 poco frecuente



b) Desconociendo 21 y 2

2 pero asumiendo 2

1 = 2

2



c) Desconociendo 21 y 2

2 pero asumiendo 2

1 2

2



Sin embargo en la prctica no tiene mucho sentido pensar que se conocen las varianzas.

Primero para probar la igualdad de varianzas, realizamos la prueba de Levene (F) sobre la homogeneidad e igualdad de varianzas.

Ho: 2

1 = 2

2 H1:

21

22

Si p= Sig < entonces rechazamos H0 Si p= Sig , entonces, no rechazamos H0, luego podemos suponer que las varianzas son iguales


Ejemplo1:Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en aos, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes

Con Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1

Primero se probar el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hiptesis bilateral utilizando la distribucin Fisher

Prueba de Hiptesis Ho:

21 /

22=1

H1: 2

1/2

2 1

85.2167.1

97.1

2

2

2

2

s

c

s

sF

pruebadeoEstadistic

Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno. v1=5-1=4, v2=4-1=3

Como 2,85 cae dentro del intervalo entonces no se rechaza Ho y se asume que tienen igual varianza

a) Hallar un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de medias b) Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo

=INV.F(0.025;4;3) =INV.F(0.975;4;3)

)1,2(2/1

)2,1(2/

1

vv

vvF

F


Test para probar la normalidad

Ho: La distribucin de los datos es Normal H1: La distribucin de los datos NO es Normal

Como p> entonces la distribucin de los datos es NORMAL

12.510.07.55.02.50.0-2.5-5.0

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

aos

Po

rc

en

ta

je

2.86 1.971 5 0.354 0.294

2.075 1.167 4 0.271 0.448

Media Desv.Est. N AD P

con

sin

trata

Grfica de probabilidad de aosNormal - 95% de IC

Reporte de Minitab


Reporte de SPSS

a) Como contiene al cero no hay suficientes pruebas para concluir que existe diferencias entre las medias con tratamiento y sin ella

Si p/2 < entonces rechazamos H0 Como 0.507/2=0.2535>0.05 Luego no rechazamos H0

b) Prueba de Hiptesis Ho: c= s H1: c> s


Reporte de Minitab

a) Como contiene al cero no hay suficientes pruebas para concluir que existe diferencias entre las medias con tratamiento y sin ella

a) Hallar un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de medias


Se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia.

Prueba de Hiptesis Ho: c= s H1: c> s

b) Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo

Reporte de Minitab

Si p < entonces rechazamos H0 Como p=0.254>0.05 Luego no rechazamos H0


Ejemplo2: Los residentes del Callao se quejan de que las multas de trafico por exceso de velocidad son mas altas en su ciudad que en el Cercado de Lima. Se obtuvieron las siguientes muestras

Callao $ 100 125 135 128 140 142 128 137 156 142

Lima $ 95 87 100 75 110 105 85 95

a) Hallar el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los costos medios de estas ciudades?

b) Podra decirse que las multas en el Callao son mas caras si alfa es 5%

Ejemplo3: Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los nios al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman un paquete al da y otras que no) y se obtienen los siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos:

Poblacin Muestra Medias DS Madres fumadoras n1 =35 = 3.6 S1= 0.5 kg

Madre no fumadoras n2 =27 = 3.2 S2= 0.8 kg

a) Calcular en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo, si alfa es 0.05Rpta: 0,068 Kg y los 0,731 Kg.

b) Podra decirse que los hijos de las madres fumadoras tienen menos pesos que las no fumadoras si el nivel de significacin es de 10% ?


Ejemplo4: Una inspeccin de calidad efectuada sobre dos marcas de bateras para linterna, revel que una muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A gener un promedio de vida til de 36,5 horas con una desviacin estndar de 1,8 horas, mientras que otra muestra aleatoria de 31 unidades de la marca B gener un promedio de 36,8 horas con una desviacin estndar de 1,5 horas.

a) Con un nivel de significacin del 5% se desea saber si hay diferencia significativa entre la vida til de ambas marcas

b) Podra decirse quela batera de la marca A dura mas que la marca B

Ejemplo5 : El test de evaluacin de CAPECO, informa los resultados de pruebas de laboratorios realizados para investigar la estabilidad y permeabilidad del concreto de asfalto. En el experimento se prepararon 4 mezclas de concreto con un contenido de 3% de asfalto del peso total de la mezcla y 4 mezclas con un 7% de asfalto respectivamente Las mediciones de permeabilidad registradas en pulgadas por hora fueron: a) Hallar el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la permeabilidad

media del concreto elaborado con un contenido de 3% y 7% de asfalto? b) Podra decirse que el 3% de asfalto es mas permeable que un 75 de asfalto?

CONTENIDO DE ASFALTO

Permeabilidad en pulgadas por hora

3% 1x 1189 840 1020 980

7% 2x 853 900 733 785


INTERVALO DE CONFIANZA PARA OBSERVACIONES PARAEDAS D=1 - 2

(ANTES Y DESPUES )

n

Std

n

Std dD

d2/2/

Donde: Promedio de diferencias d = desviacin estndar de las diferencias

n

d

d

n

i

i

1

En este caso se trata de comparar dos mtodos o tratamientos, pero se quiere que las unidades experimentales donde se aplican los tratamientos sean las mismas, los ms parecidas posibles,

Un intervalo de confianza del 100(1-a)% para la diferencia poblacional dada una muestra de tamao n es de la forma

La prueba estadstica t se distribuye con (n-1) gl ns

dt

D

D

/


Ejemplo 1: Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios aerbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso, y al examinar a diez voluntarios antes y despus de seguir un programa de ese tipo durante seis meses, sus pulsaciones, en latidos por minuto, dieron los siguientes registros: a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de la

reduccin del ritmo cardiaco antes y despus de los ejercicios? b) Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que los ejercicios son

efectivos?

Voluntario 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antes 73 77 68 62 72 80 76 64 70 72

Despus 68 72 64 60 71 77 74 60 64 68


Ejemplo2: Un mdico desea investigar si una droga tiene el efecto de bajar la presin sangunea en los usuarios. El mdico eligi al azar 15 pacientes mujeres y les tom la presin, luego les recet la medicina por un periodo de 6 meses, y al final del mismo nuevamente les tom la presin. Los resultados son como siguen:

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de la reduccin de la presin sangunea antes y despus de usar la droga?

b) Se puede decir que la antes de usar la droga la presin era mayor que despus de usarla , si alfa es 0.05?


Ho: D = 0 (La droga no tiene ningn efecto) H1: D >0 (La droga tiene efecto, la presin antes de usar la droga era mayor que despus de usarla).


Ejemplo 4: Para verificar la influencia de un cartel publicitario en las ventas de una marca de cerveza se ha seleccionado al azar una muestra de 7 bodegas en las que se registr el nmero de botellas vendidas en la ltima semana antes de colocar el cartel y dos semanas despus de colocar el cartel publico Los resultados se muestran a continuacin:

a) Calcular un intervalo de confianza al 95% de confianza para la diferencia de las ventas promedio semanales antes y despus de colocar el cartel publicitario.

b) Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el cartel influye en las ventas


Ho: sc - cc =D = 0 ( No tiene efecto el cartel) H1: sc - cc =D < 0 (El cartel tienen efecto en las ventas de la cerveza).

Interpretacin : El valor de P es 0,006 , se rechaza la hiptesis nula y se acepta la alternativa la cual indica que el cartel tiene efecto sobre la venta de la cerveza.


ESTIMACIN DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

Condiciones: n1 30 y n2 30

Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones.

2

22

1

11

2121 )()(

n

qp

n

qp

ppppZ

La distribucin muestral de esta dada por la estadstica de prueba

21 pp

Si la hiptesis nula Ho: p1 = p2 es cierta, entonces el estadstico mencionado anteriormente se convierte en:

21

2121 )()(

n

qp

n

qp

ppppZ

donde, p es estimado por 21

21

nn

xxp


Ejemplo1: En dos muestras de 150 hombres y 130 mujeres, el 27% y 35% respectivamente afirmaron que utilizaban tarjetas de crdito para comprar regalos de navidad. a) Calcule e interprete el intervalo de confianza del 99% para la diferencia poblacional de

hombres y mujeres que usaron tarjetas para comprar regalos de navidad. b) Podemos decir que los hombres utilizan mas la tarjetas de crdito que las mujeres, con

un nivel de significacin del 10%?

130

65.0)(35.0(

150

)73.0(27.0(58.235.027.0a) Solucin :

b)


Ejemplo2: Un mdico ha sugerido que un ataque cardaco es menos probable que ocurra en hombres que practican alguna clase de deporte. Se elige una muestra al azar de 300 hombres, de los cuales 100 practican alguna clase de deporte y de ellos slo 10 han sufrido un ataque cardaco. De los 200 que no practican deportes, 25 han sufrido ataques cardacos. Probar si los resultados de las muestras apoyan lo sugerido por el mdico. Si alfa es 0,05

Ho: p1 = p2 (las probabilidades de sufrir ataque cardaco son iguales para ambos grupos) Ha: p1 < p2 (la probabilidad de sufrir ataque cardaco es menor en hombres deportistas).


21

2121 )()(

n

qp

n

qp

ppppZ

21

21

nn

XXp

12.0200100

2510p

6281.0

200

)88.0)(12.0(

100

)88.0)(12.0(

)00()125.010.0(Z

1) Ho: p1 = p2 (las probabilidades de sufrir ataque cardaco son iguales para ambos grupos) Ha: p1 < p2 (la probabilidad de sufrir ataque cardaco es menor en hombres deportistas).

2) Establecer el nivel de significacin 0,05 3) Eleccin de la prueba estadstica

4) Calcular puntos crticos 5) Como -0,6281


Ejemplo3: Un profesor de Estadstica desea comparar el porcentaje de aprobados de la seccin A contra el porcentaje de aprobados de la seccin B. En la seccin A se tom una muestra de 26 estudiantes, de los cuales 16 haban aprobado, de la seccin B una muestra de 28 estudiantes revel 25 aprobados. Utilice un 99% de confiabilidad para comprobar si el porcentaje de aprobados de la seccin B es superior al de la seccin A.

Ejemplo.4: Un artculo del New York Times en 1987 report que se puede reducir el riesgo de sufrir ataques al corazn ingiriendo aspirina. Para llegar a esta conclusin el cronista se bas en los resultados de un experimento diseado, en donde participaron dos grupos de personas. A un grupo de 11,034 personas se le suministr una dosis diaria de una pastilla que no contena ninguna droga (un placebo), y de estos 189 sufrieron posteriormente ataques corazn, mientras que al otro grupo de 11,037 se les suministr una aspirina, y slo 104 lo sufrieron. Usando una prueba de hiptesis y un nivel de significancia del 1%,

considera Usted que el cronista del New York Times estaba en lo correcto?.


Suponga que tenemos dos poblaciones independientes, la poblacin 1 sigue una distribucin

y sobre la poblacin 2 sigue una distribucin

. Se toma una m.a. de cada poblacin de tamaos n1 y n2 respectivamente. El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 ) 100 %, para el

cociente de varianzas

Intervalo de Confianza para el cociente de varianzas:

El estadstico pivote utilizado es

que sigue una distribucin F de Fisher con n1 1 y n2 1 grados de libertad, el intervalo de confianza es:


MINITAB


STATA

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