PRUEBA DE HIPOTESIS

ACERCA DE MEDIAS DE DOS

POBLACIONES NORMALES

INDEPENDIENTES CON

VARIANZAS CONOCIDAS

DEFINICION: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población N(u1 σ1

2 ) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u2 σ2

2 ) donde σ12 y σ2

2 son conocidas. Supongamos que las poblaciones son independientes.

2

12

1

11

21

n

n

Xyn

n

X jj

ii YX

),(2

22

1

21

2121nn

uuNXX

PRUEBA DE HIPOTESIS BILATERALHipótesis:Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

)0(,:)0(,: 2121121210 uuuuHvsuuuuH

1)(0

2/

2

22

1

21

21

Z

nn

XXZC

2

22

1

21

21

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XX

nn

uuXXZ

PRUEBA DE HIPOTESIS UNILATERALHipótesis:Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: uuHvsuuH

1)(0

Z

nn

XXZC

2

22

1

21

21

2

22

1

21

21

nn

XXZ

Ejemplo: En la facultad de Ciencias Administrativas de la UCV, se selecciono una m. a. de 20 estudiantes (grupo A) de una población de estudiantes pertenecientes a familias en que ambos padres trabajan. Se selecciono también una m. a. de 16 estudiantes (grupo B) pertenecientes a familias en que solamente el padre trabaja. El análisis de los puntajes de rendimiento académico de los dos grupos son:

Grupo Promedio Mensual

A 14

B 17

La experiencia muestra que las poblaciones de puntajes para ambos grupos se aproximan a una normal, con varianzas σA

2 =36 y σB

2 =20, ¿Se puede concluir, con estos datos, que la media de la población de la que se selecciono el grupo A es inferior a la media de la población de la que se selecciono el grupo B?

Solución: Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica: Para α=0.05, en la tabla se encuentra:

Conclusión: Se rechaza Ho, pues Z=-1.7178<-1.645 y concluimos, que en la facultad de Ciencias Administrativas, los puntajes promedios generales de rendimiento de estudiantes que pertenecen a la familias en que ambos padres trabajan son inferiores a los de los estudiantes que pertenecen a familias en que solamente el padre trabaja

BABA uuHvsuuH :: 10

0.05

645.1:

:

ZRZC

ZZRZC

7178.1

16

20

20

36

714

2

22

1

21

21

nn

XXZ

645.1Z

PRUEBA DE HIPOTESIS

ACERCA DE MEDIAS DE DOS

POBLACIONES NORMALES

INDEPENDIENTES CON

VARIANZAS DESCONOCIDAS

DEFINICION: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población N(u1 , σ1

2 ) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u2 , σ2

2 ) donde σ12 y σ2

2 son desconocidas, tenemos sus respectivas medias y varianzas muéstrales:

1

)(

1

)(

2

1

22

22

2

12

1

1

21

21

1

11

22

11

n

YY

n

XX

nX

Sn

n

X

nX

Sn

n

X

jj

jj

ii

ii

A.- PRUEBA DE HIPOTESIS BILATERAL

A.1.- MUESTRAS GRANDES Y VARIANZAS

DESCONOCIDAS: n1 + n2 >30

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

)0(,:)0(,: 2121121210 uuuuHvsuuuuH

1)(0

2/

2

22

1

21

21

Z

n

S

n

S

XXZC

2

22

1

21

21

n

S

n

S

XXZ

A.2.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y

VARIANZAS DESCONOCIDAS : σ12 = σ2

2 = σ2

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: uuHvsuuH

1)(0

)2(, 212/ nntTC

2121

222

211

21

11

2

)1()1(

nnnn

SnSn

XXT

A.3.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DISTINTAS: σ1

2 ≠ σ22

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: uuHvsuuH

1)(0

)(,2/ gtTC

2

22

1

21

21

n

S

n

S

XXT

2

11

2

2

2

22

2

1

1

21

2

2

22

1

21

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

g

B.- PRUEBA DE HIPOTESIS UNILATERAL

B.1.- MUESTRAS GRANDES Y VARIANZAS

DESCONOCIDAS: n1 + n2 >30

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: uuHvsuuH

1)(0

Z

n

S

n

S

XXZC

2

22

1

21

21

2

22

1

21

21

n

S

n

S

XXZ

B.2.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y

VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO

IGUALES: σ12 = σ2

2 = σ2

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: uuHvsuuH

1)(0

)2(, 21 nntTC

2121

222

211

21

11

2

)1()1(

nnnn

SnSn

XXT

B.3.- MUESTRAS PEQUEÑAS n1 + n2 ≤30 y VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO DISTINTAS: σ1

2 ≠ σ22

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: uuHvsuuH

1)(0

)(, gtTC

2

22

1

21

21

nS

nS

XXT

2

11

2

2

2

22

2

1

1

21

2

2

22

1

21

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

g

CONTRASTE PARA LA

IGUALDAD DE VARIANZAS DE

DOS POBLACIONES

NORMALES

A.- CONTRASTE BILATERAL Hipótesis:Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:Región critica:

Conclusión: Se rechaza Ho si:

22

211

22

210 :: HvsH

1)(0

)1,1()1,1( 212

2

2

2

121)

21(2

2

2

1 nnFonnFC FSSF

SS

)1,1( 212

2

2

1 nnFFSS

)1,1()1,1( 21

221)

21(

nnFonnFC FF

)1,1(1

)1,1(:12

2

21)2

1()2

1(

nnnnNota

FFF

B.- CONTRASTE UNILATERAL Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

Conclusión: Se rechaza Ho si:

22

211

22

210 :: HvsH

1)(0

)1,1( 212

2

2

1 nnFC FSS

)1,1( 212

2

2

1 nnFFSS

)1,1( 21 nnFC F

Ejemplo: Dos técnicas de ventas son aplicados por dos grupos de vendedores; la primera (técnica A) por 12 vendedores y la segunda (técnica B) por 15 vendedores. Se espera que la técnica B da mejores resultados. Al final de un mes, se obtuvieron los siguientes resultados:

¿Hay diferencias significativas entre las ventas resultantes de las dos técnicas?

VENTAS

TECNICA A TECNICA B

MEDIAVARIANZA

78 45

82 70

Solución: Nos situamos en el caso de que la variable en estudio elegida en cada una de las dos poblaciones sea normal, N(uA, σA

2 ) y N(uB, σB2 ),

respectivamente, donde σA2 y σB

2 son desconocidas.

Como se trata de muestras pequeñas

(n1 + n2 =12+15=27<30), necesitamos comprobar estadísticamente si σA

2 y σB2 son iguales o no.

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

Luego la región critica es:

Conclusión: No se rechaza Ho, pues F=0.6429ɇC y concluimos que: σA

2 = σB2

221

220 :: BABA HvsH

0.05

29762.036.3

1

)11,14(

1)1,1(

1.3)14,11()1,1(

15,12,025.02

,05.0

,025.0,2/1

,025.0,2/

FnnF

FnnF

nn

BA

BA

BA

6429.070

452

2

B

A

S

SF

}1.329762.0{ FoFC

Ahora hacemos el contraste de medias: Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

Conclusión: No se rechaza Ho, pues T=-1.3446>-1.708 y concluimos, de que no hay evidencia de que la técnica B da mejores resultados que la técnica A

BABA uuHvsuuH :: 10

0.05

708.1)25(,)2(,

708.1)25(,)2(,,05.0

05.0

05.0

tnntTC

tnnt

BA

BA

3446.1

15

1

12

1

25

)70(14)45(11

8278

11

2

)1()1(

2121

222

211

21

nnnn

SnSn

XXT

Ejemplo: Una compañía quiere probar la resistencia de dos tipos de vigas de acero, A y B. Para esto toma una muestra de 15 vigas del tipo A y una muestra de 15 vigas del tipo B, obteniendo los siguientes resultados.

¿La resistencia media de los dos tipos de vigas es la misma?

TIPO MEDIA VARIANZA

AB

70.584.3

81.6280.5

Solución: Supongamos que la variable en estudio elegida en cada una de las dos poblaciones sea normal N(uA, σA

2 ) y N(uB, σB2 ),

respectivamente, donde σA2 y σB

2 son desconocidas.

Como se trata de muestras pequeñas

(nA + nB =30), necesitamos comprobar

estadísticamente si σA2 y σB

2 son iguales o no.

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

Luego la región critica es: Conclusión: Se rechaza Ho, pues F=0.2909ɇC y

concluimos que: σA2 ≠σB

2

221

220 :: BABA HvsH

0.05

3356.098.2

1

)14,14(

1)1,1(

98.2)14,14()1,1(

15,15,025.02

,05.0

,025.0,2/1

,025.0,2/

FnnF

FnnF

nn

BA

BA

BA

2909.05.280

6.812

2

B

A

S

SF

}98.23356.0{ FoFC

Ahora hacemos un contraste de igualdad de medias de poblaciones normales con varianzas desconocidas pero distintas con muestras pequeñas Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

BABA uuHvsuuH :: 10

1)(0

8087.2

15

5.280

15

6.81

3.845.7022

B

B

A

A

BA

n

S

n

S

XXT

Región Critica: El grado de libertad del estadígrafo del contraste T es:

Conclusión: Se rechaza Ho pues T=-2.8087<-2.069 y concluimos, de que hay evidencia de que los dos tipos de vigas tienen resistencias medias diferentes

235827.222705225.23

7396.582

2

16

15

5.280

16

15

6.81

15

5.280

15

6.81

2

11

22

2

2

2

2

22

2

1

1

21

2

2

22

1

21

g

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

g

069.2069.2069.2)(,

069.2)23(,)(,23025.02

2/

%5.22/

ToTgtTC

tgtgy

PRUEBA DE HIPOTESIS

ACERCA DE PROPORCIONES

DE DOS POBLACIONES

INDEPENDIENTES

DEFINICION: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli B(1, p1) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli B(1, p2). Supongamos que las poblaciones son independientes. Denotemos las proporciones muéstrales:

21

21

22

2

2

1

11

1

1

1

22

11

2

1

nn

XXpdonde

n

muestralaenexitodeNumero

n

X

n

n

muestralaenexitodeNumero

n

X

nn

jj

n

ii

Yp

Xp

CONTRASTE BILATERAL

Hipótesis:

Nivel de Significancia:

Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: ppHvspppH

21

21

11)1(

nnpp

ppZ

1)(0

2/

2/2/

zzC

zzozzC

CONTRASTE UNILATERAL

Hipótesis:

Nivel de Significancia:

Estadígrafo de Contraste:

Región critica:

211210 :: ppHvsppH

21

21

11)1(

nnpp

ppZ

1)(0

2/zzC

Ejemplo: Un evento sorprendente ocurrió durante la campaña para la alcaldía de Lima en 1983. La campaña de encuesta Datum informo que de 1078 votantes, 51% favorecía a Barnechea y 39% a Barrantes. En cambio en una encuesta realizada poco después por la compañía POP, de 950 personas 52% favorecía a Barrantes y 41% a Barnechea. Si quisiéramos comparar los porcentajes que favorecen a Barnechea en las dos muestras, ¿proporcionan los datos suficiente evidencia que indique que los datos fueron seleccionados de poblaciones distintas?.

Solución: Sea p1 y p2, las proporciones de votantes que respaldan a Barnechea en las poblaciones definidas por Datum y POP.

46.09501078

390550,41.0,950,51.0,1078 2211

ppnpn

Hipótesis: Nivel de Significancia: Estadígrafo de Contraste:

Región Critica:

211210 :: ppHvsppH

51.4

950

1

1078

1)46.01(46.0

41.051.0

11)1(

21

21

nnpp

ppZ

0.05

96.1,025.02

,05.0 2/ z

96.1

96.196.1

zC

zozC

Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula pues

z = 4.51>1.96 y concluimos, que los datos fueron seleccionados de poblaciones distintas

aceptaciondegionRe

96.12/ z 0 96.1

2/z

HrechazaSe0HrechazaSe

0

Hrechazaseno0

51.4Z025.0025.0