Cisaillement et Torsion

Chapitre IV: CisaillementDéfinition:

F

x

y

ε

couteau

zG

Ty

y

Une poutre est sollicitée au cisaillement si le torseur représentant les forcesde cohésion se réduit au centre de gravité G d’une section droite à:

⎩⎨⎧

=ℑ

02/ rr

r

z

y

G

F MT

i

La déformation se manifeste par un glissement de la section droite chargée par rapport à ses voisines

Remarques:1/ Il est impossible de charger une seule section ( l’outil à une épaisseur)2/ L’effort F et la réaction T ne sont pas directement opposés. Les plans des lignes d’action sont décalés de ε

Contraintes dans la section droite:

dS G

Fe

y

z

ε

Ty

My

Bilan des efforts appliqués+ Poids propre de la poutre négligé devant les forces de contact+ Fe: charge linéairement répartie suivant la largeur de la poutre+ Les efforts internes Fi agissant sur (S) donnant naissance sur une surface (dS) autour du point M à une contrainte tangentielle τ suivant l’axe d’action de Fe .

En ne tenant pas compte du phénomène de concentration des contraintes àl’endroit de l’application de la charge ainsi que la déformation locale,la répartition des contraintes est supposée uniforme sur (S).

Le torseur des efforts extérieurs s’écrit:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−ℑ

zFM

yF

ez

e

G

Fe εrr

rr

2/

L’équilibre du tronçon s’écrit:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−=ℑ+ℑ

∫0)(

0)(2/2/ rrr

rrr

zF

yFdS

e

eS

G

FeFiε

τ (1)

(2)

(2) Signifie Fe ε = 0 ⇒ ε = 0 (en réalité ε est ≈ 0,1 mm et Feε # 0)Dans le cas du cisaillement les contraintes normales à la section droite sont nulles.

Remarque:Si ε pas infiniment petit, la sollicitation est alors composée de flexion et de cisaillement.

Pour une répartition uniforme des contraintes, la valeur de la contrainte tangentielle moyenne est déduite de l’équation (1):

S

FFS

FdS

ee

eS

rr

r

=⇒=−⇒

=−∫

ττ

τ

0

0

Elasticité transversale

Fe

Ty

ε

j

La section (S1) se déplace dans sonplan parallèlement à la section (S2)et créé une dénivellation mesurée par jSi on admet que la droite joignant les points S1 et S2 rectiligne, la déformation peut se définir par:

εγ jtg =

; γ: angle de glissement

γ étant très petit on a: ε

γ j=

Loi d’élasticité en cisaillement (Hooke)

Le diagramme donnant la variation de la contrainte τ avec l’angle γ est une courbe d’allure générale analogue à la courbe de traction dans la phase linéaire (élastique) et la loi s’écrit:

γτ GS

T

S

F ye===

rr

G est nommé coefficient d ’élasticité transversale, vu qu’il intervient dans des déformation perpendiculaires à l’axe longitudinal de la pièce.On a généralement G < E, pour l’acier: G = 0,4 ELa loi de Hooke en cisaillement s’écrit donc:

εγ jGG

S

Ty==

r

Condition de résistance au cisaillement

Pour qu’un solide sollicité au cisaillement puisse travailler en toute sécuritéIl faut que:

gpe R

S

F≤=

r

τs

RR g

pg=avec

Rpg : résistance pratique au glissement

Rg: limite élastique au cisaillement déterminée par l’essai de torsions: coefficient de sécurité

Remarque:Les limites élastiques Rg et Re sont liées, à titre d’exemple on a:Rg = 0,5 Re pour les aciers doux et mi-durs et les alliages d’alluminiumRg = 0,8 Re pour les acier durs et très durs

Condition de rupture par cisaillement:

Si la pièce doit céder au cisaillement il faut que:

gre R

S

F≥=

r

τ

Rrg: résistance à la rupture par cisaillement

Chapitre V: TorsionDéfinition

Une poutre droite est sollicitée en torsion chaque fois que les actions aux extrémités (A et B) se réduisent à deux couples M et –M égaux et opposés d’axe la ligne moyenne Lm.

Exemple : tige de tournevis.

Limitations:De la définition précédente et des hypothèses de la RDM découlent les limitations suivantes:•Seules les poutres droites peuvent être sollicitées à la torsion. Les poutres courbes sont soumises à des sollicitations composées (M ne sera pas portépar la ligne moyenne).•La RDM ne peut étudier que la torsion de poutres de révolution pour lesquelles une section plane avant déformation le reste après déformation.

Etude de la déformation-Angle de torsionConstatations expérimentales

*Les sections droites avant déformation restent droites après déformation (planes et perpendiculaires à la ligne moyenne).*Les fibres ou génératrices initialement parallèles à la ligne moyenne s’enroulent suivant des hélices autour de cet axe. *La longueur des fibres restent sensiblement invariable ou constante (hypothèse des petites déformations). *Les sections droites tournent ou glissent en bloc les unes par rapport aux autres (rotations d’axe le ligne moyenne). *Les rayons GK restent droits dans le domaine élastique, mais s’incurvent dans le domaine plastique.

αx = angle de torsion entre les sections droites A et Gα= angle de torsion de la poutre.

Angle unitaire de torsionOn constate que:*Une génératrice C0D0, située à une distance ρ de l’axe, est déformée enC0D, arc d’hélice moulé sur un cylindre de rayon ρ.L’arc d’hélice est incliné d’un angle γ par rapport à C0D0.•Les section extrêmes ont tourné l’une par rapport à l’autre d’un angle α appeléangle de torsion relatif à la section qui a tourné.La relation liant γ et α est:

γραγ ≈==LDC

DDtg00

0 Dans le domaine élastiqueγ très petit

ρθγ =Lρθ = D’oùOn a:

θ est appelé angle unitaire de torsionUnité : rad/m ou rad/mm

Efforts intérieurs-Moment de torsion

On pratique une coupure fictive (S) dans la poutreafin de la diviser en deux tronçons pour faire apparaître et calculer (statique) les efforts intérieurs ou decohésion

Avec MT = M

Remarque:

Dans le cas de la torsion, tous les autres efforts intérieurs sont nuls;N = T = Mf = 0

Contraintes tangentielles de torsionEn torsion, et dans le cas des petites déformations, les contraintes normales σsont négligeables. Les contraintes dans la coupure (S) se réduisent à des contraintes tangentielles ou de cisaillement τ. A partir de la relation «τ = G γ » obtenue au chapitre « Cisaillement », on montre que la contrainte τM, en un point M quelconque de la coupure (S) est proportionnelle à la distance ρ = GM, entre le point et la ligne moyenne.

Remarque:tous les points situés sur un même cercle de centre G et de rayon ρ ont même contrainte. Les contraintes sont maximales à la périphérie :

τMaxi = G θ R pour ρMaxi = R

Relation entre MT et θ

Relation entre τ et MT

Condition de résistance à la torsion

Il caractérise la rigidité en torsion de la Section (S) de la poutre

Concentration de contraintes

D’après l’abaque on trouve Kts= 1.4

τ0 le plus grand est celui de la section de plus faible rayon.