UJI HIPOTESIS DUA POPULASI

UJI HIPOTESIS DUA POPULASIOleh: Rudi Salam

rudisalam@stis.ac.id - 11UJI DUA RATA-RATA(SAMPEL INDEPENDEN)Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

rudisalam@stis.ac.id - 2Sampel IndependenTerdapat dua sampel random yang bebas masing-masing berukuran n1 dan n2 diambil dari dua populasi dengan rata-rata 1 dan 2 dan varians 12 dan 22.Kita tahu bahwa variabel random

adalah berdistribusi normal.

rudisalam@stis.ac.id - 3Sampel IndependenHipotesis:

Statistik uji jika varians diketahui:Varians beda: Varians sama:

rudisalam@stis.ac.id - 4Sampel IndependenDaerah kritis uji dua arah Tolak H0 bila

Daerah kritis uji satu arahSisi kanan Tolak H0 bila

Sisi kiri Tolak H0 bila

rudisalam@stis.ac.id - 5Sampel IndependenStatistik uji jika varians tidak diketahui dan nilainya sama 1=2=:

di mana:

rudisalam@stis.ac.id - 6Sampel IndependenDaerah kritis uji dua arah Tolak H0 bila

Daerah kritis uji satu arahSisi kanan Tolak H0 bila

Sisi kiri Tolak H0 bila

rudisalam@stis.ac.id - 7Equal or unequal variance?Which case to use? Equal variance or unequal variance?

Whenever there is insufficient evidence that the variances are unequal, it is preferable to perform theequal variances t-test.

rudisalam@stis.ac.id - 8Equal or unequal variance?This is so, because for any two given samples:The number of degrees of freedom for the equal variances caseThe number of degrees of freedom for the unequal variances caseLarger numbers of degrees of freedom have the same effect as having larger sample sizes

rudisalam@stis.ac.id - 9Contoh 1Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan, dua bahan yang dilapisi. 12 potong bahan 1 diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. 10 potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (setelah disandi) sebanyak 85 satuan dengan standar deviasi 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan standar deviasi sampel 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05 keausan bahan 1 melampaui keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggap kedua populasi hampir normal dengan varians yang sama.

rudisalam@stis.ac.id - 10Solusi Contoh 1

rudisalam@stis.ac.id - 11Solusi Contoh 1

rudisalam@stis.ac.id - 122UJI DUA RATA-RATA(SAMPEL DEPENDEN)Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

rudisalam@stis.ac.id - 13Eksperimen Match PairedPreviously when comparing two populations, we examined independent samples.

If, however, an observation in one sample is matched with an observation in a second sample, this is called a matched pairs experiment.

rudisalam@stis.ac.id - 14IllustrasiIs there a difference between starting salaries offered to MBA grads going into Finance vs. Marketing careers? More precisely, are Finance majors offered higher salaries than Marketing majors?

In this experiment, MBAs are grouped by their GPA into 25 groups. Students from the same group (but with different majors) were selected and their highest salary offer recorded.

Heres how the data looks

rudisalam@stis.ac.id - 15IllustrasiThe numbers in black are the original starting salary data; the number in blue were calculated.

although a student is either in Finance OR in Marketing (i.e. independent), that the data is grouped in this fashion makes it a matched pairs experiment (i.e. the two students in group #1 are matched by their GPA rangethe difference of the means is equal to the mean of the differences, hence we will consider the mean of the paired differences as our parameter of interest:

rudisalam@stis.ac.id - 16IllustrasiDo Finance majors have higher salary offers than Marketing majors?

Since:

We want to research this hypothesis: H1:

(and our null hypothesis becomes H0: )

rudisalam@stis.ac.id - 17Pengamatan BerpasanganIngat variabel random:

mengikuti distribusi-t dengan dengan derajat bebas n-1, di mana:

rudisalam@stis.ac.id - 18Pengamatan BerpasanganHipotesis

Statistik uji

rudisalam@stis.ac.id - 19Pengamatan BerpasanganDaerah kritis uji dua arah Tolak H0 bila

Daerah kritis uji satu arahSisi kanan Tolak H0 bila

Sisi kiri Tolak H0 bila

rudisalam@stis.ac.id - 20Contoh 2Dalam makalahnya, J. A. Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah suntikan succinylcholine pada otot menggunakan panah dan senapan penangkap. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa adalah sbb:

rudisalam@stis.ac.id - 21Contoh 2Data:RusaWaktu suntikanAndrogen (ng/ml)di30 menit setelah suntikan12.767.024.2625.183.10-2.0832.685.442.7643.053.990.9454.105.211.1167.0510.263.2176.6013.917.3184.7918.5313.7497.397.910.52107.304.85-2.451111.7811.10-0.68123.903.74-0.161326.0094.0368.031467.4894.0326.551517.0441.7024.66

rudisalam@stis.ac.id - 22Contoh 2Anggap bahwa populasi androgen pada waktu suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal, uji pada tingkat signifikansi 0,05 apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.

rudisalam@stis.ac.id - 23Solusi Contoh 2Misalkan 1 dan 2 masing-masing adalah rata-rata konsentrasi androgen pada waktu suntikan dan 30 menit kemudian.Langkah uji hipotesis:H0 : 1 = 2 atau D = 1 - 2 = 0H1 : 1 2 atau D = 1 - 2 0 = 0,05Daerah kritis: t > t = t0,025 = 2,145 atau t < -t = -t0,025 = -2,145

rudisalam@stis.ac.id - 24Solusi Contoh 2Perhitungan : Rata-rata sampel dan standar deviasi untuk nilai di adalah:

Jadi,

Kesimpulan : Gagal tolak H0, tidak ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rata-rata kadar peredaran androgen.

rudisalam@stis.ac.id - 25LatihanDalam penelitian interrelationship between stress, dietary intake, and plasma ascorbic acid during pregnancy yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University Mei 1983, kadar asam askorbat plasma wanita hamil dibandingkan antara yang perokok dengan tidak perokok. 32 wanita pada tiga bulan terakhir kehamilan, yang tidak menderita penyakit yang berarti, dan berusia antara 15-32 tahun dipilih untuk penelitian ini. Sebelum pengambilan 20 ml darah, peserta dilarang sarapan, makan vitamin, dan makanan yang berkadar asam askorbat tinggi. Dari sampel darah, nilai asam askorbat plasma setiap peserta diukur dalam mg per 100 ml.rudisalam@stis.ac.id - 26

LatihanData:Nilai asam askorbat plasmaBukan perokokPerokok0,970,721,000,810,621,321,240,991,160,860,850,580,570,640,981,090,900,740,880,940,920,781,241,180,480,710,980,681,181,360,781,64Apakah dari data ini dapat disimpulkan adanya perbedaan antara kadar asam askorbat plasma perokok dengan bukan perokok? Anggap bahwa kedua kelompok data berasal dari populasi normal dengan varians yang tidak sama. Gunakan p-valuerudisalam@stis.ac.id - 27

3UJI BEDA PROPORSISekolah Tinggi Ilmu Statistik

rudisalam@stis.ac.id - 28Beda Dua ProporsiSekarang kita akan melihat uji hipotesis mengenai perbedaan di antara populasi di mana datanya adalah nominal (kategorik).

Jika datanya nominal, kalkulasi proporsi kejadian dari tiap-tiap jenis dari outcome. Jadi, parameter yang akan diuji adalah perbedaan di antara dua proporsi populasi: p1p2.

rudisalam@stis.ac.id - 29Beda Dua ProporsiUntuk melakukan inferensi mengenai parameter p1p2, kita ambil sampel dari populasi, kalkulasi sampel proporsinya dan melihat perbedaan diantara keduanya.

adalah estimator yang unbiased bagi p1p2.

x1 sukses dari ukuran sampel n1 dari populasi 1

rudisalam@stis.ac.id - 30Beda Dua ProporsiStatistik adalah mendekati distribusi normal jika ukuran sampelnya cukup besar sedemikian sehingga:

Karena mendekati normal, kita bisa menggambarkan distribusi normal dalam hal rata-rata dan variansnya

rudisalam@stis.ac.id - 31Beda Dua ProporsiSebab itu, variabel Z berikut juga akan mengikuti distribusi normal standar:

rudisalam@stis.ac.id - 32Beda Dua ProporsiKarena proporsi populasi (p1 & p2) tidak diketahui, maka standard error

juga tidak diketahui. Jadi, kita mempunyai dua estimator yang berbeda dari standar error , yang tergantung pada hipotesis nol.

rudisalam@stis.ac.id - 33Beda Dua ProporsiAda dua kasus:

rudisalam@stis.ac.id - 34Uji Beda ProporsiHipotesis (kasus 1)

Statistik uji

rudisalam@stis.ac.id - 35Uji Beda ProporsiDaerah kritis uji dua arah Tolak H0 bila

Daerah kritis uji satu arahSisi kanan Tolak H0 bila

Sisi kiri Tolak H0 bila

rudisalam@stis.ac.id - 36Contoh 3Pemungutan suara diambil dari suatu kota dan kabupaten di sekitarnya untuk menentukan apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan. Daerah industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten merasa bahwa rencana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui pembangunan pabrik tersebut.

rudisalam@stis.ac.id - 37Contoh 3Untuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara proporsi penduduk kota dan kabupaten yang mendukung rencana tersebut, suatu poll diadakan. Bila 120 dari 200 penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut dan 240 dan 500 penduduk kabupaten yang setuju, apakah anda sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang tidak setuju? Gunakan tingkat signifikansi 0,025.

rudisalam@stis.ac.id - 38Solusi Contoh 3Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya dari penduduk kota dan kabupaten yang menyetujui rencana tersebut.Langkah uji hipotesis:H0 : p1 = p2H1 : p1 > p2 = 0,025Daerah kritis: z > z = z0,025 = 1,96

rudisalam@stis.ac.id - 39Solusi Contoh 3Perhitungan:

Jadi,

rudisalam@stis.ac.id - 40Solusi Contoh 3Karena z-hitung = 2,9 > z-tabel=1,96, maka H0 ditolak.Jika menggunakan p-value:P(Z > 2,9) = 0,5 0,4981 = 0,0019 < 0,025(pakai tabel normal setengah luas)kesimpulan: menyetujui bahwa penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang tidak setuju.

rudisalam@stis.ac.id - 41Contoh 4A consumer packaged goods (CPG) company is test marketing two new versions of soap packaging. Version one (bright colors) is distributed in one supermarket, while version two (simple colors) is in another. Since the first version is more expensive, the brightly colored design had to outsell the simple design by at least 3%

rudisalam@stis.ac.id - 42Solusi Contoh 4Hipotesis penelitiannya adalah: H1: (p1p2) > 0,03Dan hipotesis nol-nya adalah: H0: (p1p2) = 0,03

Data:

Since the r.h.s. of the H0 equation isnot zero, its a case 2 type problem

rudisalam@stis.ac.id - 43Solusi Contoh 4Since this is a case 2 type problem, we dont need to calculate the pooled proportion, we can go straight to z:

Since our calculated z-statistic (1.15) does not fall into our rejection region ,

there is not enough evidence to infer that the brightly colored design outsells the other design by 3% or more.

rudisalam@stis.ac.id - 44LatihanDalam suatu penelitian mengenai fertilitas wanita yang kawin yang dilakukan oleh Martin OConnel dan Carolyn C. Rogers untuk kantor sensus AS pada 1979, dua kelompok istri yang belum punya anak usia 25 sampai 29 dipilih secara acak dan masing-masing ditanya apakah nantinya merencanakan akan punya anak. Satu kelompok dipilih dari wanita tadi yang baru kawin kurang dari 2 tahun dan yang lainnya dari wanita tadi yang telah kawin 5 tahun. Misalkan bahwa 240 dari 300 istri yang telah kawin kurang dari 2 tahun merencanakan akan punya anak kelak dibandingkan dengan 288 dari 400 istri yang telah kawin 5 tahun. Dapatkah disimpulkan bahwa proporsi isteri yang kawin kurang dari 2 tahun yang merencanakan akan punya anak lebih tinggi secara berarti daripada proporsi isteri yang telah kawin 5 tahun? Gunakan p-value

rudisalam@stis.ac.id - 45