Tim Kalkulus 2

Desember 2011

Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku:

f(x+P) = f(x); P adalah konstanta positif

Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).

Fungsi Periodik

Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4, 6,… karena

sin (x+2) = sin (x+4) = sin (x+6) = … = sin x

Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2/n

Periode dari tan x adalah Fungsi konstan mempunyai periode

sembarang bilangan positif

Contoh:

a.

b.

Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodik

f(x)

periode

periode

f(x)

x

x

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)

Kontinuitas

Contoh gambar kontinuitas

f(x)

x1 x2 x3 x4

x

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:

Definisi Deret Fourier

)1(...sincos2

)(1

0

nnn L

xnb

L

xna

axf

dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:

)3(......,3,2,1,0;sin)(1

)2(...)(1

;cos)(1

0

L

L

n

L

L

L

L

n

ndxL

xnxf

Lb

dxxfL

adxL

xnxf

La

Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka

dengan C sembarang bilangan real.

Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).

)5(...2

...,3,2,1,0;sin)(1

2 2)4(...)(

10

;cos)(1

LC

Cndx

L

xnxf

Lnb

LC

C

LC

Cdxxf

Ladx

L

xnxf

Lna

Teorema: Jika

1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L)

2.f(x) periodik dengan periode 2L

3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).

Syarat / Kondisi DirichletDeret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/

kondisi Dirichlet

maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :

1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L)

2. jika x adalah titik diskontinu

2

)()( xfxf

Contoh:

Tentukan deret Fourier dari

dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5)

10503

050)( periode

xuntuk

xuntukxf

Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x) untuk setiap x.

Contoh:

1.Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

2. Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka

aa

a

dxxfdxxf0

)(2)(

0)(

a

a

dxxf

a. Deret fourier dari fungsi genap:

Jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari an)

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)

L

L

n

L

L

L

n

dxL

xnxf

Lb

dxL

xnxf

Ldx

L

xnxf

La

0sin)(1

cos)(2

cos)(1

0

b. Deret fourier dari fungsi ganjil:

Jika f(x) fungsi ganjil maka an=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari bn)

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)

LL

L

n

L

L

n

dxL

xnxf

Ldx

L

xnxf

Lb

dxL

xnxf

La

0

sin)(2

sin)(1

0cos)(1

Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja.

Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:

a. f(x) fungsi ganjil

b.

Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:

a. f(x) fungsi genap

b.

L

nn dxL

xnxf

Lba

0

sin)(2

;0

0;cos)(2

0

n

L

n bdxL

xnxf

La

Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam;

a. Deret sinus setengah jangkauan

b. Deret cosinus setengah jangkauan

Contoh

Theorema

Deret fourier f(x) diintegrasikan dari a sampai x dan menghasilkan deret yang akan konvergen seragam terhadap

yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L dimana a dan x berada pada interval tersebut

DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL DARI DERET FOURIER

x

adxxf )(