Matematika EkonomiPertemuan 7 Elastisitas, Biaya Produksi dan Penerimaan, M k i P i Maksimum d Mi i dan Minimum Suatu Fungsi

Elastisitas Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap perubahan faktor yang mempengaruhinya (harga) (harga). h = %P b h j l h yang di i t h %Perubahan jumlah diminta % Perubahan harga barang tsb

Elastisitas Apabila terjadi perubahan harga dari P0 menjadi P1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q1. Persentase perubahan harga: P1 P0 . 100% P0 Persentase perubahan jumlah barang: Q1 Q0 . 100% Q0

Elastisitasp = h = Q . P0 P Q0 Dengan d iki D demikian, apabila di bil li it d i bil diambil limit dari Q/P sehingga akan menjadi: p = h = dQ . P0 dP Q0

Jenis jenis Jenis-jenis ElastisitasNilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah . h > 1 permintaan elastis h = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal) h < 1 permintaan inelastis (tidak elastis)

Contoh SoalBila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 2Q berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20? 2Q, P = 50 2Q dP = -2 dQ dQ = -1 dP 2 Bila P = 20 maka Q = 15 sehingga elastisitasnya: 20, h = dQ . P0 dP Q0 h = -1 . 20 2 15 h = -2/3 Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif, permintaan inelastis karena < 1 sehingga apabila h = |-2/3| = 2/3

Biaya Produksi dan Penerimaan1. Biaya Produksi: y Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC atau FC adalah jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, b b berapapun tingkat output yang i k dihasilkan. Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. Biaya Total (Total Cost) = TC adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel. TC = FC + VC C C C

Biaya Produksi Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) = AFC adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output output. AFC = TFC / Q Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC adalah y y , y g pada setiap p semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan p unit output. AVC = TVC / Q dimana kurva AVC diturunkan dari kurva TVC. Biaya T t l R t R t (Average Total C t) = ATC Bi Total Rata-Rata (A T t l Cost) biaya t t l bi total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi. ATC = TC / Q Biaya Marjinal (Marginal Cost) = MC tambahan biaya total karena ada tambahan biaya produksi 1 unit output. MC = dTC dQ Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.

-

Contoh SoalBila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh rata rata persamaan: AC = 25 8Q + Q2, tentukan j jumlah output y g diproduksi p p yang p pada saat AC minimum. Turunan pertama AC = 0 -8 + 2Q = 0 Q=4 Turunan kedua AC = 2 AC > 1, sehingga p pada Q = 4, maka AC minimum.

Penerimaan a. b. c. Penerimaan (revenue) adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan Total (Total Revenue) = TR p penerimaan total p produsen dari hasil p j penjualan outputnya. TR = P . Q Penerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual. AR = TR / Q = P Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output. MR = dTR dQ

Jenis Pasar1. Pasar Persaingan Sempurna g p ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. 2. Pasar Monopoli ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain ya g e ya g sehingga produsen yang menyaingi se gga p oduse dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi diproduksi.

Penerimaan dan Elastisitas Konsep p p penerimaan seringkali dihubungkan g g dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah: 1. 1 TR menaik selama elastisitas h ik l l i i harga h d i dari kurva permintaan D lebih besar dari satu. 2. 2 TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu. 3 3. TR menurun pada dae a d a a kurva e uu daerah dimana u a permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu

Contoh SoalBila fungsi p g permintaan ditunjukkan oleh p j persamaan P = 20 0.4Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen? TR = P . Q = (20 0.4Q) Q = 20Q 0.4Q2 TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan turunan keduanya < 0 t k d TR = MR = 20 0.8Q = 0 Q = 25 Turunan kedua = -0.8 0.8 < 0, sehingga pada Q = 25, penerimaan total maksimum sebesar 250. Pada Q = 25, TR = 250 maka P = 10

Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi F iA. Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui bagian fungsi g g g g yang menarik dan bagian yang menurun. ( ) , p Contoh: f(x) = 3x2 + 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik dan d untuk setiap x < 0 f( ) merupakan f k i 0, f(x) k fungsi i yang menurun

Turunan Pertama Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih kecil dari setiap ( ) nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum p ( ) lokal pada x = a, bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif. Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan Pertamaa. b. Setiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai p g ( ) p p p y titik-titik maksimum atau minimum dengan cara: Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f(x) = 0. f (x) Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f(x) dari (+) ke (-) f (x) () menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f(x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal. lokal Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a a, maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi y = 2x 2 3 + 3 2 36 + 4 3x 36x 4. y y = 6x2 + 6x 36 = 0 :6 y = x2 + x 6 = 0 (x + 3)(x 2) = 0 x1 = -3 dan x2 = 2 Untuk setiap x < -3 nilai y > 0 (+) dan untuk setiap -3 0 Tes tidak dapat dilakukan bila f(a) = 0 f (a)

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari y = 1/3 x3 2x2 5x +2 y = x2 4x 5 = 0 (x 5)(x + 1) = 0 X1 = 5 dan x2 = -1 Untuk x = -1 y y < 0 Untuk x = 5 y > 0

maksimum pada x = -1 minimum pada x = 5

Keuntungan Produsen Keuntungan merupakan selisih antara seluruh g p penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: = TR TC Keuntungan yang diperoleh akan maksimum apabia d = 0 dan d2 < 0 dQ dQ2 atau MR = MC dan dMR < dMC dQ dQ Untuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.

Contoh SoalBila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR = 100Q 4Q2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, maka tentukan jumlah output yang harus 20Q diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum. = TR TC = 100Q 4Q2 50 20Q = 80Q 4Q2 50 akan maksimum bila: 1. d/dQ = 0 80 8Q = 0 Q = 10 2. d2/dQ2 < 0 -8 < 0 syarat terpenuhi Atau MR = MC MR = turunan TR = 100 -8Q MC = turunan TC = 20 100 8Q = 20 Q = 10 2. dMR < dMC dQ dQ -8 < 0 syarat terpenuhi

Contoh Soal 2Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q2 25Q + 500 p g yang p p g g per y + 600/Q. Berapakah keuntungan maksimum y g dapat diperoleh bila harga barang p unitnya adalah P = 100? AC = 1/3 Q2 25Q + 500 + 600/Q TC = AC . Q = 1/3 Q3 25Q2 + 500Q + 600 MC = turunan dari TC = Q2 50Q + 500 MR = P = 100 Keuntungan maksimum didapat apabila: 1. MR = MC 100 = Q2 50Q + 500 Q2 50Q + 400 = 0 (Q 10)(Q 40) = 0 Q1 = 40 dan Q2 = 10 2. dMR < dMC dQ dQ untuk Q = 40 dMR < dMC dQ dQ untuk Q = 10 dMR > dMC tidak memenuhi syarat dQ dQ TR = 40 x 100 = 4000 TC = 1/3 (40)3 25(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3 = TR TC = 2066 2/3

Tugas 31. 1 Cari hasil dari: a. b. 2. Cari turunan pertama dari: a. y = x2 +2x-10 b. b y = (x+1)(x+2) c. y = 1/(x2 +5) d. d y = l (2 10) log(2x+10)