PENDIDIKAN DASAR MATEMATIKA

Program Pendidikan Matematika

HIMPUNANKelompok 2:

Sintya Widyanti Putri (4101412085)Abidatul Muarifah (4101412036)Dian Puspitasari (4101412052)Rosiana Nur Fazri (4101412050)

HIMPUNANPengertian Himpunan

Notasi dan Anggota Himpunan

Cara Menyatakan Himpunan

Macam-macam Himpunan

Hubungan Antar Himpunan

Diagram Venn

Operasi Himpunan

Sifat-sifat pada Operasi Himpunan

• Pengertian Himpunan :

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Kumpulan yang bukan himpunan:1. Kumpulan makanan lezat2. Kumpulan lukisan indah3. Kumpulan wanita cantik

Kumpulan yang merupakan himpunan:1. Kumpulan gunung-gunung di Jawa

Tengah2. Kumpulan hewan pemakan daging3. Kumpulan bilangan cacah ganjil

Notasi dan Anggota Himpunan

• Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

• Anggota atau elemen adalah setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan. Anggota dinotasikan dengan ϵ dan bukan anggota dinotasikan ϵ

• Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Cara Menyatakan Himpunan

1. Dengan kata-katacontoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}

2. Dengan notasi pembentuk himpunancontoh : P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {X 10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}.

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanyacontoh : P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Macam-macam Himpunan

1) Himpunan KosongHimpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau Ø .contoh himpunan kosong :

1. R = {x | x < 1, x ϵ C}2. A = Himpunan bilangan ganjil yang habis

dibagi duacontoh bukan himpunan kosong :3. B = Himpunan bilangan prima genap4. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul

2)Himpunan SemestaHimpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta dilambangkan dengan S.Contoh :

T = {4,6,8} Himpunan semestanya dapat berupa :

S = {bilangan asli}S = {bilangan cacah}S = {bilangan genap positif kurang

dari 10}

3)Himpunan Berhingga

Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir.

Contoh :P= {bilangan cacah kurang dari 6}Atau P = {0,1,2,3,4,5}

Himpunan P jumlah anggotanya dapat dihitungyaitu sebanyak 6 buah.

4)Himpunan Tak Berhinggasuatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu.Contoh :P = {bilangan genap}Ditulis P= {2,4,6,8,....}

Diagram Venn• Diagram venn adalah suatu gambar lingkaran atau

ellips yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan.Contoh: Diagram Venn

P={2,3,4,5}

Untuk himpunan semesta, diagram yang digunakan biasanya memakai bentuk persegi panjang. Dan nama himpunan semestanya atau S ditulis di pojok kiri atas.

P

• 2• 3• 4• 5

Contoh:T={5,6,7,8}U={9,10}S={5,6,7,8,9,10}

Diagram Venn: T US

• 5• 6• 7• 8

• 9•10

Hubungan Antar Himpunan

• Himpunan Lepas/Saling Lepas/Saling AsingDua buah himpunan dikatakan himpunan lepas apabila kedua himpunan anggota-anggotanya tidak ada yang sama atau tidak berkaitan(saling lepas)

Contoh:C={4,5,6} D= {1,2}

Himpunan C dan D dikatakan himpunan lepas, karena tidak ada anggotanya yang sama. Hubungan himpunan lepas biasanya dilambangkan dengan “ //”

• Himpunan Tidak Saling Lepas/ Berpotongan

Dua buah himpunan dikatakan himpunan tidak saling lepas bila kedua himpunan tersebut anggota-anggotanya ada yang sama atau ada keterkaitan (berpotongan)Contoh:F={a,b,c} G={c,d,e}Ditulis dengan notasi o

•Himpunan di Dalam HimpunanHimpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis AcB jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis AcB ↔ xϵA maka xϵB

AB

Banyaknya anggota himpunan bagian dapat dicari dengan menggunakan rumus :

N=2ⁿDimana: N=jumlah anggota himpunan bagian

n= jumlah anggota himpunan

Contoh:Himpunan O= {4,5,6} jadi jumlah anggota himpunan O adalah sebanyak 3 atau n=3.

Banyaknya anggota himpunan bagian adalah N= 2ⁿ= 23 = 8

Yaitu terdiri atas :{4,5,6}{4}{5}{6}{4,5}{4,6}{5,6}{ }

Catatan : Himpunan kosong selalu menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan.

•Himpunan Bagian SejatiA disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika AcB dan B c A.contoh:Diketahui A ={0,2,4,6} B={0,2,4,6,8} C={x| x bilangan cacah genap kurang dari 9}Jelas bahwa:

1. A himpunan bagian sejati B2. Ø bukan himpunan bagian sejati CDalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan AcB dan sebutan C himpunan bagian sejati D ditulis dengan CcD.

•Dua Himpunan yang SamaHimpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B ↔ AcB dan BcA. Contoh :

K={7,8,9} L={7,8,9} himpunan K dan L dikatakan sebagai himpunan yang sama, karena anggotanya tepat sama (7,8,9)

Hubungan himpunan yang sama biasanya dilambangkan dengan “=“

•Dua Himpunan yang EkivalenHimpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis AB jika dan hanya jika:1. n(A) = n(B), untuk A dan B himpunan berhingga.2. A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B

himpunan tak berhingga.Contoh:D= {4,5,6} E= {d,e,f}Himpunan D dan E dikatakan Ekivalen, karena tidak ada anggotanya yang sama tapi jumlah anggotanya sama yaitu 3.Atau dapat dikatakan n(D)=n(E).Ditulis dengan notasi &

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis n(2A) = 2k.

•Himpunan KuasaHimpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2A.Contoh :• A = {2,4}, maka n(A) = 2

2A = {{2}, {4}, {2,4}}, n(2A)=4• B = {1,3,5), maka n(B) = 3

2C = {, {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n(2C) = 8.

Dari contoh – contoh di atas dapat disimpulkan :

OPERASI HIMPUNAN

1. Irisan Dua Himpunan Irisan (intersect) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A ∩ B = {x | x ϵ A dan x ϵ B}

• Menentuka irisan dua himpunan:a) Jika himpunan yang satu merupakan

himpunan bagian dari yang lain.Misalnya A dan B merupakan suatu

himpunan, dimana B merupakan himpunan bagian dari A(BcA) maka:

Contoh:A={1,2,3,4,5}B={3,4,5}A ∩B={3,4,5}=B

A ∩B=B

b) Jika kedua himpunan samaMisalnya T dan U merupakan suatu himpunan,dimana T dan U adalah dua himpunan yang sama (T=U) maka:

Contoh:T={6,7,8,9} U={7,9,6,8}T ∩U={6,7,8,9}=T=U

T ∩U=T=U

c) Jika kedua himpunan saling lepasMisalnya T dan U meruopakan suatu himpunan, dimana T dan U adalah dua himpunan yang saling lepas atau saling asing (T//U) maka:

Contoh:T={1,2,3,4}U={5,6}T ∩U={ }

T ∩U={ }

d) Jika kedua himpunan tidak saling lepasMisalnya T dan U merupakan suatu himpunan, dimana T dan U adalah dua buah himpunan tidak saling lepas, maka:

Contoh:T={1,2,3,4} U={3,4,5,}T∩U={3,4,}

P∩Q= himpunan yang anggotannya adalah anggota sekutu dari P dan Q

2. Gabungan Dua HimpunanMisalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis AUB adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B.

Gabungan himpunan A dan B dapat dinotasikan:

AUB = {x| xϵA atau xϵB}

Menentukan gabungan dari dua Himpunan:a. Jika himpunan yang satu merupakan himpunan

bagian yang lain misalnya P dan Q merupakan suatu himpunan, Q

adalah himpunan bagian P atau (Q c P) maka:

Contoh:P={6,7,8,9,10} Q={7,8,9}PUQ={6,7,8,9,10}

PUQ=P

b. Jika kedua himpunan samamisalnya P dan Q merupakan suatu himpunan, dimana P sama dengan Q atau (P=Q) maka:

Contoh:P={6,7,8} Q={8,7,6}PUQ={6,7,8}=P=Q

PUQ=P=Q

c. Jika kedua himpunan saling lepas/saling asingMisalnya Pdan Q merupakan sebuah himpunan, dimana P dan Q merupakan himpunan saling lepas/saling asing maka:

Contoh:P={4,6,8} Q={5,7,9}P UQ={4,5,6,7,8,9}

P UQ= himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari anggota-anggota Pdan Q

d. Jika kedua himpunana tidak saling lepas/berpotonganMisalnya P dan Q merupakan suatu himpunan, dimana P dan Q adalah himpunan yang tidak saling lepas dan himpunan yang satu bukan merupakan himpunan bagian yang lain, maka:

Contoh:P={5,7,9} Q={4,5,6}P U Q={4,5,6,7,9}

P U Q = himpunan yang anggota-anggotanyamerupakan gabungan dari anggota-

anggota P saja, anggota Q saja atau anggota P dan Q

3. Komplemen Jika P adalah suatu himpunan dan S adalah himpunan semesta, maka yang disebut komplemen dari himpunan P (P’) terhadap S adalah himpunan semua anggota di dalam himpunan semesta yang bukan menjadi anggota P.Komplemen dapat ditulis dengan simbol ( ‘ )Contoh:

S={3,4,5,6,7} P={4,5}P’={3,6,7}

4. Selisih Dua HimpunanMisalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B.Selisih dua himpunan dapat dinotasikan

Contoh:A={4,5,6,7} B={3,4}A-B={5,6,7}

A-B = {x| xϵA, xϵB}

5. Perkalian Dua HimpunanMisalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a ϵA dan bϵB. Perkalian dua himpunan dapat dinotasikan:

Contoh:Diketahui A={a,b} dan B={1,2,3},maka1. A X B ={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}2. B X A ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}Ternyata AXB=BXA

AxB = {(a,b)| aϵA, bϵB}

Sifat-sifat Operasi pada Himpunan1. Idempoten 6. Komplement

a. A ∩ A = A a. A U A’= Ub. A U A = A b. A ∩A’=Ø

2. Asosiatif c. (A’)’=Aa. (A ∩ B)∩C = A ∩(B ∩C) d. U’=Øb. (A U B)UC = A U (B U C) 7. De Morgan

3. Komutatif a. (A U B)’=A’ ∩B’a. A ∩B=B ∩A b. (A ∩B)’=A’U B’b. A U B= B U A 8. Absorpsi

4. Distributif a. A ∩(A U B)=Aa. A U(B ∩C)=(A U B) ∩(A U C) b. A U (A ∩B)=Bb. A ∩ (B U C)=(A ∩ B) U (A ∩ C)

5. Identitasa. A U Ø=Ab. A U U= Uc. A ∩ Ø= Ød. A ∩ U= A

Latihan Soal 1. Jika himpunan A B dengan n(A) = 11 dan

n(B) = 18, maka n ( A B ) = . . .Jawab:

n ( A ) = 11n ( B ) = 18Setiap A B, maka A B = ASehingga n ( A B ) = n ( A )n ( A B ) = 11

2. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa gemar

matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa dalam kelas adalah . . .Jawab:

n(M) = 17 orangn(F) = 15 orangn(M F ) = 8 orangn( M F ) = n(M) + n(F) – n(M F ) = 17 + 15 – 8 = 32 – 8 = 24 orang

3. Dalam satu kelas terdapat 40 siswa, 12 orang di antaranya senang biola, 32 orang senang gitar, dan 10 orang senang keduanya. Banyak siswa yang tidak senang keduanya adalah….

Jawab : Ditanya : n(BG)c ?n(B) =Biola = 12 orang, n(G)=Gitar = 32 orangn( BG ) = Biola dan Gitar = 10 orang.Jlh Siswa di kelas = 40 orang.Jlh siswa = n(B) +n(G) – n( BG) +n(BG)c

40 = 12 + 32 - 10 + n(BG)c

n(BG)c = 40 – 34= 6

4. Dari 40 orang anak, ternyata 24 anak gemar minum teh, 18 anak gemar minum kopi, 5 anak tidak gemar minum keduanya Banyaknya anak yang gemar keduanya adalah . . .

Jawab: Jumlah anak = 40 orangTeh = 24 orangKopi = 18 orangTeh dan Kopi = x orangTidak keduanya = 5 orang(24 + 18 ) - x = 40 - 5 42 - x = 35 x = 42 - 35 = 7

Yang gemar keduanya adalah 7 anak.

5. Diagram Venn dibawah ini menunjukkan banyak siswa yang mengikuti ekstra kurikuler basket dan voli dalam sebuah kelas. Banyak siswa yang tidak gemar basket adalah . . .

Jawab :Yang tidak gemar basket

= 12 + 7 = 19

SBasket

voli

8 3 127

Selamat Belajar Yaa….

Thank’s 4 Ur Attention

اللقاء إليعليكم والسالم

وبركاته ورحمةالله