DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANAPertemuan 11

1. HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

2. DERIVATIF DARI DERIVATIF

3. HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

HAKEKAT DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

• Kuesion diferensial Δ𝑦

Δ𝑥adalah lereng sesungguhnya (the true slope)

3. Kuesion Diferensial

2. Derivatif

1. Diferensial

• Suku 𝑑𝑦 diferensial dari y, mencerminkan taksiran perubahan pada variabel terikat y berkanaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

• Suku 𝑑𝑥 diferensial dari x, yang mencerminkan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

• Derivatif 𝑑𝑦

𝑑𝑥adalah lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x)

• Lereng taksiran bisa > atau < atau = lereng sesungguhnya (the true slope).

Untuk fungsi 𝒚 = 𝒇(𝒙) yang linear, lereng taksiran = lereng sesungguhnya (berapa pun ∆𝒙). Maka derivatif fungsi linear = kuosien

diferensialnya 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝚫𝒚

𝚫𝒙

𝒚 = 𝒇(𝒙)

∆𝒙 = 𝒅𝒙

∆𝒚 = 𝒅𝒚

R

P

Q

Perubahan 𝑥 = ∆𝑥Perubahan y = ∆𝑦Diferensial 𝑥 = 𝑑𝑥Diferensial y = 𝑑𝑦

Kuosien diferensial =Δ𝑦

Δ𝑥

Derivatif =𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝚫𝒚

𝚫𝒙

x

y

0

x

y

0

Untuk fungsi y = f(x) yang non-linear,

• Semakin besar ∆𝑥 semakin besar pula perbedaan antara lereng taksiran (Derivatif , 𝑑𝑦

𝑑𝑥)

dan lereng sesungguhnya (Kuosien diferensial, Δ𝑦

Δ𝑥).

• Dengan ∆𝑥 yang semakin besar, semakin besar pula perbedaan antara dy dan ∆𝑦,

sehingga semakin besar pula perbedaan 𝒅𝒚

𝒅𝒙dan

𝚫𝒚

𝚫𝒙

• Begitu juga sebaliknya.

x

y

0

Gambar di atas,(a) Menunjukkan lereng taksiran > lereng sesungguhnya.

dy > ∆𝑦 sehingga 𝒅𝒚

𝒅𝒙>

𝚫𝒚

𝚫𝒙(derivatif > kuosien difrensial)

(b) Menunjukkan lereng taksiran < lereng sesungguhnya.

dy < ∆𝑦 sehingga 𝒅𝒚

𝒅𝒙<

𝚫𝒚

𝚫𝒙(derivatif < kuosien difrensial)

𝑄𝑅 = ∆𝑦𝑄𝑆 = 𝑑𝑦

S

P

R

Q

∆𝑥 = 𝑑𝑥

(a) x

y

0

𝑄𝑅 = 𝑑𝑦𝑄𝑆 = ∆𝑦

S

P

R

Q

∆𝑥 = 𝑑𝑥

(b)

DERIVATIF DARI DERIVATIF

Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari satu kali

Fungsi awal : y = f(x)

Turunan pertama : 𝑦′ ≡ 𝑓′(𝑥) ≡𝑑𝑦

𝑑𝑥≡

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥

Turunan kedua : 𝑦′′ ≡ 𝑓′′(𝑥) ≡𝑑2𝑦

𝑑𝑥2≡

𝑑2𝑓(𝑥)

𝑑𝑥2

Turunan ketiga : 𝑦′′′ ≡ 𝑓′′′(𝑥) ≡𝑑3𝑦

𝑑𝑥3≡

𝑑3𝑓(𝑥)

𝑑𝑥3

Turunan ke-n : 𝑦𝑛 ≡ 𝑓𝑛(𝑥) ≡𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛≡

𝑑𝑛𝑓(𝑥)

𝑑𝑥𝑛

Contoh:𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 7

𝑦′′ =𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 6𝑥 − 8

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 8𝑥 + 5

𝑦′′′ =𝑑3𝑦

𝑑𝑥3= 6

𝑦′𝑣 =𝑑4𝑦

𝑑𝑥4= 0

HUBUNGAN ANTAR FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

• Derivatif pertama dapat menentukan apakah kurva dari fungsi tsb menaik atau menurun.

• Derivatif pertama dapat pula menunjukkan titik ekstrem sebuah fungsi non linear.

1. Jika derivatif pertama 𝒇′ 𝒂 > 𝟎 (lereng kurvanya positif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menaik pada kedudukan x = a.

2. Jika derivatif pertama 𝒇′ 𝒂 < 𝟎 (lereng kurvanya negatif pada x = a), maka y = f(x) adalah fungsi menurun pada kedudukan x = a.

Lereng nol

y=f(x)Lereng negatifFungsi menurun

Lereng positifFungsi menaik

Lereng nol

y

x0

𝑓′ 𝑎 > 0, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑚𝑒𝑛𝑎𝑖𝑘

𝑓′ 𝑎 < 0, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑟𝑢𝑛

Uji Tanda• Jika derivatif pertamanya f ’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik

ekstrimnya.

Untuk menentukan apakah titik ekstrim tsb merupakan titik maksimum atau titik minimum, perlu diuji tanda terhadap f ’(a)=0.• Jika f ’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik

ekstrimnya adalah titik maksimum.• Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) >0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya

adalah titik minimum.

Contoh:Tentukan apakah 𝑦 = 𝑓 𝑥 =

1

3𝑥3 − 4𝑥2 + 12𝑥 − 5 merupakan fungsi menaik

ataukah fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7. Selidiki pula untuk x = 6

𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 12

𝑓′ 5 = 52 − 8 5 + 12 = −3 (< 0), berarti y = f(x) menurun pada x = 5𝑓′ 7 = 72 − 8 7 + 12 = 5(> 0), berarti y = f(x) menaik pada x = 7𝑓′ 6 = 62 − 8 6 + 12 = 0, berarti y = f(x) berada pada di titik ekstrim pada x = 6

Karena f ’(x) < 0 untuk x < 6 dan f ’(x) > 0 untuk x > 6, titik ekstrim pada x = 6 ini adalah titik minimum.

Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Pada fungsi parabolik,• Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik

ekstrimnya.• Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrimnya

Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’=0 Jika 𝑦′′ < 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya

adalah titik maksimum. Jika 𝑦′′ > 0 : Bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya

adalah titik minimum.

Contoh:𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟖

𝒚′′ = 𝒇′′ 𝒙 = 𝟐

Parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐• Letak titik ekstrimnya pada turunan pertama y’=0. Pada y’=0, nilai variabel bebas x = 4

dan nilai y = - 4 • Jenis titik ekstrimnya adalah titik minimum yang berarti bentuk parabolanya terbuka ke

atas karena turunan kedua y”> 0

(4, -4)

𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 12

𝑦′ = 2𝑥 − 8

𝑦′′ = 2

12

2

6

4

8

10

-4

-8

-2

-6

2 4 6 8

Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Pada fungsi kubik,• Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik-titik

ekstrimnya.• Derivatif kedua berguna untuk mengetahui jenis titik-titik

ekstrimnya dan menentukan titik beloknya.

Fungsi kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’=0 Jika 𝑦′′ < 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦′ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika 𝑦′′ > 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦′ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y”=0

Contoh:

𝒚 = 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖

𝒚′′ = 𝒇′′ 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟔

Jika 𝒚′ = 𝟎,

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎(𝐱 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) = 𝟎𝒙𝟏 = 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟐 = 𝟒

Untuk 𝐱 = 𝒙𝟏 = 𝟐

𝒚 =𝟏

𝟑(𝟐)𝟑−𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟖 𝟐 − 𝟑 = 𝟑, 𝟔𝟕

[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim maksimum]

𝒚′′ = 𝟐 𝟐 − 𝟔 = −𝟐 < 𝟎[Derivatif kedua negatif]

Untuk 𝐱 = 𝒙𝟐 = 𝟒

𝒚 =𝟏

𝟑(𝟒)𝟑−𝟑 𝟒 𝟐 + 𝟖 𝟒 − 𝟑 = 𝟐, 𝟑𝟑

[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik ekstrim minimum]

𝒚′′ = 𝟐 𝟒 − 𝟔 = 𝟐 > 𝟎[Derivatif kedua positif]

Lanjutan...

𝒚 = 𝒇 𝒙 =𝟏

𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑

𝒚′ = 𝒇′ 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖

𝒚′′ = 𝒇′′ 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟔

Jika 𝒚′′ = 𝟎,2𝒙 − 𝟔 = 𝟎𝒙 = 𝟑

Untuk 𝐱 = 𝟑

𝒚 =𝟏

𝟑(𝟑)𝟑−𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟖 𝟑 − 𝟑 = 𝟑

[Fungsi kubik y=f(x) berada di titik belok]

𝒚′ = 𝟑𝟐 − 𝟔 𝟐 + 𝟖 = −𝟏 < 𝟎[Derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]

Jadi fungsi kubik 𝑦 =1

3𝑥3 − 3𝑥2 + 8𝑥 − 3 berada di:

• Titik maksimum pada koordinat (2; 3,67)• Titik belok pada koordinat (3; 3)• Titik minimum pada koordinat (4; 2,33)

2 4

2

4

6

8

6

-2

-4

-6

(2; 3,67)

(3, -1)

(4; 2,33)

(3, 3)𝑦 =

1

3𝑥3 − 3𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑦′′ = 2𝑥 − 6𝑦′ = 𝑥2 − 6𝑥 + 8

y

x

Terima Kasih