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Semana 11 [1/35]
Curvas en el espacio
October 21, 2007
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [2/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = ‖d~rdt
(t)‖ =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/‖d~rdt
(t)‖,
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [3/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = ‖d~rdt
(t)‖ =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/‖d~rdt
(t)‖,
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [4/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = ‖d~rdt
(t)‖ =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/‖d~rdt
(t)‖,
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [5/35]
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante
~v(t) =d~rdt
(t), v(t) = ‖d~rdt
(t)‖ =dsdt
(t), T (t) =~v(t)v(t)
=d~rdt
(t)/‖d~rdt
(t)‖,
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [6/35]
Acerca del vector tangente
Si ~σ es la parametrización natural entonces
T (s) =d~σ
ds(s)
debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.
Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ(τ )/‖
d~r1
dτ(τ )‖ =
d~rdt
(θ(τ ))dθ
dτ(τ )/‖
d~rdt
(θ(τ ))‖|dθ
dτ(τ )| = signo
(
dθ
dτ
)
T (θ(τ )).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [7/35]
Acerca del vector tangente
Si ~σ es la parametrización natural entonces
T (s) =d~σ
ds(s)
debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.
Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ(τ )/‖
d~r1
dτ(τ )‖ =
d~rdt
(θ(τ ))dθ
dτ(τ )/‖
d~rdt
(θ(τ ))‖|dθ
dτ(τ )| = signo
(
dθ
dτ
)
T (θ(τ )).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [8/35]
Acerca del vector tangente
Si ~σ es la parametrización natural entonces
T (s) =d~σ
ds(s)
debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.
Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ(τ )/‖
d~r1
dτ(τ )‖ =
d~rdt
(θ(τ ))dθ
dτ(τ )/‖
d~rdt
(θ(τ ))‖|dθ
dτ(τ )| = signo
(
dθ
dτ
)
T (θ(τ )).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [9/35]
Acerca del vector tangente
Si ~σ es la parametrización natural entonces
T (s) =d~σ
ds(s)
debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.
Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ(τ )/‖
d~r1
dτ(τ )‖ =
d~rdt
(θ(τ ))dθ
dτ(τ )/‖
d~rdt
(θ(τ ))‖|dθ
dτ(τ )| = signo
(
dθ
dτ
)
T (θ(τ )).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [10/35]
Acerca del vector tangente
Si ~σ es la parametrización natural entonces
T (s) =d~σ
ds(s)
debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.
Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ(τ )/‖
d~r1
dτ(τ )‖ =
d~rdt
(θ(τ ))dθ
dτ(τ )/‖
d~rdt
(θ(τ ))‖|dθ
dτ(τ )| = signo
(
dθ
dτ
)
T (θ(τ )).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [11/35]
Acerca del vector tangente
Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:
(1) T (t) = d~rdt (t)/‖
d~rdt (t)‖ donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular
T (s) =d~σ
dscon s tal que ~σ(s) = P.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [12/35]
Acerca del vector tangente
Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:
(1) T (t) = d~rdt (t)/‖
d~rdt (t)‖ donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular
T (s) =d~σ
dscon s tal que ~σ(s) = P.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [13/35]
Acerca del vector tangente
Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:
(1) T (t) = d~rdt (t)/‖
d~rdt (t)‖ donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular
T (s) =d~σ
dscon s tal que ~σ(s) = P.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [14/35]
Curvatura
CurvaturaDefinimos la curvatura de la curva Γ mediante
κ(s) :=
∥
∥
∥
∥
dTds
(s)
∥
∥
∥
∥
(1)
Cuando κ(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,
R(s) :=1
κ(s), N(s) :=
dTds
(s)
/∥
∥
∥
∥
dTds
(s)
∥
∥
∥
∥
(2)
R
R
Figure: vector tangente y curvatura.Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [15/35]
Curvatura
CurvaturaDefinimos la curvatura de la curva Γ mediante
κ(s) :=
∥
∥
∥
∥
dTds
(s)
∥
∥
∥
∥
(1)
Cuando κ(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,
R(s) :=1
κ(s), N(s) :=
dTds
(s)
/∥
∥
∥
∥
dTds
(s)
∥
∥
∥
∥
(2)
R
R
Figure: vector tangente y curvatura.Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [16/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dTds
=dTdt
·dtds
=dTdt
/
dsdt
.
En consecuencia
κ(t) =
∥
∥
∥
∥
dTdt
(t)
∥
∥
∥
∥
/
dsdt
(t)
R(t) =1
κ(t)
N(t) =dTdt
/∥
∥
∥
∥
dTdt
∥
∥
∥
∥
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [17/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dTds
=dTdt
·dtds
=dTdt
/
dsdt
.
En consecuencia
κ(t) =
∥
∥
∥
∥
dTdt
(t)
∥
∥
∥
∥
/
dsdt
(t)
R(t) =1
κ(t)
N(t) =dTdt
/∥
∥
∥
∥
dTdt
∥
∥
∥
∥
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [18/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dTds
=dTdt
·dtds
=dTdt
/
dsdt
.
En consecuencia
κ(t) =
∥
∥
∥
∥
dTdt
(t)
∥
∥
∥
∥
/
dsdt
(t)
R(t) =1
κ(t)
N(t) =dTdt
/∥
∥
∥
∥
dTdt
∥
∥
∥
∥
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [19/35]
Vector binormal y torsión
Vector binormalDefinimos el vector binormal B mediante
B = T × N.
B
N
T
T
N
B
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [20/35]
Torsión
Notemos que
dBds
=dTds
× N + T ×dNds
= κN × N + T ×dNds
= T ×dNds
,
Así dBds⊥T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
‖B‖2) = 0,
lo cual implica que dBds⊥B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [21/35]
Torsión
Notemos que
dBds
=dTds
× N + T ×dNds
= κN × N + T ×dNds
= T ×dNds
,
Así dBds⊥T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
‖B‖2) = 0,
lo cual implica que dBds⊥B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [22/35]
Torsión
Notemos que
dBds
=dTds
× N + T ×dNds
= κN × N + T ×dNds
= T ×dNds
,
Así dBds⊥T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
‖B‖2) = 0,
lo cual implica que dBds⊥B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [23/35]
Torsión
Notemos que
dBds
=dTds
× N + T ×dNds
= κN × N + T ×dNds
= T ×dNds
,
Así dBds⊥T .
Pero sabemos que
B ·dBds
=dds
(
‖B‖2) = 0,
lo cual implica que dBds⊥B.
Luego dBds es proporcional a N.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [24/35]
Torsión
TorsiónDefinimos la torsión asociada a la curva como
τ (s) = −N(s) ·dBds
(s).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [25/35]
Torsión
TorsiónDefinimos la torsión asociada a la curva como
τ (s) = −N(s) ·dBds
(s).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [26/35]
Fórmulas de Frenet
ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = κN,
(II) dNds = −κT + τB,
(III) dBds = −τN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsión es una curva plana.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [27/35]
Fórmulas de Frenet
ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = κN,
(II) dNds = −κT + τB,
(III) dBds = −τN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsión es una curva plana.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [28/35]
Fórmulas de Frenet
ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = κN,
(II) dNds = −κT + τB,
(III) dBds = −τN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsión es una curva plana.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [29/35]
Fórmulas de Frenet
ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = κN,
(II) dNds = −κT + τB,
(III) dBds = −τN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsión es una curva plana.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [30/35]
Fórmulas de Frenet
ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = κN,
(II) dNds = −κT + τB,
(III) dBds = −τN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsión es una curva plana.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [31/35]
Fórmulas de Frenet
ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:
(I) dTds = κN,
(II) dNds = −κT + τB,
(III) dBds = −τN,
Algunas aplicaciones:
1 Una curva con curvatura nula es una recta.
2 Una curva sin torsión es una curva plana.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [32/35]
Integrales sobre curvas
Integral de una función sobre una curvaSea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una funcióncontinua definida en Ω ⊇ Γ.
Definimos la integral de f sobre la curva Γ mediante:
∫
Γ
fdℓ :=
∫ b
af (~r (t))
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
dt , (3)
donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [33/35]
Integrales sobre curvas
Integral de una función sobre una curvaSea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una funcióncontinua definida en Ω ⊇ Γ.
Definimos la integral de f sobre la curva Γ mediante:
∫
Γ
fdℓ :=
∫ b
af (~r (t))
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
dt , (3)
donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [34/35]
Integrales sobre curvas
Integral de una función sobre una curvaSea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una funcióncontinua definida en Ω ⊇ Γ.
Definimos la integral de f sobre la curva Γ mediante:
∫
Γ
fdℓ :=
∫ b
af (~r (t))
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
dt , (3)
donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [35/35]
Aplicaciones
Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] → R3, con densidad demasa dada por la función contínua ρ(x , y , z):
M =
∫
Γ
ρdℓ.
Centro de masa de una curva Γ ⊆ R3, cuya densidad lineal de masa esρ : R3 → R, se define como el punto de coordenadas:
xG =1M
∫
Γ
xρ dℓ, yG =1M
∫
Γ
yρ dℓ, zG =1M
∫
Γ
zρ dℓ,
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [36/35]
Aplicaciones
Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] → R3, con densidad demasa dada por la función contínua ρ(x , y , z):
M =
∫
Γ
ρdℓ.
Centro de masa de una curva Γ ⊆ R3, cuya densidad lineal de masa esρ : R3 → R, se define como el punto de coordenadas:
xG =1M
∫
Γ
xρ dℓ, yG =1M
∫
Γ
yρ dℓ, zG =1M
∫
Γ
zρ dℓ,
Curvas en el espacio