Definicion de Espacio Vectorial

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ecuaciones vectoriales

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PROFESORA: M.C: BRENDA EDITH MORALES FERNANDEZALUMNOS: ALEJANDRO MARTINEZ ALARCONARQUIMEDES SAGASTUME QUIONESMATERIA: ALGEBRA LINEALCARRERA: INGENIERIA ELECTRICATAREA: UNIDAD 4; ESPACIOS VECTORIALESFECHA ENTREGA: 30/10/20014

4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIALPropiedades del producto de un vector por un escalar. Asociativa: ( v) = ( ) v Distributivas: Respecto de la suma de escalares: ( + ) v = v + v Respecto de la suma de vectores: (u + v) = u + v Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1 v = v para cualquier vector v.Definicin: espacio vectorial.Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarn vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Fsica.)Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, segn sean los escalares.Ejemplos de espacios vectoriales.1) El espacio, formado por los vectores de n componentes (x1,. . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. n Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . ., 0). No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendr dentro de). n 2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado 2 con coeficientes reales: P2 = {ax2+ bx + c: a, b, c } Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; tambin podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Vemoslo: Suma: (ax2+ bx + c) + ( ax2+ bx + c) = (a+a) x2 + (b+b) x + (c+c) que pertenece a P2.Producto por un escalar real: , (ax + bx + c) = ax2 + bx + c que pertenece a P2.Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0 No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podr ser un polinomio complejo que no pertenece a P2. 3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no est garantizado que el resultado est en G. En efecto, consideremos los polinomios p = x3+x2+x+1, q = x3+x2+x+1 Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES- En lgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas caractersticas especficas.-Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S V.-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que tambin son espacios vectoriales.S

V

El criterio para la verificacin de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que tambin pertenezcan a S.Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:1. S no es un conjunto vaco.2. S es igual o est incluido en V.3. La suma es ley de composicin interna.4. El producto es ley de composicin externa. -Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

4.3 COMBINACIN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.

COMBINACIN LINEAL

Sean v1, v2,, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2++anvn, donde a1, a2,,an son escalares se denomina una combinacin lineal de v1, v2,,vn.

Una combinacin lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2,, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinacin lineal de lo mismo. Es decir, para todo vV, existen escalares a1, a2,, an tales que v=a1v1+a2v2++anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2,, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2,, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2,, vk. Es decir donde a1, a2,, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2,, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen {v1, v2,, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3Sea v1= (2,-1,4) y v2= (4,1,6). Entonces H=gen {v1, v2}= {v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. Cul es la apariencia de H? si v=(x, y,z)H, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

4.3 INDEPENDENCIA LINEALEn el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta seccin se define el significado de independencia lineal y se muestra su relacin con la teora de sistemas homogneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relacin espacial entre los vectores, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuacin de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinacin no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinacin lineal no son ambos cero). Qu tienen de especial los vectores?La respuesta a esta pregunta es ms difcil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene .

Se ha escrito el vector cero como una combinacin lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuacin y los tres vectores de la otra ecuacin tienen una relacin ms cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En trminos generales, se tiene la importante definicin a continuacin presentada.

Definicin: sean v1, v2,, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que lois vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2,, cn no todos ceros tales que.

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2,.., vn son linealmente independientes si la ecuacin c1v1+c2v2++cnvn=0 se cumple nicamente para c1=c2==cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinacin lineal de v1, v2,,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2,, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2,, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintamente.

Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un mltiplo escalar del otro.

Demostracin: primero suponga que v2=cv1 para algn escalar c0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c10, entonces dividiendo entre c1 se obtiene v1+ (c2/c1) v2=0, o sea,

Es decir, v1 es un mltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c20 y, por lo tanto, v2=0=0v1.

4.4 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VEXTORIAL, CAMBIO DE BASEDefinicin: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo ms pequeo posible). 2. Adems es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo ms grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinacin lineal de ella, de manera nica para cada vector. Ejemplos de bases.1. La base cannica (o base natural, o base estndar) de n:e1 = (1, 0,. . . ,0) e2 = (0, 1,. . . ,0) ........ en = (0,0,. . . ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de n porque todo vector (a1, a2,. . ., an) n se puede expresar Como combinacin lineal de ellos: (a1, a2,. . ., an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1) 2. Otra base de 3 distinta de la cannica: (1, 0,0), (1, 1,0), (0, 2,-3). - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinacin lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos , que satisfagan (a,b,c)= (1, 0,0)+ (1, 1,0)+ (0, 2,-3) Se obtiene un sistema: + = a +2 =b -3 = c En las incgnitas , , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. 3. (1, 2,3), (4, 5,6), (7, 8,9) en no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo). 4. Base de un subespacio. En 3, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3, 2,0), (1, 1,0) forman una base de S.- Son linealmente independientes, porque uno no es mltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genrico de S, de la forma (a, b, 0), lo podemos poner como combinacin lineal de (3, 2,0), (1, 1,0). Para ello, buscamos , b que cumplan(a,b,0)= (3,2,0)+ (1,1,0) 3 + = a S. C. D. para cualesquiera a,b. 2 = b 5. Extender un conjunto para que forme base. Es (1,0,2), (1,0,1) base de 3?- Son linealmente independientes, porque uno no es mltiplo del otro. - Pe