Semana 11 [1/35]

Curvas en el espacio

October 21, 2007

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [2/35]

Velocidad, rapidez y vector tangente

Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.

Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante

~v(t) =d~rdt

(t), v(t) = ‖d~rdt

(t)‖ =dsdt

(t), T (t) =~v(t)v(t)

=d~rdt

(t)/‖d~rdt

(t)‖,

donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.

r(t)

T(t)

v(t)

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [3/35]

Velocidad, rapidez y vector tangente

Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.

Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante

~v(t) =d~rdt

(t), v(t) = ‖d~rdt

(t)‖ =dsdt

(t), T (t) =~v(t)v(t)

=d~rdt

(t)/‖d~rdt

(t)‖,

donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.

r(t)

T(t)

v(t)

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [4/35]

Velocidad, rapidez y vector tangente

Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.

Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante

~v(t) =d~rdt

(t), v(t) = ‖d~rdt

(t)‖ =dsdt

(t), T (t) =~v(t)v(t)

=d~rdt

(t)/‖d~rdt

(t)‖,

donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.

r(t)

T(t)

v(t)

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [5/35]

Velocidad, rapidez y vector tangente

Velocidad, rapidez y vector tangente~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.

Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente,respectivamente, mediante

~v(t) =d~rdt

(t), v(t) = ‖d~rdt

(t)‖ =dsdt

(t), T (t) =~v(t)v(t)

=d~rdt

(t)/‖d~rdt

(t)‖,

donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.

r(t)

T(t)

v(t)

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [6/35]

Acerca del vector tangente

Si ~σ es la parametrización natural entonces

T (s) =d~σ

ds(s)

debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.

Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.

Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces

d~r1

dτ(τ )/‖

d~r1

dτ(τ )‖ =

d~rdt

(θ(τ ))dθ

dτ(τ )/‖

d~rdt

(θ(τ ))‖|dθ

dτ(τ )| = signo

(

dθ

dτ

)

T (θ(τ )).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [7/35]

Acerca del vector tangente

Si ~σ es la parametrización natural entonces

T (s) =d~σ

ds(s)

debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.

Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.

Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces

d~r1

dτ(τ )/‖

d~r1

dτ(τ )‖ =

d~rdt

(θ(τ ))dθ

dτ(τ )/‖

d~rdt

(θ(τ ))‖|dθ

dτ(τ )| = signo

(

dθ

dτ

)

T (θ(τ )).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [8/35]

Acerca del vector tangente

Si ~σ es la parametrización natural entonces

T (s) =d~σ

ds(s)

debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.

Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.

Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces

d~r1

dτ(τ )/‖

d~r1

dτ(τ )‖ =

d~rdt

(θ(τ ))dθ

dτ(τ )/‖

d~rdt

(θ(τ ))‖|dθ

dτ(τ )| = signo

(

dθ

dτ

)

T (θ(τ )).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [9/35]

Acerca del vector tangente

Si ~σ es la parametrización natural entonces

T (s) =d~σ

ds(s)

debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.

Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.

Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces

d~r1

dτ(τ )/‖

d~r1

dτ(τ )‖ =

d~rdt

(θ(τ ))dθ

dτ(τ )/‖

d~rdt

(θ(τ ))‖|dθ

dτ(τ )| = signo

(

dθ

dτ

)

T (θ(τ )).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [10/35]

Acerca del vector tangente

Si ~σ es la parametrización natural entonces

T (s) =d~σ

ds(s)

debido a que ‖d~σds (s)‖ = 1.

Parametrización natural:Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.

Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces

d~r1

dτ(τ )/‖

d~r1

dτ(τ )‖ =

d~rdt

(θ(τ ))dθ

dτ(τ )/‖

d~rdt

(θ(τ ))‖|dθ

dτ(τ )| = signo

(

dθ

dτ

)

T (θ(τ )).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [11/35]

Acerca del vector tangente

Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:

(1) T (t) = d~rdt (t)/‖

d~rdt (t)‖ donde t es tal que ~r (t) = P.

(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular

T (s) =d~σ

dscon s tal que ~σ(s) = P.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [12/35]

Acerca del vector tangente

Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:

(1) T (t) = d~rdt (t)/‖

d~rdt (t)‖ donde t es tal que ~r (t) = P.

(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular

T (s) =d~σ

dscon s tal que ~σ(s) = P.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [13/35]

Acerca del vector tangente

Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:

(1) T (t) = d~rdt (t)/‖

d~rdt (t)‖ donde t es tal que ~r (t) = P.

(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular

T (s) =d~σ

dscon s tal que ~σ(s) = P.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [14/35]

Curvatura

CurvaturaDefinimos la curvatura de la curva Γ mediante

κ(s) :=

∥

∥

∥

∥

dTds

(s)

∥

∥

∥

∥

(1)

Cuando κ(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,

R(s) :=1

κ(s), N(s) :=

dTds

(s)

/∥

∥

∥

∥

dTds

(s)

∥

∥

∥

∥

(2)

R

R

Figure: vector tangente y curvatura.Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [15/35]

Curvatura

CurvaturaDefinimos la curvatura de la curva Γ mediante

κ(s) :=

∥

∥

∥

∥

dTds

(s)

∥

∥

∥

∥

(1)

Cuando κ(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,

R(s) :=1

κ(s), N(s) :=

dTds

(s)

/∥

∥

∥

∥

dTds

(s)

∥

∥

∥

∥

(2)

R

R

Figure: vector tangente y curvatura.Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [16/35]

Utilizando la regla de la cadena se tiene

dTds

=dTdt

·dtds

=dTdt

/

dsdt

.

En consecuencia

κ(t) =

∥

∥

∥

∥

dTdt

(t)

∥

∥

∥

∥

/

dsdt

(t)

R(t) =1

κ(t)

N(t) =dTdt

/∥

∥

∥

∥

dTdt

∥

∥

∥

∥

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [17/35]

Utilizando la regla de la cadena se tiene

dTds

=dTdt

·dtds

=dTdt

/

dsdt

.

En consecuencia

κ(t) =

∥

∥

∥

∥

dTdt

(t)

∥

∥

∥

∥

/

dsdt

(t)

R(t) =1

κ(t)

N(t) =dTdt

/∥

∥

∥

∥

dTdt

∥

∥

∥

∥

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [18/35]

Utilizando la regla de la cadena se tiene

dTds

=dTdt

·dtds

=dTdt

/

dsdt

.

En consecuencia

κ(t) =

∥

∥

∥

∥

dTdt

(t)

∥

∥

∥

∥

/

dsdt

(t)

R(t) =1

κ(t)

N(t) =dTdt

/∥

∥

∥

∥

dTdt

∥

∥

∥

∥

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [19/35]

Vector binormal y torsión

Vector binormalDefinimos el vector binormal B mediante

B = T × N.

B

N

T

T

N

B

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [20/35]

Torsión

Notemos que

dBds

=dTds

× N + T ×dNds

= κN × N + T ×dNds

= T ×dNds

,

Así dBds⊥T .

Pero sabemos que

B ·dBds

=dds

(

‖B‖2) = 0,

lo cual implica que dBds⊥B.

Luego dBds es proporcional a N.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [21/35]

Torsión

Notemos que

dBds

=dTds

× N + T ×dNds

= κN × N + T ×dNds

= T ×dNds

,

Así dBds⊥T .

Pero sabemos que

B ·dBds

=dds

(

‖B‖2) = 0,

lo cual implica que dBds⊥B.

Luego dBds es proporcional a N.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [22/35]

Torsión

Notemos que

dBds

=dTds

× N + T ×dNds

= κN × N + T ×dNds

= T ×dNds

,

Así dBds⊥T .

Pero sabemos que

B ·dBds

=dds

(

‖B‖2) = 0,

lo cual implica que dBds⊥B.

Luego dBds es proporcional a N.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [23/35]

Torsión

Notemos que

dBds

=dTds

× N + T ×dNds

= κN × N + T ×dNds

= T ×dNds

,

Así dBds⊥T .

Pero sabemos que

B ·dBds

=dds

(

‖B‖2) = 0,

lo cual implica que dBds⊥B.

Luego dBds es proporcional a N.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [24/35]

Torsión

TorsiónDefinimos la torsión asociada a la curva como

τ (s) = −N(s) ·dBds

(s).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [25/35]

Torsión

TorsiónDefinimos la torsión asociada a la curva como

τ (s) = −N(s) ·dBds

(s).

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [26/35]

Fórmulas de Frenet

ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:

(I) dTds = κN,

(II) dNds = −κT + τB,

(III) dBds = −τN,

Algunas aplicaciones:

1 Una curva con curvatura nula es una recta.

2 Una curva sin torsión es una curva plana.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [27/35]

Fórmulas de Frenet

ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:

(I) dTds = κN,

(II) dNds = −κT + τB,

(III) dBds = −τN,

Algunas aplicaciones:

1 Una curva con curvatura nula es una recta.

2 Una curva sin torsión es una curva plana.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [28/35]

Fórmulas de Frenet

ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:

(I) dTds = κN,

(II) dNds = −κT + τB,

(III) dBds = −τN,

Algunas aplicaciones:

1 Una curva con curvatura nula es una recta.

2 Una curva sin torsión es una curva plana.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [29/35]

Fórmulas de Frenet

ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:

(I) dTds = κN,

(II) dNds = −κT + τB,

(III) dBds = −τN,

Algunas aplicaciones:

1 Una curva con curvatura nula es una recta.

2 Una curva sin torsión es una curva plana.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [30/35]

Fórmulas de Frenet

ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:

(I) dTds = κN,

(II) dNds = −κT + τB,

(III) dBds = −τN,

Algunas aplicaciones:

1 Una curva con curvatura nula es una recta.

2 Una curva sin torsión es una curva plana.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [31/35]

Fórmulas de Frenet

ProposiciónSe tienen las siguientes relaciones:

(I) dTds = κN,

(II) dNds = −κT + τB,

(III) dBds = −τN,

Algunas aplicaciones:

1 Una curva con curvatura nula es una recta.

2 Una curva sin torsión es una curva plana.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [32/35]

Integrales sobre curvas

Integral de una función sobre una curvaSea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una funcióncontinua definida en Ω ⊇ Γ.

Definimos la integral de f sobre la curva Γ mediante:

∫

Γ

fdℓ :=

∫ b

af (~r (t))

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(t)

∥

∥

∥

∥

dt , (3)

donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [33/35]

Integrales sobre curvas

Integral de una función sobre una curvaSea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una funcióncontinua definida en Ω ⊇ Γ.

Definimos la integral de f sobre la curva Γ mediante:

∫

Γ

fdℓ :=

∫ b

af (~r (t))

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(t)

∥

∥

∥

∥

dt , (3)

donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [34/35]

Integrales sobre curvas

Integral de una función sobre una curvaSea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una funcióncontinua definida en Ω ⊇ Γ.

Definimos la integral de f sobre la curva Γ mediante:

∫

Γ

fdℓ :=

∫ b

af (~r (t))

∥

∥

∥

∥

d~rdt

(t)

∥

∥

∥

∥

dt , (3)

donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [35/35]

Aplicaciones

Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] → R3, con densidad demasa dada por la función contínua ρ(x , y , z):

M =

∫

Γ

ρdℓ.

Centro de masa de una curva Γ ⊆ R3, cuya densidad lineal de masa esρ : R3 → R, se define como el punto de coordenadas:

xG =1M

∫

Γ

xρ dℓ, yG =1M

∫

Γ

yρ dℓ, zG =1M

∫

Γ

zρ dℓ,

Curvas en el espacio

Curvas en el espacio Semana 11 [36/35]

Aplicaciones

Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] → R3, con densidad demasa dada por la función contínua ρ(x , y , z):

M =

∫

Γ

ρdℓ.

Centro de masa de una curva Γ ⊆ R3, cuya densidad lineal de masa esρ : R3 → R, se define como el punto de coordenadas:

xG =1M

∫

Γ

xρ dℓ, yG =1M

∫

Γ

yρ dℓ, zG =1M

∫

Γ

zρ dℓ,

Curvas en el espacio