Curvas en el espacio - dim.

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Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente ~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente, respectivamente, mediante
~v(t) = d~r dt
(t) = ds dt
= d~r dt
(t),
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente ~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente, respectivamente, mediante
~v(t) = d~r dt
(t) = ds dt
= d~r dt
(t),
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente ~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente, respectivamente, mediante
~v(t) = d~r dt
(t) = ds dt
= d~r dt
(t),
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Velocidad, rapidez y vector tangente
Velocidad, rapidez y vector tangente ~r : [a, b] → Rn una parametrización regular de una curva simple Γ.
Definimos el vector velocidad, la rapidez y el vector tangente, respectivamente, mediante
~v(t) = d~r dt
(t) = ds dt
= d~r dt
(t),
donde s : [0, L(Γ)] → R representa la función de longitud de arco.
r(t)
T(t)
v(t)
Acerca del vector tangente
T (s) = d~σ
Parametrización natural: Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ (τ )/
d~r1
dτ (τ ) =
Acerca del vector tangente
T (s) = d~σ
Parametrización natural: Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ (τ )/
d~r1
dτ (τ ) =
Acerca del vector tangente
T (s) = d~σ
Parametrización natural: Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ (τ )/
d~r1
dτ (τ ) =
Acerca del vector tangente
T (s) = d~σ
Parametrización natural: Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ (τ )/
d~r1
dτ (τ ) =
Acerca del vector tangente
T (s) = d~σ
Parametrización natural: Recorrer la curva Γ con velocidad constante unitaria.
Si ~r1(τ ) = ~r (θ(τ )) con θ una reparametrización, entonces
d~r1
dτ (τ )/
d~r1
dτ (τ ) =
Acerca del vector tangente
Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:
(1) T (t) = d~r dt (t)/
d~r dt (t) donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular
T (s) = d~σ
Curvas en el espacio
Acerca del vector tangente
Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:
(1) T (t) = d~r dt (t)/
d~r dt (t) donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular
T (s) = d~σ
Curvas en el espacio
Acerca del vector tangente
Así hay dos formas de calcular el vector tangente a Γ en el punto P ∈ Γ:
(1) T (t) = d~r dt (t)/
d~r dt (t) donde t es tal que ~r (t) = P.
(2) Calcular la parametrización en longitud de arco ~σ(s) y calcular
T (s) = d~σ
Curvas en el espacio
Curvatura
κ(s) :=
(1)
Cuando κ(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,
R(s) := 1
κ(s) , N(s) :=
dT ds
Curvas en el espacio Semana 11 [15/35]
Curvatura
κ(s) :=
(1)
Cuando κ(s) > 0 definimos el radio de curvatura y el vector normal,
R(s) := 1
κ(s) , N(s) :=
dT ds
Curvas en el espacio Semana 11 [16/35]
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dT ds
= dT dt
· dt ds
= dT dt
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dT ds
= dT dt
· dt ds
= dT dt
Utilizando la regla de la cadena se tiene
dT ds
= dT dt
· dt ds
= dT dt
Vector binormal y torsión
B = T × N.
Torsión
= T × dN ds
Curvas en el espacio
Torsión
= T × dN ds
Curvas en el espacio
Torsión
= T × dN ds
Curvas en el espacio
Torsión
= T × dN ds
Curvas en el espacio
Torsión
τ (s) = −N(s) · dB ds
(s).
Torsión
τ (s) = −N(s) · dB ds
(s).
Fórmulas de Frenet
(I) dT ds = κN,
(III) dB ds = −τN,
Curvas en el espacio
Fórmulas de Frenet
(I) dT ds = κN,
(III) dB ds = −τN,
Curvas en el espacio
Fórmulas de Frenet
(I) dT ds = κN,
(III) dB ds = −τN,
Curvas en el espacio
Fórmulas de Frenet
(I) dT ds = κN,
(III) dB ds = −τN,
Curvas en el espacio
Fórmulas de Frenet
(I) dT ds = κN,
(III) dB ds = −τN,
Curvas en el espacio
Fórmulas de Frenet
(I) dT ds = κN,
(III) dB ds = −τN,
Curvas en el espacio
Integrales sobre curvas
Integral de una función sobre una curva Sea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una función continua definida en ⊇ Γ.

dt , (3)
donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.
Curvas en el espacio
Integrales sobre curvas
Integral de una función sobre una curva Sea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una función continua definida en ⊇ Γ.

dt , (3)
donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.
Curvas en el espacio
Integrales sobre curvas
Integral de una función sobre una curva Sea Γ una curva simple y regular en Rn, y sea f : Rn → R una función continua definida en ⊇ Γ.

dt , (3)
donde ~r : [a, b] → Rn es una parametrización regular de Γ.
Curvas en el espacio
Aplicaciones
Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] → R3, con densidad de masa dada por la función contínua ρ(x , y , z):
M =
Γ
ρd.
Centro de masa de una curva Γ ⊆ R3, cuya densidad lineal de masa es ρ : R3 → R, se define como el punto de coordenadas:
xG = 1 M


Aplicaciones
Masa de alambre parametrizado por ~r : [a, b] → R3, con densidad de masa dada por la función contínua ρ(x , y , z):
M =
Γ
ρd.
Centro de masa de una curva Γ ⊆ R3, cuya densidad lineal de masa es ρ : R3 → R, se define como el punto de coordenadas:
xG = 1 M