De Espacio Reciproco

Espacio recproco endifraccin de rayos X

.....

luis r. meja mazariegosLuis Meja Mazariegos

Departamento de Fsica y Qumica TeoricaFacultad de Qumica, UNAM.

Espacio recproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. p. 1/13

Ley de Bragg.

H

E

k


Ley de Bragg.

H

E

k k =2pi


Ley de Bragg.

H

E

k k =2pi

aa1 2

k ki r

kr

R

d

1/k 1/l

ki


Ley de Bragg.

H

E

k k =2pi

aa1 2

k ki r

kr

R

d

1/k 1/l

ki R =2

i=1

niai


Ley de Bragg.

H

E

k k =2pi

aa1 2

k ki r

kr

R

d

1/k 1/l

ki R =2

i=1

niai

n = 2dsen


Red recproca y condicin de Laue.

2

ki

kikr

k r

d

aa1 2a1a

* *R


Red recproca y condicin de Laue.

aa1 2

k

k

ki

i

r

kr

R

d

**a1 2a


Red recproca y condicin de Laue.k

k

ki

i

r

kr

d

**a1 2a

ki

R

kr G


Red recproca y condicin de Laue.k

k

ki

i

r

kr

d

**a1 2a

ki

R

kr G

G R = (ha1 + ka2 + la

3 ) (ua1 + va2 + wa3 ) = N


Construccin de la base recproca.(a1 ,a2 ,a3 ) (a

1 ,a

2 ,a

3 ) (1)

a1

a

a3

2

a*3a*

*1a

2

A = A1a1 + A2a2 + A3a3 (2)

El problema

A = A1a

1 + A

2a

2 + A

3a

3 (3)

donde {ai} y {ak} no son ortonormales.Espacio recproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. p. 4/13

Espacio recproco.

ai aj =

{ 0 si i 6= j1 si i = j

|ai||a

j |cos(ai,a

j ) = 1 y |aj | =1

|ai|cos(ai,aj )(4)

a1

a*3

2a

a2*

a3

a1*Espacio recproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. p. 5/13

{ai} {aj} .

a

1 = m(a2 a3), y a1 a1 = 1 (5)

ma1 (a2 a3) = 1, y m =1

a1 (a2 a3)(6)

a

1 =a2 a3

a1 (a2 a3)=

a2 a3V

(7)

a

2 =a3 a1

Vy a3 =

a1 a2V

(8)

a

i =aj ak

Vy ai =

a

i a

k

V(9)

a1 (a2 a3) 6= 0Espacio recproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. p. 6/13

Espacio recproco.

a1

a3

a1

a*3 a*

*

2

a2


Vector G.

a1

a3

a*3

*1a

a2

G

a*2


Vector G.

a1

a3

a*3

*1a

a2

G

a*2

Q

R

S


Indices de Miller .Q( 1

h, 0, 0), R(0, 1

k, 0), R(0, 0, 1

l), donde h, k y l son enteros.

QR( 1

h, 1

k, 0) y

QS( 1

h, 0, 1

l).

QR

QS = Aper =

a1

lk+

a2

hl+

a1

hk(10)

hkl = Aper (a1(x 1/h) + a2(y) + a3(z )

)= 0

hkl = hx + ky + lz = 1 (11)


G es perpendicular a hkl.Est en el espacio recproco con coeficientes enteros.

QR

QS = G =

(

1

ha1 +

1

ka2

)(1

ha1 +

1

la3

)

G = 1

hl(a1 a3 )

1

hk(a2 a1 ) +

1

kl(a2 a3) (12)

a1 a2 = V a

3 , a2 a3 = V a

1 , a3 a1 = V a

2 (13)

G =1

hl(V a2) +

1

hk(V a3) +

1

kl(V a1) (14)

G =V

hkl

(ha1 + ka

2 + la

3

) (15)Espacio recproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. p. 10/13

dhkl.dhkl =

a1

h n =

a1

h

G

|G|(16)

dhkl =a1

h(ha1 + ka2 + la3

|G|

)(17)

|G| =1

dhkl(18)

a1

a3

a*3

*1a

a2

hklda*2

G


Condicin de Laue.

a*3

a*2

a*1

kf

a3ki

ki

a2

ki

kf

a1

G

R

kr

G R = (ha1 + ka

2 + la

3 ) (ua1 + va2 + wa3 ) = N


Factor de estructura.Rt = R+ rj

Fcris(G) =

j

fj (G)eiGrj

celda unitaria

R

eiGR

red cristalina

Referencias

1] J. Als-Nielsen y Des McMarrow. Elements of Modern X-Ray Physics. 2001.John. Wiley and Sons. U. K.2] J. J. Rosseau. Basic Crystallography. 1998. John Wiley and Sons. U. K.3] A. I. Borisenko y E. E. Tarapov. Vector and Tensor Analysis. Whit Applications.1968. Dover. New York.4] L. Mejia Mazariegos. Notas sobre la densidad electrnica y estructuracristalina. 2006. y referencias citadas all.Espacio recproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. p. 13/13

yellow hspace {-1.00cm} Ley de Bragg.yellow hspace {-1.00cm} Ley de Bragg.yellow hspace {-1.00cm} Ley de Bragg.yellow hspace {-1.00cm} Ley de Bragg.yellow hspace {-1.00cm} Ley de Bragg.

yellow hspace {-1.00cm} Red recproca y condicin de Laue.yellow hspace {-1.00cm} Red recproca y condicin de Laue.yellow hspace {-1.00cm} Red recproca y condicin de Laue.yellow hspace {-1.00cm} Red recproca y condicin de Laue.

hspace {-1.00cm}yellow Construccin de la base recproca.hspace {-0.00cm}yellow Espacio recproco.hspace {-0.00cm}yellow ${{a_{i}}}leftrightarrow {{a}_{j}^{*}}$ .hspace {-0.00cm}yellow Espacio recproco.hspace {-0.00cm}yellow Espacio recproco.

hspace {-0.00cm}yellow Vector G.hspace {-0.00cm}yellow Vector G.

hspace {-0.00cm}yellow Indices de Miller .hspace {-0.00cm}yellow $G$ es perpendicular a $Pi _{hkl}$.hspace {-0.00cm}yellow $d_{hkl}$.hspace {-0.00cm}yellow Condicin de Laue. hspace {-0.00cm}yellow Factor de estructura.

De Espacio Reciproco

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