Bases Matemáticas - Aula 15 – Funções trigonométricas

Bases MatemáticasAula 15 – Funções trigonométricas

Rodrigo Hausen

21 de novembro de 2012

v. 2012-11-21 1/1

Medida de um ângulo em radianos

Ângulo α delimita um arco PR_ no círculo trigonométrico (círculode raio 1 e centro na origem).

Medida de α: comprimento do arco PR_ medido no sentidoanti-horário

Medida de α: x rad (giro completo: 2π rad)

v. 2012-11-21 2/1

Medida de α: comprimento do arco PR_ medido no sentidoanti-horárioMedida de α: x rad

(giro completo: 2π rad)

v. 2012-11-21 2/1

Medida de α: comprimento do arco PR_ medido no sentidoanti-horárioMedida de α: x rad (giro completo: 2π rad)

v. 2012-11-21 2/1

Definição das funções seno e cossenoDado o arco PR_ de comprimento x no círculo unitário, onde P temcoordenadas (a,b), definimos as funções sen ∶ R→ R e cos ∶ R→ Rtais que:

sen (x) = b cos (x) = a

P = (a,b)

cos (x)

sen (x)

A partir da definição, temos a seguinte propriedade:[sen (x)]2

+ [cos (x)]2= 1 ∀x ∈ R

também denotada sen2(x) + cos2

(x) = 1

v. 2012-11-21 3/1

sen (x) = b

cos (x) = a

P = (a,b)

cos (x)

sen (x)

+ [cos (x)]2= 1 ∀x ∈ R

(x) = 1

v. 2012-11-21 3/1

sen (x) = b

cos (x) = a

P = (a,b)

cos (x)

sen (x)

+ [cos (x)]2= 1 ∀x ∈ R

(x) = 1

v. 2012-11-21 3/1

P = (a,b)

cos (x)

sen (x)

+ [cos (x)]2= 1 ∀x ∈ R

(x) = 1

v. 2012-11-21 3/1

P = (a,b)

cos (x)

sen (x)

+ [cos (x)]2= 1 ∀x ∈ R

(x) = 1

v. 2012-11-21 3/1

P = (a,b)

cos (x)

sen (x)

+ [cos (x)]2= 1 ∀x ∈ R

(x) = 1v. 2012-11-21 3/1

Valores notáveis

x sen (x) cos (x)

0 0 1π/4 (metade ângulo reto)

2/2√

π/2 (ângulo reto) 1 0π (ângulo raso) 0 −1

3π/2 −1 02π (giro completo) 0 1

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

x sen (x) cos (x)0

0 1π/4 (metade ângulo reto)

2/2√

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

x sen (x) cos (x)0 0 1

π/4 (metade ângulo reto)√

2/2√

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

π/4 (metade ângulo reto)

2/2√

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

π/2 (ângulo reto)

1 0π (ângulo raso) 0 −1

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

π/2 (ângulo reto) 1 0

π (ângulo raso) 0 −13π/2 −1 0

2π (giro completo) 0 1

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

π/2 (ângulo reto) 1 0π (ângulo raso)

0 −13π/2 −1 0

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

−1 02π (giro completo) 0 1

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

3π/2 −1 0

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

3π/2 −1 02π (giro completo)

v. 2012-11-21 4/1

Valores notáveis

2/2√

v. 2012-11-21 4/1

Propriedades do seno e do cosseno

sen2(x) + cos2

(x) = 1

Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

Cuidado: na expansão de cos (x ± y) o sinal é sempre trocado!

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]

Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]

sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Z

cos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Z

sen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)

cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)

sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ R

sen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ R

cos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

cos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

sen2(x) + cos2

(x) = 1Im sen = [−1;1]Im cos = [−1;1]sen (x + 2kπ) = sen (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zcos (x + 2kπ) = cos (x) para todo x ∈ R, k ∈ Zsen (−x) = −sen (x) ∀x ∈ R (seno é função ímpar)cos (−x) = cos (x) ∀x ∈ R (cosseno é função par)sen (x + y) = sen (x) cos (y) + sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rsen (x − y) = sen (x) cos (y) − sen (y) cos (x) ∀x , y ∈ Rcos (x + y) = cos (x) cos (y) − sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ Rcos (x − y) = cos (x) cos (y) + sen (x) sen (y) ∀x , y ∈ R

v. 2012-11-21 5/1

O que acontece se expandirmos sen (x + π/2)?

sen (x + π/2) = sen (x) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x)= sen (x) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x)

sen (x + π/2) = cos (x)

Conclusão: o gráfico de cos é o gráfico de sen transladado π/2unidades para a esquerda.

Equivalentemente: o gráfico de sen é o gráfico de cos transladadoπ/2 unidades para a direita.

v. 2012-11-21 6/1

sen (x + π/2) = sen (x) cos (π/2) + sen (π/2) cos (x)

= sen (x) ⋅ 0 + 1 ⋅ cos (x)sen (x + π/2) = cos (x)

v. 2012-11-21 6/1

sen (x + π/2) = cos (x)

v. 2012-11-21 6/1

sen (x + π/2) = cos (x)

v. 2012-11-21 6/1

sen (x + π/2) = cos (x)

Conclusão: o gráfico de cos é o gráfico de sen. . .

transladado π/2unidades para a esquerda.

v. 2012-11-21 6/1

sen (x + π/2) = cos (x)

v. 2012-11-21 6/1

sen (x + π/2) = cos (x)

v. 2012-11-21 6/1

Gráficos das funções seno e cosseno

Gráfico da função seno:

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

Gráfico da função cosseno:

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

Em que intervalos elas são crescentes? E decrescentes?

v. 2012-11-21 7/1

Gráficos das funções seno e cosseno

Gráfico da função seno:

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

Gráfico da função cosseno:

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

Em que intervalos elas são crescentes? E decrescentes?v. 2012-11-21 7/1

Funções periódicas

Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.

Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x) ecos (x + 2π) = cos (x).

DefiniçãoUma função f ∶ R→ R é dita periódica se existe um número realr > 0 tal que

f (x + r) = f (x) para todo x ∈ R

Seja T = mín{r > 0 ∣ f (x + r) = f (x) ∀x ∈ R}. Se f é periódica, onúmero T é chamado período de f .Para casa: demonstre que se a ∈ R é uma constante real tal quesen (x + a) = sen (x) para todo x real, então a é múltiplo de 2π.Como cos é uma translação horizontal de sen, a propriedade acimavale também para cos.

v. 2012-11-21 8/1

Note que os gráficos de sen e de cos se repetem a cada 2π.Isto ocorre pois, para todo x ∈ R, temos sen (x + 2π) = sen (x) ecos (x + 2π) = cos (x).

v. 2012-11-21 8/1

Seja T = mín{r > 0 ∣ f (x + r) = f (x) ∀x ∈ R}. Se f é periódica, onúmero T é chamado período de f .

Para casa: demonstre que se a ∈ R é uma constante real tal quesen (x + a) = sen (x) para todo x real, então a é múltiplo de 2π.Como cos é uma translação horizontal de sen, a propriedade acimavale também para cos.

v. 2012-11-21 8/1

Seja T = mín{r > 0 ∣ f (x + r) = f (x) ∀x ∈ R}. Se f é periódica, onúmero T é chamado período de f .Para casa: demonstre que se a ∈ R é uma constante real tal quesen (x + a) = sen (x) para todo x real, então a é múltiplo de 2π.

Como cos é uma translação horizontal de sen, a propriedade acimavale também para cos.

v. 2012-11-21 8/1

As funções seno e cosseno são periódicas

As funções seno e cosseno tem período 2π.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 9/1

Funções tangente e secante

A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funçõestangente e secante.

Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculopassando por R = (1,0). Prolongue o segmento OP até encontrara reta tangente em P ′

= (1, c).

cos (x)

sen (x)

Defina:

tan(x) = c

sec(x) = d(O,P ′)

v. 2012-11-21 10/1

A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funçõestangente e secante.Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculopassando por R = (1,0).

Prolongue o segmento OP até encontrara reta tangente em P ′

= (1, c).

Defina:

tan(x) = c

sec(x) = d(O,P ′)

v. 2012-11-21 10/1

A partir do círculo trigonométrico, definimos também as funçõestangente e secante.Se P está no 1º ou 4º quadrante, trace a reta tangente ao círculopassando por R = (1,0). Prolongue o segmento OP até encontrara reta tangente em P ′

= (1, c).

Defina:

tan(x) = c

sec(x) = d(O,P ′)

v. 2012-11-21 10/1

= (1, c).

P' = (1,c)

Defina:

tan(x) = c

sec(x) = d(O,P ′)

v. 2012-11-21 10/1

= (1, c).

P' = (1,c)

tan (x)

Defina:

tan(x) = c

sec(x) = d(O,P ′)

v. 2012-11-21 10/1

= (1, c).

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)Defina:

tan(x) = c

sec(x) = d(O,P ′)

v. 2012-11-21 10/1

Se P está no 2º ou 3º quadrante, o prolongmento de OP inersectaa reta tangente a R = (1,0) em um ponto P ′ de tal forma que Oestá entre P e P ′.

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

Neste caso, defina:

tan(x) = c

sec(x) = −d(O,P ′)

v. 2012-11-21 11/1

Se P está no 2º ou 3º quadrante, o prolongmento de OP inersectaa reta tangente a R = (1,0) em um ponto P ′ de tal forma que Oestá entre P e P ′.

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

Neste caso, defina:

tan(x) = c

sec(x) = −d(O,P ′)

v. 2012-11-21 11/1

Em quaisquer dos quadrantes que P esteja, podemos obter asseguintes identidades por semelhança de triângulos:

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

tan(x) = sen (x)cos (x) e sec(x) = 1

cos (x)

v. 2012-11-21 12/1

Propriedades das funções tangente e secante

Diretamente da definição, também obtemos:

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

[tan(x)]2+ 1 = [sec(x)]2

que também é escrito como tan2(x) + 1 = sec2

v. 2012-11-21 13/1

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

[tan(x)]2+ 1 = [sec(x)]2

v. 2012-11-21 13/1

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

[tan(x)]2+ 1 = [sec(x)]2

v. 2012-11-21 13/1

P' = (1,c)

tan (x)

sec (x)

[tan(x)]2+ 1 = [sec(x)]2

v. 2012-11-21 13/1

Sabemos que sec(x) = 1cos(x) , portanto

Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x) = 0}

Gráfico de cos(x):

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

Logo, Dom sec = R ∖ {π2 + kπ ∣ k ∈ Z}

Como tan(x) = sen(x)cos(x) , então Dom tan = R ∖ {

π2 + kπ ∣ k ∈ Z}

v. 2012-11-21 14/1

Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x) = 0}

Gráfico de cos(x):

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

π2 + kπ ∣ k ∈ Z}

v. 2012-11-21 14/1

Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x) = 0}

Gráfico de cos(x):

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

π2 + kπ ∣ k ∈ Z}

v. 2012-11-21 14/1

Dom sec = R ∖ {x ∈ R ∣ cos (x) = 0}

Gráfico de cos(x):

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

π2 + kπ ∣ k ∈ Z}

v. 2012-11-21 14/1

Para casa: Dadas funções reais f e g , considere as funções F e Gtais que F(x) = f (x) ⋅ g(x) e G(x) = f (x)

g(x) .Demonstre que:

1) se f ,g são ambas pares, então F ,G são pares;2) se f ,g são ambas ímpares, então F ,G são pares; 3) se f é par eg é ímpar, então F ,G são ímpares.

Consequência do resultado acima:sec é função par e tan é função ímpar.

v. 2012-11-21 15/1

g(x) .Demonstre que: 1) se f ,g são ambas pares, então F ,G são pares;

2) se f ,g são ambas ímpares, então F ,G são pares; 3) se f é par eg é ímpar, então F ,G são ímpares.

v. 2012-11-21 15/1

g(x) .Demonstre que: 1) se f ,g são ambas pares, então F ,G são pares;2) se f ,g são ambas ímpares, então F ,G são pares;

3) se f é par eg é ímpar, então F ,G são ímpares.

v. 2012-11-21 15/1

g(x) .Demonstre que: 1) se f ,g são ambas pares, então F ,G são pares;2) se f ,g são ambas ímpares, então F ,G são pares; 3) se f é par eg é ímpar, então F ,G são ímpares.

v. 2012-11-21 15/1

g(x) .Demonstre que: 1) se f ,g são ambas pares, então F ,G são pares;2) se f ,g são ambas ímpares, então F ,G são pares; 3) se f é par eg é ímpar, então F ,G são ímpares.

v. 2012-11-21 15/1

Gráfico da função tangente

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

em que intervalos a função tangente é crescente?

v. 2012-11-21 16/1

Gráfico da função secante

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

em que intervalos a função secante é crescente? e decrescente?

v. 2012-11-21 17/1

Funções cotangente e cossecanteSe traçarmos a reta tangente pelo ponto (0,1) e prolongarmos osegmento OP até encontrarmos esta reta num ponto P ′

= (d ,1),podemos definir as grandezas cot(x) = d e csc(x) = d(O,P ′

) se Pestá entre O e P ′, ou csc(x) = −d(O,P ′

) se O está entre P e P ′.

Para casa: desenhar o círculo trigonométrico neste caso.

Por semelhança de triângulos, obtemos:

cot(x) = cos(x)sen(x) e csc(x) = 1

sen(x)Domínio de ambas as funções: R ∖ {kπ ∣ k ∈ Z}

Pela construção, demonstramos que cot2(x) + 1 = csc2(x)

A função cot também é escrita como cotan, cotg.A função csc também é escrita como cosec.Mais informações: seção 7.6.3.

v. 2012-11-21 18/1

sen(x)

Domínio de ambas as funções: R ∖ {kπ ∣ k ∈ Z}

v. 2012-11-21 18/1

sen(x)Domínio de ambas as funções:

R ∖ {kπ ∣ k ∈ Z}

v. 2012-11-21 18/1

Funções trigonométricas inversas

A função sen ∶ R→ R não é injetora nem sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

A função inversa de sen ∶ [−π/2;π/2]→ [−1;1] é chamada funçãoarco seno, e é denotada sen−1 ou arcsen

arcsen ∶ [−1;1] → [−π/2;π/2]y ↦ arcsen(y) = x ⇐⇒ sen(x) = y

v. 2012-11-21 19/1

A função sen ∶ [−π/2;π/2]→ R é injetora mas não sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 19/1

A função sen ∶ [−π/2;π/2]→ [−1;1] é bijetora!

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 19/1

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 19/1

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 19/1

Gráfico da função arco seno

arcsen ∶ [−1;1]→ [−π/2;π/2]

−π2 −1 1 π

−π2

arcsen é crescente em [−1;1]

v. 2012-11-21 20/1

arcsen ∶ [−1;1]→ [−π/2;π/2]

−π2 −1 1 π

−π2

v. 2012-11-21 20/1

arcsen ∶ [−1;1]→ [−π/2;π/2]

−π2 −1 1 π

−π2

v. 2012-11-21 20/1

arcsen ∶ [−1;1]→ [−π/2;π/2]

−π2 −1 1 π

−π2

v. 2012-11-21 20/1

Função arco cosseno

A função cos ∶ R→ R não é injetora nem sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

A função inversa de cos ∶ [0;π]→ [−1;1] é chamada função arcocosseno, e é denotada cos−1 ou arccos

arccos ∶ [−1;1] → [0;π]y ↦ arccos(y) = x ⇐⇒ cos(x) = y

v. 2012-11-21 21/1

A função cos ∶ [0;π]→ R é injetora mas não sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 21/1

A função cos ∶ [0;π]→ [−1;1] é bijetora!

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 21/1

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 21/1

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 21/1

Gráfico da função arco cosseno

arccos ∶ [−1;1]→ [0;π]

−π2 −1 1 π

−π2

arccos é decrescente em [−1;1]

v. 2012-11-21 22/1

arccos ∶ [−1;1]→ [0;π]

−π2 −1 1 π

−π2

v. 2012-11-21 22/1

arccos ∶ [−1;1]→ [0;π]

−π2 −1 1 π

−π2

v. 2012-11-21 22/1

arccos ∶ [−1;1]→ [0;π]

−π2 −1 1 π

−π2

v. 2012-11-21 22/1

Função arco tangente

tan ∶ R ∖ {π/2 + kπ ∣ k ∈ Z}→ R não é injetora mas é sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

A função inversa de tan ∶ (−π/2;π/2)→ R é chamada função arcotangente, e é denotada tan−1, arctan ou arctg.

v. 2012-11-21 23/1

tan ∶ (−π/2;π/2)→ R é bijetora!

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 23/1

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 23/1

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 23/1

Gráfico da função arco tangente

arctan ∶ R→ (−π/2;π/2)

−π2

arctan é crescente em R

v. 2012-11-21 24/1

Função arco secante

sec ∶ R ∖ {π/2 + kπ ∣ k ∈ Z}→ R não é injetora nem sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

A função inversa de sec ∶ [0;π/2) ∪ (π/2;π]→ (−∞;−1] ∪ [1;+∞)

é chamada função arco secante, e é denotada sec−1 ou arcsec.

v. 2012-11-21 25/1

sec ∶ [0;π] ∖ {π/2}→ R é injetora mas não sobrejetora.

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 25/1

sec ∶ [0;π] ∖ {π/2}→ R ∖ (−1;1) é bijetora!

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

v. 2012-11-21 25/1

sec ∶ [0;π] ∖ {π/2}→ R ∖ (−1;1) é bijetora!

−π2

π2 π 3π

2 2π 5π2

é chamada função arco secante, e é denotada sec−1 ou arcsec.v. 2012-11-21 25/1

Gráfico da função arco secante

arcsec ∶ (−∞;−1] ∪ [1;+∞)→ [0;π/2) ∪ (π/2;π]

arcsec é crescente em (−∞;−1] e em [1;+∞)

mas não é crescente em (−∞;−1] ∪ [1;+∞)

v. 2012-11-21 26/1

Gráfico da função arco secante

arcsec ∶ (−∞;−1] ∪ [1;+∞)→ [0;π/2) ∪ (π/2;π]

arcsec é crescente em (−∞;−1] e em [1;+∞)

mas não é crescente em (−∞;−1] ∪ [1;+∞)

v. 2012-11-21 26/1

Funções arco cossecante a arco cotangente

A função arco cotangente é a inversa da função tangente, definidapara um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.

arccot ∶ R → (0;π)y ↦ arccot(y) = x ⇐⇒ cot(x) = y

A função arco cossecante é a inversa da função cossecante,definida para um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.

arccsc ∶ [−π/2;0) ∪ (0;π/2] → (−∞;1] ∪ [1;∞)

y ↦ arccsc(y) = x ⇐⇒ csc(x) = y

v. 2012-11-21 27/1

Funções arco cossecante a arco cotangente

A função arco cotangente é a inversa da função tangente, definidapara um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.

arccot ∶ R → (0;π)y ↦ arccot(y) = x ⇐⇒ cot(x) = y

A função arco cossecante é a inversa da função cossecante,definida para um domínio e contradomínio onde esta é bijetora.

arccsc ∶ [−π/2;0) ∪ (0;π/2] → (−∞;1] ∪ [1;∞)

y ↦ arccsc(y) = x ⇐⇒ csc(x) = y

v. 2012-11-21 27/1

Funções trigonométricas inversas: algumas propriedades

Para casa: demonstre as seguintes propriedades.arcsec(x) = arccos ( 1

arccsc(x) = arcsec ( 1x )

se x > 0, então arccot(x) = arctan (1x )

se x < 0, então arccot(x) = π + arctan (1x )

cos (arcsen(x)) =√

1 − x2

sen (arccos(x)) =√

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

1 − x2

sec(arctan(x)) =√

1 + x2

v. 2012-11-21 28/1

Para casa

Para casa: ler com atenção todo o capítulo 7 e fazer todos osexercícios.

Matéria da prova 2: equações, inequações e funções.

v. 2012-11-21 29/1

Bases Matemáticas - Aula 15 – Funções trigonométricas

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