Post on 28-Apr-2019
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[MA1124] KALKULUS II
Fungsi VektorFungsi Vektor
DefinisiDefinisi
� Definisi fungsi vektor
Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t ε R dengan tepat satu vektor
g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=
2(3)R(t)F ∈
Notasi : F : R � R2(3)
t �
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
2
g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=t �
atauh(t)g(t),f(t), kh(t) jg(t) if(t) (t)F =++=t �
dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real
Contoh, Daerah Asal dan Daerah NilaiContoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai
� Contoh
jtittF ˆ)3(ˆ2)(.1 1−−+−=
kjtittF ˆˆsinˆcos)(2. ++=r
jtittF ˆcosˆ)1ln()(.3 12 −++=
jtit
tF ˆ6ˆ2ln)(4. −−
=r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
3
� Daerah Asal (Df )
{ }321
| ffffDDDtRtD ∩∩∈∈=r
ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( Misal 321 ++=
� Daerah Hasil (Rf )
{ }ff
DtRtfR ∈∈= |)( 3r
r
ContohContoh
Tentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya
jtittF ˆ)3(ˆ2)(.1 1−−+−=Misalkan 2)(1 −= ttf ( )3
1)(2 −=t
tfdan
Diperoleh ),2[1
∞=fD dan { }32
−= RDf
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
4
Sehingga
{ }21 ffF
DDtRtD ∩∈∈=
{ }{ }3),2[ −∩∞∈∈= RtRt
{ }{ } ),3()3,2[3),2[ ∞∪=−∞∈= t
ContohContoh
Misalkan ttf cos)(1 =
Sehingga
ttf sin)(2 =,
{ }321 fffF
DDDtRtD ∩∩∈∈=
Diperoleh RDf =1
, RDf =2
kjtittF ˆˆsinˆcos)(2. ++=r
1)(3 =tfdan
dan RDf =3
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
5
{ }321 fffF
DDDtRtD ∩∩∈∈=
{ } RRRRtRt =∩∩∈∈=
Misalkan )1ln()( 21 += ttf
Sehingga
ttf 12 cos)( −=dan
{ } [ ]{ } ]1,1[1,121 −=−∩∈∈=∩∈∈= RtRtDDtRtD ffF
Diperoleh RDf =1
jtittF ˆcosˆ)1ln()(3. 12 −++=r
dan ]1,1[2
−=fD
ContohContoh
jtit
tF ˆ6ˆ2ln)(.4 −−
=
Misalkan
=t
tf2
ln)(1
Sehingga
ttf −−= 6)(2dan
Diperoleh ),0(1
∞=fD dan ]6,(2
−∞=fD
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
6
Sehingga
{ }21 ffF
DDtRtD ∩∈∈=
{ }]6,(),0( −∞∩∞∈∈= tRt
]6,0(=
LatihanLatihan
Tentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya
jtittf ˆˆ)4()(1. +−=r
jtittf ˆ4ˆ)(2. 2−−−=r
jtit
tf ˆˆ)4(
1)(3. +
−=
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
7
t )4( −
jtit
tf ˆˆ4
1)(4. 2+
−=
r
Grafik Fungsi Bernilai VektorGrafik Fungsi Bernilai Vektor
� Misalkan
Df=[a,b]
jtfitftf ˆ)(ˆ)()( 21 +=
][ (b)f
(t)fr(a)f
rc
y
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
8
][a≤t≤b
(b)f
x
Jika t berubah sepanjang [a,b] � ujung-ujung )t(fmenjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu
disebut titik pangkal lengkungan C )(af
disebut titik ujung lengkungan C )(bf
� kurva C disebut kurva tertutup)()( bfafJika =
Grafik fungsi vektorGrafik fungsi vektor
� Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu
� Cara menggambar grafik fungsi vektor
1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C
2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
9
2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)
3. Tentukan arahnya
ContohContoh
Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:
π20;ˆsin2ˆcos3)(.1 ≤≤+= tjtittF
Persamaan parameter
x = 3 cos t
y = 2 sin t��
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1
123
22
=
+
yx(ellips)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
10
� 23 Arahnya
)0,3(ˆ3)0( == iF
)2,0(ˆ2)2
( == jFπ
)0,3(ˆ3)( −=−= iF π)2,0(ˆ2)
2
3( −=−= jF
π
)0,3(ˆ3)2( == iF π
3-3
2
-2
x
y
C
ContohContoh
Persamaan parameter
x = t – 4
y =� t = x+4
y =
42 −= yx
Arahnya
(parabola)
y
40;ˆˆ)4()(2. ≤≤+−= tjtittFr
t
4+x
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
11
Arahnya
)0,4(ˆ4)0( −=−= iF
)2,0(ˆ2)4( == jF
-4
2
x
y
C
ContohContoh
Persamaan parameter
x = – t
y = 0,222 ≥=+ yayx
Arahnya
(1/2 lingkaran)
y
atajtaittF ≤≤−−+−= ;ˆˆ)(3. 22r
22 ta −
( ) 0,22222 ≥−=⇒−−= yxayxay
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
12
Arahnya
)0,(ˆ)( aiaaF ==−
),0(ˆ)0( ajaF ==)0,(ˆ)( aiaaF −=−=
a
x
y
a–a
C
LatihanLatihan
22;ˆˆ4)(.2 2 ≤≤−+−= tjtittF
22;ˆ4ˆ)(1. 2 ≤≤−−−= tjtittFr
Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:
( ) ( )ˆˆ
( ) 30;ˆ2ˆ14)(3. ≤≤−−= tjtittFr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
13
( ) ( ) 32;ˆ3ˆ2)(.4 2 ≤≤−−++= tjtitttF
Persamaan Parameter di RPersamaan Parameter di R33
Persamaannya adalah sebagai berikut:x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t ε I
Contoh:
ktjtittF ˆˆsinˆcos)(1. ++=r
2. Garis P(x,y,z)z
�x = cos t; y = sin t; z = t , t ε R
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
14
2. Garis
0wr
wr
vr
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
x
z
y
Garis (ljt)Garis (ljt)
� Garis adalah himpunan semua titik P sehingga
vtww 0
rrr +=vtww- 0 =+ rr
garisdengan sejajar yangvektor v =rvtPP0
r=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
15
vtww 0 +=Jika w =(x, y, z) dan w0 =(x0,y0,z0) serta v = <a,b,c>maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulissebagai berikut
ctzzbtyyatxx 000 +=+=+=
Sedangkan persamaan simetrinya adalah
cbc000 zzyyxx −=−=−
ContohContoh
1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor <-1, -2, -3>
Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah
x = 1 – t
y = 2 - 2 t
z = 3 - 3 t
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
16
z = 3 - 3 t
2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4)
Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:
vr
=<5 – 2, –1 + 3, –4 + 1> = <3, 2, –3>
Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, –3, –1)
maka persamaan parameter garis tersebut adalahx = 2 + 3t , y = –3 + 2t , z = – 1 – 3t
LatihanLatihan
1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan:
a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)
b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)
c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
17
2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan
a. (4, -6, 3), <-2, 1, 5>
b. (-1, 3, 2), <4, 2, -1>
c. (2, 5, -4), <-3, 4, 2>
EkivalenEkivalen
� Fungsi
dan)t(fr
menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan
arah yang sama.
disebut ekivalen jika )t(gr
dan)t(fr
)t(gr
� Contoh
π≤≤+= t0,jtsinaitcosa)t(fr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
18
π≤≤+= t0,jtsinaitcosa)t(f
ata,jtait)t(g 22 ≤≤−−+−=r
dan)t(fr
)t(gr
ekivalen
Norm
k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r
( ) ( ) ( )23
22
21 )t(f)t(f)t(f)t(f ++=
r
Misalkan maka norm dari adalah)t(fr
SifatSifat
ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321 ++=r
Misalkan ktgjtgitgtg ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321 ++=r
dan
αcos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtfrrrr
=++=1.
kji ˆˆˆ
α adalah sudut antara dua vektor tersebut
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
19
ktgtg
tftfj
tgtg
tftfi
tgtg
tftf
tgtgtg
tftftf
kji
tgxtf ˆ)()(
)()(ˆ)()(
)()(ˆ
)()(
)()(
)()()(
)()()(
ˆˆˆ
)()(21
21
31
31
32
32
321
321 +−==rr
2.
( ) ( ) ( ) ( )ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()()( 332211 ±+±+±=±rr
3.
c =konstanta
LimitLimit
Definisi
εδδε <−→<−<∋>∃>∀→=→
LtfatLtfat
)(000)(limrr
Ilustrasiy
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
20
Ilustrasi
)(a
L
(t)fr
L -(t)fr
x
.a+δa-δ
ε
TeoremaTeorema
jtfitftf ˆ)(ˆ)()( 21 +=r
Misalkan )(tfr
, maka mempunyai limit di a
↔ f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a. Dan
( ) ( ) jtfitftfatatat
ˆ)(limˆ)(lim)(lim 21 →→→+=
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
21
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,(Jika tidak ada beri alasan):
−−++
+−
−→j
t
tti
t
t
t
ˆ9
6ˆ3
9lim.1
2
22
3
+→
je
ti
t
tt
t
ˆˆsinlim.2
0
tttt
ln),ln(lim.3 2
0+→
Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)
−−++
+−
−→j
t
tti
t
t
t
ˆ9
6ˆ3
9lim.1
2
22
3j
t
tti
t
t
tt
ˆ9
6limˆ
3
9lim
2
2
3
2
3 −−++
+−=
−→−→
( )( ) ( )( )( )( ) j
tt
tti
t
tt
tt
ˆ33
23limˆ
3
33lim
33 −+−++
++−=
−→−→
( ) jt
it ˆ2limˆ3lim
−+−=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
22
( ) jt
tit
tt
ˆ3
2limˆ3lim
33
−−+−=
−→−→
ji ˆ6
5ˆ6 +−=
+→
je
ti
t
ttt
ˆˆsinlim.2
0j
e
ti
t
tttt
ˆlimˆsinlim
00 →→+=
iji ˆˆ0ˆ =+=
Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)
tttt
ln),ln(lim.3 2
0+→ttt
ttlnlim),ln(lim
0
2
0 ++ →→=
−∞=+→
)ln(lim 2
0t
tkarena (tidak ada)
Jadi tidak adatttt
ln),ln(lim 2
0+→
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
23
t 0+→
LatihanLatihan
Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
−−++
−−
→j
t
tti
t
t
t
ˆ2
6ˆ4
2lim.1
2
22
−++ j
tt
ti
t
t ˆ32
1ˆsinlim.2
2
2
te t
t
1,lim.3 /1
0+→
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
24
−
+∞→
jtt
itt 32
lim.22
KekontinuanKekontinuan
)t(f.ar
Definisi
fDr∈kontinu di a jika )a(f)t(flim
at
rr=
→
)t(f.br
kontinu pada himpunan A ⊂ R jika )t(fr
kontinu
di setiap titik pada A
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
25
↔ f1(t), f2(t) , f3(t) kontinu pada B
di setiap titik pada A
Teorema
k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r
Fungsi kontinu pada B⊂f
Dr
TurunanTurunan
k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r
MisalkanDefinisi:
[ ] [ ]h
k)t(fj)t(fi)t(fk)ht(fj)ht(fi)ht(flim)t('f 321321
0h
++−+++++=→
r
−++−++−+= k)t(f)ht(f
j)t(f)ht(f
i)t(f)ht(f
lim 332211
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
26
−++−++−+=→
kh
)t(f)ht(fj
h
)t(f)ht(fi
h
)t(f)ht(flim 332211
0h
kh
)t(f)ht(flimj
h
)t(f)ht(flimi
h
)t(f)ht(flim 33
0h
22
0h
11
0h
−++−++−+=→→→
k)t('fj)t('fi)t('f 321 ++=
k)t('fj)t('fi)t('f)t('f 321 ++=r
Jadi
Contoh Contoh
jei)3t2()t(f t22 −+=r
. Tentukan1. Diketahui )0(fDt
r
dan )0(2 fDt
r
Jawab
)(')( tftfDt
rr
= ( ) jeit tˆ2ˆ2322 2−+=
( ) jeit tˆ2ˆ128 2−+=
i.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
27
jeitftfD tt
ˆ4ˆ8)(")( 22 −==rr
( ) jeit tˆ2ˆ128 2−+=
jifDtˆ2ˆ12)0( −=
r
jifDtˆ4ˆ8)0(2 −=
rii.
Contoh Contoh
jeit2cos)t(f t+=r
. Tentukan2. Diketahui
)t('f.ar
dan )t("fr
)0('fantarasudut.br
dan )0("fr
Jawab
a. )(' tfr
jeit t ˆˆ2sin2 +−=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
28
a. )(' tf
)(" tfr
jeit ˆˆ2sin2 +−=
jeit t ˆˆ2cos4 +−=
b. )0('fr
)0("fr
j=
ji ˆˆ4 +−=
)0(")0('
)0(").0('cos
ff
ffrr
rr
=θ17
1= �
= −
17
1cos 1θ
LatihanLatihan
( ) ktjetittf t ˆ1lnˆˆtan)( 221 +++= −−r
Tentukan
1. Diketahui
)0(fDt
r
dan )0(2 fDt
r
jtietr t ˆ)ln(ˆ)( 32 +=r
Tentukan
2. Diketahui
)](').([ trtrDt
rr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
29
Tentukan )](').([ trtrDt
3. Tentukan )(' trr
dan )(" trr
a.
b.
( ) jeieetr ttt ˆˆ)(2
−+= −r
jtittr ˆ2ˆtan)( 3/5−=r
Arti GeometrisArti Geometris
Df=[a,b]
][a≤ t ≤b
h)(tf +r
(t)fr
(t)f-h)(tfrr
+
c
z
yx
O
P
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
30
a≤ t ≤b yx
O
Vektor 0h,h
)t(f)ht(f >−+rr
searah dengan vektor (t)f-h)(tfrr
+
Jika h� 0, maka
Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada
saat
)t('fh
)t(f)ht(flim
0h
rrr
=−+→
fDr∈t
Arti Geometris : Vektor Singgung)t('fr
Garis SinggungGaris Singgung
Df=[a,b]
][a≤t≤b
)(tf 0
r
)(t'f 0
r
c
z
yO
P
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
31
a≤t≤b yx
O
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
)t('ft)t(f)t(x 00
rrr +=atau
<x, y, z>=<f1(t0), f2(t0), f3(t0) >+t<f1’ (t0), f2’ (t0), f3’(t0) >
ContohContoh
ktjtittf ˆˆsinˆcos)( ++=r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, π).
Diketahui
kjtittf ˆˆcosˆsin)(' ++−=r
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = π
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
32
kjif ˆˆ)1(ˆ0)(' +−+=πr
kjif ˆˆ0ˆ)1()( ππ ++−=r
>−=< 1,1,0
>−=< π,0,1
Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, π) adalah x = –1, y = – t , z = π + t
LatihanLatihan
jtittf ˆcos4ˆsin3)( +=r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).
1. Diketahui
( )ktjteitetf tt ˆ1ˆcosˆsin)( 2+++=r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
2. Diketahui
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
33
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
( ) ( ) jtittf ˆ23ˆ22)( 2 −+−=r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).
3. Diketahui
Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva
Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka
menyatakan vektor posisi dari titik P.
j)t(gi)t(f)t(r +=r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
34
menyatakan vektor posisi dari titik P.
Jika t berubah � ujung vektor bergerak sepanjang)t(rr
lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)
DefinisiDefinisi
1. Kecepatan
2. Percepatan
j)t('gi)t('f)t('r)t(v +==rr
titik P adalah)t(vr
di sebut laju titik P)t(vr
titik P)t(ar
1. Gerak Linear
q)t(hp)t(rrrr
+=
2. Gerak pada Lingkaran
realfungsi)t(h;tetapvektorq,prr
ContohContoh
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
35
2. Percepatan
j)t(''gi)t(''f)t(''r)t(a +==rr
titik P)t(a
di sebut besar percepatan)t(ar
pada saat t
3. Gerak pada ellips
0a,jtsinaitcosa)t(r >+=r
0b,a,jtsinbitcosa)t(r >+=r
4. Gerak pada heliks
Lingkaran
ktbjtsinaitcosa)t(r ω+ω+ω=r
Contoh Gerak Sepanjang KurvaContoh Gerak Sepanjang Kurva
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
36
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan
percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan
pada saat mana nilai itu dicapai
JawabJawab
a. Persamaan parameter
x = 3 cos t
y = 2 sin t��
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1
123
22
=
+
yx(ellips)
2y
. P(t)vr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
37
3-3
-2
x
.(t)ar
b. jtittr ˆsin2ˆcos3)( +=r
jtittvtr ˆcos2ˆsin3)()(' +−==rr
)(ˆsin2ˆcos3)()(" trjtittatrrrr
−=−−==
Jawab (Lanjutan)Jawab (Lanjutan)
tttv 22 cos4sin9)( +=r
( )tttttt 222222 cossin4sin5cos4sin4sin5 ++=++=
4sin5 2 += t
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = π/2, 3π/2
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
38
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = π/2, 3π/2
yaitu pada titik (0, ±2)
Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, πyaitu pada titik (±3, 0)
LatihanLatihan
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
39
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan
percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan
pada saat mana nilai itu dicapai
KelengkunganKelengkungan
Andaikan a≤t≤b, vektor posisi titik P.j)t(gi)t(f)t(r +=r
Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah
( ) ( )∫ ∫=+=t
a
t
a
duurduugufs )(')(')(' 22 r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
40
Laju titik yang bergerak itu adalah
)t(v)t('rdt
ds rr==
)t(v
1
ds
dtr=
Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt)
� Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.
Notasi didefinisikan sbb)t(Tr
)t(v
)t(v
)t('r
)t('r)t(T r
r
r
rr
==
xo
y
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
41
Apabila P bergerak � berubah arah)t(Tr
xo
disebut vektor kelengkungan di Pds
Tdr
Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt)
� Kelengkungan di P; κ (kappa).
Dengan aturan rantai diperoleh
)t(v
)t('T
)t(v
1)t('T
ds
dt
dt
Td
ds
Tdr
r
r
rrr
===
ds
Tdr
=κ
)t('TTdrr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
42
Jadi
dan
disebut jari-jari kelengkungan
)t(v
)t('T
ds
Tdr
r
==κ
κ= 1
R
ContohContoh
12,ˆsin8ˆcos8)(.1 33 π=+= tpadaPtitikdijtittr
rTentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari
Jawab:
jttitttvtr ˆcossin24ˆsincos24)()(' 22 +−==rr
tttttv 2424 cossinsincos24)( +=r
tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
43
jtittv
tvtT ˆsinˆcos
)(
)()( +−== r
rr
tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=
jtittT ˆcosˆsin)(' +=r
ttttt
tt
tv
tTt
2sin12
1
sincos24
1
sincos24
cossin
)(
)(')(
22
==+== r
r
κ
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
6
1
2
1.12
1
6sin12
1
122sin12
1)
12( =
=
=
=
πππκ
61 ==κ
R (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah 1/6,
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
44
κSedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6
ContohContoh
Jawab:( ) ( ) kejteteitetetvtr ttttt ˆˆsincosˆcossin)()(' +−++==
rr
( ) ( ) 1sincossincos)(22 +−++= ttttetv t
r
tt etttte 31sincos21sincos21 =+−++=
2,ˆˆcosˆsin)(.2 π=++= tpadaPtitikdikejteitetr ttt
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
45
( ) ( )[ ]kjttitttv
tvtT ˆˆsincosˆcossin
3
1
)(
)()( +−++== r
rr
tt etttte 31sincos21sincos21 =+−++=
( ) ( )[ ]kjttitttT ˆ0ˆcossinˆsincos3
1)(' +−−+−=
r
( ) ( )tt ee
tttt
tv
tTt
3
2
3
cossinsincos
)(
)(')(
22
=++−
== r
r
κ
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
2
23
2
3
2
2
π
ππκ
−==
e
e
2
231 2
π
κe
R == (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah , 2π−
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
46
Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah ,
Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah
2
3
2π−
e
2
23 2
π
e
LatihanLatihan
Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan
2,ˆcosˆsin)(.1 π=+= tpadaPtitikdijteitetr tt
r
( ) 1,ˆ1ˆ2)(.2 2 =−+= tpadaPtitikdijtittrr
1,ˆ4ˆ4)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittrr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
47
21,ˆ4ˆ4)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittr
r
9,ˆˆ3cosˆ3sin)(.5 π=++= tpadaPtitikdiktjtittr
r6
,4ˆcos8ˆsin8)(.4 π=++= tpadaPtitikdiktjtittrr
TeoremaTeorema
Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka
( ) ( )[ ] 23
22''
"'"'
yx
xyyx
+
−=κ
Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
48
berlaku
( )[ ] 23
2'1
"
y
y
+=κ
ContohContoh
1. Tentukan kelengkungan elips
x = 2 cos t, y = 3 sin t
pada titik t = 0 dan t = π/2
Jawab:
x’ = –2 sin t
x” = –2 cos t
y’ = 3 cos t
y” = –3 sin t
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
49
x” = –2 cos t y” = –3 sin t
Kita peroleh
( ) ( )[ ] 23
22''
"'"'
yx
xyyx
+
−=κ
( ) ( )[ ] 2322
22
cos3sin2
cos6sin6
tt
tt
+−
+= [ ] 23
22 cos9sin4
6
tt +=
Sehingga
[ ] 23
22 0cos90sin4
6)0(
+=κ
[ ] 9
2
9
6
23
==2
322
2cos9
2sin4
6)
2(
+
=
πππκ
4
3=
ContohContoh
2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 0)
Jawab:
y’ = 2x y” = 2
Kita peroleh
"y=κ [ ]
2=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
50
( )[ ] 23
2'1
"
y
y
+=κ
( )[ ] 232
21
2
x+=
Sehingga
25
52
5
22/3
==( )( )[ ] 2
321.21
21
+=κ
LatihanLatihan
Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P
1. y = x2 – x, di P(1,0)
2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2)
3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)
4. r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,8π/3)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
51