Permukaan · Pemetaan Gauss 1 Misalkan M permukaan reguler, fungsi n :M !S P 7!n(P) dengan n(P)...

PermukaanPemetaan Gauss dan Bentuk Dasar Pertama

Wono Setya Budhi

Februari, 2014

KK Analisis Geometri, FMIPA-ITB

1 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

1 Misalkan M permukaan reguler, fungsi

n :M → ΣP 7→ n (P)

dengan n (P) adalah vektor normal dari permukaan M, dan Σadalah permukaan bola satuan.

Example

1 Jika M bidang, maka n adalah konstan.

2 Jika M merupakan selinder, maka hasil pemetaan itu adalahsuatu ekuator.

3 Jika M permukaan bola satuan, maka hasil pemetaan n adalahseluruh permukaan bola.

2 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

n :M → ΣP 7→ n (P)

Example

2 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

n :M → ΣP 7→ n (P)

Example

2 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

n :M → ΣP 7→ n (P)

Example

2 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

Example

Jika z = x2 − y2 atau x (u, v) =(u, v , u2 − v2

). Selanjutnya

xu = (1, 0, 2u) dan xv = (0, 1,−2v)

Kemudian,

(−2u√

4u2 + 4v2 + 1,

2v√4u2 + 4v2 + 1

4u2 + 4v2 + 1

1.0-1.0

3 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

Example

). Selanjutnya

xu = (1, 0, 2u) dan xv = (0, 1,−2v)

Kemudian,

(−2u√

4u2 + 4v2 + 1,

2v√4u2 + 4v2 + 1

4u2 + 4v2 + 1

1.0-1.0

3 / 24Permukaan

Pemetaan Gauss

Example

). Selanjutnya

xu = (1, 0, 2u) dan xv = (0, 1,−2v)

Kemudian,

(−2u√

4u2 + 4v2 + 1,

2v√4u2 + 4v2 + 1

4u2 + 4v2 + 1

1.0-1.0

3 / 24Permukaan

Memahami Bentuk Permukaan

1 Kita akan mempelajari bentuk dari permukaan

2 Khususnya kelengkungan?

3 Tentu lebih rumit dibandingkan lengkungan.

4 / 24Permukaan

Turunan Berarah

1 Misalkan f : M → R, tentu saja ini juga berlaku untuk M = R2

2 Kemudian, misalkan V ∈ Tp (M) vektor di bidang singgung.

3 Turunan berarah fungsi f di P dengan arah V adalah

DVf (P) =d

∣∣∣∣t=0

f (α (t))

dengan α (0) = P dan α′ (0) = V

4 Di R2, kita mengetahui bahwa

DVf (P) = ∇f (P) ·V

5 / 24Permukaan

Turunan Berarah

DVf (P) =d

∣∣∣∣t=0

f (α (t))

DVf (P) = ∇f (P) ·V

5 / 24Permukaan

Turunan Berarah

DVf (P) =d

∣∣∣∣t=0

f (α (t))

DVf (P) = ∇f (P) ·V

5 / 24Permukaan

Turunan Berarah

DVf (P) =d

∣∣∣∣t=0

f (α (t))

DVf (P) = ∇f (P) ·V

5 / 24Permukaan

Kelengkungan Permukaan

1 Misalkan M permukaan dan P ∈ M. Misalkan pula V ∈ TPMvektor satuan.

2 Kemudian, misalkan α adalah lengkungan hasil perpotongan antarapermukaan M dan bidang yang dibangun oleh V dan n.

3 Misalkan pula α diparameterisasi dengan panjang lengkungan.

4 Dalam hal ini α (0) = P dan α′ (0) = V

5 Perhatikan bahwa normal utamanya tentu ±n (P)

6 / 24Permukaan

7 / 24Permukaan

1 Dengan demikian kelengkungan κ (P) dapat dihitung sebagai

±κ (P) = κN · n = T′ (0) · n (P)

2 Selanjutnya, karena n (α (s)) ·T (s) = 0, makan (P) ·T′ (0) + n′ (α (0)) ·T (0) = 0, maka

±κ (P) = −T (0) · n′ (α (0))

= −V ·DVn (P) = −DVn (P) ·V

8 / 24Permukaan

1 Dengan demikian kelengkungan κ (P) dapat dihitung sebagai

±κ (P) = κN · n = T′ (0) · n (P)

2 Selanjutnya, karena n (α (s)) ·T (s) = 0, makan (P) ·T′ (0) + n′ (α (0)) ·T (0) = 0, maka

±κ (P) = −T (0) · n′ (α (0))

= −V ·DVn (P) = −DVn (P) ·V

8 / 24Permukaan

Theorem

1 Untuk V ∈ TPM, turunan berarah DVn (P) ∈ TPM.

2 PemetaanSP : TPM → TPM

didefinisikan sebagai SP (V) = −DVn (P) merupakan pemetaanlinear, dan

3 merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TPMberlaku

SP (U) ·V = U · SP (V)

4 Pemetaan S disebut sebagai shape operators.

9 / 24Permukaan

Theorem

SP (U) ·V = U · SP (V)

9 / 24Permukaan

Theorem

SP (U) ·V = U · SP (V)

9 / 24Permukaan

Theorem

SP (U) ·V = U · SP (V)

9 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

1 Misalkan α lengkungan dengan α (0) = P dan α′ (0) = V.Dalam hal ini n ◦ α (t) = n (α (t)) merupakan vektor yangkonstan.

2 Dengan demikian

DVn (P) · n (P) = (n ◦ α)′ (0) · (n ◦ α) (0)

3 JadiDVn (P) ∈ TPM

10 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

2 Dengan demikian

DVn (P) · n (P) = (n ◦ α)′ (0) · (n ◦ α) (0)

10 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

2 Dengan demikian

DVn (P) · n (P) = (n ◦ α)′ (0) · (n ◦ α) (0)

10 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

2 Dengan demikian

DVn (P) · n (P) = (n ◦ α)′ (0) · (n ◦ α) (0)

10 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

1 Sifat linear muncul karena turunan bersifat linear.

11 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

1 Sifat linear muncul karena turunan bersifat linear.

11 / 24Permukaan

Theorem

1 merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TPMberlaku SP (U) ·V = U · SP (V)

Proof.

1 Pertama, kita menggunakan kurva koordinat yaitu u, v

2 Khususnya, n · xv = 0, maka (n · xv )u = 0 dannu · xv + n · xvu = 0. Perhatikan bahwa xu = −Dxun. Jadi

SP (xu) · xv = −Dxun (P) · xv= −nu · xv = n · xvu

12 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

12 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

12 / 24Permukaan

Proof.

2 Serupa dengan di atas

SP (xv ) · xu = −Dxv n (P) · xu= −nv · xu = n · xuv

3 Jika fungsi x ∈ C2, maka keduanya sama.

13 / 24Permukaan

Proof.

13 / 24Permukaan

Proof.

13 / 24Permukaan

Proof.

1 Setelah basis berlaku, misalkan U = axu + bxv danV = cxu + dxv , maka

SP (U) ·V = (aSP (xu) + bSP (xv )) · (cxu + dxv )

= acSP (xu) · xv + . . .= acxu · SP (xv )

2 Terakhir, itu sama dengan U · SP (V).

14 / 24Permukaan

Proof.

1 Setelah basis berlaku, misalkan U = axu + bxv danV = cxu + dxv , maka

SP (U) ·V = (aSP (xu) + bSP (xv )) · (cxu + dxv )

= acSP (xu) · xv + . . .= acxu · SP (xv )

2 Terakhir, itu sama dengan U · SP (V).

14 / 24Permukaan

Example

1 Jika SP = O, maka M merupakan bidang.

2 Jika M merupakan bola, maka SP = − 1a IP

15 / 24Permukaan

Example

1 Jika SP = O, maka M merupakan bidang.

2 Jika M merupakan bola, maka SP = − 1a IP

15 / 24Permukaan

Mencari Matriks Penyajian Operator S

1 Misalkan T : R2 → R2 merupakan transformasi linear, danmempunyai basis {e1, e2}.

2 Matriks transformasi dicari dari

T (e1) = ae1 + be2

T (e2) = ce1 + de2

maka matriks penyajian [T ] =

[a cb d

]3 Dengan a = T (e1) · e1 dan b = T (e1) · e2 jika {e1, e2} basis

orthonormal.

4 Untuk Operator SP , kita akan mendefinisikanIIP (U, V) = SP (U) ·V

16 / 24Permukaan

T (e1) = ae1 + be2

T (e2) = ce1 + de2

[a cb d

3 Dengan a = T (e1) · e1 dan b = T (e1) · e2 jika {e1, e2} basisorthonormal.

16 / 24Permukaan

T (e1) = ae1 + be2

T (e2) = ce1 + de2

[a cb d

orthonormal.

16 / 24Permukaan

T (e1) = ae1 + be2

T (e2) = ce1 + de2

[a cb d

orthonormal.

16 / 24Permukaan

2 Jika

IIP (V, V) = SP (V) ·V= −DVn (P) ·V= − (n ◦ α)′ (0) ·T (0)

= (n ◦ α) (0) ·T′ (0)= n (P) · κN = ±κ

17 / 24Permukaan

2 Jika

= (n ◦ α) (0) ·T′ (0)= n (P) · κN = ±κ

17 / 24Permukaan

2 Jika

= (n ◦ α) (0) ·T′ (0)= n (P) · κN = ±κ

18 / 24Permukaan

2 Jika

= (n ◦ α) (0) ·T′ (0)= n (P) · κN = ±κ

18 / 24Permukaan

1 Misalkan matriksnya

], maka

l = IIP (xu, xu) = −Dxun · xu = xu u · nm = IIP (xu, xv ) = −Dxun · xv = xuv · nm = IIP (xu, xv ) = −Dxun · xv = xuv · n

2 Selanjutnya, jika diketahui matriks di atas, maka U = axu + bxvdan V = cxu + dxv , maka

IIP (U, V) = IIP (axu + bxv , cxu + dxv )

= acIIP (xu, xu) + (ad + bc) IIP (xu, xv ) + bdIIP (xv , xv )

jika {xu, xv} orthonormal!

3 Bagaimana jika tidak orthonormal?

19 / 24Permukaan

], maka

19 / 24Permukaan

], maka

19 / 24Permukaan

Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S

Definition

Karena S merupakan operator simetri, maka S akan mempunyaidua nilai eigen real, dan disebuts ebagai kelengkungan utama(principal curvatures) dari M di titik P.

Vektor eigen yang berkaitan disebut arah utama (principaldirections)

Suatu garis disebut garis kelengkungan jika vektor singgungnyapada setiap titik adalah mempunyai arah utama.

20 / 24Permukaan

Definition

20 / 24Permukaan

Definition

20 / 24Permukaan

Theorem

Misalkan e1 dan e2 vektor satuan sebagai arah utama (vektoreigen) dan k1 dan k2 kelengkungan utama (nilai eigen).Perhatikan {e1, e2} saling tegak lurus.

Misalkan V = cos θ e1 + sin θ e2 untuk θ ∈ [0, 2π), maka

IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ

Proof.

1 Kita cukup menghitung

IIP (V, V) = IIP (cos θ e1 + sin θ e2, cos θ e1 + sin θ e2)

= IIP (e1, e1) cos2 θ + IIP (e2, e2) sin2 θ

karena IIP (e1, e2) = 0.

21 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

21 / 24Permukaan

Theorem

Proof.

21 / 24Permukaan

1 Jika k1 ≥ k2, maka

k2 ≤ IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ ≤ k1

2 Hal ini dapat dilihat sebagai berikut

k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = k1

(1− sin2 θ

)+ k2 sin2 θ

= k1 + (k2 − k1) sin2 θ ≤ k1

22 / 24Permukaan

1 Jika k1 ≥ k2, maka

k2 ≤ IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ ≤ k1

2 Hal ini dapat dilihat sebagai berikut

k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = k1

(1− sin2 θ

)+ k2 sin2 θ

= k1 + (k2 − k1) sin2 θ ≤ k1

22 / 24Permukaan

Definition

1 Hasil kali dari kelengkungan utama disebut kelengkungan GaussK = k1k2

2 Rata-rata dari kelengkungan utama disebut kelengkunganrata-rata H = k1+k2

2 = 12

3 Suatu permukaan disebut permukaan minimal jika H = 0 dandisebut rata-rata K = 0.

23 / 24Permukaan

Definition

2 = 12

23 / 24Permukaan

Definition

2 = 12

23 / 24Permukaan

Interpretasi dari Kelengkungan Gauss

1 Misalkan S : R2 → R2, dan ω ⊂ R2, maka S (ω)

2 Ukuran luas

Luas S (ω) = det [S ] Luas ω

= λ1λ2 Luas ω

3 Jika perlu dilakukan ditambahkan nilai mutlak.

4 Untuk shape operator, maka S (ω) ⊂ S2 bola satuan.

24 / 24Permukaan

2 Ukuran luas

= λ1λ2 Luas ω

24 / 24Permukaan

2 Ukuran luas

= λ1λ2 Luas ω

24 / 24Permukaan

2 Ukuran luas

= λ1λ2 Luas ω

24 / 24Permukaan

Permukaan · Pemetaan Gauss 1 Misalkan M permukaan reguler, fungsi n :M !S P 7!n(P) dengan n(P)...

Documents

Transcript of Permukaan · Pemetaan Gauss 1 Misalkan M permukaan reguler, fungsi n :M !S P 7!n(P) dengan n(P)...