34

BAB 6 HIMPUNAN TERTUTUP DAN

PENUTUP SUATU HIMPUNAN

6.1. Himpunan Terutup

Definisi 6.1

Diberikan (X.τ) merupakan suatu ruang topologi pada X dan himpunan F ⊂ X

F ⊂ X adalah himpunan tertutup jika dan hanya jika Fe (Komplemennya adalah himpunan

terbuka.

Contoh 6.1.

1. Interval tertutup [a,b] = {x∈R I a < x< b} adalah himpunan tertutup karena

komplemennya yaitu ( α .a) ¿ (b α ) adalah terbuka pada topologi τ pada garis bilangan

riil R. Karena gabungan (union) dari dua interval takterhingga yang terbuka adalah

terbuka.

2. Diberikan τ = {φ .X.{a}, {c.d}, {b,c,d,e}} Adalah topologi dari X = {a,b,c,d,e}.

Himpunan bagian dari X yang tertutup adalah : X φ {b,c,d,e}, {a,b,e}, {b,e}, {a}

Dalam contoh ini, {b,c,d,e} adalah himpunan terbuka yang sekaligus himpunan tertutup.

Tetapi {a,b} adalah tidak terbuka dan tidak tertutup.

3. Jika D = P (X) yaitut opology diskrit pada X maka humpunan A⊂ X adalah himpunan

terbuka yang sekaligus himpunan tertutup.

Misalnya X = {a,b,c} maka D = {φ , X, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}} Himpunan

bagian dari X yang tertutup adalah X φ , {b,c}, {a,c}, {a.b}, {c}, {b}, {a}.

Teorema 6.1.

Diberikan( X, τ ) adalah ruang topologi pada X. irisan (Interseksi) sebarang (biasa berhingga

atau takberhingga) dari himpunan tertutup himpunan tertutup adalah himpunan tertutup.

Gabungan (Union) berhingga dari himppunan tertutup himpunan tertutup adalah himpunan

tertutup.

Bukti :

Jika {Fi}i∈ I adalah koleksi himpunan tertutup F I⊂X, dimana F iadalah himpunan tertutup

untuk setiap I ∈ I maka Fie∈ τ dan

intersectieI Fitertutup.

Karena¿ieI Fi

e - (intersect

ieI Fi)e∈ τ

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

35

Selajutnya jika F i tertutup untuk I = 1,2,3 ….., n maka Fi e∈ τ, (I = 1,2,…..,n) dan

¿ieI Fiadalah

tertutup karena

¿ieI Fi

e = (intersect

ieI Fi)e∈ τ

Contoh 6.2.

1. Pandang τ merupakan topology pada R yang terdiri dari R, φ dan interval tak terhingga

terbuka Ea = (α ,a) = {x I x < a} dan Eb= (b, α ) x > b}.

Himpunan tertutup dari topologi tersebut adalahφ ,R {x I x > a } dan {x I x <b}.

Jika a < b maka himpunan {x I a ≤ x≤ b} merupakan irisan dua himpunan tertutup

adalah himpunan tertutup.

Sehingga suatu singleton misalnya{a}adalah himpunan tertutup pada topologi τ ini

karena merupakan irisan dari dua himpunan terktutup {x I x < a} dan {x I x > a}.

2. Gabungan tak terhingga dari himpunan tertutup himpunan tertutup adalah tidak tertutup.

Ini dapat dilihat pada ruang topologi usual U pada garis bilangan riil R.

Misalnya:

Fk= {x I1k≤ x≤1−1

k }, untuk k = 2,3,4.....

Maka ¿ieI {x

1k ,1-

1k } = { = x I 0 ˂ x ˂ 1}

= (0,1)

Jadi tidak tertutup

3. Tetapai bila pada contoh tersebut diambil berhingga. Misalnya:

Fk {x I1k≤ x≤1−1

k }, untuk k = 2,3.

Maka¿ieI [

1k ,1-

1k ] = [

12 ,

12¿¿ [

13 ,

23 ]

= {13 ,

23 }

= {x I 13 ≤ x ≤

23 }.

Jadi tertutup.

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

36

6.2. Penutup ( Closure ) Suatu Himpunan .

Definisi : 6.2.

Diberikan ( x,τ) adalah ruang topologi pada X dan A ⊂ X. Penutup (closure) dari suatu

himpunan A adalah irisan dari dari himpunan bagian dari X yang tertutup yang memuat

himpunan A.

Biasanya diberi notasi A

Sehingga : A = ∩ {F ⊂ X I A ⊂ F dan F adalah tertutup}.

Contoh 6.3.

1. Diberikan τ = { Ф, X, {a},{c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}} adalah topologi pada

X = {a,b,c,d,e}

Himpunan bagian dari X yang tertutup adalah: X, Ф, {b,c,d,e,}, {a,b,e}, {b,e}, {a}.

Sehingga :

i. Penutup himpunan A = {b} adalah

A = X ∩ {b,c,d,e}, ∩ {a,b,e,}

= {b,e,}.

ii. Penutup himpunan B = { b,d} adalah

B = X ∩ {b,e,d,e}

= { b,c,d,e}.

iii. Penutup himpunan C = {a,c,d} adalah C = X

Teorema 6.2.

Jika A dan B adalah dua himpunan bagian pada ruang topologi (X, τ)

Maka berlaku :

i. A adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A; yaitu A ⊂ A

ii. A adalah tertutup bila dan hanya bila A = A

iii. Ф = Ф dan X = X.

iv. Jika A ⊂ B maka A ⊂ B.

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

37

v. (A ¿ B) = A ¿ B.

vi. A = A

vii. ( A ∩ B) ⊂A ∩ B

Bukti :

Menurut definisi 6.2. maka jelas bahwa adalah tertutup. Bila {Fᵢ}ᵢ adalah kelas semua

himpunan tertutup pada ruang topologi (X,τ) maka Fᵢ ᴐ A. Dari sini diperoleh bahwa A = ∩

Fᵢ

Karena A adalah tertutup dan A A maka terdapat indek K

Sedemikian sehingga A = F k

Misalkan bahwa Fk adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A maka A ∩ Fᵢ ⊂

Fk………………………………………i)

Tetapi karena FK adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A maka Fk⊂Fᵢ. untuk

setiap ∑ I yang berarti bahwa Fk ⊂ ∩ Fᵢ = A

Dari sini di peroleh bahwa FK ⊂A…………………………………….ii)

dari i) dan ii) di simpulkan bahwa A = FK yang berarti bahwa A adalah himpunan tertutup

terkecil yang memuat A. (yaitu A ⊂ A).

Akan di buktikan bahwa jika A adalah himpunan tertutup maka A = A.

Karena A adalah himpunan tertutup maka himpunan tertutup terkecil yang memuatA adalah

A sendiri. Dengan demikian A= A.

( < = = =)

Akan di buktikan bahwa jika A =A adalah himpunan tertutup. Sesuai dengan teorema 6.2.1

maka A adalah himpunan tertutup. Karena A = A maka jelas bahwa A adalah himpunan

tertutup.

Jadi telah terbukti .

Menurut teorema 6.2.2

i. Karena Ф tertentu maka berlaku Ф = Ф

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

38

ii. Karena X adalah tertutup maka berlaku X = X.

Akan dibuktikan bahwa jika A⊂ B maka A ⊂ B. pandang {Fᵢ} adalah kelas dari himpunan

tertutup pada ruang topologi (x, τ) karena sedemikian sehingga Fᵢ . A untuk setiap i ∑ I dan

A ⊂ B. karena A⊂B⊂ B dan B adalah himpunan tertutup maka B = Fk untuk suatu indek K.

Oleh karena itu A = ∩ F ᵢ ⊂Fk = B.

Yang berarti A ⊂ B

Dengan demikian terbukti bahwa jika A ⊂ B maka A ⊂ B.

Maka teorema 6.2.1 maka berlaku A⊂ A dan B ⊂ B.

Dari sini diperoleh bahwa A ¿ B ⊂A¿ B

Yang berarti bahwa A¿ B adalah suatu himpunan tertutup yang memuat ( A¿ B).

Dan karena( A¿ B) adalah suatu himpunan tertutup terkecil yang memuat ( A ¿ B) maka

( A ¿ B ) ⊂ A¿ B………………….i)

Menurut teorema 6.2.4 berlaku.

KarenaA ⊂A¿ B maka A⊂A ¿ B dan jika B⊂A¿ B maka B⊂ A¿ B

Dari sini di peroleh bahwa : A ¿ B ⊂A ¿ B…………………….ii)

Dari i) dan ii) dapat disimpulakn bahwa : A ¿ B = A ¿ B.

Pandang { Fᵢ} ᵢ∑ᵢ adalah klas dari himpunan tertutup pada ruang topologi (X, τ) maka {Fᵢ} ᵢ∑ᵢ

A.

Dari sini A = ∩ Fᵢ

Karena A adalah himpunan tertutup dan memuat A sendiri maka A = Fk untuk suatu indek k.

oleh karena itu A = ∩ Fᵢ ⊂Fk = A

Yang berarti bahwa A ⊂ A………………………………….....i)

Tetapi karena juga A ⊂ A……………………………………..ii)

Dari i) dan ii) di simpulkan bahwa A = A

Menurut teorema 6.2.4 maka berlaku :

Karena jika A ∩ B ⊂ A maka A ∩ B ⊂A.

Karena jika A ∩ B ⊂B maka A ∩ B ⊂ B

Dari sini diperoleh bahwa A ∩ B ⊂ A ∩ B.

Dalam hal ini tidak selalu berlaku A ∩ B ⊂ A ∩ B, sehingga dapat terjadi A ∩ B x A ∩ B.

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

39

Contoh 6.4.

1. Di dalam ruang topologi diskrit D pada X, closure ( penutup) dari himpunan A ⊂ X

adalah A sendiri. Dari sini A = A karena A⊂ X adalah tertutup.

2. Pandang ( X, J ) adalah ruang topologi indiskrit pada X maka :

a. Karena J = {Ф , X } maka himpunan tertutup pada topologi indistrik ini adalah X ,

Ф.

b. Penutup ( closure ) untuk suatu himpunan A ⊂ X.

- Bila A = Ф maka A = Ф

- Bila A = Ф maka A = X

3. di berikan τ = { ф, x, {a}, {b}, {a,b}} adalah topologi pada

X = {a,b,c}.

Dari sini, himpunan tertutup pada( X ,τ) adalah : X, Ф , { b,c}, {a,c}, {c}.

Ambil A = { a,c} di mana A adalah himpunan tertutup pada ( X, τ) Maka A = X ∩

{a,b},{c}.

= {a,c}

= A.

Bila diambil B = { a} , dimana B ∑ τ maka

B = X ∩ {a,c}

= { a,c}

= B.

4. sesuai contoh 6.4.

ambil A = {c} € τ maka

A = X ∩ {b,c} ∩ {a,c} ∩ {c}

= {c}.

Ambil B = {b,c} € τ maka

B = X ∩ {b,c}

= {b,c}

Dari seni : A ⊂ B maka A ⊂ B

Sekarang bila diambil A = {b} ∑ τ maka A = {b,c} ∩ X = {b,c}

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

40

= {b,c}

B = { a } maka B = X

Jadi A ⊂ B ===> A ⊂ B

5. Sesuai contoh 6.4.

Ambil A = {b} maka A = X ∩ {b,c}

= {b,c}

B = {a} maka B = X ∩ {a,c}

= { a,c}.

Sehingga A¿ B = {a,b,c} = X

Karena A¿ B = {a,b} maka A ¿ B = X

Jadi A ¿ B = A ¿ B

6. Sesuai Contoh 6.4.

Ambil A = {B} Maka A = X ∩ {b,c}

= {b,c}

A = X ∩ {b,c}.

= { b,c}. Jadi A = A

7. Pandang τ = {Ф,X, {a}, {a,b}, {a,c,d}, {a,b,c,d}, { a,b,c}} Adalah topologi pada X =

{ a,b,c,d}.

Ambil A = {a} maka A = X

B = {c,e} maka B = {c,d,e}

Sekarang A∩ B = Ф maka A ∩ B = Ф

A ∩ B = {c,d,e}.

Dengan demikian A ∩ B ≠ A ∩ B

Tetapi bias saja terjadi A ∩ B = A ∩ B

Untuk menjelaskan ini di berikan contoh sesuai contoh 6.4.

Bila A = {b} maka A = {b,e}

B = { b,d} maka B = {b,c,d.e}.

Dari siniA ∩ B = {b} dan A ∩ B = {b,e}

A ∩ B = {b,e} ∩ {b,c,d,e}

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan

41

= { B,E}

Dengan Demikian Terjadi:A ∩ B = A ∩ B

Himpunan Tertutup dan Pengantar TopologiPenutup Suatu Himpunan