Lizza Ulfa Fauziah (120210101002)Amalia Warniasih Sasmito (120210101008)

ALJABAR LINIER

BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYA

BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYA

Kelompok 16

Dimensi

Definisi :Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat ditemukan suatu himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n+1) vektor-vektor ϵ V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, banyak maksimum vektor-vektor ϵ V yang bebas linier adalah n.

Teorema :Setiap n vektor-vektor {u1,u2,……un} yang bebas linier dari V ruang vektor berdimensi n pasti merupakan sistem pembentuk dari V

Bukti :Ambil vektor sembarang v ϵ V. Karena

dimensi V adalah n, menurut definisi {u1,u2,……un} bergantung linier. Sehingga pada persamaan λ1u1+λ2u2+...+λnun+λn+1v=0 terdapat λi yang tidak nol, dan haruslah λn+1 ≠0 karena bila demikian, persamaan λ1u1+λ2u2+...+λnun+0v=0, berakibat {u1,u2,……un} bergantung linier. Bertentangan berarti :

n

nn

n

nn

uuu

uuuv

n2211

12

1

21

1

1

...

...

Jadi, setiap v ϵ V kombinasi linier dari {u1,u2,……un} berarti {u1,u2,……un} sistem pembentuk

Catatan : Suatu sistem pembentuk tidak

perlu bebas linier. Mudah diterangkan bahwa bila {u1,u2,……um} merupakan sistem pembentuk yang bergantung linier, sedang maksimum vektor-vektor di antara u1,u2,……un yang bebas linier adalah {u1,u2,……up} juga sistem pembentuk. Jadi dalam hal ini dimensi adalah p

Contoh

1. Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk:a) b)

2,5,4,2,1,3,2,1 qp

8,22,14,10,4,11,7,5 vu

Penyelesaian :a) Kedua vektor pembentuk tidak

berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti dimensi = 2

b) Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun

. Jadi baik {u} maupun {v} merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi, dimensi = 1

0v

Basis

Definisi :Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor tersebut. Dengan kata lain, setiap himpunan n vektor {u1,u2,……un} yang bebas linier dari ruang vektor berdimensi n disebut basis dari ruang vektor tersebut.

Basis

Catatan :1.Karena vektor-vektor ϵ V tak berhingga

banyaknya, kecuali ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga n, maka kita dapat mencari banyak sekali himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas linier. Sehingga kita dapat memilih banyak basis untuk V

2.Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n

Teorema :Apabila { u1,u2,……un} basis dari ruang vektor V berdimensi n, maka setiap vektor v ϵ V dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,……un}, misal v=k1u1+ k2u2 + ……knun dan n-tupel skalar [k1,k2,……kn]disebut koordinat v relatif terhadap basis { u1,u2,……un} .

Bukti : Misal v=k1u1+ k2u2 + ……+kmum

dan jugav=μ1u1+ μ 2u2 + …… +μmum ,maka

0 =(k1-μ1) u1+ (k2-μ2) u2 + ……(km-μm) um

Karena { u1,u2,……un} bebas linier, maka (k1-μ1)=( k2-μ2) =…..=(km-μm)=0, berarti k1=μ1 ; k2=μ2 ;…; km=μm

Contoh

Tentukan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :1.p = [3,2,7,11] dan q = [2,5,8,9]2.u = [2,1,6,3], dan v = [6,3,18,9]

ContohJawab :1.Kedua vektor yaitu p dan q tidak berkelipatan, sehingga p dan q bebas linier. Jadi p dan q adalah basis dari ruang vektor yang dibentuk. Atau dapat dituliskan, basis dari ruang vektor yag dibentuk adalah {p,q}2.Kedua vektor berkelipatan (v=3u), sehingga keduanya merupakan vektor yang saling bergantung linier. Vektor u maupun v ≠0, jadi keduanya merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi basis dari ruang vektor tersebut adalah {u} atau {v}

Contoh

1. Diketahui S {a=[1,1,1], b=[2,1,1], c=[3,2,2]}. S membentuk ruang vektor L(S)=L{a,b,c}. Tentukan basis dan dimensi dari L(S)

2. Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh

1,1,1,0,1,1,0,0,1 rqp

Jawaban1. c=a+b sehingga {a,b,c}

bergantung linier{a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linierJadi, dimensi dari L(S) adalah 2 dan basis dari L(S) adalah {a,b},atau{a,c}, atau {b,c}.

2.

r}q,{p,adalah basisnyadan 3adalah dimensinya maka

linier, bebas berarti ,0 jelas

0

0

0

:atau 0,0,01,1,10,1,10,0,1

123

3

32

321

321

LATIHAN1. Apakah himpunan vektor-vektor ini

merupakan basis ?a) b)c) 2. Diketahui L dibentuk oleh p = [1,3,1], q

= [2,1,0], dan r = [4,x-2,2]. Tentukan nilai x supaya L berdimensi 2.

3. Diketahui a = [1,2,1], b = [2,4,1], dan r = [3,6,2]. Tentukan basis dan dimensinya

3,2,1,1,1,1

4,3,5,5,2,1,2,1,1

3R

1,1,1,0,1,1,0,0,1

Jawab 1. a) Bukan, karena dimensi = 3,

berarti basis harus terdiri atas 3 vektor

3R

3

3

32

32

32

321

321

321

321

R basisbukan rsebut vektor teketiga maka linier. bergantung berarti

0. yang terdapat jadi ,0 ambil kitaboleh

sebarang. 2 berarti ekivalen, (5)dan )4(

)5.(..........063 : kali)(1) 2()3(

)4.(..........02- : )2()1(

)3.........( 0452

)2.........( 032

)1.........( 05

:atau ,0,0,04,3,55,2,12,1,1

linier. bebasapakah selidiki kita b)

Jawab

3

321

3

32

321

321

R basisrsebut vektor teketiga maka linier. bebas berarti

0. ,, karena

)3.........( 0

)2.........( 0

)1.........( 05

:atau ,0,0,01,1,10,1,10,0,1

linier. bebasapakah selidiki kita c)

2. supaya L berdimensi 2 maka {p,q,r} bergantung linier. Maka r merupakan kombinasi linier dari {p,q}

)3...(....................2

)2........(32

)1...(..........24

atau ],0,1,2[]1,3,1[2,2,4

1

21

21

21

x

x

Dari persamaan (3) dan (1) diperoleh λ1=2 , λ2=1, yang harus memenuhi persamaan (2) berarti x=9

3. c merupakan kombinasi linier dari {a,b}

karena {a,b,c} bergantung linier. {a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linier. Jadi, dimensinya adalah 2 dan basisnya adalah {a,b} atau{a,c} atau {b,c}.

]1,4,2[]1,2,1[2,6,3

THANK YOU