[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

1 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

FUNGSI DAN LIMIT

R E L A S I

Ω Definisi

Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan

anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Contoh :

Himpunan anak yang beranggotakan : Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira.

Himpunan makanan yang beranggotakan : soto ayam, sate, gado-gado,

rawon, nasi goreng dan sop.

Dari kedua himpunan tersebut dapat dibuat dua relasi yang berbeda yaitu:

Relasi “makanan kesukaannya” : Aris → sate, Bari → gado-gado, Cecep →

nasi goreng, Cecep → rawon, Cecep → sate, Darla → sop, Fira → soto ayam,

Fira → nasi goreng.

Relasi “makanan pesanannya” : Aris → sate, Aris→ soto ayam, Bari → nasi

goreng, Cecep → rawon, Cecep → sate, Darla → sop, Fira → gado-gado.

Ω Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi dapat dinyatakan ke dalam himpunan pasangan berurutan dengan

dua langkah:

1. Mendaftarkan masing-masing anggota himpunan.

Himpunan A = �����, ����, � �, ����, ����� Himpunan B = ����� ����, ��� , ���� − ����, �����, ���� ��� ��, ���� 2. Memasangkan anggota di himpunan A dengan anggota himpunan B

dengan relasi dalam bentuk (�, �) dengan � ∈ � dan � ∈ �. Relasi “makanan kesukaannya” himpunan A ke himpunan B dinyatakan

dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )},,,,,),

,(,,,,,,,,{

gorengnasiFiraayamsotoFirasopDarlagoreng

nasiCeceprawonCecepsateCecepgadogadoBarisateArisRBA −=

Ω Diagram Panah

Diagram panah dapat digunakan untuk memperlihatkan relasi dari

himpunan A ke himpunan B. Langkah-langkah menyatakan relasi ke dalam

diagram panah sebagai berikut:

1. Membuat dua lingkaran elips untuk meletakkan himpunan A dan B.

A B

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

2 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

2. Anggota himpunan A diletakkan di lingkaran A dan anggota himpunan B

di lingkaran B.

3. Anggota himpunan A dihubungkan ke himpunan B dengan anak panah.

Arah anak panah menggambarkan relasi dua himpunan.

Diagram Cartesius

F U N G S I

Ω Definisi

Sebuah fungsi � adalah suatu aturan yang menghubungkan tiap obyek � dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah

nilai tunggal �(�) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan

A B

Aris

Bari

Cecep

Darla

Fira

ayamsoto

sate

rawon

gorengnasi

sop

gadogado −

A B

Aris

Bari

Cecep

Darla

Fira

ayamsoto

sate

rawon

gorengnasi

sop

gadogado −

Aris Bari Cecep Darla Fira

Sop

gorengnasi

rawon

gadogado −

sate

ayamsoto

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

3 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

(kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dinamakan daerah hasil

(range).

Ω Notasi Fungsi

Penamaan fungsi menggunakan sebuah huruf tunggal seperti � atau � , sehingga �(�) dapat dibaca “� dari �” yang menunjukkan nilai yang diberikan oleh � kepada �. Nilai dari biasanya dituliskan pula sebagai �, atau � = �(�) Nilai � akan bergantung pada berapapun nilai � yang dipilih dari daerah asalnya, sehingga � dapat dinamakan variabel bebas (independen) dan � sebagai variabel tak bebas (dependen).

Contoh :

Untuk �(�) = �! − 2�, cari dan sederhanakan a. �(4) b. �(ℎ + 4) c. (()*+),((+)) Jawab :

a. �(4) = 4! − 2(4) = 16 − 8 = 8 b. �(ℎ + 4) = (ℎ + 4)! − 2(ℎ + 4) = ℎ! + 8ℎ + 16 − 2ℎ − 8 = ℎ! + 6ℎ + 8 c.

(()*+),((+)) = 0)1*2)*34,3) = )1*2)) = )()*2)) = 6 + ℎ Ω Daerah Asal dan Daerah Hasil

Daerah asal (domain) fungsi adalah himpunan elemen-elemen di mana

fungsi dapat terdefinisi. Daerah hasil (range) fungsi adalah himpunan nilai

yang diperoleh dari mendefinisikan � pada �. Contoh :

Jika �(�) = �! + 2 ditentukan daerah asalnya adalah ( = �−1,0,1,2,3� maka daerah hasilnya adalah 7( = �2,3,6,11�. Jika fungsi tersebut tidak ditentukan daerah asalnya maka ( = ℝ =(−∞, ∞), dan daerah hasilnya adalah 7( = ��: � ≥ 2� Contoh :

Tentukan daerah asal dan hasil dari �(�) = √9 − �! ! Jawab :

Daerah asal ( = ��: − 3 ≤ � ≤ 3� Daerah hasil 7( = ��: 0 ≤ � ≤ 3� Ω Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, fungsi

tersebut dapat dibayangkan dengan menggambarkan grafiknya pada suatu

koordinat. Grafik fungsi � adalah grafik dari persamaan � = �(�).

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

4 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Contoh :

Sketsalah grafik-grafik dari

a. �(�) = �! − 2 b. �(�) = !?,@ Jawab :

a.

Grafik fungsi �(�) = �! − 2 mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan real dan daerah hasilnya yaitu ��: � ≥ −2�. b.

Grafik fungsi �(�) = !?,@ mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan real kecuali � = 0 dan daerah hasilnya yaitu semua bilangan real kecuali � = 0.

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

5 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Ω Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Genap

Jika �(−�) = �(�) untuk semua �, maka grafik simetri terhadap sumbu-�. Fungsi ini juga disebut fungsi genap.

Contoh :

Selidiki apakah �(�) = �! − 2 merupakan fungsi genap ! Jawab :

Jika �(�) = � maka daerah hasil 7( = ��: � ≥ 0�. Ini berarti meskipun � negatif �(�) selalu positif sehingga fungsi ini adalah fungsi genap. Berikut adalah grafiknya.

Fungsi Ganjil

Jika �(−�) = −�(�) untuk semua x, maka grafik simetri terhadap titik-asal (0,0). Fungsi ini disebut fungsi ganjil. Contoh :

Selidiki �(�) = �A − 2� adalah fungsi ganjil ! Jawab : �(−�) = (−�)A − 2(−�) = −�A + 2� = −(�A − 2�) = −�(�) Maka �(�) adalah fungsi ganjil.

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

6 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Fungsi Nilai Mutlak

�(�) = |�| = C � D�E� � ≥ 10−� D�E� � < 0 G

Fungsi nilai mutlak ini merupakan fungsi genap karena meskipun x negatif �(�) akan selalu positif sehingga grafiknya simetri terhadap sumbu-y Fungsi Bilangan Bulat Terbesar �(�) = H�I = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan �. Contoh : H−3,1I = −4 H3,1I = 3 H4,7I = 4 Contoh :

Jika �(�) = H�I dengan � = K−3,4) maka pada interval � tersebut terdapat beberapa interval bilangan bulat lainnya yaitu K−3, −2), K−2, −1), K−1,0), K0,1), K1,2), K2,3), K3,4)

Pada K−3, −2) maka nilai �(�) adalah −3

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

7 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Pada K−2, −1) maka nilai �(�) adalah −2 Pada K−1,0) maka nilai �(�) adalah −1 Pada K0,1) maka nilai �(�) adalah 0 Pada K1,2) maka nilai �(�) adalah 1 Pada K2,3) maka nilai �(�) adalah 2 Pada K3,4) maka nilai �(�) adalah 3 Fungsi Konstanta �(�) = E dengan E konstanta (bilangan real) Contoh :

Misalkan E = 2 maka grafiknya adalah

Fungsi Identitas �(�) = � dengan � adalah bilangan real.

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

8 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Fungsi Polinomial

Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan identitas dengan

menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Bentuk

fungsi polinomial adalah �(�) = �L�L + �L,@�L,@ + �L,!�L,! + ⋯ + �@� + �N dengan � adalah bilangan bulat. Jika �L ≠ 0 maka � derajat fungsi polinomial.

Jika pangkat pada variabel � paling besar adalah 1 (� ≤ 1) maka fungsi tersebut adalah fungsi linear. �(�) = �� + P Jika pangkat pada variabel � paling besar adalah 2 (� ≤ 2) maka fungsi tersebut adalah fungsi kuadrat. �(�) = ��! + P� + � Fungsi Rasional

Fungsi yang diperoleh dari hasil-bagi fungsi-fungsi polinomial.

�(�) = �L�L + �L,@�L,@ + �L,!�L,! + ⋯ + �@� + �NPQ�Q + PQ,@�Q,@ + PQ,!�Q,! + ⋯ + P@� + PN

Fungsi Aljabar Eksplisit

Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas

melalui lima operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian, dan penarikan akar.

Contoh : �(�) = 3�! R⁄ = 3T�!U �(�) = (� + 2)√��A + √�! − 1V Ω Operasi Aljabar pada Fungsi

Meskipun fun gsi bukan bilangan, operasi aljabar (jumlah, selisih, kali, bagi, dan pangkat) dapat pula diterapkan pada fungsi. Jika �(�), �(�) adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada daerah asal masing-masing, dan � ∈ ℝ , maka : a. (� + �)(�) = �(�) + �(�) (*W = ( ∩ W b. (� − �)(�) = �(�) − �(�) (,W = ( ∩