FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi...

23
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1 1 Mia Fitria, S.Si, M.Pd FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Contoh : Himpunan anak yang beranggotakan : Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira. Himpunan makanan yang beranggotakan : soto ayam, sate, gado-gado, rawon, nasi goreng dan sop. Dari kedua himpunan tersebut dapat dibuat dua relasi yang berbeda yaitu: Relasi “makanan kesukaannya” : Aris sate, Bari gado-gado, Cecep nasi goreng, Cecep rawon, Cecep sate, Darla sop, Fira soto ayam, Fira nasi goreng. Relasi “makanan pesanannya” : Aris sate, Arissoto ayam, Bari nasi goreng, Cecep rawon, Cecep sate, Darla sop, Fira gado-gado. Ω Himpunan Pasangan Berurutan Relasi dapat dinyatakan ke dalam himpunan pasangan berurutan dengan dua langkah: 1. Mendaftarkan masing-masing anggota himpunan. Himpunan A = , , , , Himpunan B = , , − , , , 2. Memasangkan anggota di himpunan A dengan anggota himpunan B dengan relasi dalam bentuk (, ) dengan dan . Relasi “makanan kesukaannya” himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) } , , , , , ), , ( , , , , , , , , { goreng nasi Fira ayam soto Fira sop Darla goreng nasi Cecep rawon Cecep sate Cecep gado gado Bari sate Aris R B A - = Ω Diagram Panah Diagram panah dapat digunakan untuk memperlihatkan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Langkah-langkah menyatakan relasi ke dalam diagram panah sebagai berikut: 1. Membuat dua lingkaran elips untuk meletakkan himpunan A dan B. A B

Transcript of FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi...

Page 1: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

1 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

FUNGSI DAN LIMIT

R E L A S I

Ω Definisi

Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan

anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Contoh :

Himpunan anak yang beranggotakan : Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira.

Himpunan makanan yang beranggotakan : soto ayam, sate, gado-gado,

rawon, nasi goreng dan sop.

Dari kedua himpunan tersebut dapat dibuat dua relasi yang berbeda yaitu:

Relasi “makanan kesukaannya” : Aris → sate, Bari → gado-gado, Cecep →

nasi goreng, Cecep → rawon, Cecep → sate, Darla → sop, Fira → soto ayam,

Fira → nasi goreng.

Relasi “makanan pesanannya” : Aris → sate, Aris→ soto ayam, Bari → nasi

goreng, Cecep → rawon, Cecep → sate, Darla → sop, Fira → gado-gado.

Ω Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi dapat dinyatakan ke dalam himpunan pasangan berurutan dengan

dua langkah:

1. Mendaftarkan masing-masing anggota himpunan.

Himpunan A = , , , ,

Himpunan B = , , − , , ,

2. Memasangkan anggota di himpunan A dengan anggota himpunan B

dengan relasi dalam bentuk (, ) dengan ∈ dan ∈ .

Relasi “makanan kesukaannya” himpunan A ke himpunan B dinyatakan

dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),,,,,),

,(,,,,,,,,

gorengnasiFiraayamsotoFirasopDarlagoreng

nasiCeceprawonCecepsateCecepgadogadoBarisateArisRBA −=

Ω Diagram Panah

Diagram panah dapat digunakan untuk memperlihatkan relasi dari

himpunan A ke himpunan B. Langkah-langkah menyatakan relasi ke dalam

diagram panah sebagai berikut:

1. Membuat dua lingkaran elips untuk meletakkan himpunan A dan B.

A B

Page 2: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

2 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

2. Anggota himpunan A diletakkan di lingkaran A dan anggota himpunan B

di lingkaran B.

3. Anggota himpunan A dihubungkan ke himpunan B dengan anak panah.

Arah anak panah menggambarkan relasi dua himpunan.

Diagram Cartesius

F U N G S I

Ω Definisi

Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan tiap obyek

dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah

nilai tunggal () dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan

A B

Aris

Bari

Cecep

Darla

Fira

ayamsoto

sate

rawon

gorengnasi

sop

gadogado −

A B

Aris

Bari

Cecep

Darla

Fira

ayamsoto

sate

rawon

gorengnasi

sop

gadogado −

Aris Bari Cecep Darla Fira

Sop

gorengnasi

rawon

gadogado −

sate

ayamsoto

Page 3: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

3 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

(kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dinamakan daerah hasil

(range).

Ω Notasi Fungsi

Penamaan fungsi menggunakan sebuah huruf tunggal seperti atau , sehingga () dapat dibaca “ dari ” yang menunjukkan nilai yang diberikan oleh kepada . Nilai dari biasanya dituliskan pula sebagai , atau = () Nilai akan bergantung pada berapapun nilai yang dipilih dari daerah

asalnya, sehingga dapat dinamakan variabel bebas (independen) dan

sebagai variabel tak bebas (dependen).

Contoh :

Untuk () = ! − 2, cari dan sederhanakan

a. (4)

b. (ℎ + 4) c. (()*+),((+)) Jawab :

a. (4) = 4! − 2(4) = 16 − 8 = 8

b. (ℎ + 4) = (ℎ + 4)! − 2(ℎ + 4) = ℎ! + 8ℎ + 16 − 2ℎ − 8 = ℎ! + 6ℎ + 8

c. (()*+),((+)) = 0)1*2)*34,3) = )1*2)) = )()*2)) = 6 + ℎ

Ω Daerah Asal dan Daerah Hasil

Daerah asal (domain) fungsi adalah himpunan elemen-elemen di mana

fungsi dapat terdefinisi. Daerah hasil (range) fungsi adalah himpunan nilai

yang diperoleh dari mendefinisikan pada .

Contoh :

Jika () = ! + 2 ditentukan daerah asalnya adalah ( = −1,0,1,2,3 maka

daerah hasilnya adalah 7( = 2,3,6,11.

Jika fungsi tersebut tidak ditentukan daerah asalnya maka ( = ℝ =(−∞, ∞), dan daerah hasilnya adalah 7( = : ≥ 2

Contoh :

Tentukan daerah asal dan hasil dari () = √9 − ! !

Jawab :

Daerah asal ( = : − 3 ≤ ≤ 3

Daerah hasil 7( = : 0 ≤ ≤ 3

Ω Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, fungsi

tersebut dapat dibayangkan dengan menggambarkan grafiknya pada suatu

koordinat. Grafik fungsi adalah grafik dari persamaan = ().

Page 4: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

4 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Contoh :

Sketsalah grafik-grafik dari

a. () = ! − 2

b. () = !?,@

Jawab :

a.

Grafik fungsi () = ! − 2 mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan

real dan daerah hasilnya yaitu : ≥ −2.

b.

Grafik fungsi () = !?,@ mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan real

kecuali = 0 dan daerah hasilnya yaitu semua bilangan real kecuali = 0.

Page 5: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

5 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Ω Jenis-jenis Fungsi

Fungsi Genap

Jika (−) = () untuk semua , maka grafik simetri terhadap sumbu-.

Fungsi ini juga disebut fungsi genap.

Contoh :

Selidiki apakah () = ! − 2 merupakan fungsi genap !

Jawab :

Jika () = maka daerah hasil 7( = : ≥ 0. Ini berarti meskipun

negatif () selalu positif sehingga fungsi ini adalah fungsi genap. Berikut

adalah grafiknya.

Fungsi Ganjil

Jika (−) = −() untuk semua x, maka grafik simetri terhadap titik-asal (0,0). Fungsi ini disebut fungsi ganjil.

Contoh :

Selidiki () = A − 2 adalah fungsi ganjil !

Jawab : (−) = (−)A − 2(−) = −A + 2 = −(A − 2) = −()

Maka () adalah fungsi ganjil.

Page 6: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

6 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Fungsi Nilai Mutlak

() = || = C DE ≥ 10− DE < 0 G

Fungsi nilai mutlak ini merupakan fungsi genap karena meskipun x negatif () akan selalu positif sehingga grafiknya simetri terhadap sumbu-y

Fungsi Bilangan Bulat Terbesar () = HI = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan .

Contoh : H−3,1I = −4 H3,1I = 3 H4,7I = 4

Contoh :

Jika () = HI dengan = K−3,4) maka pada interval tersebut terdapat

beberapa interval bilangan bulat lainnya yaitu K−3, −2), K−2, −1), K−1,0), K0,1), K1,2), K2,3), K3,4)

Pada K−3, −2) maka nilai () adalah −3

Page 7: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

7 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Pada K−2, −1) maka nilai () adalah −2

Pada K−1,0) maka nilai () adalah −1

Pada K0,1) maka nilai () adalah 0

Pada K1,2) maka nilai () adalah 1

Pada K2,3) maka nilai () adalah 2

Pada K3,4) maka nilai () adalah 3

Fungsi Konstanta () = E dengan E konstanta (bilangan real)

Contoh :

Misalkan E = 2 maka grafiknya adalah

Fungsi Identitas () = dengan adalah bilangan real.

Page 8: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

8 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Fungsi Polinomial

Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan identitas dengan

menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Bentuk

fungsi polinomial adalah () = LL + L,@L,@ + L,!L,! + ⋯ + @ + N

dengan adalah bilangan bulat. Jika L ≠ 0 maka derajat fungsi

polinomial.

Jika pangkat pada variabel paling besar adalah 1 ( ≤ 1) maka fungsi

tersebut adalah fungsi linear. () = + P

Jika pangkat pada variabel paling besar adalah 2 ( ≤ 2) maka fungsi

tersebut adalah fungsi kuadrat. () = ! + P +

Fungsi Rasional

Fungsi yang diperoleh dari hasil-bagi fungsi-fungsi polinomial.

() = LL + L,@L,@ + L,!L,! + ⋯ + @ + NPQQ + PQ,@Q,@ + PQ,!Q,! + ⋯ + P@ + PN

Fungsi Aljabar Eksplisit

Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas

melalui lima operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian, dan penarikan akar.

Contoh : () = 3! R⁄ = 3T!U

() = ( + 2)√A + √! − 1V

Ω Operasi Aljabar pada Fungsi

Meskipun fun gsi bukan bilangan, operasi aljabar (jumlah, selisih, kali, bagi, dan pangkat) dapat pula diterapkan pada fungsi. Jika (), () adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada daerah asal masing-masing, dan ∈ ℝ , maka : a. ( + )() = () + () (*W = ( ∩ W

b. ( − )() = () − () (,W = ( ∩ W

c. ( ⋅ )() = () ⋅ () (⋅W = ( ∩ W

d. (/)() = ()/() (/W = ( ∩ W

e. L() = 0()4L ([ = (

dengan n adalah bilangan bulat positif Contoh :

Jika () = √ + 1\ dan () = √9 − !, maka:

Page 9: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

9 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

( + )() = () + () = √ + 1\ + T9 − ! ( − )() = () − () = √ + 1\ − T9 − ! ( ⋅ )() = () ⋅ () = √ + 1\ ⋅ T9 − !

(/)() = ()/() = √ + 1\√9 − !

( = K−1, ∞) W = K−3,3] ( ∩ W = K−1,3] A() = 0√ + 1\ 4A = ( + 1 )V\ ( = K−1, ∞) (V = K−1, ∞) = (

Catatan :

Pada fungsi () = 0 T^ [ 4Q, jika = maka ([ ≠ (

karena () menjadi terdefinisi pada bilangan real. Ω Komposisi Fungsi

Jika f bekerja pada untuk menghasilkan () dan kemudian g bekerja

pada () untuk menghasilkan (()), maka dapat dikatakan bahwa kita

telah mengkomposisikan dengan . Fungsi yang dihasilkan disebut

komposisi fungsi dengan , dinyatakan oleh ∘ . Jadi, ( ∘ )() = 0()4

Dua fungsi atau lebih dapat dikomposisikan/digabung. Range dari fungsi

pertama akan menjadi domain fungsi kedua, range dari fungsi kedua akan

menjadi domain fungsi ketiga, dan seterusnya. Sehingga urutan berbeda

dari fungsi yang saling berkomposisi akan memberikan hasil berbeda-beda.

Contoh :

Jika () = ?,A! dan () = √ maka kedua fungsi dapat dikomposisikan

dengan dua cara, yaitu:

( ∘ )() = 0()4 = ` − 32

( ∘ )() = 0()4 = √ − 32

Ini menunjukkan bahwa ( ∘ )() ≠ ( ∘ )() yang berarti pada

komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.

Untuk ( ∘ )(), misalkan = 4 merupakan salah satu anggota dari daerah

asal fungsi () maka (4) = √4 = 2. 2 menjadi salah satu anggota daerah

asal () sehingga

Page 10: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

10 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

( ∘ )() = 0()4 = 2 − 32 = − 12 Ω Fungsi Trigonometri

Secara umum, fungsi trigonometri didefinisikan berdasarkan lingkaran

satuan. Lingkaran satuan () adalah lingkaran yang mempunyai jari-jari 1

dan titik pusatnya adalah titi asal (0,0) sehingga persamaannya adalah ! + ! = 1.

Misalkan titik adalah (1,0) dan bilangan positif. Maka terdapat satu titik

tunggal a(, ) pada lingkaran sedemikian rupa sehingga panjang busur a, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari

adalah .

Keliling lingkaran C adalah 2b. Jadi jika = b, maka titik a tepat setengah

jalan mengelilingi lingkaran mulai dari titik , dalam kasus ini a adalah titik (−1,0). Jika = A! b, maka a adalah titik (0, −1) dan jika = 2b, maka a

adalah titik . Jika > 2b, maka diperlukan lebih dari satu putaran lengkap

dari lingkaran untuk menelusuri busur a. Jika < 0 dan menelusuri lingkaran dalam arah putaran jarum jam. Akan

terdapat titik tunggal a(, ) pada lingkaran sedemikian rupa sehingga

panjang busur yang diukur dalam arah putaran jarum jam dari adalah .

Sehingga definisi dari fungsi sinus dan kosinus dapat ditentukan sebagai

berikut.

Ω Definisi fungsi sinus dan kosinus

Misalkan bilangan real yang menentukan titik a(, ) maka sin = cos =

C

)0,1(A

ty

x

),( yxP

t

Page 11: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

11

Grafik Fungsi Sinus d

Grafik Sinus

Grafik Kosinus

Empat hal dapat diper

1. dan kedu

2. Kedua grafik berula

3. Grafik = sin

terhadap sumbu

kosinus adalah fung

4. Grafik = sam

Ω Empat Fungsi Trigo

1. tan = jkl mnoj m 2. sec = @noj m 3. cot = noj mjkl m

4. cosec = @jkl m

[FUNGSI DAN LIMIT] KAL

Mia Fit

nus dan Kosinus

at diperhatikan dari grafik-grafik tersebut:

keduanya berkisar dari −1 sampai 1.

k berulang pada interval yang berdampingan di se

simetri terhadap titik asal (0,0), dan =mbu . Jadi fungsi sinus adalah fungsi ganji

lah fungsi genap.

sama seperti = cos , tetapi digeser q! satua

i Trigonometri yang Lain

KALKULUS 1

ia Fitria, S.Si, M.Pd

an di sepanjang 2b. = cos simetri

ganjil dan fungsi

satuan ke kanan.

Page 12: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

12 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Contoh :

Perlihatkan fungsi tangen adalah fungsi ganjil !

tan(−) = sin (−)cos (−) = −sin cos = − tan

Ω Hubungan Terhadap Trigonometri Sudut 180° = b radian ≈ 3,1415927 1 radian ≈ 57,29578° 1° ≈ 0,0174533 radian

Ω Daftar Identitas-identitas Penting

Identitas ganjil-genap Identitas ko-fungsi Identitas Pythagoras sin (– ) = − sin sin vb2 − w = cos sin! + cos! = 1

cos (−) = cos cos vb2 − w = sin 1 + tan! = sec!

cos (−) = − tan tan vb2 − w = cot 1 + cot! = cot!

Identitas Penambahan Identitas sudut ganda sin ( + ) = sin cos + cos sin sin 2 = 2 sin cos cos ( + ) = cos cos − sin sin

tan ( + ) = tan + tan 1 − tan tan

cos 2 = cos! − sin! = 2 cos! + 1 = 1 − 2 cos!

Identitas Jumlah

Identitas Setengah Sudut

sin + sin = 2 sin x + 2 y cos v − 2 w v2w = ±`1 − cos 2

cos + cos = 2 cos x + 2 y cos v − 2 w v2w = ±`1 + cos 2

Identitas Hasil-kali

sin sin = − 12 Kcos( + ) − cos( − )] cos cos = 12 Kcos( + ) + cos( − )] sin cos = 12 Ksin( + ) + sin( − )] Contoh :

Sederhanakanlah : (1 + sin )(1 − sin )! Jawab : (1 + sin )(1 − sin ) = 1 − sin + sin − sin! = 1 − sin! = cos!

Page 13: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

13 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

L I M I T

Ω Definisi

Misalkan suatu fungsi:

() = A − 1 − 1

Jelaslah bahwa = 1 tidak termasuk dalam daerah domainnya karena akan

menghasilkan 0

0 yang tidak memiliki arti. Jika = 1 tidak termasuk daerah

domain dari (), apakah () akan mendekati suatu bilangan tertentu

bilamana mendekati 1? Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat

dilakukan dengan mencari nilai () sedekat-dekatnya dengan 1 namun

tidak pernah mencapai 1, atau dengan mensketsakan grafik () di

sekitar = 1. ~() = − −

, 3,812500000 , 3,310000000 , 3,152500000 , 3,030100000 , 3,003001000 , 3,000300000 ↓ ↓ , ? ↑ ↑ . 2,997001000 . 2,970100000 . 2,738100000 . 2,710000000 . 2,572500000 . 2,466100000

Pada tabel perhitungan diperoleh bahwa jika nilai didekati dari kiri ( < 1) maka diperoleh nilai () yang mendekati 3. Demikian juga dengan

nilai yang didekati dari kanan ( > 1) maka diperoleh nilai () yang

mendekati 3. Selain dengan menggunakan tabel, grafik berikut juga

menunjukkan nilai yang sangat dekat 1 dari kiri ataupun kanan

menghasilkan nilai () yang mendekati 3.

Page 14: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

14

Mencari nilai () dap

ini.

lim?→@ () = lim?→@A − −

Sehingga dapat dibuatlim?→ () = , bera() mendekati .

Contoh:

Carilah )54(lim3

−→

xx

!

Jawab :

Ketika mendekati

Contoh :

Carilah 3

lim2

3 −

−−

→ x

xx

x

[FUNGSI DAN LIMIT] KAL

Mia Fit

dapat juga dilakukan dengan perhitungan al

− 11 = lim?→@( − 1)(! + + 1)( − 1)

= lim?→@ ! + + 1 = 1! + 1 + 1 = 3

t dibuat sebuah definisi intuitif dari limit bahwa:

, berarti bahwa ketika mendekati tetapi

!

ekati 3, maka 4 − 5 mendekati 4(3) − 5 = 7. Se

7)54(lim3

=−→

xx

6!

KALKULUS 1

ia Fitria, S.Si, M.Pd

ngan aljabar berikut

ahwa:

tetapi ≠ , maka

. Sehingga

Page 15: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

15

Jawab :

3

62

−−

x

xxtidak akan t

yang sangat dekat

cara perhitungan aljab

yang didekati oleh

lim2

3 −

→ x

x

x

Jadi diperoleh bahw

3

62

−−

x

xx sangat deka

Ω Limit-limit Satu-Sis

Jika suatu fungsi didek

arah, yaitu dari sebela = , maka dapat

sebelah kanan , at

mengetahui nilai lim

untuk menguji kek

digambarkan.

Definisi

Untuk lim?→ ()dari kiri. Demikian ju

jika mendekati dar

Teorema lim?→ () = jika d

Artinya : nilai limit fun

Contoh :

[FUNGSI DAN LIMIT] KAL

Mia Fit

akan terdefinisi pada = 3. Sehingga kita perlu

dekat dengan 3. Akan tetapi, jika kita dapat m

an aljabar maka akan lebih memudahkan untuk

3

62

−−

x

xx.

23)2(lim3

)2)(3(lim

3

6

33

+=+=−

+−=

→→

xx

xxx

xx

bahwa nilai yang sangat dekat dengan

at dekat dengan 5.

Sisi

si didekati pada suatu titik , maka ia dapat dide

i sebelah kiri dan sebelah kanan. Misalkan (dapat didekati dari sebelah kiri , ditulis

, atau → *. Limit-limit sepihak ini ber

ilai limit fungsi-fungsi yang mempunyai lompa

ji kekontinuan fungsi meskipun grafik f

( ) = berarti bahwa () mendekati jika

ikian juga lim?→ () = berarti bahwa (dari kanan.

jika dan hanya jika lim?→ () = dan lim?limit fungsi akan ada jika limit kiri sama dengan li

KALKULUS 1

ia Fitria, S.Si, M.Pd

ta perlu mecari nilai

dapat menggunakan

untuk mencari nilai

52 =

engan 3, membuat

pat didekati dari dua ) didekati pada → ,, dan dari

ini berguna untuk

i lompatan ataupun

rafik fungsi tidak

jika mendekati ) mendekati

?→ () = .

engan limit kanan.

Page 16: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

16

Berdasarkan grafik fun

a) (−4) b)

e) (1) f)

i) (6) j)

Jawab :

a) (−4) tidak ada. K = −4. b) lim?→,+ () = 2c) lim?→,+ () =d) lim?→,+ () = 2−4, yaitu 2. e) (1) = 4 f) lim?→@ () = 4. K

g) lim?→@ () = −h) lim?→@ () tidak a

pada = 1. i) (6) = 2 j) lim?→2 () = 5k) lim?→2 () = 5l) lim?→2 () = 5. Lim

Ω Teorema Limit

Misalkan bilangan b

fungsi yang mempuny

1. kkcx

=→

lim

2. cxcx

=→

lim

3. lim)(lim fkxfkcxcx →→

=

[FUNGSI DAN LIMIT] KAL

Mia Fit

rafik fungsi tersebut, tentukan:

b) lim?→,+ () c) lim?→,+ () d) limf) lim?→@ () g) lim?→@ () h) limj) lim?→2 () k) lim?→2 () m) lim

ada. Karena tidak ada titik yang melalui 2. Karena () mendekati 2 pada = −4 2. Karena () mendekati 2 pada = −4 2. Karena limit kiri sama dengan limit kan

. Karena () mendekati 4 pada = 1 dari k−2. Karena () mendekati −2 pada = 1tidak ada. Karena limit kiri tidak sama dengan

5. Karena () mendekati 5 pada = 6 dari k5. Karena () mendekati 5 pada = 6 dari k

. Limit kiri sama dengan limit kanan pada

angan bulat positif, E konstanta, serta dan mpunyai limit di maka:

)(xf

KALKULUS 1

ia Fitria, S.Si, M.Pd

lim?→,+ () lim?→@ () lim?→2 ()

() pada saat

dari kiri. dari kanan.

it kanan pada =dari kiri. 1 dari kanan.

dengan limit kanan

dari kiri. dari kanan. = 6, yaitu 5.

adalah fungsi-

Page 17: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

17 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

4. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

±=±

5. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

⋅=⋅

6. 0)(asalkan ,)(lim

)(lim

)(

)(lim ≠=

→xg

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

7. [ ] [ ]ncx

n

cxxfxf )(lim)(lim

→→=

8. genap ketika0)(limasalkan ,)(lim)(lim nxfxfxfcx

ncx

n

cx>=

→→→

Contoh :

Carilah lim?→A 2+ !

Jawab : lim?→A 2+ = 2 lim?→A + = 2 lim?→A + = 2K3]+ = 162

Contoh :

Carilah lim?→+(3! − 2) !

Jawab : lim?→+(3! − 2) = lim?→+ 3! − lim?→+ 2 = 3 lim?→+ ! − 2 lim?→+

= 3 lim?→+ ! − 2 lim?→+ = 3K4]! − 2K4] = 40

Ω Teorema Subtitusi

Jika fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka lim?→ () = ()

Asalkan () terdefinisi dan untuk fungsi rasional nilai penyebut pada =

tidak nol.

Contoh :

Carilah lim?→! ?U,@N?\,@A?*2A?1,2?,3 !

Jawab :

lim?→!7R − 10+ − 13 + 63! − 6 − 8 = 7K2]R − 10K2]+ − 13K2] + 63K2]! − 6K2] − 8 = − 112

Ω Limit Fungsi Trigonometri

Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi.

1. limm→ sin = sin

2. limm→ cos = cos

3. limm→ tan = tan

4. limm→ sec = sec

5. limm→ csc = csc

6. limm→ cot = cot

Page 18: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

18 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Ω Limit Trigonometri Khusus

1. limm→N jkl mm = 1

2. limm→N @,noj mm = 0

Contoh :

Carilah masing-masing limit.

lim?→Nsin 3

limm→N1 − cos

lim?→Nsin 4tan

Jawab :

lim?→Nsin 3 = 33 lim?→N

sin 3

= 3 lim?→Nsin 33 = 3 ∙ 1 = 3

limm→N1 − cos sin = limm→N

(1 − cos ) v@mw(sin ) v@mw

= limm→N@,noj mmjkl mm

= 01 = 0

lim?→Nsin 4tan = lim?→N

sin 4jkl ?noj ?

= lim?→Nsin 4 ∙ cos sin

= lim?→N@! Ksin 5x + sin 3x]sin

= 12 lim?→NvKjkl R*jkl A] w

vjkl ?? w

= 12 lim?→NvR jkl RR w

vjkl ?? w + lim?→NvA jkl AA w

vjkl ?? w

= 12 5 lim?→Nvjkl RR wvjkl ?? w + 3 lim?→N

vjkl AA wvjkl ?? w

Page 19: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

19 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

= 12 5 11 + 3 11 = 12 K5 + 3] = 82 = 4

Ω Kekontinuan Fungsi

Definisi kontinuitas di satu titik

Misalkan terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung .

dikatakan kontinu di , jika lim?→ () = ()

Gambar (1) : lim?→ () ada tetapi ≠ (), lim?→ () = (),

Jadi lim?→ () tidak ada.

Gambar (2) : lim?→ () ada tetapi ≠ (), lim?→ () ada tetapi ≠ (),

Jadi lim?→ () ada akan tetapi lim?→ () ≠ (). Gambar (3) : lim?→ () = () ada, lim?→ () = (), Jadi lim?→ () = ().

Syarat kontinuitas di satu titik adalah:

1. lim?→ () ada

2. () ada (limit kiri = limit kanan)

3. lim?→ () = ()

Contoh :

Misalkan () = ?1,+?,! , ≠ 2. Bagaimana seharusnya didefinisikan di = 2 agar kontinu di titik itu?

lim?→!! − 4 − 2 = lim?→!

( − 2)( + 2) − 2 = lim?→!( + 2) = 2 + 2 = 4

Agar kontinu pada = 2 maka didenisikan sebagai berikut

() = ! − 4 − 2 ≠ 24 = 2G

adatidak )(lim xfcx→

)()(lim

tetapiada,)(lim

cfxf

xf

cx

cx

≠→

→)()(lim cfxf

cx=

( )1 ( )2 ( )3

Page 20: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

20 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

L A T I H A N

Ω Latihan 1

1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan: a. Aturan relasi: alat transportasi = PE , P , E , P , E , ℎ^ = , ^ , ^ b. Aturan relasi: faktor prima dari = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14

2. Himpunan pasangan berurutan berikut merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Daftarkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B serta tulis aturan relasi yang mungkin.

a. BA R = (E , ), (P , ), ( , ), (E , ) , (P^ , ) b. BA R = (7 , 3) , (6 , 2) , (5 , 1) , (4 , 0) , (3 , – 1) , (2 , – 2) , (1 , – 3)

3. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram panah dengan aturan relasi : “tiga kurangnya dari” = | – 2 ≤ < 5 , ∈ P P^ = | 0 ≤ ≤ 10 , ∈ P ℎ

4. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram Cartesius dengan aturan relasi: lebih dari. a. = P E^ 10 D = P E^ 12

5. Diketahui himpunan = 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 Relasi 7 dari himpunan ke himpunan dengan aturan “kelipatan dari” a. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan himpunan pasangan berurutan b. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan diagram panah c. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan diagram cartesius

Ω Latihan 2 1. Untuk () = A + 3, carilah masing-masing nilai dari.

a. 0√24 b. (−3)

c. v @A)w

d. (2,5) e. (1 + ℎ) f. (2 + ℎ) − (2)

2. Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut ini fungsi genap atau ganjil. a. () = −4 b. () = 2 + 1 c. () = 3

Page 21: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

21 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

d. () = ?V3

e. () = |2| f. () = −| + 3|

3. Jika () = A + 2 dan () = @?, carilah masing-masing nilai

a. ( + )() b. ( ∘ )()

c. ( ∘ )(√83 )

d. !() + @W(?) e.

(W () f. ( ⋅ )0√164 g. ( − 5)(5)

4. Carilah domain dari fungsi-fungsi berikut ini.

a. () = @?

b. () = √! − 16

c. () = −√81 − 3

d. () = +,?1?1*+?*+

e. () = √

5. Konversikan ukuran berikut ini.

a. 2 b radian = °

b. 46° = radian

c. 30° = radian

d. 6,28 radian = °

6. Sederhanakanlah :

a. v @ ¡ ? − 1w v @ ¡ ? + 1w

b. 2 −12

c. 2 +2 2

Ω Latihan 3 1. Carilah limit fungsi berikut ini.

a. ?→A( − 5) b. m→,@(! − !) c. ?→!(! + 2 − 1) d. ?→@ √2 + 2 e. ?→R √5

Page 22: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

22

f. ?→,@ ?,@!?*@ g. ?→¢1 4 cos 2h. ?→N ¡£L ?!? i. m→N +,+ ¡ m!mj. ?→N ¡ ??*@

2. Carilah nilai limit

maka maka lakuk

mengubah bentuk f

a. ?→! 0?1,+4?,! b. ?→,m 0?1,m14?*mc. ?→ T(?,)V?, d. ?→+ ?1*!?,!+?,+e. ?→,! ?1*?*?*!f. ?→¤ ?,¤√?,A g. ?→! ?1,R?*2?1,?,!h. ?→@ ?1,!?*@?1,@i. ?→N ?V,@2??1*+ j. ?→! ?1,3?*@!?1,!

3. Grafik grafik beriku

Berikan alasannya.

[FUNGSI DAN LIMIT] KAL

Mia Fit

2 . sin m

i limit yang diberikan dengan pemeriksaan, jik

a lakukan dengan beberapa perhitungan al

entuk fungsinya. 44

) !+ *@N 2 @ @!

berikut ini, tentukan apakah () kontinu di

annya.

KALKULUS 1

ia Fitria, S.Si, M.Pd

saan, jika tidak ada

gan aljabar untuk

u di −2, 0, dan 3.

Page 23: FUNGSI DAN LIMIT - miamtk.files.wordpress.com · FUNGSI DAN LIMIT R E L A S I Ω Definisi Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota

[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1

23 Mia Fitria, S.Si, M.Pd

4. Nyatakan apakah fungsi berikut ini kontinu atau tidak kontinu di = 2

dan berikan alasannya. a. () = 4! − 2 + 12 b. () = @?,! c. () = ?V

!,? d. () = √ − 3 e. () = √! − 5 f. () = ,3*!?*?1

!,? g. () = R?,@N?,! h. () = ¥!?,+?,! ≠ 22 = 2G i. () = ¦ + 3 < 2! + 1 ≥ 2 G j. () = ¦−2 + 4 ≤ 2−2 > 2G

5. Fungsi-fungsi berikut ini tidak kontinu di titik tertentu. Definisikan

fungsi-fungsi tersebut agar menjadi kontinu. a. () = ?1,@2?,+ b. () = !?,@√!?,@ c. () = +?1,¤!?,A

6. Di titik manakah fungsi-fungsi berikut ini menjadi tidak kontinu. a. () = √ − 5 b. () = ?1,@?,@ c. () = !?!?1,!? d. () = √4 − 4 e. () = !?*A?1,?,2 f. () = @√+,? g. () = !?*√?*R h. () = ?!?1,?,@ i. () = C√ + 1 ≥ 1 < 1 G j. () = ! < 0− 0 < ≤ 1 > 1 G