Arnold Sommerfeld Center Ludwig–Maximilians–Universitat Munchen

Prof. Dr. Ivo Sachs SoSe 2018

Ubungen zur Elektrodynamik (T3)

Ubungsblatt 6

Due: Mai 21 - Mai 29, 2018

Auf diesem Ubungsblatt werden wir naturliche Einheiten ~ = c = ε0 = 1 verwenden.

1 Lorentzkraft

Die Bewegungsgleichungen fur die Trajektorie xµ(τ) eines Punktteilchens der Masse m und Ladung q ineinem externen elektromagnetischen Feld lauten

mduµ

dτ= qFµνuν . (1)

Hierbei ist τ die Eigenzeit des Teilchens und uµ = dxµ

dτ .

(i) Zeige, dass (1) die Konstanz von uµuµ entlang der Trajektorie impliziert. Verifiziere, dass der Wertder Konstante 1 ist, indem du uµu

µ in einem instantanen Ruhesystem des Teilchens berechnest.

(ii) Zeige, dass die i-Komponenten, fur i ∈ {1, 2, 3}, von (1), die 0-Komponente dieser Gleichung bestim-men.

(iii) Es genugt also, die i-Komponenten von (1) zu betrachten. Eliminiere damit u0 aus dieser Gleichungmithilfe des Resultats aus (i) und leite so eine geschlossene Gleichung fur u(τ) in Abhangigkeit von Eund B her.

(iv) Betrachte von nun an die Bewegung in einem konstanten Magnetfeld B = Bez und verschwindendemelektrischen Feld (im Laborsystem).

Zeige, dass der Betrag von u bei der Bewegung zeitlich konstant ist.

(v) Berechne die Teilchenbahn x(τ) fur die Anfangsbedingungen

x(0) =

r00

und u(0) =

0rω0

wobei r eine Konstante und ω = qB

m .

Skizziere nun x(τ) in der x-y-Ebene. Wie unterscheiden sich die Falle q < 0 und q > 0?

(vi)* Fuhre jetzt einen Boost in x-Richtung aus. Berechne die neuen elektrischen und magnetischen Felder

E und B, sowie die neue Trajektorie uµ (beachte, dass du hierfur u0 benotigst). Zeige, dass dieseTrajektorie wieder die Bewegungsgleichung aus (iii) erfullt.

2 Elektromagnetisches Feld einer bewegten Drahts

Betrachten wir einen unendlich langen Draht, der sich entlang der x-Achse erstreckt, der eine Ladung λbesitzt und durch den ein konstanter Strom I fließt.

(i) Nehmen wir zuerst an, dass der Draht ruht. Berechne das elektrische und magnetische Feld E und B,welche vom Draht produziert werden, sowie den Feldstarketensor Fµν .

(ii) Berechne die Großen FµνFµν und εµνρσFµνFρσ.

(iii) Fuhre nun einen Boost in Richtung der x-Achse aus und finde die neuen elektrischen und magnetischenFelder E′ und B′ welche Draht erzeugt werden, der sich nun mit konstanter Geschwindigkeit v in diex-Richtung bewegt.

(iv) Was geschieht mit den Großen aus Teil (ii)? Unter welchen Bedingungen kannst du ein Bezugssystemfinden in dem E′ = 0 oder B′ = 0? Gibt es eines, in dem beide Felder verschwinden?

3 Feld-Theorie eines kontinuierlichen mechanischen Systems

Wir mochten eine effektive Langrange-Funktion fur ein System mit vielen Freiheitsgraden konstruieren, einBeispiel fur solch ein System ist in Abb. 1 gezeigt. Wir betrachten eine Kette aus n Teilchen, die anden Stellen x01, x

02, . . . , x

0n auf der x-Achse sitzen. Wir sagen, dass x0i die Position des i-ten Teilchens im

Gleichgewicht ist. Jedes dieser Teilchen habe eine Masse m. Benachbarte Teilchen sind mit Federn mit derFederkonstanten k verbunden. Lenken wir nun ein Teilchen i aus seiner Ruhelage entlang der x-Achse aus,so beginnt das System zu schwingen. Wir wollen nur longitudinale Schwingungen betrachten.

3.1 Berechnung der Lagrange-Funktion L

Die Lagrange-Funktion, L(x1, . . . , xn; x1, . . . , xn; t) hangt von den n generalisierten Koordinaten xi und denn generalisierten Geschwindigkeiten xi ab. Es ist jedoch schoner die Lagrange-Funktion in Abhangigkeit vonder Auslenkung aus der Ruhelage ui(t) ≡ δxi(t) = xi(t)− x0i und deren Zeitableitung ui(t) zu schreiben:

L = T − U =

n∑i=1

1

2mu2i (t)−

n−1∑i=1

1

2k(ui+1 − ui)2 −

1

2k(u21 + u2n), (2)

die beiden letzten Terme resultieren aus der Kopplung von Teilchen 1 und Teilchen n mit der Wand. Mankann L nun in einer symmetrischen Form aufschreiben, wenn wir zwei dummy-Koordinaten x00 = 0 undx0n+1 = L einfuhren. Wir mussen dann aber fordern, dass u0(t) = un+1(t) ≡ 0. Jetzt konnen wir L in einersymmetrischen Form schreiben:

L =

n+1∑i=0

1

2mu2i (t)−

1

2k

n∑i=0

(ui+1 − ui)2. (3)

Leiten Sie die Bewegungsgleichung fur ui(t) her.

3.2 Kontinuums-Limes

Nun gehen wir zum Kontinuums-Limes uber, d.h. wir machen den Abstand d zwischen den Teilchen in-finitesimal klein und fordern dass m/d und kd konstant bleibt. Man kann dann ein skalares Feld ϕ(x, t)einfuhren, welches die Teilchen-Dichte am Ort x auf der Kette beschreibt. Solch ein Feld erfullt dann eineBewegungsgleichung, die mit Hilfe des Hamilton’schen Prinzips hergeleitet werden kann,

δ

∫dtL = 0. (4)

Wir nehmen an, dass die Kette eine Lange L habe und wir setzen n Teilchen im gleichen Abstand d aufdie Kette. Die Anzahl der Teilchen soll sehr groß sein, damit der Abstand d = L/(n+ 1) infinitesimal kleinwird. Dann kann man das Feld ϕ(x, t) definieren durch:

uj(t) ≡ ϕ(x = (jL/(n+ 1)), t), j = 0, . . . , n+ 1. (5)

Die Differenzen uj+1 − uj und uj − uj−1 kann man dann durch die Ableitung von ϕ(x, t) annahern,

uj+1 − uj ≈ d∂ϕ

∂x|x=jd+d/2, uj − uj−1 ≈ d

∂ϕ

∂x|x=jd−d/2. (6)

(i) Setzen Sie die obigen Approximationen in die Lagrange-Funktion ein und ersetzen Sie die Summe∑i

durch ein Integral uber dx, d.h. fur die potentielle Energie,

1

d

n∑i=0

(ui − ui+1)2 →∫ L

0

dx

(∂ϕ

∂x

)2

. (7)

Figure 1: Modell einer elastischen Kette. Die Kette besteht aus n Massen, die miteinander durch Federnverbunden sind. Im Gleichgewicht haben die Teilchen einen Abstand, d. Hier sind x0 und xn+1 =x5 fest an die Wand gekoppelt, so dass sie sich nicht bewegen.

Machen Sie etwas Ahnliches fur die kinetische Energie T ! Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit

L =

∫ L

0

Ldx, (8)

wobei die Lagrange-Dichte gegen ist durch

L =1

2ρ

[(∂ϕ(x, t)

∂t

)2

− v2(∂ϕ(x, t)

∂x

)2], (9)

wobei ρ = m/d die Massendichte der Kette ist und v ist die Geschwindigkeit, v2 = kd/ρ.L =

∫dxL ist die Lagrange-Funktion fur ein kontinuierliches System. Die Dynamik von ϕ(x, t) wird

durch die Wirkung∫dtL bestimmt. Wir wollen nun die Bewegungsgleichung fur ϕ(x, t) bestimmen.

Im Allgemeinen wird die Lagrange-Funktion von ϕ(x, t), ϕ(x, t) und ϕ′(x, t) abhangen,

L = L(ϕ,∂ϕ

∂x,∂ϕ

∂t;x, t

). (10)

Das Prinzip der kleinsten Wirkung sagt uns nun, dass die Variation der Wirkung verschwinden muss,

δ

∫dtL = δ

∫dt

∫ L

0

dxL(ϕ,ϕ′, ϕ;x, t) = 0. (11)

Das bedeutet, dass Funktionen, ϕ(x, t), welche die Wirkung minimieren, die Euler-Lagrange-Gleichungerfullen mussen.

∂L∂ϕ− d

dt

(∂L∂ϕ

)− d

dx

(∂L∂ϕ′

)= 0 (12)

(ii) Bestimmen Sie die Euler-Lagrange Gleichung fur ϕ(x, t).

Allgemeine Informationen

Die Vorlesung findet in H030 (Schellingstr. 4) zu den folgenden Terminen statt:

Dienstags von 8:00 bis 10:00 c.t. undDonnerstags von 14:00 bis 16:00 c.t.

Weitere Informationen finden Sie auf

http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_18/T3_-Elektrodynamik/index.html