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Matematica

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  • 1. ESCUELA DE ENSEANZA MEDIA N20 PROGRESIONES ARITMTICAS Y GEOMTRICAS MAURO MARTINEZ MAURO PREZ IVAN DEMARCHI LEANDRO RUIZ DIAZ CURSO: 2do 6ta MODALIDAD: NATURALES PROFESORA A CARGO: PATRICIA TABOADA AO LECTIVO 2007

2. SUCESIONES Se entender porsucesinuna coleccin de nmeros dispuestos uno a continuacin de otro. Sirvan de ejemplo: a) -3, 0, 1/5, 2, 7, , 13... b) -1, 3, 7, 11, 15... c) 3, 6, 12, 24, 48... Cuando se habla de una sucesin cualquiera, la forma ms usual de referirse a ella es escribir a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ..., a n - 2, a n - 1, a n , ... donde los subndices determinan el lugar que cada trmino ocupa dentro de la sucesin, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los nmeros. Es tambin frecuente encontrar una sucesin simbolizada por (a n ) nN , o simplemente (a n ). 3. Trmino general de una sucesin Eltrmino general de una sucesines una frmula que permite conocer el valor de un determinado trmino si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al trmino general de una sucesin se le denota por a ny se hablar de trmino n-simo. De entre los muchos ejemplos que se podran citar, valgan los siguientes: b n= (n + 1) /n 1/2, 1, 9/8, 1, 25/32, ...c n= n /2 n 1/2, 3/2, 3/4, 4/5, ...a n= n/(n + 1 ) 4, 4/2, 16/3, 25/4, ... 4. Ejercicio: determinacin de trminos de una sucesin 1) cul es el trmino sexagsimo de la sucesin 1/2, 3/2, 3/4, 4/5, ...? Resolucin : - Es claro que el trmino general esa n= n/(n + 1 ) - As, el trmino a 60ser a 60= 60/61 Escribir los seis primeros trminos de la sucesin a n= 3.2 n - 1 Resolucin : a 1= 3.2 1 - 1= 3.1 = 3 a 4= 3.2 3= 24 a 2= 3.2 = 6 a 5= 3.2 4= 48 a 3= 3.2 = 12 a 6= 3.2 5= 96 La obtencin del trmino general de una sucesin puede entraar una notable dificultad. No obstante, se estudiarn a continuacin dos clases de sucesiones en las que el hallazgo del trmino general es bastante sencillo. 5. PROGRESIONES ARITMETICAS Unaprogresin aritmticaes una sucesin en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un nmero fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d. As, si (a n ) es una progresin aritmtica, se verifica que: a n= a n - 1+ d 6. Ejercicio: cmo reconocer una progresin aritmtica Para asegurarse de que una sucesin es una progresin aritmtica se ha de comprobar que la diferencia entre cada trmino y su anterior es siempre la misma. Adems, esta comprobacin elemental determina el valor de la diferencia de la progresin. Es la sucesin 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresin aritmtica? Si lo es, cul es la diferencia? Resolucin : Se determina si la diferencia entre cada dos trminos consecutivos es la misma: 5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ... Es una progresin aritmtica de diferencia d = -2. 2) Es 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 9/2, ... una progresin aritmtica? Resolucin : 3/2 -1 = 1/2, 3 - 5/2 = 1/2, 2 - 3/2 = 1/2, 9/2 - 3 = 3/2, 5/2 - 2 = 1/2 No es una progresin aritmtica. 7. Trmino general de una progresin aritmtica La frmula del trmino general de una progresin aritmtica (a n ) se encuentra sin ms que observar que: a 2= a 1+ d a 3= a 2+ d = (a 1+ d) + d = a 1+ 2 d a 4= a 3+ d = (a 1+ 2.d) + d = a 1+ 3 d a 5= a 4+ d = (a 1+ 3.d) + d = a 1+ 4 d Ntese que en todos los casos el trmino correspondiente es la suma de dos cantidades: - La primera es siempre a 1 - La segunda es el producto (n - 1) d. a n= a 1+ (n - 1) d Si la diferencia de una progresin aritmtica es positiva, la progresin es creciente; es decir cada trmino es mayor que el anterior. Si la diferencia de una progresin aritmtica es cero, la progresin es constante, es decir, tiene todos sus trminos iguales. Si la diferencia de una progresin aritmtica es negativa, la progresin es decreciente, es decir, cada trmino es menor que el anterior. 8. Trminos equidistantes de una progresin aritmtica El inters de las progresiones aritmticas no acaba en el clculo del trmino general. Estudiando ms detalladamente algunos modelos de progresiones aritmticas, se pueden deducir propiedades de enorme inters: En cada uno de estos tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de trminos, de forma que la suma de los subndices es igual en ambos casos. Sumando el valor de los trminos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados coinciden. Esto conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de trminos cuyas sumas de subndices coincidan, tambin coincidirn las sumas de sus trminos correspondientes. Dicho en lenguaje matemtico, cabe preguntarse si ser cierto que el hecho de serr + s = u + v , se desprende la igualdad a r+ a s= a u+ a v. 9. La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre depropiedad de los trminos equidistantes de una progresin aritmtica . Propiedad : Si a nes una progresin aritmtica de diferencia d yr + s = u + v , entonces a r+ a s= a u+ a v . Demostracin : Estos dos resultados son iguales por serr + s = u + v . 10. Interpolacin de medios aritmticos Interpolar(deinter, entre ypolos , ejes) n nmeros entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresin aritmticaa, a 1 , a 2 , ... , a n , b. Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas: 1) La sucesin tiene n + 2 trminos 2) El primer trmino es a y el trmino a n + 2es b. Aplicando la frmula del trmino general de una progresin aritmtica, se tiene que: b = a +[(n + 2) - 1]. d , d = (b - a)/(n + 1) Una vez conocido el valor de la diferencia, a 1se obtiene como la suma de a y d ; a 2es la suma de a 1y d , y as sucesivamente. Los nmeros a 1 , a 2 , ... , a nreciben el nombre demedios aritmticos . 11. Ejercicio: interpolacin de medios aritmticos Interpolar cinco medios aritmticos entre -18 y 25. Resolucin : La progresin es: -18, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , 25. Aplicando la frmula obtenida con a = -18 y b = 25. d = [25 - (-18)]/(5 + 1) = 43/6 a 1= -18 + 43/6 = -65/6 a 2= -65/6 + 43/6 = -22/6 = -11/3 a 3= -11/3 + 43/6 = 21/6 = 7/2 a 4= 7/2 + 43/6 = 64/6 = 32/3 a 5= 32/3 + 43/6 = 107/6 La progresin aritmtica que se buscaba es: -18, -65/6, -11/3, 7/2, 32/3, 107/6, 25, ... 12. Suma de trminos consecutivos de una progresin aritmtica Se denotar por S na la suma a 1+ a 2+ ... + a n Se tiene entonces: S n= a 1+ a 2+ a 3+ ...+ a n - 2+ a n - 1+ a n Invirtiendo el orden, S n= a n+ a n - 1+ a n - 2+ ...+ a 3+ a 2+ a 1 y sumando, 2 S n= (a 1+ a 2 ) + (a 2+ a n - 1 ) + ... + (a n - 1+ a 2 ) + (a n+ a 1 ) Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes se sabe que: a 1+ a n= a 2+ a n - 1= a 3+ a n - 2= ... = a n+ a 1 Por tanto, 2. S n= n(a 1+ a n ), y despejando: 13. S n= (a 1+ a n ).n/2 Esta frmula no slo sirve para sumar los primeros trminos de una progresin aritmtica sino para sumar cualesquiera n trminos consecutivos. Para sumar, por ejemplo, a 5+ a 6... + a 83 , es necesario constatar que hay (83 - 4 = 79) 79 trminos (faltan los cuatro primeros). La suma es: (a 5+ a 63 ).79/2 14. PROGRESIONES GEOMETRICAS (I) Unaprogresin geomtricaes una sucesin en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un nmero fijo llamado razn, y que se representar por la letra r. As, si (a n ) es una progresin geomtrica, se verifica a n= a n - 1.r 15. Resolucin : No es una progresin geomtrica Trmino general de una progresin geomtrica La frmula del trmino general de una progresin geomtrica (a n ) se encuentra sin ms que observar que: a 2= a 1.r a 3= a 2 . r = (a 1.r). r = a 1.r a 4= a 3 . r = (a 1.r ). r = a 1.r a 5= a 4 . r = (a 1.r). r = a 1.r 4 Ntese que, en todos los casos, el trmino correspondiente es el producto de dos cantidades: - La primera es siempre a 1 - La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto nmero, que se obtiene restando una unidad al subndice. En definitiva, la expresin del trmino general es: a n= a 1.r n - 1 16. Interpolacin de medios geomtricos Interpolar n medios geomtricos entre otros dos conocidos a y b, consiste en construir una progresin geomtrica a, a 1 , a 2 , ..., a n , b. Para resolver este problema basta con conocer la razn que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que tener en cuenta dos cosas: 1) La sucesin tiene n + 2 trminos. 2) El primer trmino es a y el n + 2 es b. Aplicando la frmula del trmino general de una progresin geomtrica se tiene que: b = a.r n + 2 - 1 , de donde Una vez conocido el valor de la razn, a 1se obtiene como el producto de r por a; a 2es el producto de a 1por r , y as sucesivamente. Una vez conocido el valor de la razn, a 1se obtiene como el producto de r por a; a 2es el producto de a 1por r , y as sucesivamente. 17. Ejercicio: interpolacin de medios geomtricos Interpolar cuatro medios geomtricos entre 128 y 4. Resolucin : La progresin es 128, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , 4. Aplicando la frmula obtenida con a = 128 y b = 4: a 1= 128.(1/2) = 64 a 2= 64.(1/2) = 32 a 3= 32.(1/2) = 16 a 4= 16.(1/2) = 8 La progresin geomtrica que se buscaba es: 128, 64, 32, 16, 8, 4, ... Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48. 18. Resolucin : Aplicando la frmula: Recurdese que una raz de ndice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. As pues, en este caso, hay dos posibilidades. Si r = 2, la progresin es 3, 6, 12, 24, 48, ... Si r = -2, la progresin es: 3, -6, 12, -24, 48, ... Recurdese que una raz de ndice par tiene dos soluciones, una positiva y una negativa. As pues, en este caso, hay dos posibilidades. Si r = 2, la progresin es 3, 6, 12, 24, 48, ... Si r = -2, la progresin es: 3, -6, 12, -24, 48, ... 19. Producto de trminos consecutivos de una progresin geomtrica Continuando con la analoga observada, se encuentra la frmula del producto de trminos de una progresin geomtrica. Se denotar por P nal producto a 1 . a 2..... a n . Se tiene entonces: P n= a 1 a 2 a 3... a n - 2 a n - 1 a n Invirtiendo el orden P n= a n a n - 1 a n - 2... a 3 a 2 a 1 ______________________________ y multiplicando P n = (a 1 a n )(a 2 a n - 1 ) ... (a n - 1 a 2 )(a n a