Trabajo de Hidraulica Primera Parte

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Hidraulica, canales cerrados.

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Teorema de Vaschy-Buckingham1. El Teorema de (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del anlisis dimensional. 1. este teorema expresa que en un problema fisico en que intervengan n magnitudes en las que hay m dimensiones fundamentales, las n magnitudes pueden agruparse en n-m parametros adimensionales. 1. Sean A1, A2, A3, . . .,An las magnitudes que intervienen. Si se sabe que todas las magnitudes son escenciales a la solucin, entre ellas debe de eexistir una relacin funcional.1. F(A1, A2, A3, . . .,An) = 0 1. Si 1 ,2 , etc., representan los grupos adimensionales de las magnitudes A1, A2, A3, . . .,An,. entonces si son m las dimensiones independientes que intervienen, se puede formar una ecuacin de la forma:1. F(1 , 2, 3, . . . , n-m) = 01. La demostracin de este teorema se encuentra en los escritos de BUCKINGHAM. El mtodo de determinacin de los parmetros consiste en elegir m de las A magnitudes, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones, y usarlas como variables repetidas todas ellas junto con otra de las A magnitudes para cada . Por ejemplo, sean A1, A2, A3, que contienen M, L y T, no necesariamente en cada una, sino colectivamente. Entonces, el primer parmetro se forma as:1 = A1X1 A2Y1 A3Z1 A41. El segundo,2 = A1X2 A2Y2 A3Z2 A51. Y as sucesivamente, hasta: n-m = A1Xn-m A2Yn-m A3Zn-m An1. En estas ecuaciones los exponentes tienen que determinarse de tal manera que cada sea adimensional. Para esto, se sustituyen las dimensiones de las A magnitudes y los exponentes de M,L y T se igualan a cero respectivamente. Esto origina tres ecuaciones con tres incgnitas para cada parmetro , de tal forma que los exponentes x, y, z se pueden determinar y, por consiguiente, el parmetro .1. Si solo intervienen dos dimensiones, entonces dos de las magnitudes A se eligen como variables que se repiten y se obtienen dos ecuaciones con dos incgnitas para cada parmetro . 1. En muchos casos las magnitudes A son tales que los grupos adimensionales son evidentes y se forman sin necesidad de clculos. El caso ms simple es aquel en que dos de las magnitudes tienen la misma dimensin, por ejemplo longitudes, entonces el cociente de estos dos trminos es un parmetro .EJEMPLO:1. El caudal a travs de un tubo capilar horizontal se cree que depende de la cada de presin por unidad de longitud, del dimetro y de la viscosidad. encontrar la forma de la ecuacin.1. Se tabulan las magnitudes y sus dimensiones:MAGNITUDSIMBOLO DIMENSIONES

Caudal QL3T-1

Cada de presin/longitudp/lML-2T-2

Dimetro DL

Viscosidad ML-1T-1

1. Entonces,

1. Las magnitudes fundamentales que intervienen son tres, por lo que con las cuatro magnitudes del problema podr formarse un nico monomio .

1. Sustituyendo las dimensiones

1. Los exponentes de cada dimensin deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuacin. Para L, primeramente.3X1 - 2Y1 + Z1 - 1 = 0 1. Y de forma semejante para M y TY1 + 1 = 0 ; -x1 -2Y1 1 = 01. De las que se deduce X1 = 1, Y1 = -1, Z1 =-4, por tanto,

1. Despejando Q :

1. El anlisis adimensional no nos proporciona informacin sobre el valor numrico de la constante adimensional C. Experimental (o analticamente) se demuestra que la constante C vale /128 Para usar el anlisis dimensional es necesario conocer las variables que intervienen en el problema. En el ltimo ejemplo, si se hubiese elegido la viscosidad cinemtica en lugar de la dinmica, se hubiese obtenido una frmula incorrecta.

ANLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINMICA (DE MECNICA DE LOS FLUIDOS)Esto no pertenece al estudio de la ciencia de los materiales, propiamente dicha, sin embargo, hace referencia al anlisis de fluidos en situaciones inferidas por objetos, y aunque no conforme parte de libro de Askeland he decidido publicar aqu, por el inters manifiesto en el conocimiento general.

Esta exposicin es explcitamente breve y a fines prcticos, por lo que las demostraciones se reticularan para otros fines. Existen propiedades fsicas de gran relevancia en la mecnica de los fluidos: presin, densidad, viscosidad, tensin superficial, mdulo de elasticidad volumtrico, aceleracin gravitacional y velocidad. Como influyen tantas variables en los problemas de la mecnica de los fluidos, la relacin entre ellos no es suficiente plantearlas mediante ecuaciones analticas y es necesario, entonces, recurrir a la experimentacin para determinar su comportamiento. En eso consiste elanlisis dimensional.La similitud dinmicasurge en base al problema que representa la experimentacin de un prototipo diseado con determinadas condiciones para desempearse en una funcin. Es entonces cuando el anlisis dimensional recurre a la parametrizacin de las variables, para estudiar sus interrelaciones en un modelo (de por s ms pequeo que el prototipo). Y se debe garantizar que el modelo represente al prototipo en forma, es decir que sean homogneos.Una cantidad fsica observada tiene un magnitud y una dimensin que se miden en unidades de esa dimensin. Las dimensiones fundamentales o bsicas para la mecnica de fluidos: masa (m), longitud (L) y tiempo (t). En realidad todas las cantidades fsicas se derivan de las fundamentales, as por ejemplo, la fuerza es masa por gravedad, de modo que la masa es una dimensin fundamental y la gravedad est dada en base a una longitud y al tiempo.Si establecemos una similitud geomtrica en los mecanismos de anlisis, entonces la geometra de contorno, es decir las cantidades que definen la composicin de un prototipo corresponden a la del modelo en una escala. A sta escala la relacionaremos como:=Lm/Lpy=Am/ApS es una escala (por ejemplo para = 1:10 , el prototipo es 10 veces mayor que el modelo de anlisis) Lm es la longitud del modelo y Lp es la longitud del prototipo, as para el caso de las reas, y otras variables smiles.

Por ejemplo, la fuerza inercia que provoca el movimiento de una partcula, en este caso fluido, genera en l una aceleracin. La densidad del fluido expresa la relacin entre la masa por unidad de volumen. Si tratamos de llevar esto a una expresin simplificada de las cantidades fsicas en dimensiones fundamentales, obtendremos que la densidad por el volumen al cuadrado y la longitud, asumiendo que la misma es unidireccional, es igual a la fuerza de inercia. As toda la tabla construye estas igualdades para simplificar el clculo.

PERDIDA DE CARGA POR FRICCINLa prdida de carga en una tubera o canal, es la prdida de presin en un fluido debido a la friccin de las partculas del fluido entre s y contra las paredes de la tubera que las conduce. Las prdidas pueden ser continuas, a lo largo de conductos regulares, o accidentales o localizadas, debido a circunstancias particulares, como un estrechamiento, un cambio de direccin, la presencia de una vlvula, etc.Prdida de carga en conducto rectilneo1. Si el flujo es uniforme, es decir que la seccin es constante, y por lo tanto la velocidad tambin es constante, el principio de Bernoulli, entre dos puntos puede escribirse de la siguiente forma:

1. La prdida de carga se puede expresar como ; siendo L la distancia entre las secciones 1 y 2; y, J la variacin en la presin manomtrica por unidad de longitud o pendiente piezomtrica, valor que se determina empricamente para los diversos tipos de material, y es funcin del radio hidrulico, de la rugosidad de las paredes de la tubera, de la velocidad media del fluido y de su viscosidad.Existen diversos mtodos, obtenidas empricamente, para calcular la prdida de carga a lo largo de tuberas y canales abiertos:1. Ecuacin de Darcy-Weisbach.1. Factor de friccin de Darcy.1. Ecuacin de Colebrook-White.1. Frmula de Hazen-Williams.1. Diagrama de Moody.1. Frmula de Bazin.

Ecuacin general de Darcy-Weisbach

La ecuacin en s fue deducida por Henry Darcy, ingeniero francs, y por JuliusWeisbach, cientfico e ingeniero alemn. Weisbach propuso el coeficienteadimensional y Darcy realiz cuantiosos experimentos en tuberas con flujo deagua.Se entender con esta deduccin que la ecuacin de Darcy-Weisbach es laecuacin general para explicar la prdida de energa durante el movimiento defluidos.La prdida total debido a la friccin que experimenta un fluido cuando fluye por unatubera circular llena depende del dimetro (D), de la longitud de la tubera (L), dela velocidad media (V), de la rugosidad absoluta (k), de la aceleracin de lagravedad (g), de la densidad () y de la viscosidad del fluido (). Por medio delanlisis dimensional se determina la frmula para el clculo de prdidas por friccin.

h f( D L V k g)

Demostracion Ecuacin general de Darcy-Weisbach.

Suponemos una tubera por la que circula un lquido incompresible de peso especfico g, y en ella el volumen comprendido entre las secciones 1 y 2, separadas una distancia L.El elemento de tubera

Figura 3.1. Elemento de tubera por el que circula un lquido

Peso de la masa del lquido (P), aplicado en el cdg (G): Peso de la masa del lquido (P), aplicado en el cdg (G):

Fuerzas de presin (P1S y P2S), que sera la fuerza que ejerce el resto del lquido sobre las secciones 1 y 2, respectivamente. Fuerza de rozamiento (F), en sentido contrario al movimiento y debida al rozamiento () del lquido con las paredes de la tubera.F = Superficie con la que roza = c LLa superficie lateral del cilindro considerado es un rectngulo de base L y altura c, siendo c el permetro de la seccin circular, figura 3.2.

Proyectando sobre el eje hidrulico las fuerzas que actan sobre el cilindro considerado:

Dividiendo por S :

El primer miembro de la igualdad,, es la diferencia de las alturas piezomtricas entre los puntos 1 y 2, es decir, la prdida de carga que se produce en ese trayecto.Entonces,(1)Se comprueba experimentalmente que, siendoun factor de proporcionalidad adimensional conocido como coefiente de Fanning.Adems, el radio hidrulico esy como=.g , ento