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Curso Hidrulica de Canales Abiertos. Primera Parte. Instructor: Roberto Campaa Toro.

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SEPARATAS DEL CURSO DE HIDRAULICA DE CANALES ABIERTOS

PRIMERA PARTE

Temas:

Flujo Uniforme y Flujo Crtico

Instructor: M.Sc. Ing. Roberto Campaa Toro

Julio 2015


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Nota sobre el material impreso y de las presentaciones entregadas a los participantes del curso

El material impreso que se entrega como parte del curso se debe emplear para fines de repaso de

los temas cubiertos en el desarrollo del mismo. Este material no se debe distribuir fuera del curso

a travs de medios impresos o electrnicos.

En el desarrollo del curso y las separatas se han citado las fuentes de la informacin y los grficos

que se han incluido en el texto. Los derechos de autor permanecen con las fuentes citadas.

Los derechos de autor del material producido para el curso es propiedad intelectual de los autores

que son instructores del curso y la Universidad Nacional de Ingeniera y pueden ser empleados en

otros cursos o futuras publicaciones.

Rmac, 1 de Agosto de 2015.


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REFERENCIAS:

Las Separatas de Clase se han basado en las siguientes referencias:

- Chaudry, Hanif (2008) Open Channel Flow. Springer. Nueva York,

USA. - Chow, V.T. (1994) Hidrulica de Canales. . Mc Graw Hill

Interamericana. Santa F de Bogot, Colombia. - Graf, W (1998) Fluvial Hydraulics. Wiley. West Sussex, Inglaterra. - Rocha, Arturo (1969) Transporte de Sedimentos. Universidad Nacional

de Ingeniera. Lima, Per. - Rocha, Arturo (2007) Hidrulica de Tuberas y Canales. Universidad

Nacional de Ingeniera. Lima, Per. - Potter, Merle. (2001) Mecnica de Fluidos. Thomson, USA.


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1. FLUJO EN CANALES ABIERTOS

1.1.- Introduccin

La conduccin del agua mediante canales abiertos ha sido uno de los logros

ms importantes de la humanidad comparable solo con la invencin de la

rueda, el dominio del fuego la invencin de la mquina de vapor.

Si bien, como todas las ramas de la ingeniera, en sus comienzos el

dimensionamiento de los canales abiertos se realiz en funcin de bases

totalmente empricas sustentada en un proceso de prueba y error, el avance

de la ciencia apoyada fuertemente en el mtodo cientfico permite que en la

actualidad se cuenten con herramientas de anlisis basadas en una

comprensin clara de los mecanismos fsicos que determinan el

comportamiento del agua.

1.2.- Definicin

Los canales abiertos conducen el agua en condicin de superficie libre, es decir la superficie del agua est en contacto con la atmsfera. En esta condicin el movimiento del fluido se produce bsicamente por la accin de la gravedad determinndose que el flujo se produzca siempre de zonas de mayor a menor elevacin. La aspereza de las paredes del conducto influye en el comportamiento del agua transportada por los canales afectando principalmente a la rapidez con la que esta discurre y a su profundidad.

Figura 1.1 Esquemas de Flujo en Superficie Libre


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1.2.- Principales variables hidrulicas

Caudal (Q)

Es una medida de la cantidad de agua transportada por la corriente, se expresa en trminos de volumen de agua transportado por unidad de tiempo (L3T-1: m3/s en S.I.)

Figura 1.2 Estacin de Aforo

Velocidad (V)

Es una medida de la rapidez con que se desplaza el agua en un curso de agua, se expresa en trminos de distancia por unidad de tiempo (LT-1: m/s en S.I.). Puede cuantificarse como una velocidad media de la corriente como velocidades puntuales en diferentes ubicaciones de una seccin transversal.

Figura 1.3 Caracterizacin de Velocidades en una Seccin de Canal

Fuente: Adaptado de Chow (1994). Hidrulica de Canales.


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Esfuerzo de Corte ()

Cuantifica la friccin por unidad de rea ejercida por el agua sobre una superficie en contacto con esta. La superficie de contacto puede ser las paredes de un canal superficies de volmenes de control que forman parte de la masa del agua transportada por el canal. Se expresa en trminos de fuerza cortante por unidad de rea de contacto (F.L-2 : N/m2 en S.I.)

Figura 1.4. Fuerza Cortante Actuando sobre Fondo de Canal

Fuente: Adaptado de Rocha (2007). Hidrulica de Tuberas y Canales.

Figura 1.5 Fuerza Cortante Actuando sobre Fondo de Volumen de Control

Fuente: Rocha (2007). Hidrulica de Tuberas y Canales.

Rugosidad , k,n, C

Cuantifica la aspereza de las paredes del canal, la manera ms sencilla de definirla es mediante la altura media de las irregularidades (m), sin embargo


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segn el contexto en la que se la cuantifique puede expresarse en otras unidades.

Figura 1.6 Rugosidad en Fondo de Canal

Fuente: Rocha (1969). Transporte de Sedimentos.

1.3.- Leyes Fundamentales que Gobiernan el Flujo en Canales

El flujo en canales abiertos est gobernado por las siguientes leyes

fundamentales.

Ley de Conservacin de la Masa

Establece que la masa de un sistema, definido este como un conjunto fijo de

partculas de un material, debe conservarse. Para flujos de agua de densidad

constante, situacin tpica de los flujos en superficie libre, la ley establece

que el caudal entre dos secciones de flujo contiguas se mantiene (Q1=Q2).

Esto se expresa mediante la ecuacin de continuidad:

2211 .. AVAV (1.1)

donde:

V1 y V2: Velocidades medias de la corriente en las secciones 1 y 2.

A1 y A2: Areas transversales en las secciones 1 y 2.


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Figura 1.7 Esquema de Balance de Masas

Ley de la Conservacin de la Energa

Establece que la energa de un sistema debe conservarse. Se deriva de la

primera ley de la termodinmica. La aplicacin de esta ley para flujos de agua

en canales abiertos muestra que la energa del flujo va disminuyendo en el

sentido del flujo; esto se debe tanto a las prdidas de energa por la friccin

de las paredes singularidades como a la disminucin en la elevacin del

fondo del canal.

Al aplicarse a dos secciones de flujo contiguas se tiene la ecuacin de la

energa.

Et1 = Et2 + dE12 (1.2)

donde:

Et1 y Et2 : Energa total en 1 y 2.

dE12 : Prdida de Energa en las secciones 1 y 2.


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En el contexto del flujo de canales abiertos la energa suele expresarse en

trminos de energa por unidad de fuerza (Joule/Newton) resultando

unidades de longitud (m). En la Figura 1.8 se visualiza las componentes del

balance de energa entre dos secciones transversales de un canal abierto.

Figura 1.8 Esquema de Balance de Energa

Como se observa en la Figura la energa en cada seccin se calcula como:

g

vyzE

2

2

(1.3)

Donde: z (m): Elevacin con respecto a un nivel de referencia arbitrario. y(m): Tirante. V(m/s): Velocidad Media de la seccin : Coeficiente de Coriolis que toma en cuenta la existencia de un perfil de velocidades variables en la vertical; para flujos turbulentos su valor se aproxima a la unidad.


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Ley de la Conservacin de la Cantidad de Movimiento

Establece que la cantidad de movimiento de un sistema debe conservarse. Se

deriva de la segunda ley de Newton. La aplicacin de esta ley para flujos de

agua en canales abiertos muestra que la cantidad de movimiento del flujo a

lo largo de un canal puede mantenerse constante variar en funcin de las

fuerzas que se ejerzan sobre el flujo a lo largo de su recorrido.

Al aplicarse a dos secciones de flujo contiguas se tiene la ecuacin de la

energa.

xFCMCM 12 (1.4)

donde:

CM1 y CM2 : Cantidad de Movimiento en 1 y 2.

SFx : Sumatoria de Fuerzas ejercidas sobre el flujo a lo largo de su recorrido

entre las secciones 1 y 2

En la Figura 1.9 se visualizan las fuerzas que actan sobre el volumen de

control seleccionado entre las dos secciones transversales de un canal

abierto.

Figura 1.9 Esquema de Balance de Fuerzas


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La cantidad de movimiento (CM) en cada seccin se calcula mediante

... VQCM (1.5)

Donde:

(kg/m3): Densidad del Fluido

Q (m3/s): Caudal Lquido

V(m/s): Velocidad Media de la seccin

: Coeficiente de Bousinesq que toma en cuenta la existencia de un perfil de

velocidades variables en la vertical; al igual que el coeficiente de Coriolis para

flujos turbulentos su valor se aproxima a la unidad.

1.4.CLASIFICACION DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS

1.4.1 Por su permanencia en el tiempo

Flujo Permanente: Es aquel donde las caractersticas hidrulicas no varan en

el tiempo. As en una seccin dada el gasto, presin, velocidad, etc,

permanecen constantes a lo largo del tiempo.

Figura 1.10 Flujo Permanente

Fuente: Graf (1998). Fluvial Hydraulics.


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Flujo Impermanente: Es aquel donde las caractersticas hidrulicas en una

seccin determinada pueden cambiar con respecto al tiempo.

Figura 1.11 Flujo No Permanente

Fuente: Graf (1998). Fluvial Hydraulics.

1.4.2 Por su uniformidad espacial.

Flujo Uniforme: Es aquel donde las caractersticas hidrulicas no varan

longitudinalmente. As en un canal con movimiento uniforme el rea, la

velocidad y el caudal son constantes en todas las secciones transversales y la

lnea de energa es paralela a superficie del agua y al fondo del canal

Figura 1.12 Flujo Uniforme

Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.


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Flujo No Uniforme:

Es aquel donde las caractersticas hidrulicas varan longitudinalmente. En

un canal con movimiento uniforme el rea y la velocidad cambian a lo largo

del tramo y la lnea de energa no es paralela a la superficie del agua ni al

fondo del canal.

Figura 1.13 Flujo No Uniforme


1.4.3 Por su nivel de turbulencia

Flujo Laminar

Es aquel flujo donde la agitacin de las partculas es depreciable, supone que

las lneas de corriente fluyen siempre paralelas entre s. Es una situacin

bastante rara en situaciones ingenieriles.

Figura 1.14 Flujo Laminar

Se puede describir mediante el nmero de Reynolds que cuantifica la relacin

entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Cuando su valor es inferior


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a 600 se puede considerar que el flujo es laminar. El nmero de Reynolds se

calcula mediante la expresin Re=V.RH/, donde V=Velocidad Media (m/s),

Radio Hidrulico (m) y =Viscosidad Cinemtica (m2/s)

Flujo turbulento

Es aquel flujo donde la agitacin de las partculas es considerable, en este

caso las lneas de corrientes no siguen una trayectoria paralela.

Figura 1.15 Flujo Turbulento

Se presenta cuando el nmero de Reynolds es mayor a 2000. Cuando el

nmero de Reynolds es menor que 2000 y mayor que 600 se dice que el flujo

est en una etapa transicional.

Figura 1.16 Flujos Laminares y Turbulentos

(a) (b) (c)

(a) Flujo laminar de agua. (b) Flujo turbulento de agua (c) Flujo primero laminar y luego flujo turbulento de humo


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1.4.4 Por su rgimen de flujo

Flujo Sub Crtico

Es aquel flujo donde las perturbaciones pueden remontar la corriente del

canal. Se manifiesta con bajas velocidades y tirante grandes.

Figura 1.17 Flujo Sub Critico

Se puede describir mediante el nmero de Froude que cuantifica la relacin

entre las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitatorias. El nmero de Froude

tambin puede interpretarse como la relacin entre la velocidad media de la

corriente (v) y la velocidad de propagacin de las ondas superficiales (c)

En dado que en flujo subcrtico las ondas superficiales pueden remontar la

corriente es decir (c>v) su valor es menor a 1

Flujo Super Crtico

Es aquel flujo donde las perturbaciones no pueden remontar la corriente del

canal. Se manifiesta con altas velocidades y tirante bajos.


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Figura 1.18 Flujo SuperCritico

Dado que en flujo supercrtico las ondas superficiales no pueden remontar la

corriente es decir (c


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2. FLUJO UNIFORME

2.1 Definicin En condiciones de flujo uniforme las caractersticas hidrulicas no varan longitudinalmente. As en un canal con movimiento uniforme la velocidad media, la profundidad del agua, el ancho de flujo, etc son constantes en todas las secciones transversales. Esto determina que la lnea de energa, la superficie libre y el fondo sean lneas paralelos, de modo que sus pendientes son iguales.

Figura 2.1 Flujo Uniforme en un Canal


Para que se desarrolle el flujo uniforme la pendiente no debe ser excesivamente grande. Si la pendiente es muy grande aparecen ondulaciones superficiales y el flujo deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan a lugar a que el agua atrape y arrastre partculas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento. 2.2 Esfuerzos Cortantes En flujo uniforme los esfuerzos cortantes ejercidos por el agua sobre las superficies en contacto con esta no varan longitudinalmente, sin embargo si presentan una variacin transversal y vertical. Su determinacin para


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geometras complejas requiere de mediciones experimentales, a continuacin se analizan tres casos simples.

a) Esfuerzos Cortantes en un Canal muy ancho. Un canal ancho es un canal donde los efectos de las paredes laterales sobre el flujo pueden considerarse despreciables, se considera un canal ancho aquel donde el ancho de base (B) sea mayor que 10 veces el tirante (y). Generalmente los ros pueden considerarse canales anchos. En la Figura 2.2 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme.

Figura 2.2 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho


Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control seleccionado se tiene que:

SFx = m.a, dado que el flujo es uniforme a=0, obtiene que SFx = 0,

W sen = h .Al [g(y-h) s.B] sen = h .( s.B) Simplificando y haciendo sen=S dado que el ngulo es pequeo se tiene: h = g(y-h) S (2.1)


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Se observa que la distribucin del esfuerzo de corte es lineal como puede verse en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Distribucin de Esfuerzos de corte en un canal muy ancho


El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h= 0. o = y S (2.2) Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidrulico o = R S (2.3) Se llega as a la conclusin que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso especifico del fluido, por el radio hidrulico y por la pendiente (de la lnea de energa).

b) Esfuerzo Cortante en un canal de cualquier seccin transversal Corresponderan a conductos compactos utilizados en irrigacin sistemas de alcantarillados, generalmente son calanes rectangulares, trapezoidales. En la Figura 2.4 se presenta una seccin genrica.


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Figura 2.4. Esfuerzo de corte en un canal de cualquier seccin transversal.


Si se hacen similares consideraciones a las realizadas para un canal ancho se llega a que la componente longitudinal del peso (W sen) debe equilibrase con la fuerza de friccin ejercida por el fondo y las paredes del canal (m .Al). m es el esfuerzo cortante promedio en el fondo y las paredes y representa el promedio de los esfuerzos cortantes que se presentarn transversalmente a la seccin, dado que las profundidad de agua no es constante transversalmente, los esfuerzos cortantes tampoco lo sern. Del equilibrio mencionado: W sen = m .Al (2.4) En este caso W = gAs reemplazando en (2.4) (gAs). sen = m .P. s haciendo sen=S y simplificando se tiene que:


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Si se hace R=A/P Se tiene

SRo ..

(2.5)

Se observa que las ecuaciones (2.3) y (2.5) son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo de un canal es igual al producto del peso especfico del fluido, por el radio hidrulico y por la inclinacin de la lnea de energa. La distribucin de esfuerzos cortantes en la seccin depende de la geometra del conducto y se obtiene generalmente con datos experimentales. La Figura 2.5 muestra la distribucin de esfuerzos cortantes en una seccin trapezoidal con talud 1H:1.5V y ancho de base b igual 4 veces el tirante h. Figura 2.5. Distribucin de Esfuerzos Cortantes en una Seccin Trapezoidal


Se observa que los esfuerzos cortantes que se presentan en la parte central del fondo del canal son muy cercanos a los obtenidos para un canal ancho. Esto indica que la influencia de las paredes es muy pequea en dicha

ubicacin. En las Figuras 2.6 y 2.7 se presentan las relaciones Sy

fondoo

..

max


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y Sy

orillaso

..

max

para canales rectangulares y trapezoidales de taludes

variables

Figura 2.6. Valor de Relacin Sy

fondoo

..

max

para diferentes valores de b/y

Fuente: Chow (1994). Hidrulica de Canales.


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Figura 2.7. Valor de Relacin Sy

orillaso

..

max

para diferentes valores de b/y


2.3 Distribucin de Velocidades En flujo uniforme las velocidades del agua no varan longitudinalmente, sin embargo, al igual que los esfuerzos cortantes si presentan una variacin transversal y vertical. En la Figura 2.8 se observa cmo pueden variar las velocidades a travs de una seccin transversal en funcin de la geometra del conducto.


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Figura 2.8. Distribuciones de Velocidad para Diferentes Geometra de Canal


Su determinacin para geometras complejas requiere de mediciones experimentales y modelamientos numricos, a continuacin se analizan tres casos simples. 2.3.1 En Canal Muy Ancho con Movimiento Laminar Si bien es un caso muy raro en la prctica ingenieril, con fines pedaggicos se mostrar la deduccin del perfil de velocidades den un canal ancho con flujo laminar. En flujo laminar es vlida la ecuacin de Newton para los esfuerzos cortantes

dh

dvhh

Igualando esta expresin con la ecuacin (2.1 ) deducida en el tem previo h = g(y-h) S se tiene

dh

dvShy h (2.6)

dividiendo por


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dh

dvShyg h

separando variables

dhhySg

dvh

.

De donde:

Ch

hygS

vh

2.

2

el valor de la constante de integracin se obtiene para las condiciones de

borde (h=0, vh=0; C=0), Luego,

2.

2hhy

gSvh

(2.7)

Ecuacin de distribucin de velocidades en

un canal con movimiento laminar

Figura 2.9. Distribucin de Velocidades en Flujo Laminar

La velocidad mxima se obtiene cuando h=y, 22

..max y

Sgv

(2.8)

Integrando y dividiendo por el rea se obtiene la velocidad media

AdAvV

yh

h

h /0

.

(2.9) 3

.. 2ySgV


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2.3.2 En Canal Muy Ancho con Movimiento Turbulento

Para obtener la ecuacin de distribucin de velocidades en el flujo turbulento

es necesario establecer una relacin entre los esfuerzos de corte y las

velocidades. Se sabe que en el flujo turbulento se produce un intercambio

constante de partculas a diferentes niveles tal como se muestra en la Figura

2.10.

Figura 2.10. Fluctuaciones de Velocidad en Flujo Turbulento

Fuente: Adaptado de Potter (2002). Mecnica de Fluidos.

Supngase que una partcula masa de agua definida se eleva hacia un nivel

superior con una componente vertical de velocidad v y en el camino la

componente x de su velocidad cambia en u; si se supone que dicho cambio

se produjo debido a una fuerza cortante en la direccin x actuando sobre un

rea normal al flujo vertical dA, de la aplicacin de la ecuacin de cantidad de

movimiento se tiene que:


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'. QudAh , haciendo Q=v.dA

'v.dA... udAh

simplificando se obtiene la expresin de Reynolds

''. vuh (2.10)

donde:

h = Esfuerzo tangencial presente en el flujo turbulento

u y v son las fluctuaciones de la velocidad en un punto

Siguiendo a Prandtl, si se asume que las velocidades longitudinales varan en

la vertical segn el gradiente dh

dvh , en una distancia vertical "L" la variacin

habr sido de L dh

dvh , esta variacin es precisamente el valor de u

mencionado previamente, se tiene entonces que:

dh

dvLu h'

experimentalmente se constata que v es del mismo orden de magnitud que

u, por lo tanto:

dh

dvLv h'

L se define como la longitud de mezcla y es la distancia media recorrida por

una partcula para transferir o perder el exceso de cantidad de movimiento.

por lo tanto:

2

2

dh

dvL hh (2.11)

de donde se obtiene que:


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Ldh

dv

h

h

(2.12)

Estableciendo una relacin entre L y la profundidad donde el valor de L es

igual a cero tanto en el fondo como en la superficie se tiene que:

y

hhL 1 (2.13)

donde es la constante de Karman, para la cual se acepta el valor de 0.4 (sin

slidos e suspensin)

Reemplazando (2.13) en (2.12)

y

hh

dh

dv

h

h

1

Sustituyendo el valor de th

y

hh

Shy

dh

dvh

1

)(

simplificando

h

Syg

dh

dvh

.. (2.14)

la expresin Syg .. recibe el nombre de velocidad de corte (v*),

reemplazando en (2.14)

h

v

dh

dvh

*

Integrando:


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Chv

vh ln*

(2.15)

la ecuacin (2.15) solo es vlida hasta cierta distancia (ho) muy prxima del

fondo ya que para h=0, . Asumiendo que para ho la velocidad

ser cero se tiene que el valor de la constante de integracin C es:

ohV

C ln*

Reemplazando en (2.15)

o

hh

hvV ln*

(2.16)

Contorno Hidrulicamente Liso

El trabajo terico y experimental de Prandtl y Nikuradse, que supuso que

para condiciones de contorno liso se desarrolla cerca al fondo una delgada

capa de espesor en la que el flujo es laminar y donde la distribucin de

velocidades es diferente de la del resto de la seccin condujo a la expresin

1040

h (2.17)

Esta expresin fue obtenida para situaciones en que 4.0k , teniendo en

cuenta que *

6.11v

, el rango de validez de la expresin tambin puede

expresarse como 5.*

kv

Reemplazando ho en (2.16) se tiene

hvvh

.104ln* (2.18) Ecuacin de distribucin de velocidades en un

contorno hidrulicamente liso


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Contorno Hidrulicamente Rugoso

El trabajo experimental de Nikuradse en tuberas con altura de rugosidad

absoluta k condujo a

ho=k/30 (2.19)

Esta expresin fue obtenida para situaciones en que 6k , teniendo en

cuenta que *

6.11v

, el rango de validez de la expresin tambin puede

expresarse como 70.*

kv

Reemplazando ho=k/30 en (2.16) se obtiene

k

hvVh

30ln*

(2.20)

Cuando 70.

5 *

kv el flujo se encuentra en etapa transicional entre liso y

rugoso.

2.4 Velocidad Media Mediante la Ecuacin de Chezy 2.4.1 Ecuacin de Chezy Segn la ecuacin de Chezy la velocidad media en un canal en flujo uniforme se calcula mediante:

SRCV .. (2.21) Donde: R: Radio Hidrulico. S: Pendiente de la Lnea de Energa C: Coeficiente de Chezy que depende de las caractersticas del contorno y puede calcularse mediante

7/2/

6log18

k

RC (2.22)

*

6.11

v

(2.23)


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Existen otras formulaciones para calcular el coeficiente de Chezy pero estn sustentadas casi en su totalidad en mediciones empricas. La ecuacin de Chezy puede deducirse suponiendo que el esfuerzo cortante medio que se opone al movimiento esta en funcin de la velocidad media del flujo al cuadrado. En la Figura 2.11 se utiliza esta hipotesis en el anlisis de fuerzas del volumen de control seleccionado.

Figura 2.11. Anlisis de Fuerzas en un Canal


Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control seleccionado se tiene que:

SFx = m.a, dado que el flujo es uniforme a=0, obtiene que SFx = 0,

W sen = (K.V2).P.L (g. A.L) sen = (K.V2).P.L Simplificando y haciendo sen=S dado que el ngulo es pequeo se tiene:


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SP

A

K

gV .

reemplazando R = A/P y haciendo

K

gC

se obtiene

SRCV .. En base a anlisis tericos y experimentales se ha determinado que el valor de C se pude calcular como

7/2/

6log18

k

RC

*

6.11

v

Existen otras formulaciones para calcular el coeficiente de Chezy pero estn sustentadas casi en su totalidad en mediciones empricas. El caudal Q se puede calcular mediante Q = V.A 2.4.2 Demostracin Terica-Experimental de la Ecuacin de Chezy a Partir de la Distribucin de Velocidades. 2.4.2.1 Velocidad Media en Contornos Hidrulicamente Lisos

En un canal ancho el caudal por unidad de ancho puede expresarse como

q=V.y

donde:

V: Velocidad media

y: tirante

de donde se tiene que V=q/y


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Despreciando la pequesima porcin de flujo que discurre en la subcapa

laminar, para una franja de unidad de ancho, q puede calcularse como

yh

h

h dhVq

.

reemplazando en esta expresin la ecuacin obtenida para contornos

hidrulicamente lisos

hvvh

.104ln*

se obtiene

yh

h

dhhv

q

.104ln*

de donde finalmente se llega a:

yLn

vV

3.38* (2.24)

Esta expresin proporciona la velocidad media en un canal muy ancho con

fondo hidrulicamente liso. En un canal ancho el radio hidrulico R se puede

aproximar como y, por lo tanto la expresin podra presentarse de esta

manera:

RLn

vV

3.38* (2.25)

Se puede demostrar que en tuberas la velocidad media es

RLn

vV

4.46* (2.26)

De (2.25) y (2.26) se adapta la expresin (2.27) vlida para canales y tuberas

RLn

vV

42* (2.27)


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2.4.2.2 Velocidad Media en Contornos Hidrulicamente rugosos

En base a consideraciones anlogas a las realizadas para canales

hidrulicamente lisos y utilizando las ecuaciones

yh

hoh

h dhVq . y

k

hvVh

30ln*

se obtiene que

yh

hoh

dhk

hvq

30ln*

de donde finalmente se obtiene que

k

yLn

vV

11*

(2.28)

Esta expresin proporciona la velocidad media en un canal muy ancho con

fondo hidrulicamente rugoso. Para un canal ancho se puede expresar como:

k

RLn

vV

11*

(2.29)

se puede demostrar que en tuberas la velocidad media es

k

RLn

vV

4.13*

(2.30)

De (2.29) y (2.30) se adapta la expresin (2.31) vlida para canales y tuberas

k

RLn

vV

12*

(2.31)

Adaptando (2.27) y (2.31) se obtiene

7/2/

6ln*

k

RvV (2.32)


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Expresando la ecuacin 2.32 en trminos de logaritmos decimales mediante

ln X = ln 10. logX y reemplazando SRgv ..* y = 0.4 se tiene que:

SRk

RV .

7/2/

6log18

(2.33)

si se asume que

7/2/

6log18

k

RC donde

*

6.11

v

se llega a:

SRCV .. que corresponde a la expresin de la Ecuacin de Chezy

Tabla 2.1. Valores Tpicos de la Rugosidad Absoluta k



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2.5 Velocidad Media Mediante la Ecuacin de Manning La ecuacin de Manning para la velocidad media se obtiene a partir de la

ecuacin de Chezy ( SRCV .. ) haciendo C=R1/6/n. As se tiene que la velocidad media se expresa mediante la expresin:

n

SRV

2

1

3

2

. (2.34)

Donde: R: Radio Hidrulico. S: Pendiente de la Lnea de Energa n: Coeficiente de Manning que depende de la aspereza del contorno De Q = V.A el Caudal (Q) se expresa mediante.

n

SRAQ

2

1

3

2

.. (2.35)

Donde: A: rea de la Seccin Transversal. El coeficiente de Manning se obtiene experimentalmente. En la Tabla 2.1 se muestran valores tpicos para diferentes tipos de superficies.


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Tabla 2.2. Coeficientes de Manning para Diferentes tipos de Superficies



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Aplicacin de la Ecuacin de Manning a Canales de Seccin Compuesta y rugosidad variable. Una seccin compuesta es aquella de geometra variable y rugosidad variable. En la Figura 2.12 se presenta un ejemplo.

Figura 2.12. Seccin Compuesta y de Rugosidad Variable

El caudal total Q puede tomarse como la suma de los caudales parciales. Q= Q1+Q2+Q3+.QN y en cada seccin puede aplicarse la ecuacin de Manning

Rugosidad Equivalente Para secciones compuestas y rugosidad variable, partiendo del concepto de que la suma de los caudales de las subsecciones es igual al caudal total, Lotter obtuvo la siguiente expresin como una rugosidad equivalente:

i

ii

e

n

RP

RPn

3

5

3

5

.

.

(2.36)


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Para secciones simples y rugosidad variable, suponiendo que la velocidad media en cada subseccin eran iguales a la velocidad media de toda la seccin v1=v2=v3=...v, Horton y Einstein obtuvieron:

3/22/3

.

i

iie

P

nPn (2.37)

Figura 2.13. Seccin Simple y de Rugosidad Variable

De manera que el caudal total puede calcularse como

en

SRAQ

2

1

3

2

.. (2.38)

correspondiendo A y R al rea y radio hidrulico total.

2.6 Ejercicios 1. Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de seccin trapezoidal de 1 m de ancho, taludes laterales 2H:1V y 0.001 de pendiente. Si el canal transporta un caudal de 5 m3/s. Determinar: a) El tirante. b) La velocidad media. c) Los esfuerzos cortantes mximos en el fondo y en las paredes. d) El esfuerzo cortante medio en las paredes y fondo. e) El Nmero de Froude. 2. Se tiene un canal ancho de 2.5 m de tirante , 0.001 m de pendiente e irregularidades de fondo de 0.05 m de altura media. Si la temperatura del agua es de 10oC. Determinar: a) El perfil de velocidades. b) La velocidad media. c) El caudal especfico.


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3. FLUJO CRTICO

3.1 Definicin Corresponde a la situacin en que la velocidad local del flujo es igual a la

celeridad de propagacin de las perturbaciones, esto determina que las

perturbaciones que tenderan a moverse hacia aguas arriba permanecern

estacionarias. Como se ver ms adelante esto hace que las caractersticas

hidrulicas en una seccin de flujo crtico (tirante y velocidad) dependan solo

de las caractersticas geomtricas locales de la seccin y del caudal que pasa

a travs de esta.

3.2 Energa Especfica La energa especfica en una seccin determinada se define como la energa

calculada tomando como referencia el nivel del fondo del canal. Se calcula

como la suma del tirante y la carga de velocidad.

E = y + g

v

2

2

(3.1)

Donde :

y : Tirante

v : Velocidad media en el canal

Figura 3.1. Definicin de Energa Especfica



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A diferencia de la energa total que siempre va descendiendo a lo largo del

canal, en flujo uniforme la energa especfica se mantiene constante.

Expresada en trminos del gasto Q y el rea A de la seccin transversal la

ecuacin (1) se transforma en:

E = y + 2

2

2gA

Q (3.2)

Energa Especfica a Caudal Constante

Si se asume constante el caudal (Q), debido a que el rea (A) depende del

tirante (y), la energa especfica en una seccin depender nicamente del

valor del tirante (y). Al graficar versus y con un caudal constante se tendr.

Figura 3.2. Relacin entre la Energa Especfica y el Tirante para un Caudal Constante

Fuente: Adaptado de Rocha (2007). Hidrulica de Tuberas y Canales.

En la grfica las rectas y=0 y y=E son asntotas de la curva E vs. y. La Figura

muestra se observa que en el estado crtico la energa especifica es mnima

para un caudal determinado.


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Anlisis de la condicin de Energa Especfica Mnima

El mnimo contenido de energa se obtiene cuando 0dy

dE

Derivando (3.2) con respecto de y.

dy

dA

gA

Q

dy

dE3

2

1 (3.3)

Tomando en cuenta que de la Figura

adjunta

dA = T.dy

de donde:

dy

dAT (4)

Reemplazando (3.4) en (3.3)

3

2

1gA

TQ

dy

dE (3.5)

Reemplazando 0dy

dE en (3.5)

13

2

gA

TQ (3.6) (Expresin general de flujo critico)

Despejando Q

T

AgAQ . (3.7)

Reemplazando: T

Ad , donde d: tirante hidrulico

dgAQ . (3.8)

dividiendo entre A ambos miembros se tiene:


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dgv . (3.9) (Velocidad Crtica)

Reemplazando en la expresin para el nmero de Froude dg

vFr

. (3.10)

se tiene que para un flujo critico Fr = 1

En un ro donde v < vcritica se tendr que Fr < 1 (flujo subcritico)

En un torrente donde v > vcritica se tendr que Fr > 1 (flujo supercritico)

3.3 Tirante Crtico en Secciones Caractersticas Flujo Crtico en una Seccin Rectangular

Tirante Crtico:

Igualando la expresin para la velocidad crtica cc dgv . con la expresin

de velocidad de la ecuacin de continuidad vc=Q/Ac

c

c

A

Q

T

Ag . ,

para una seccin rectangular

TyA cc

Reemplazando Ac y despejando yc

3/2

1

gT

Qyc


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3

2

g

qyc (3.11)

Flujo Crtico en una Seccin Parablica

Tirante Crtico:

De:

cc dgv . igual a vc=Q/Ac

en una seccin parablica

TyA cc3

2

Reemplazando Ac y despejando yc

3/2

2/1

2/3

.3

2

1

gT

Qyc , si se reemplaza q por Q/T , y se opera se tiene:

3/2701.0 qyc (3.12)

Flujo Crtico en una Seccin Trapezoidal

Tirante Crtico:

De:



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c

c

A

Q

T

Ag . ,

en una seccin trapezoidal

AC = (b+z.yc)yc

T = b+2z.yc

Reemplazando Ac y reacomodando

g

Q

yzb

yyzb

c

cc233

..2

).(

(3.13)

el tirante crtico yc se obtiene mediante tanteos.

Flujo Crtico en una Seccin Circular

Tirante Crtico:

De:


c

c

A

Q

T

Ag . ,

en una seccin circular


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)sen(2

2

r

Ac

2/sen

)cos1(

rT

Reemplazando Ac , T y reacomodando

g

Qr 2

35

cos1

2sen)sen(

2cos1

2

Dyc (3.14)

3.4 Relacin entre el Tirante Crtico y la Energa Especifica En una seccin rectangular:

Se sabe:

g

vyE cc

2

2

adems:

cc ygv .

de donde:

Eyc3

2 (15) y E

g

vc

3

1

2

2

(3.16)


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En una seccin parablica

de: g

vyE cc

2

2

y T

Agv cc .

donde:

TyA cc3

2

se obtiene que:

Eyc4

3 (3.17) y E

g

vc

4

1

2

2

(3.18)

En Seccin Trapezoidal:

de: g

vyE cc

2

2

y T

Agv cc .

donde:

cc yTb

A2

se obtiene que:


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EbT

Tyc

5

4 (3.19) y E

bT

Tb

g

vc

52

2

(3.20)

3.4 Variacin del gasto con el tirante a energa especfica constante:

Para una seccin rectangular la expresin de Energa especfica

E = y + 2

2

2gA

Q

puede transformarse en

E = y + 2

2

2gy

q

Si se asume E constate y se despeja q:

yyEgq )(2 (3.21)

Derivando q con respecto de y e igualando a cero se puede obtener el gasto

mximo

0)(2

12 2/1

2/1

yyEyEg

dy

dq

Ey3

2 (3.22)

Esta expresin es la misma obtenida para condiciones crticas (ec. 3.15) , se

concluye as que para una energa especfica dada el gasto es mximo cuando

las condiciones son crticas.


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Figura 3.3. Relacin entre el Caudal Especfico y el Tirante para una Energa Especfica Constante

GASTO A ENERGIA ESPECIFICA CONSTANTE


De la Figura 3.3 se podra afirmar que las condiciones crticas representan la

condicin de flujo ms eficiente ya que produce la mxima descarga para una

energa especifica dada; sin embargo a pesar de esto no es la condicin ms

deseable para fines de diseo ya que como se observa en la Figura 3.2

pequeos cambios en la Energa Especfica puede resultar en fluctuaciones

significativas en la profundidad del flujo hacindola una condicin inestable.


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3.5 Ejercicio Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de seccin trapezoidal de 1 m de ancho, taludes laterales 2H:1V y 0.001 de pendiente. Si el canal transporta un caudal de 5 m3/s. Determinar: a) Hacer el grfico tirante vs. energa especfica. b) El tirante crtico. c) La velocidad crtica d) Si la seccin fuera rectangular de 1 m de ancho, cules seran el tirante crtico y la velocidad crtica?

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