Hidraulica - Ecuación Fundamental de las turbinas de Reacción
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Curso Hidráulica de Canales Abiertos. Primera Parte. Instructor: Roberto Campaña Toro.
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SEPARATAS DEL CURSO DE HIDRAULICA DE CANALES ABIERTOS
PRIMERA PARTE
Temas:
Flujo Uniforme y Flujo Crítico
Instructor: M.Sc. Ing. Roberto Campaña Toro
Julio 2015
Curso Hidráulica de Canales Abiertos. Primera Parte. Instructor: Roberto Campaña Toro.
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Nota sobre el material impreso y de las presentaciones entregadas a los participantes del curso
El material impreso que se entrega como parte del curso se debe emplear para fines de repaso de
los temas cubiertos en el desarrollo del mismo. Este material no se debe distribuir fuera del curso
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que se han incluido en el texto. Los derechos de autor permanecen con las fuentes citadas.
Los derechos de autor del material producido para el curso es propiedad intelectual de los autores
que son instructores del curso y la Universidad Nacional de Ingeniería y pueden ser empleados en
otros cursos o futuras publicaciones.
Rímac, 1º de Agosto de 2015.
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REFERENCIAS:
Las Separatas de Clase se han basado en las siguientes referencias:
- Chaudry, Hanif (2008) Open Channel Flow. Springer. Nueva York,
USA. - Chow, V.T. (1994) Hidráulica de Canales. . Mc Graw Hill
Interamericana. Santa Fé de Bogotá, Colombia. - Graf, W (1998) Fluvial Hydraulics. Wiley. West Sussex, Inglaterra. - Rocha, Arturo (1969) Transporte de Sedimentos. Universidad Nacional
de Ingeniería. Lima, Perú. - Rocha, Arturo (2007) Hidráulica de Tuberías y Canales. Universidad
Nacional de Ingeniería. Lima, Perú. - Potter, Merle. (2001) Mecánica de Fluidos. Thomson, USA.
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1. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
1.1.- Introducción
La conducción del agua mediante canales abiertos ha sido uno de los logros
más importantes de la humanidad comparable solo con la invención de la
rueda, el dominio del fuego ó la invención de la máquina de vapor.
Si bien, como todas las ramas de la ingeniería, en sus comienzos el
dimensionamiento de los canales abiertos se realizó en función de bases
totalmente empíricas sustentada en un proceso de prueba y error, el avance
de la ciencia apoyada fuertemente en el método científico permite que en la
actualidad se cuenten con herramientas de análisis basadas en una
comprensión clara de los mecanismos físicos que determinan el
comportamiento del agua.
1.2.- Definición
Los canales abiertos conducen el agua en condición de superficie libre, es decir la superficie del agua está en contacto con la atmósfera. En esta condición el movimiento del fluido se produce básicamente por la acción de la gravedad determinándose que el flujo se produzca siempre de zonas de mayor a menor elevación. La aspereza de las paredes del conducto influye en el comportamiento del agua transportada por los canales afectando principalmente a la rapidez con la que esta discurre y a su profundidad.
Figura 1.1 Esquemas de Flujo en Superficie Libre
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1.2.- Principales variables hidráulicas
Caudal (Q)
Es una medida de la cantidad de agua transportada por la corriente, se expresa en términos de volumen de agua transportado por unidad de tiempo (L3T-1: m3/s en S.I.)
Figura 1.2 Estación de Aforo
Velocidad (V)
Es una medida de la rapidez con que se desplaza el agua en un curso de agua, se expresa en términos de distancia por unidad de tiempo (LT-1: m/s en S.I.). Puede cuantificarse como una velocidad media de la corriente ó como velocidades puntuales en diferentes ubicaciones de una sección transversal.
Figura 1.3 Caracterización de Velocidades en una Sección de Canal
Fuente: Adaptado de Chow (1994). Hidráulica de Canales.
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Esfuerzo de Corte ()
Cuantifica la fricción por unidad de área ejercida por el agua sobre una superficie en contacto con esta. La superficie de contacto puede ser las paredes de un canal ó superficies de volúmenes de control que forman parte de la masa del agua transportada por el canal. Se expresa en términos de fuerza cortante por unidad de área de contacto (F.L-2 : N/m2 en S.I.)
Figura 1.4. Fuerza Cortante Actuando sobre Fondo de Canal
Fuente: Adaptado de Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
Figura 1.5 Fuerza Cortante Actuando sobre Fondo de Volumen de Control
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
Rugosidad , “k”,“n”, C
Cuantifica la aspereza de las paredes del canal, la manera más sencilla de definirla es mediante la altura media de las irregularidades (m), sin embargo
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según el contexto en la que se la cuantifique puede expresarse en otras unidades.
Figura 1.6 Rugosidad en Fondo de Canal
Fuente: Rocha (1969). Transporte de Sedimentos.
1.3.- Leyes Fundamentales que Gobiernan el Flujo en Canales
El flujo en canales abiertos está gobernado por las siguientes leyes
fundamentales.
Ley de Conservación de la Masa
Establece que la masa de un sistema, definido este como un conjunto fijo de
partículas de un material, debe conservarse. Para flujos de agua de densidad
constante, situación típica de los flujos en superficie libre, la ley establece
que el caudal entre dos secciones de flujo contiguas se mantiene (Q1=Q2).
Esto se expresa mediante la ecuación de continuidad:
2211 .. AVAV (1.1)
donde:
V1 y V2: Velocidades medias de la corriente en las secciones 1 y 2.
A1 y A2: Areas transversales en las secciones 1 y 2.
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Figura 1.7 Esquema de Balance de Masas
Ley de la Conservación de la Energía
Establece que la energía de un sistema debe conservarse. Se deriva de la
primera ley de la termodinámica. La aplicación de esta ley para flujos de agua
en canales abiertos muestra que la energía del flujo va disminuyendo en el
sentido del flujo; esto se debe tanto a las pérdidas de energía por la fricción
de las paredes ó singularidades como a la disminución en la elevación del
fondo del canal.
Al aplicarse a dos secciones de flujo contiguas se tiene la ecuación de la
energía.
Et1 = Et2 + dE12 (1.2)
donde:
Et1 y Et2 : Energía total en 1 y 2.
dE12 : Pérdida de Energía en las secciones 1 y 2.
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En el contexto del flujo de canales abiertos la energía suele expresarse en
términos de energía por unidad de fuerza (Joule/Newton) resultando
unidades de longitud (m). En la Figura 1.8 se visualiza las componentes del
balance de energía entre dos secciones transversales de un canal abierto.
Figura 1.8 Esquema de Balance de Energía
Como se observa en la Figura la energía en cada sección se calcula como:
g
vyzE
2
2
(1.3)
Donde: z (m): Elevación con respecto a un nivel de referencia arbitrario. y(m): Tirante. V(m/s): Velocidad Media de la sección α : Coeficiente de Coriolis que toma en cuenta la existencia de un perfil de velocidades variables en la vertical; para flujos turbulentos su valor se aproxima a la unidad.
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Ley de la Conservación de la Cantidad de Movimiento
Establece que la cantidad de movimiento de un sistema debe conservarse. Se
deriva de la segunda ley de Newton. La aplicación de esta ley para flujos de
agua en canales abiertos muestra que la cantidad de movimiento del flujo a
lo largo de un canal puede mantenerse constante ó variar en función de las
fuerzas que se ejerzan sobre el flujo a lo largo de su recorrido.
Al aplicarse a dos secciones de flujo contiguas se tiene la ecuación de la
energía.
xFCMCM 12 (1.4)
donde:
CM1 y CM2 : Cantidad de Movimiento en 1 y 2.
SFx : Sumatoria de Fuerzas ejercidas sobre el flujo a lo largo de su recorrido
entre las secciones 1 y 2
En la Figura 1.9 se visualizan las fuerzas que actúan sobre el volumen de
control seleccionado entre las dos secciones transversales de un canal
abierto.
Figura 1.9 Esquema de Balance de Fuerzas
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La cantidad de movimiento (CM) en cada sección se calcula mediante
... VQCM (1.5)
Donde:
ρ (kg/m3): Densidad del Fluido
Q (m3/s): Caudal Líquido
V(m/s): Velocidad Media de la sección
β : Coeficiente de Bousinesq que toma en cuenta la existencia de un perfil de
velocidades variables en la vertical; al igual que el coeficiente de Coriolis para
flujos turbulentos su valor se aproxima a la unidad.
1.4.CLASIFICACION DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS
1.4.1 Por su permanencia en el tiempo
Flujo Permanente: Es aquel donde las características hidráulicas no varían en
el tiempo. Así en una sección dada el gasto, presión, velocidad, etc,
permanecen constantes a lo largo del tiempo.
Figura 1.10 Flujo Permanente
Fuente: Graf (1998). Fluvial Hydraulics.
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Flujo Impermanente: Es aquel donde las características hidráulicas en una
sección determinada pueden cambiar con respecto al tiempo.
Figura 1.11 Flujo No Permanente
Fuente: Graf (1998). Fluvial Hydraulics.
1.4.2 Por su uniformidad espacial.
Flujo Uniforme: Es aquel donde las características hidráulicas no varían
longitudinalmente. Así en un canal con movimiento uniforme el área, la
velocidad y el caudal son constantes en todas las secciones transversales y la
línea de energía es paralela a superficie del agua y al fondo del canal
Figura 1.12 Flujo Uniforme
Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.
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Flujo No Uniforme:
Es aquel donde las características hidráulicas varían longitudinalmente. En
un canal con movimiento uniforme el área y la velocidad cambian a lo largo
del tramo y la línea de energía no es paralela a la superficie del agua ni al
fondo del canal.
Figura 1.13 Flujo No Uniforme
Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.
1.4.3 Por su nivel de turbulencia
Flujo Laminar
Es aquel flujo donde la agitación de las partículas es depreciable, supone que
las líneas de corriente fluyen siempre paralelas entre sí. Es una situación
bastante rara en situaciones ingenieriles.
Figura 1.14 Flujo Laminar
Se puede describir mediante el número de Reynolds que cuantifica la relación
entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Cuando su valor es inferior
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a 600 se puede considerar que el flujo es laminar. El número de Reynolds se
calcula mediante la expresión Re=V.RH/ν, donde V=Velocidad Media (m/s),
Radio Hidráulico (m) y ν=Viscosidad Cinemática (m2/s)
Flujo turbulento
Es aquel flujo donde la agitación de las partículas es considerable, en este
caso las líneas de corrientes no siguen una trayectoria paralela.
Figura 1.15 Flujo Turbulento
Se presenta cuando el número de Reynolds es mayor a 2000. Cuando el
número de Reynolds es menor que 2000 y mayor que 600 se dice que el flujo
está en una etapa transicional.
Figura 1.16 Flujos Laminares y Turbulentos
(a) (b) (c)
(a) Flujo laminar de agua. (b) Flujo turbulento de agua (c) Flujo primero laminar y luego flujo turbulento de humo
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1.4.4 Por su régimen de flujo
Flujo Sub Crítico
Es aquel flujo donde las perturbaciones pueden remontar la corriente del
canal. Se manifiesta con bajas velocidades y tirante grandes.
Figura 1.17 Flujo Sub Critico
Se puede describir mediante el número de Froude que cuantifica la relación
entre las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitatorias. El número de Froude
también puede interpretarse como la relación entre la velocidad media de la
corriente (v) y la velocidad de propagación de las ondas superficiales (c)
En dado que en flujo subcrítico las ondas superficiales pueden remontar la
corriente es decir (c>v) su valor es menor a 1
Flujo Super – Crítico
Es aquel flujo donde las perturbaciones no pueden remontar la corriente del
canal. Se manifiesta con altas velocidades y tirante bajos.
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Figura 1.18 Flujo SuperCritico
Dado que en flujo supercrítico las ondas superficiales no pueden remontar la
corriente es decir (c<v) el valor del número de Froude es mayor que 1.
Flujo Crítico
Es aquel flujo donde las perturbaciones que tenderían a moverse hacia aguas
arriba permanecen estacionarias. Se caracteriza por su inestabilidad ya que
pequeños cambios de flujo pueden ocasionar variaciones súbitas de tirante y
velocidad.
Figura 1.19 Flujo Critico
Dado que en flujo crítico la velocidad de las ondas superficiales (c) es igual a
la velocidad de la corriente (v) el valor del número de Froude es igual a 1.
1.5 Ejercicio Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de sección trapezoidal de 1 m de ancho de base y taludes laterales 1.5H:1V. Si el canal transporta un caudal de agua de 8 m3/s con un tirante de 1.41 m a una temperatura de 20 oC. Determinar: a) El nivel de turbulencia del flujo b) El régimen de flujo c) La energía total en una sección cuyo fondo tiene una cota de 20 msnm. d) La cantidad de movimiento en dicha sección.
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2. FLUJO UNIFORME
2.1 Definición En condiciones de flujo uniforme las características hidráulicas no varían longitudinalmente. Así en un canal con movimiento uniforme la velocidad media, la profundidad del agua, el ancho de flujo, etc son constantes en todas las secciones transversales. Esto determina que la línea de energía, la superficie libre y el fondo sean líneas paralelos, de modo que sus pendientes son iguales.
Figura 2.1 Flujo Uniforme en un Canal
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
Para que se desarrolle el flujo uniforme la pendiente no debe ser excesivamente grande. Si la pendiente es muy grande aparecen ondulaciones superficiales y el flujo deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan a lugar a que el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento. 2.2 Esfuerzos Cortantes En flujo uniforme los esfuerzos cortantes ejercidos por el agua sobre las superficies en contacto con esta no varían longitudinalmente, sin embargo si presentan una variación transversal y vertical. Su determinación para
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geometrías complejas requiere de mediciones experimentales, a continuación se analizan tres casos simples.
a) Esfuerzos Cortantes en un Canal muy ancho. Un canal ancho es un canal donde los efectos de las paredes laterales sobre el flujo pueden considerarse despreciables, se considera un canal ancho aquel donde el ancho de base (B) sea mayor que 10 veces el tirante (y). Generalmente los ríos pueden considerarse canales anchos. En la Figura 2.2 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme.
Figura 2.2 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control seleccionado se tiene que:
SFx = m.a, dado que el flujo es uniforme a=0, obtiene que SFx = 0,
W senθ = τh .Al [ρg(y-h) ∆s.B] senθ = τh .( ∆s.B) Simplificando y haciendo senθ=S dado que el ángulo θ es pequeño se tiene: τh = ρg(y-h) S (2.1)
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Se observa que la distribución del esfuerzo de corte es lineal como puede verse en la Figura 2.3.
Figura 2.3 Distribución de Esfuerzos de corte en un canal muy ancho
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h= 0. τo = γ y S (2.2) Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico τo = γ R S (2.3) Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso especifico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).
b) Esfuerzo Cortante en un canal de cualquier sección transversal Corresponderían a conductos compactos utilizados en irrigación ó sistemas de alcantarillados, generalmente son calanes rectangulares, trapezoidales. En la Figura 2.4 se presenta una sección genérica.
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Figura 2.4. Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal.
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
Si se hacen similares consideraciones a las realizadas para un canal ancho se llega a que la componente longitudinal del peso (W senθ) debe equilibrase con la fuerza de fricción ejercida por el fondo y las paredes del canal (τm .Al). τm es el esfuerzo cortante promedio en el fondo y las paredes y representa el promedio de los esfuerzos cortantes que se presentarán transversalmente a la sección, dado que las profundidad de agua no es constante transversalmente, los esfuerzos cortantes tampoco lo serán. Del equilibrio mencionado: W senθ = τm .Al (2.4) En este caso W = ρgA∆s reemplazando en (2.4) (ρgA∆s). senθ = τm .P. ∆s haciendo senθ=S y simplificando se tiene que:
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Si se hace R=A/P Se tiene
SRo ..
(2.5)
Se observa que las ecuaciones (2.3) y (2.5) son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo de un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía. La distribución de esfuerzos cortantes en la sección depende de la geometría del conducto y se obtiene generalmente con datos experimentales. La Figura 2.5 muestra la distribución de esfuerzos cortantes en una sección trapezoidal con talud 1H:1.5V y ancho de base b igual 4 veces el tirante h. Figura 2.5. Distribución de Esfuerzos Cortantes en una Sección Trapezoidal
Fuente: Adaptado de Graf (1998). Fluvial Hydraulics.
Se observa que los esfuerzos cortantes que se presentan en la parte central del fondo del canal son muy cercanos a los obtenidos para un canal ancho. Esto indica que la influencia de las paredes es muy pequeña en dicha
ubicación. En las Figuras 2.6 y 2.7 se presentan las relaciones Sy
fondoo
..
max
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y Sy
orillaso
..
max
para canales rectangulares y trapezoidales de taludes
variables
Figura 2.6. Valor de Relación Sy
fondoo
..
max
para diferentes valores de b/y
Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.
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Figura 2.7. Valor de Relación Sy
orillaso
..
max
para diferentes valores de b/y
Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.
2.3 Distribución de Velocidades En flujo uniforme las velocidades del agua no varían longitudinalmente, sin embargo, al igual que los esfuerzos cortantes si presentan una variación transversal y vertical. En la Figura 2.8 se observa cómo pueden variar las velocidades a través de una sección transversal en función de la geometría del conducto.
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Figura 2.8. Distribuciones de Velocidad para Diferentes Geometría de Canal
Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.
Su determinación para geometrías complejas requiere de mediciones experimentales y ó modelamientos numéricos, a continuación se analizan tres casos simples. 2.3.1 En Canal Muy Ancho con Movimiento Laminar Si bien es un caso muy raro en la práctica ingenieril, con fines pedagógicos se mostrará la deducción del perfil de velocidades den un canal ancho con flujo laminar. En flujo laminar es válida la ecuación de Newton para los esfuerzos cortantes
dh
dvhh
Igualando esta expresión con la ecuación (2.1 ) deducida en el ítem previo τh = ρg(y-h) S se tiene
dh
dvShy h (2.6)
dividiendo por ρ
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dh
dvShyg h
separando variables
dhhySg
dvh
.
De donde:
Ch
hygS
vh
2.
2
el valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones de
borde (h=0, vh=0; C=0), Luego,
2.
2hhy
gSvh
(2.7)
Ecuación de distribución de velocidades en
un canal con movimiento laminar
Figura 2.9. Distribución de Velocidades en Flujo Laminar
La velocidad máxima se obtiene cuando h=y, 2
2
..max y
Sgv
(2.8)
Integrando y dividiendo por el área se obtiene la velocidad media
AdAvV
yh
h
h /0
.
(2.9) 3
.. 2ySgV
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2.3.2 En Canal Muy Ancho con Movimiento Turbulento
Para obtener la ecuación de distribución de velocidades en el flujo turbulento
es necesario establecer una relación entre los esfuerzos de corte y las
velocidades. Se sabe que en el flujo turbulento se produce un intercambio
constante de partículas a diferentes niveles tal como se muestra en la Figura
2.10.
Figura 2.10. Fluctuaciones de Velocidad en Flujo Turbulento
Fuente: Adaptado de Potter (2002). Mecánica de Fluidos.
Supóngase que una partícula masa de agua definida se eleva hacia un nivel
superior con una componente vertical de velocidad v´ y en el camino la
componente x de su velocidad cambia en u´; si se supone que dicho cambio
se produjo debido a una fuerza cortante en la dirección x actuando sobre un
área normal al flujo vertical dA, de la aplicación de la ecuación de cantidad de
movimiento se tiene que:
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'. QudAh , haciendo Q=v´.dA
'v´.dA... udAh
simplificando se obtiene la expresión de Reynolds
''. vuh (2.10)
donde:
h = Esfuerzo tangencial presente en el flujo turbulento
u’ y v’ son las fluctuaciones de la velocidad en un punto
Siguiendo a Prandtl, si se asume que las velocidades longitudinales varían en
la vertical según el gradiente dh
dvh , en una distancia vertical "L" la variación
habrá sido de L dh
dvh , esta variación es precisamente el valor de u´
mencionado previamente, se tiene entonces que:
dh
dvLu h'
experimentalmente se constata que v´ es del mismo orden de magnitud que
u´, por lo tanto:
dh
dvLv h'
L se define como la longitud de mezcla y es la distancia media recorrida por
una partícula para transferir o perder el exceso de cantidad de movimiento.
por lo tanto:
2
2
dh
dvL h
h (2.11)
de donde se obtiene que:
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Ldh
dv
h
h
(2.12)
Estableciendo una relación entre L y la profundidad donde el valor de L es
igual a cero tanto en el fondo como en la superficie se tiene que:
y
hhL 1 (2.13)
donde χ es la constante de Karman, para la cual se acepta el valor de 0.4 (sin
sólidos e suspensión)
Reemplazando (2.13) en (2.12)
y
hh
dh
dv
h
h
1
Sustituyendo el valor de th
y
hh
Shy
dh
dvh
1
)(
simplificando
h
Syg
dh
dvh
.. (2.14)
la expresión Syg .. recibe el nombre de velocidad de corte (v*),
reemplazando en (2.14)
h
v
dh
dvh
*
Integrando:
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Chv
vh ln*
(2.15)
la ecuación (2.15) solo es válida hasta cierta distancia (ho) muy próxima del
fondo ya que para h=0, . Asumiendo que para ho la velocidad
será cero se tiene que el valor de la constante de integración C es:
ohV
C ln*
Reemplazando en (2.15)
o
hh
hvV ln*
(2.16)
Contorno Hidráulicamente Liso
El trabajo teórico y experimental de Prandtl y Nikuradse, que supuso que
para condiciones de contorno liso se desarrolla cerca al fondo una delgada
capa de espesor “δ” en la que el flujo es laminar y donde la distribución de
velocidades es diferente de la del resto de la sección condujo a la expresión
1040
h (2.17)
Esta expresión fue obtenida para situaciones en que 4.0k , teniendo en
cuenta que *
6.11v
, el rango de validez de la expresión también puede
expresarse como 5.*
kv
Reemplazando ho en (2.16) se tiene
hvvh
.104ln* (2.18) Ecuación de distribución de velocidades en un
contorno hidráulicamente liso
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Contorno Hidráulicamente Rugoso
El trabajo experimental de Nikuradse en tuberías con altura de rugosidad
absoluta “k” condujo a
ho=k/30 (2.19)
Esta expresión fue obtenida para situaciones en que 6k , teniendo en
cuenta que *
6.11v
, el rango de validez de la expresión también puede
expresarse como 70.*
kv
Reemplazando ho=k/30 en (2.16) se obtiene
k
hvVh
30ln*
(2.20)
Cuando 70.
5 *
kv el flujo se encuentra en etapa transicional entre liso y
rugoso.
2.4 Velocidad Media Mediante la Ecuación de Chezy 2.4.1 Ecuación de Chezy Según la ecuación de Chezy la velocidad media en un canal en flujo uniforme se calcula mediante:
SRCV .. (2.21) Donde: R: Radio Hidráulico. S: Pendiente de la Línea de Energía C: Coeficiente de Chezy que depende de las características del contorno y puede calcularse mediante
7/2/
6log18
k
RC (2.22)
*
6.11
v
(2.23)
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Existen otras formulaciones para calcular el coeficiente de Chezy pero están sustentadas casi en su totalidad en mediciones empíricas. La ecuación de Chezy puede deducirse suponiendo que el esfuerzo cortante medio que se opone al movimiento esta en función de la velocidad media del flujo al cuadrado. En la Figura 2.11 se utiliza esta hipotesis en el análisis de fuerzas del volumen de control seleccionado.
Figura 2.11. Análisis de Fuerzas en un Canal
Fuente: Chow (1994). Hidráulica de Canales.
Aplicando la segunda ley de Newton al volumen de control seleccionado se tiene que:
SFx = m.a, dado que el flujo es uniforme a=0, obtiene que SFx = 0,
W senθ = (K.V2).P.L (ρg. A.L) senθ = (K.V2).P.L Simplificando y haciendo senθ=S dado que el ángulo θ es pequeño se tiene:
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SP
A
K
gV .
reemplazando R = A/P y haciendo
K
gC
se obtiene
SRCV .. En base a análisis teóricos y experimentales se ha determinado que el valor de C se pude calcular como
7/2/
6log18
k
RC
*
6.11
v
Existen otras formulaciones para calcular el coeficiente de Chezy pero están sustentadas casi en su totalidad en mediciones empíricas. El caudal Q se puede calcular mediante Q = V.A 2.4.2 Demostración Teórica-Experimental de la Ecuación de Chezy a Partir de la Distribución de Velocidades. 2.4.2.1 Velocidad Media en Contornos Hidráulicamente Lisos
En un canal ancho el caudal por unidad de ancho puede expresarse como
q=V.y
donde:
V: Velocidad media
y: tirante
de donde se tiene que V=q/y
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Despreciando la pequeñísima porción de flujo que discurre en la subcapa
laminar, para una franja de unidad de ancho, q puede calcularse como
yh
h
h dhVq
.
reemplazando en esta expresión la ecuación obtenida para contornos
hidráulicamente lisos
hvvh
.104ln*
se obtiene
yh
h
dhhv
q
.104ln*
de donde finalmente se llega a:
yLn
vV
3.38* (2.24)
Esta expresión proporciona la velocidad media en un canal muy ancho con
fondo hidráulicamente liso. En un canal ancho el radio hidráulico R se puede
aproximar como y, por lo tanto la expresión podría presentarse de esta
manera:
RLn
vV
3.38* (2.25)
Se puede demostrar que en tuberías la velocidad media es
RLn
vV
4.46* (2.26)
De (2.25) y (2.26) se adapta la expresión (2.27) válida para canales y tuberías
RLn
vV
42* (2.27)
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2.4.2.2 Velocidad Media en Contornos Hidráulicamente rugosos
En base a consideraciones análogas a las realizadas para canales
hidráulicamente lisos y utilizando las ecuaciones
yh
hoh
h dhVq . y
k
hvVh
30ln*
se obtiene que
yh
hoh
dhk
hvq
30ln*
de donde finalmente se obtiene que
k
yLn
vV
11*
(2.28)
Esta expresión proporciona la velocidad media en un canal muy ancho con
fondo hidráulicamente rugoso. Para un canal ancho se puede expresar como:
k
RLn
vV
11*
(2.29)
se puede demostrar que en tuberías la velocidad media es
k
RLn
vV
4.13*
(2.30)
De (2.29) y (2.30) se adapta la expresión (2.31) válida para canales y tuberías
k
RLn
vV
12*
(2.31)
Adaptando (2.27) y (2.31) se obtiene
7/2/
6ln*
k
RvV (2.32)
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Expresando la ecuación 2.32 en términos de logaritmos decimales mediante
ln X = ln 10. logX y reemplazando SRgv ..* y χ= 0.4 se tiene que:
SRk
RV .
7/2/
6log18
(2.33)
si se asume que
7/2/
6log18
k
RC donde
*
6.11
v
se llega a:
SRCV .. que corresponde a la expresión de la Ecuación de Chezy
Tabla 2.1. Valores Típicos de la Rugosidad Absoluta k
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
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2.5 Velocidad Media Mediante la Ecuación de Manning La ecuación de Manning para la velocidad media se obtiene a partir de la
ecuación de Chezy ( SRCV .. ) haciendo C=R1/6/n. Así se tiene que la velocidad media se expresa mediante la expresión:
n
SRV
2
1
3
2
. (2.34)
Donde: R: Radio Hidráulico. S: Pendiente de la Línea de Energía n: Coeficiente de Manning que depende de la aspereza del contorno De Q = V.A el Caudal (Q) se expresa mediante.
n
SRAQ
2
1
3
2
.. (2.35)
Donde: A: Área de la Sección Transversal. El coeficiente de Manning se obtiene experimentalmente. En la Tabla 2.1 se muestran valores típicos para diferentes tipos de superficies.
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Tabla 2.2. Coeficientes de Manning para Diferentes tipos de Superficies
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
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Aplicación de la Ecuación de Manning a Canales de Sección Compuesta y rugosidad variable. Una sección compuesta es aquella de geometría variable y rugosidad variable. En la Figura 2.12 se presenta un ejemplo.
Figura 2.12. Sección Compuesta y de Rugosidad Variable
El caudal total Q puede tomarse como la suma de los caudales parciales. Q= Q1+Q2+Q3+…….QN y en cada sección puede aplicarse la ecuación de Manning
Rugosidad Equivalente Para secciones compuestas y rugosidad variable, partiendo del concepto de que la suma de los caudales de las subsecciones es igual al caudal total, Lotter obtuvo la siguiente expresión como una rugosidad equivalente:
i
ii
e
n
RP
RPn
3
5
3
5
.
.
(2.36)
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Para secciones simples y rugosidad variable, suponiendo que la velocidad media en cada subsección eran iguales a la velocidad media de toda la sección v1=v2=v3=...v, Horton y Einstein obtuvieron:
3/22/3
.
i
iie
P
nPn (2.37)
Figura 2.13. Sección Simple y de Rugosidad Variable
De manera que el caudal total puede calcularse como
en
SRAQ
2
1
3
2
.. (2.38)
correspondiendo A y R al área y radio hidráulico total.
2.6 Ejercicios 1. Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de sección trapezoidal de 1 m de ancho, taludes laterales 2H:1V y 0.001 de pendiente. Si el canal transporta un caudal de 5 m3/s. Determinar: a) El tirante. b) La velocidad media. c) Los esfuerzos cortantes máximos en el fondo y en las paredes. d) El esfuerzo cortante medio en las paredes y fondo. e) El Número de Froude. 2. Se tiene un canal ancho de 2.5 m de tirante , 0.001 m de pendiente e irregularidades de fondo de 0.05 m de altura media. Si la temperatura del agua es de 10oC. Determinar: a) El perfil de velocidades. b) La velocidad media. c) El caudal específico.
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3. FLUJO CRÍTICO
3.1 Definición Corresponde a la situación en que la velocidad local del flujo es igual a la
celeridad de propagación de las perturbaciones, esto determina que las
perturbaciones que tenderían a moverse hacia aguas arriba permanecerán
estacionarias. Como se verá más adelante esto hace que las características
hidráulicas en una sección de flujo crítico (tirante y velocidad) dependan solo
de las características geométricas locales de la sección y del caudal que pasa
a través de esta.
3.2 Energía Específica La energía específica en una sección determinada se define como la energía
calculada tomando como referencia el nivel del fondo del canal. Se calcula
como la suma del tirante y la carga de velocidad.
E = y + g
v
2
2
(3.1)
Donde :
y : Tirante
v : Velocidad media en el canal
Figura 3.1. Definición de Energía Específica
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
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A diferencia de la energía total que siempre va descendiendo a lo largo del
canal, en flujo uniforme la energía específica se mantiene constante.
Expresada en términos del gasto Q y el área A de la sección transversal la
ecuación (1) se transforma en:
E = y + 2
2
2gA
Q (3.2)
Energía Específica a Caudal Constante
Si se asume constante el caudal (Q), debido a que el área (A) depende del
tirante (y), la energía específica en una sección dependerá únicamente del
valor del tirante (y). Al graficar versus y con un caudal constante se tendrá.
Figura 3.2. Relación entre la Energía Específica y el Tirante para un Caudal Constante
Fuente: Adaptado de Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
En la gráfica las rectas y=0 y y=E son asíntotas de la curva E vs. y. La Figura
muestra se observa que en el estado crítico la energía especifica es mínima
para un caudal determinado.
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Análisis de la condición de Energía Específica Mínima
El mínimo contenido de energía se obtiene cuando 0dy
dE
Derivando (3.2) con respecto de y.
dy
dA
gA
Q
dy
dE3
2
1 (3.3)
Tomando en cuenta que de la Figura
adjunta
dA = T.dy
de donde:
dy
dAT (4)
Reemplazando (3.4) en (3.3)
3
2
1gA
TQ
dy
dE (3.5)
Reemplazando 0dy
dE en (3.5)
13
2
gA
TQ (3.6) (Expresión general de flujo critico)
Despejando Q
T
AgAQ . (3.7)
Reemplazando: T
Ad , donde d: tirante hidráulico
dgAQ . (3.8)
dividiendo entre A ambos miembros se tiene:
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dgv . (3.9) (Velocidad Crítica)
Reemplazando en la expresión para el número de Froude dg
vFr
. (3.10)
se tiene que para un flujo critico Fr = 1
En un río donde v < vcritica se tendrá que Fr < 1 (flujo subcritico)
En un torrente donde v > vcritica se tendrá que Fr > 1 (flujo supercritico)
3.3 Tirante Crítico en Secciones Características Flujo Crítico en una Sección Rectangular
Tirante Crítico:
Igualando la expresión para la velocidad crítica cc dgv . con la expresión
de velocidad de la ecuación de continuidad vc=Q/Ac
c
c
A
Q
T
Ag . ,
para una sección rectangular
TyA cc
Reemplazando Ac y despejando yc
3/2
1
gT
Qyc
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3
2
g
qyc (3.11)
Flujo Crítico en una Sección Parabólica
Tirante Crítico:
De:
cc dgv . igual a vc=Q/Ac
en una sección parabólica
TyA cc3
2
Reemplazando Ac y despejando yc
3/2
2/1
2/3
.3
2
1
gT
Qyc
, si se reemplaza q por Q/T , y se opera se tiene:
3/2701.0 qyc (3.12)
Flujo Crítico en una Sección Trapezoidal
Tirante Crítico:
De:
cc dgv . igual a vc=Q/Ac
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c
c
A
Q
T
Ag . ,
en una sección trapezoidal
AC = (b+z.yc)yc
T = b+2z.yc
Reemplazando Ac y reacomodando
g
Q
yzb
yyzb
c
cc233
..2
).(
(3.13)
el tirante crítico yc se obtiene mediante tanteos.
Flujo Crítico en una Sección Circular
Tirante Crítico:
De:
cc dgv . igual a vc=Q/Ac
c
c
A
Q
T
Ag . ,
en una sección circular
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)sen(2
2
r
Ac
2/sen
)cos1(
rT
Reemplazando Ac , T y reacomodando
g
Qr 2
35
cos1
2sen)sen(
2cos1
2
Dyc
(3.14)
3.4 Relación entre el Tirante Crítico y la Energía Especifica En una sección rectangular:
Se sabe:
g
vyE c
c2
2
además:
cc ygv .
de donde:
Eyc3
2 (15) y E
g
vc
3
1
2
2
(3.16)
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En una sección parabólica
de: g
vyE c
c2
2
y T
Agv c
c .
donde:
TyA cc3
2
se obtiene que:
Eyc4
3 (3.17) y E
g
vc
4
1
2
2
(3.18)
En Sección Trapezoidal:
de: g
vyE c
c2
2
y T
Agv c
c .
donde:
cc yTb
A2
se obtiene que:
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EbT
Tyc
5
4 (3.19) y E
bT
Tb
g
vc
52
2
(3.20)
3.4 Variación del gasto con el tirante a energía específica constante:
Para una sección rectangular la expresión de Energía específica
E = y + 2
2
2gA
Q
puede transformarse en
E = y + 2
2
2gy
q
Si se asume E constate y se despeja q:
yyEgq )(2 (3.21)
Derivando q con respecto de y e igualando a cero se puede obtener el gasto
máximo
0)(2
12 2/12/1
yyEyEg
dy
dq
Ey3
2 (3.22)
Esta expresión es la misma obtenida para condiciones críticas (ec. 3.15) , se
concluye así que para una energía específica dada el gasto es máximo cuando
las condiciones son críticas.
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Figura 3.3. Relación entre el Caudal Específico y el Tirante para una Energía Específica Constante
GASTO A ENERGIA ESPECIFICA CONSTANTE
Fuente: Rocha (2007). Hidráulica de Tuberías y Canales.
De la Figura 3.3 se podría afirmar que las condiciones críticas representan la
condición de flujo más eficiente ya que produce la máxima descarga para una
energía especifica dada; sin embargo a pesar de esto no es la condición más
deseable para fines de diseño ya que como se observa en la Figura 3.2
pequeños cambios en la Energía Específica puede resultar en fluctuaciones
significativas en la profundidad del flujo haciéndola una condición inestable.
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3.5 Ejercicio Se tiene un canal revestido de concreto bien acabado de sección trapezoidal de 1 m de ancho, taludes laterales 2H:1V y 0.001 de pendiente. Si el canal transporta un caudal de 5 m3/s. Determinar: a) Hacer el gráfico tirante vs. energía específica. b) El tirante crítico. c) La velocidad crítica d) Si la sección fuera rectangular de 1 m de ancho, ¿ cuáles serían el tirante crítico y la velocidad crítica?