Hidraulica - Ecuación Fundamental de las turbinas de Reacción

5/8/2018 Hidraulica - Ecuación Fundamental de las turbinas de Reacción - slidepdf.com

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Ecuación Fundamental de las turbinas.

El flujo del caudal que actúa sobre los alabes del rodete de la turbina genera unafuerza - P , la cual tiene una componente tangencial al rodete - P U , que lo obliga a girar con

una velocidad angular de - ω . No obstante, sobre el rodete actúa una fuerza de reacción -

R en sentido contrario, que hace que el flujo del caudal cambie de dirección. Esta fuerza dereacción – R fundamentalmente es generada por el par mecánico del generador. Este

proceso de conversión de energía se realiza en forma estable, en el cual no hay pérdida de

masa en el tiempo, es decir que la cantidad de masa del caudal - m que ingresa al rodete esigual a la que sale:

Qdt m * ρ =El movimiento del caudal una vez entra al rodete, tal como se indica en la figura 18

(punto 1) esta compuesto por el movimiento del caudal a lo largo de los alabes y elmovimiento rotativo del conjunto. La velocidad con la que el caudal se desplaza a lo largo

de los alabes se indica como - w y la velocidad tangencial de rotor se representa con la

letra - u ; la suma vectorial de estas velocidades, corresponde a la velocidad del caudal

dentro del rodete - c . Para indicar si los vectores de las velocidades corresponden alingreso o a la salida del rodete se le anexa el subíndice 1 y 2, respectivamente (ver figura

18).

Figura 18. Velocidades a la entrada y salida de la turbina.

La cantidad de movimiento generado por el caudal al ingresar y al salir del rodete de

la turbina; corresponden a:

11*cmC = y 22

*cmC =Estas cantidades de movimiento - iC durante un tiempo dt generan un momento -

iM en función del eje del rodete, el cual corresponde al producto de los vectores de las

velocidades tangenciales por el radio, los cuales equivalen a:111111

*cos***** Rcm Rumdt M α ==

222222*cos***** Rcm Rumdt M α ==

La resultante de estos momentos en el tiempo dt , corresponde a:

( ) ( ) ( )222111221121

*cos**cos******* Rc Rcm Ru Rumdt M M dt M α α −=−=−=

El momento actuante sobre los alabes del rodete, que genera el momento de giro en la

turbina equivale a:

1



( ) ( )

dt

Rc Rcm

dt

Ru RumM T

2221112211*cos**cos***** α α −

=−

=

Considerando - Qdt m * ρ = se tiene que el momento en la turbina es:

( ) ( )2221112211

*cos**cos******* Rc RcQ Ru RuQM T α α ρ ρ −=−=La potencia desarrollada por la turbina, corresponde al producto del momento de la

turbina - T M por la velocidad angular ω :

( ) ω α α ρ ω **cos**cos****222111

Rc RcQM P T T −==Si se iguala la ecuación anterior correspondiente a la potencia desarrollada por la

turbina - T P y la potencia obtenida en un recurso hidroenergético - H P se tiene:

( ) ω α α ρ ρ **cos**cos******222111

Rc RcQ H Q g P P T H −==−Considerando en la ecuación anterior, que la velocidad tangencial equivale al

producto de la velocidad angular por el radio, se tienen las siguiente expresiones:

11* Ru ω = y 22

* Ru ω = ; y simplificando el termino - Q* ρ la energía especifica

desarrollada por el caudal en el rodete es igual a:

( ) g

ucuc H

222111cos**cos** α α −

=Esta ecuación es la ecuación fundamental de las turbinas.

Al relacionar la potencia desarrollada por la turbina - T P y la potencia que obtenida en

un recurso hidroenergético - H P se tiene que la eficiencia hidráulica de la turbina es:

( )222111

cos**cos****

1α α η ucuc

H g P

P

H

T H −==

La ecuación fundamental de las turbinas también se puede obtener aplicando la

ecuación de Bernoulli para un tubo de corriente. Para ello se debe considerar que el caudal

que fluye entre los alabes desde el punto 1 al 2 de la figura 18 corresponde al de un tubo decorriente, en el cual el fluido tiene una velocidad de - w y a la vez gira con una frecuencia

de - n . Con base en estas consideraciones la ecuación de Bernoulli es:

21

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

22*22*−∆+−++=−++ h

g

u

g

w z

g

p

g

u

g

w z

g

p

ρ ρ

Donde: 21−∆h - corresponde a las pérdidas en el trayecto 1-2

La ecuación de Bernoulli indica que la energía especifica del fluido en el trayecto 1-2

puede aumentar o disminuir en la medida en que varíen las velocidades 1u y 2

u . De hecho,

esto ocurre en el rodete de las turbinas de reacción, en donde el caudal entre los alabes esta

formado por tubos de corriente. Por ello la ecuación de Bernoulli toma la siguiente forma:

21

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

22**−∆+

−−

−=−−+ h

g

uu

g

ww z

g

p z

g

p

ρ ρ

Y la energía del fluido a la entrada del rodete equivale a:

g

c z

g

pe

2*

2

1

1

1

1++=

ρ

La energía del fluido a la salida del rodete equivale a:

2



g

c z

g

pe

2*

2

2

2

2

2++=

ρ

La diferencia entre la energía a la entrada y la salida del rodete de la turbina - T R H

corresponde a:

T R H g

c g

c z g

p z g

peee =−+

−−+=−=

22**

2

2

2

12

21

121

ρ ρ

Al remplazar la ecuación anterior en la ecuación de Bernoulli, se obtiene que la

energía específica en el rotor de la turbina es:

21

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

222−∆+

−+

−+

−= h

g

uu

g

ww

g

cc H T R

Considerando: H T R H h H η *21=∆− − , la ecuación fundamental de las turbinas se

puede expresar de la siguiente forma:

g

uu

g

ww

g

cc H H

222*

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1−

+−

+−

=η

Esta ecuación muestra que la forma del rodete de la turbina establece una relación

directa entre H H η * y el triangulo de velocidades a la entrada y salida del rodete. En

particular en turbina axiales las velocidades1u y

2u , son iguales; por consiguiente H H η *

se determina con base en la diferencia de las otras velocidades; la cual no debe ser elevada,dado que aumentan las pérdidas. Esto con lleva a limitar la aplicación de las turbinas

axiales a bajas caídas. Esta limitante no esta presente en las turbinas diagonales y radial-

axiales, las cuales se pueden utilizar para mayores caídas. Es de anotar que en la medida en

que aumenta la caída la diferencia entre las velocidades1u y

2u toma mayor importancia.

Esto ultimo explica la importancia que tiene la relación entre los diámetros del disco (12) - D1 y de la corona exterior (13) - D2 de la turbina Francis; tal como se ilustra en la figura4.d.

Como se ha mencionado anteriormente la diferencia de la turbina de acción frente a la

de reacción, radica en que su rodete gira a presión atmosférica, utilizando solo la energíacinética del líquido, que se actúa sobre un número determinado de cucharas, es decir en una

parte de la turbina (ver figura 19.a). Estas características determinan algunas

particularidades en el proceso de conversión de energía.El proceso de conversión de energía cinética en mecánica en una turbina Pelton

ocurre en el instante en que el caudal que sale de cada uno de los eyectores choca con las

cucharas del rodete (ver figura 19.a). El caudal aportado por cada eyector equivale a:

ccS Q *=

Donde: S - es la sección del eyector y cc es la velocidad con la que sale el caudal

del eyector, la cual equivale a:

H g cc **2ϕ =Donde: ϕ - es el coeficiente de fricción del eyector y H es la caída.De esta forma el caudal equivale a:

H g S Q **2*ϕ =

3



En la ecuación anterior el caudal es una magnitud que depende solo de la sección de

salida del eyector, dado que la caída es constante y el coeficiente de fricción para diferentes

niveles de apertura del eyector prácticamente no varia.

a bFigura 19. Velocidades a la entrada y salida en una turbina de acción.

Adicionalmente a las particularidades anteriores, se considera que para cualquier

valor de apertura del eyector la velocidad con la que el caudal sale del eyector - cc y la

velocidad a la del caudal a la entrada a la cuchara - 1c son iguales (ver figura 19.b), es

decir:

1ccc =

En la turbina de acción la velocidad tangencial del rodete equivale al producto de la

velocidad angular por el radio:

60

**5.0**21

21 n Duuu r π ===De acuerdo con el paralelogramo de velocidades a la entrada de la cuchara (ver figura

19.b), el ángulo - 1δ entre la velocidad resultante - 1w y la velocidad del caudal a la entrada

a la cuchara - 1c es mínimo, por tanto las velocidades tienen igual sentido, de tal forma que

la velocidad resultante equivale a:

111ucw −=

Una vez que el caudal ha impactado en la cuchara se divide en dos, y a la salida de

esta tiene una velocidad resultante - 2w con un ángulo - 2

δ , cuya magnitud prácticamente

se mantiene constante, de tal forma que: 12ww = . De esta forma el paralelogramo de

velocidades a la salida de la cuchara - 2c equivale a (ver figura 19.b):

222uwc +=

Dado que el ángulo - 2δ es pequeño y las velocidades 2

w y 2u , el paralelogramo de

velocidades a la salida de la cuchara es alargado y por tanto la velocidad a la salida - 2c es

baja.

4



Al tomar la ecuación fundamental de las turbinas y aplicarla a la turbina Pelton,

previa consideración que 21uu = y por efecto de la fricción la velocidad resultante a la

salida de la cuchara es ligeramente menor, es decir 12ww ⟨ , se tiene:

g

ww

g

cc H H

22*

2

2

2

1

2

2

2

1−

+−

=η

Al sustituir: 1ccc = y H

g

c*

2

2

2

1 ϕ = en la ecuación anterior se obtiene:

H g

c

H g

ww H

*2*2

2

2

2

2

2

12 −−

−=ϕ η

De tal forma la eficiencia hidráulica - H η en una turbina Pelton, depende de las

pérdidas en el eyector, en las cucharas y la velocidad de salida del caudal. Usualmente en

las turbinas Pelton se opta por hacer una superficie suave en las cucharas con el propósito

de reducir las pérdidas por efecto de la salida - 2c y con ello hacer más eficiente la turbina.

Similitud de las turbinas.

En las máquinas hidráulicas hay muchos problemas que no se pueden resolver a

través de medios matemáticos y por ello su solución esta en el laboratorio, con la ayuda de

prototipos experimentales, que son modelos a escala de las máquinas hidráulicas y son aellos a los que se les realizan pruebas con un elevado nivel de precisión. Es importante

señalar que en el modelo se puede observar el funcionamiento de la máquina real y en el se

pueden hacer los ajustes en una forma directa y rápida, tal que permita mejorar la eficienciade la máquina real. Para hacer un equivalente entre las dos máquinas se aplican los

principios de similitud geométrica, cinética y dinámica que establecen las relaciones

fundamentales entre los modelos y las máquinas reales. Los cuales se enuncian de la

siguiente forma:• El principio de similitud geométrico establece que dos figuras y/o volúmenes son

geométricamente semejantes en la medida en haya una correspondencia entre cada uno

de sus elementos, puntos, líneas, superficies, ángulos, entre otros.

• Dos sistemas se consideran cinemáticamente semejantes, en el instante en que dos de

sus partículas homólogas ocupan posiciones homólogas a tiempos homólogos. Esto

indica que los vectores representativos de las velocidades y las aceleraciones tendrán

direcciones homólogas en tiempos homólogos. Además en flujos permanentes, laslíneas de corrientes homólogas serán semejantes.

• Dos sistemas se consideran dinámicamente semejantes, si los puntos homólogos de esossistemas están sometidos a sistemas de fuerzas homólogas.

En las turbinas estos principios aplican en todos sus elementos, ya que el modelo esuna replica exacta a escala de la turbina real. De acuerdo con ello dos turbinasgeométricamente son semejantes si cumplen las siguientes condiciones:

1. Todos sus ángulos son iguales, es decir:

1211δ δ = ; 2221

δ δ = ; 21 ii δ δ =2. La relación entre sus medidas es constante, es decir:

5



const b

b

D

D

D

D

i

i......

2

1

22

21

12

11 ===

Siguiendo los principios de similitud, dos turbinas son semejantes cinética ydinámicamente si cumplen las siguientes condiciones:

1. El ángulo de los vectores de todas sus velocidades es igual:

21 ii α α = ; 21 ii β β =El cumplimiento de esta propiedad de semejanza, hace que a los regimenes de

turbinas semejantes se les llame isógonales.

2. La relación entre todas las velocidades en posiciones homólogas son constantes, esdecir:

const w

w

u

u

v

v

i

i

i

i

i

i ===2

1

2

1

2

1

Estas condiciones de semejanza se establecen para dos turbinas del mismo tipo, de lascuales, una de ellas es el prototipo experimental y la otra será la turbina real. El prototipo

experimental tendrá unas dimensiones definidas y a partir de ellas se determinaran las

dimensiones de la turbina real, con base en relaciones de semejanza.Para determinar las relaciones de semejanza de las magnitudes de velocidad 1

n y 2n ,

caudal 1Q y 2

Q y potencia 1 P y 2

P entre dos turbinas del mismo tipo, se parte del supuesto

de que conocen los siguientes parámetros de cada una de ellas: diámetros 1 D y 2

D , caídas

1 H y 2 H y los ángulos de las directrices y los alabes del rotor respectivamente son:

0201α α = y 21

ϕ ϕ = .

Seguidamente con base en la condición de semejanza se establece la relación entre las

velocidades tangenciales (ver figura 18), que equivale a:

22

11

22

11

12

11

*

*

**

**

n D

n D

n D

n D

u

u==

π

π

Y la relación entre las velocidades meridionales de las velocidades absolutas,

equivale a:

22

2

11

1

2

2

1

1

21

11

**

**

b D

Q

b D

Q

F Q

F Q

u

u

m

m

π

π ==

Donde: i F - es la suma de las secciones normales a la superficie del rodete, por donde

el caudal ingresa al rodete y ib - es la altura del orificio de entrada del caudal en el rodete.

Considerando la semejanza geométrica entre los diámetros y las alturas de los

orificios de las turbinas2

1

2

1

bb

D D = , se tiene:

2

22

2

11

21

11

*

*

DQ

DQ

u

u

m

m =

La relación de semejanza entre todas las velocidades en posiciones homólogas, indica

que la relación entre las velocidades tangenciales y velocidades meridionales son iguales,es decir:

6



21

11

12

11

m

m

v

v

u

u= ó 2

22

2

11

22

11

*

*

*

*

DQ

DQ

n D

n D=

Al simplificar la relación anterior, se tiene:

3

22

2

3

11

1

** Dn

Q

Dn

Q=

La ecuación anterior describe la condición de semejanza cinética de las turbinas, quedicho de otra forma equivale a:

const Dn

Q =3

2*

Conocido que la eficiencia hidráulica de la turbina equivale a:

( )222111

cos**cos****

1α α η ucuc

H g H −= ;

Y considerando que las turbinas trabajan con condiciones diferentes de caídas 1 H y

2 H y eficiencias hidráulicas H 1η y H 2

η , se tiene:

( )21212111111111 cos**cos**** α α η ucuc H g H −=( )

22222212121222cos**cos**** α α η ucuc H g H −=

Apoyados en las siguientes condiciones de semejanza:

1211α α = , 2221

α α = y22

11

22

21

22

21

12

11

12

11

*

*

n D

n D

v

v

u

u

v

v

u

u====

Las cuales también se pueden expresar de la siguiente manera:

1211coscos α α = , 2221

coscos α α = ,

11

22

1112*

*

n D

n Duu = ,

11

22

1112*

*

n D

n Dvv = ,

11

22

2122*

*

n D

n Duu = y

11

22

2122*

*

n D

n Dvv =

Al sustituir las ecuaciones anteriores en la eficiencia hidráulica H 2η , la relación entre

las eficiencias H 1η y H 2

η , equivale a:2

22

11

22

11

*

*

*

*

=

n D

n D

H

H

H

H

η

η

Con base en la ecuación anterior se determina la relación de semejanza de las

velocidades 1n y 2

n , la cual equivale a:

2

1

2

1

1

2

2

1**

H

H

H

H

D

D

n

n

η

η =

Al colocar la ecuación anterior en la condición de semejanza cinética de las turbinas,se obtiene la relación de caudales:

2

1

2

1

2

2

1

2

1**

H

H

H

H

D

D

Q

Q

η

η

=

Apoyados en la relación de potencias

222

111

2

1

***81.9

***81.9

η

η

H Q

H Q

N

N =

7



Y la relación de semejanza de caudales se obtiene la relación de semejanza de

potencias:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1****

H

H

H

H

H

H

D

D

N

N

η

η

η

η

=

Dado que la eficiencia hidráulica entre una y otra turbina prácticamente no cambia, se puede considerar que ellas equivalen a: 1

2

1 = H

H

η

η y las relaciones de semejanza se

simplifican.Ejemplo: Un prototipo a escala de una turbina tiene los siguientes parámetros:

diámetro de m D 3.01= , caída m H 5.3

1= , la máxima eficiencia se obtuvo con una

velocidad de rpmn 4301= y un caudal de seg

mQ3

115.0= . Se requiere determinar la

velocidad, el caudal y la potencia de una turbina real del mismo tipo para los siguientes

parámetros: m D 0.52= y m H 0.90

2= , suponiendo que las eficiencias hidráulicas son

iguales.

Solución: Con base en la relación de semejanza de las velocidades se determina la

velocidad de la turbina real:

rpm H

H

D

Dnn

H

H 132

5.3

90*

5

3.0*430***

2

1

2

1

1

2

21====

η

η

Apoyado en la relación de caudales, se determina el caudal de la turbina real:

seg

m

H

H

D

DQQ

H

H

32

2

1

2

1

2

2

1

21211

5.3

90*

3.0

5*15.0*** =

=

=

η

η

Y la potencia de la turbina real, para una eficiencia de 0.93 es:

kW H Q N 17200093.0*211*90*81.9***81.91111

=== η

Velocidad especifica - sn .

Las dimensiones de una turbina determinan la potencia que entrega en el eje; cuyarelación matemática entre estos dos parámetros se llama velocidad específica. De hecho

dos turbinas de dimensiones diferentes pueden tener igual potencia en la medida en que sus

velocidades sean diferentes.

La potencia en el eje de una turbina es el producto entre el momento de fuerza – M yla velocidad angular -ω :

ω *M N =La ecuación anterior indica que para obtener una potencia dada, el aumento de la

velocidad angular hace que se requiera un menor momento de fuerza, el cual con lleva adisminuir las dimensiones de la turbina, dado que este depende del radio de la máquina – R

y la fuerza aplicada - F : R F M *=

Como se observa en las demostraciones anteriores, para una misma potencia unamáquina con una baja velocidad tendrá un radio mayor, consecuentemente será voluminosa

y una máquina rápida tendrá un menor volumen. Al relacionar las velocidades específicas

para los dos casos anteriores la máquina más rápida tendrá una velocidad específica mayor.

8



Esta es una tendencia que se aplica en las turbinas hidráulicas, sin embargo la potencia de

las turbinas también es función del caudal a turbinar:η ***81.9 H Q N =

Al aplicar la ecuación anterior a dos turbinas de igual diámetro considerando la caída

constante, se deduce que la potencia entregada por cada una de ellas depende del caudal.

Por consiguiente la velocidad específica será mayor en la turbina que tenga mayor capacidad para turbinar caudal. De esta forma se puede concluir, que la velocidadespecífica en una turbina se puede aumentar bien sea aumentando la velocidad o la

capacidad para turbinar caudal.

Por tal motivo para comparar dos tipos de turbinas en función de sus velocidadesespecíficas es necesario que ellas estén en iguales condiciones de caída y potencia, las

cuales corresponden a valores unitarios; obtenidos a través de las leyes de semejanza de las

turbinas hidráulicas.Su aplicación inicia a partir de un prototipo de un tipo de turbina, cuyas

características son las siguientes: diámetro – D, potencia – N , velocidad - n y caída – H .

Consecuentemente para una turbina semejante a la turbina prototipo, cuyos valores

unitarios de caída m H s 0.1= y potencia sl N s .0.1= (o su equivalente:kW sl N s 736.0.0.1 == ) se requiere determinar los parámetros de velocidad especifica -

sn y diámetro - s D . Para ello se lleva el siguiente procedimiento:

• Aplicando la relación de semejanza de las velocidades de las turbinas considerando que

tienen igual eficiencia hidráulica, se tiene

H D

D

H

H

D

D

n

n

s

s

s

s 1** ==

• Aplicando la relación de semejanza de potencias considerando que tienen igualeficiencia hidráulica, se tiene:

H H

H H

D D

N N s s s s **

2

=

y simplificando se obtiene

H H D

D

N s 1

*1

*1

2

=

• La ecuación obtenida a través de la relación de semejanza de las velocidades se eleva alcuadrado,

H D

D

n

n

s

s 1*

22

=

La ecuación anterior se multiplica por la ecuación obtenida a través de la relación desemejanza de las potencia y se logra simplificar el diámetro s D :

H H N n

n s 1*

11*

2

2

=

Con base en la ecuación anterior se puede determinar la velocidad específica de una

turbina:

9



H

N

H

nn s *=

No obstante la velocidad específica de una turbina también se puede determinar a

través de ecuaciones experimentales, tales como:

• Para turbinas radiales – axiales:

Con una caída m H 200⟩ , la velocidad especifica equivale a:

6.0

4400

H n s =

Con una caída m H 200⟨ , la velocidad especifica equivale a:

5.0

2600

H n s =

• Para turbinas axiales y diagonales la velocidad especifica equivale a:

4.0

2300

H n s =

• Para turbinas axiales tipo hélice y bulbo la velocidad especifica equivale a:

4.0

2600

H n s =

• Para turbinas tipo Pelton la velocidad especifica equivale a:

( )

−=

1

253245 D

d z n c

c s

Donde: c z - es el número de eyectores, cd - es el diámetro del chorro y 1 D - es el

diámetro Pelton.

Con base en la velocidad específica se pueden comparar tipos de turbinas diferentes,

e inferir que el disponer de una velocidad específica elevada implica tener turbinas dedimensiones pequeñas, esto parecería ser una fortaleza que debería ser generalizada; no

obstante en la medida en que aumenta la caída aumenta la velocidad del caudal y

consecuentemente los riesgos de cavitación. Esto conlleva a que exista una limitante por caída para la aplicación de turbinas rápidas (turbinas con una elevada velocidad específica).

Las turbinas se pueden clasificar de acuerdo con la velocidad específica, de la

siguiente forma: rápidas, normales y lentas. Esta clasificación coincide con el tipo deturbina, ya que las turbinas axiales son las que tienen una mayor velocidad específica, les

siguen las diagonales, las radiales axiales y las más lentas son las tangenciales o turbinas

Pelton.Adicionalmente la limitante por caída hace que el rango de aplicación de las turbinas

hidráulicas, a la vez coincida con el tipo de turbina y la velocidad especifica. Esto permiteseleccionar las turbinas según la caída del recurso hidroenergético. La tabla 2 muestra

parámetros de velocidad específica y caída según el tipo de turbina y las figuras 20.a y20.b ilustran las dimensiones que toman las turbinas a medida que aumenta su velocidad

especifica y el rango de aplicación por caída de las turbinas respectivamente.

10



Tabla 2. Parámetros de velocidad específica y caída para diferentes tipos de turbina

Tipo de turbina Velocidad

especifica - sn

Rango de aplicación por

caída – H (m)

Turbina Kaplan y Hélice (Axiales).

• Rá

pidas 1200 -750 2 – 12

• Normales 750 -550 12 – 22

• Lentas 550 -350 22 - 80

Deriaz (Diagonales) 500 - 300 40 -220

Francis (Radial – axial)

• Rápidas 400 -250 20 – 50

• Normales 250 -150 50 – 120

• Lentas 150 -70 120 - 600

Pelton (Tangenciales) 50 - 10 800 - 2000

a) b)

Figura 20. Variación de tamaño del rodete en función de la velocidad especifica y

rango de aplicación por caída de las turbinas.

11



Eficiencia de las Turbinas.

La forma habitual de funcionamiento de las turbinas industriales es suministrar, en

cada instante, la potencia que la exige el alternador, manteniendo al mismo tiempoconstante la frecuencia y, por lo tanto, el número de revoluciones. Este es el motivo de que

sea interesante estudiar las variaciones del rendimiento al variar la potencia o el caudal,

manteniendo constantes el salto Hn y la velocidad n.

El proceso de transformación de energía hidráulica en mecánica en una turbina se

debe realizar manteniendo la velocidad constante para que la frecuencia en el generador nocambie. Aunque usualmente este proceso se realiza con una eficiencia elevada, la cual

aumenta en proporción a la potencia, las pérdidas mecánicas, hidráulicas y volumétricas

reducen la potencia final en eje de la turbina.Como definición la eficiencia es la relación entre la potencia final entregada en el eje

- f P y la potencia entregada por el caudal - e P :

e

f

T P

P =η

En la ecuación anterior la potencia final entregada en el eje equivale a:

Mec f H Q g P η ρ ´**´**= y la potencia entregada por el caudal equivale a:

H Q g P e *** ρ = . En la ecuación anterior el termino Q - corresponde al caudal total, que

al deducir de él, el caudal correspondiente a las fugas en la turbina - Q∆ , se tiene el caudal

finalmente turbinado: QQQ ∆−=´ . En el mismo sentido, el termino H - corresponde a la

caída total que al deducir de ella, las pérdidas de altura presentes en la turbina - H ∆ , se

tiene la caída neta: H H H ∆−=´ .

De esta forma la eficiencia equivale a:

Mec H V

Mec

e

f

T H Q g

H Q g

P

P η η η

ρ

η ρ η **

***

´**´**===

Donde: QQ

V

´=η - eficiencia volumétrica, H

H H

´=η - eficiencia hidráulica y Mecη

- eficiencia mecánica.La ecuación anterior indica que la eficiencia de la turbina corresponde al producto de

la eficiencia volumétrica, hidráulica y mecánica; las cuales cambian en función de la

potencia mecánica entregada en el eje de la turbina, bajo la consideración de que la caída yla velocidad se mantienen constantes. Por ello la eficiencia de la turbina se puee expresar

gráficamente como una función que depende de la potencia ( )T T P f =η o del caudal -

( )T T Q f =η . La forma como varia eficiencia de la turbina para diferentes potencias esta

directamente relacionada con el tipo de turbina, tal como se indica en la figura 21; en ella seobserva que la turbina tipo Helice y Radial – Axiales (Francis) alcanzan el máximo de

eficiencia para el 75 % de su potencia nominal, y es en el instante en que la velocidad de

entrada a la directriz 0v y la velocidad del caudal dentro del rodete - c , coinciden en

dirección y por tanto las pérdidas son menores (ver figura 18); sin embargo al variar la

posición de los alabes móviles de la directriz, cambia el ángulo y consecuentemente

aumentan las pérdidas, disminuyendo la eficiencia de la turbina. La característica de laeficiencia para turbinas Kaplan y Deriaz es más estable, en razón a que los alabes de sus

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rodetes son móviles y pueden acercar los vectores de las velocidades (ver figura 18). Las

turbinas Pelton poseen una característica estable, sin embargo frente a las turbinas de

reacción son menos eficientes.

Figura 21. Eficiencia de diferentes tipos de turbinas hidráulicas.

Ejemplo: El chorro de una turbina Pelton de diámetro mmd 50= , impacta en una

cuchara (cangilón) con una velocidad de seg mC c 40= y sale formando un ángulo de

°= 102

δ (ver figura ). La cuchara tiene un coeficiente de perdida hidráulica de 2.0=ξ .

Determinar la fuerza actuante sobre la cuchara, considerando inicialmente que esta no

se mueve y que gira con una velocidad de seg mu 401= .

Solución: Las fuerzas actuantes respectivamente sobre la cuchara son: New R 18300= y New R 4560=

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a) b)

Figura

Ejemplo: El chorro de una turbina Turgo impacta en el rodete en un ángulo de

°= 301

α con relación a la dirección del movimiento. La velocidad y el caudal

respectivamente equivalen a: seg mv 50= y seg l Q 250= (ver figura ).

Se requiere determinar la potencia y la eficiencia del rodete si se considera que la

velocidad del caudal al ingresar a los alabes es de seg mu 50= , el ángulo a la salida es

°= 202

β y el coeficiente de fricción del rodete es 25.0=ξ .

Solución: La potencia y la eficiencia del rodete son: Kw N 278= y 89.0=η

Ejemplo: El caudal ingresa a el rodete de una turbina axial de reacción con una

velocidad de seg mC 301= y un ángulo de °= 20

1α con relación a la dirección del

movimiento (ver figura ).

Figura.

Se requiere determinar las componentes vertical y horizontal de la fuerza u P y z P ,

considerando que la velocidad tangencial equivale a seg mu 25= , el ancho del canal entre

los alabes es mmt 60= , la altura del orificio de entrada del caudal en el rodete es

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mmb 40= , el ángulo a la salida es °= 252

β y el coeficiente de fricción del rodete es

2.0=ξ .

Solución: Las componentes vertical y horizontal de la fuerza son:

New P u 618= y New P z 706=

Ejemplo: El rodete de una turbina axial tiene un radio medio de mm R 500= y un

ancho de mm B 100= . El caudal ingresa al rodete en un ángulo de °= 351

α con relación a

la velocidad tangencial Ru *ω = y sale con una ángulo de °= 252

β . La cabeza de la

turbina es m H 121= .

Se requiere determinar la potencia útil desarrollada y la velocidad del rodete, en el

caso en que no se tienen pérdidas hidráulicas en la directriz y en el rodete, considerando

que la velocidad a la salida del rodete 2C es perpendicular a la velocidad u .

Adicionalmente determinar como cambian los resultados para el caso en que no se

tiene un tubo difusor y en el caso en que se tiene un difusor cuya altura es de m H 42= .

Las pérdidas de altura en el tubo difusor y la energía cinética a la salida no se consideran.

Solución: La potencia y la velocidades sin tubo difusor y con tubo difusor son: Kw N 184= , rpmn 235= y Kw N 353= , rpmn 293=

Ejemplo: El caudal en una turbina de reacción entra con un ángulo de °= 121

α al

rodete, cuyos radios son: mm R 5001= , mm R 250

2= y un ancho a la entrada del caudal de

mm B 601= y a la salida de mm B 120

2= .

Se requiere determinar los ángulos a la entrada y salida de los alabes del rodete de laturbina 1

β , 2β y el momento, para una velocidad de rpmn 1200= y un caudal de

seg mQ 30.2= , considerando que la velocidad a la salida del rodete 2

C es perpendicular

a la velocidad u .

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Hidraulica - Ecuación Fundamental de las turbinas de Reacción

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