Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 9 1

Težište Određivanje položaja centra (središta) sistema vezanih paralelnih sila

(F 0)R

r≠

(M F )o R

r r⊥

0=)F(M)=F(Mi

iAA ∑rrrr

r

( )

r rρi i

i

F× =∑ 0 r r rr ri i= + ρ

(r r) F = 0i ir r r− ×∑

i

r r r rr F r Fi

ii i

i∑ ∑× − × = 0

r rF Fui i= r r r rFur Fu ri

ii i

i∑ ∑× − × = 0 ,

( F r F )i ii

u = 0r r rrii

− ×∑ ∑

( F r F ) u = 0i C ii

r r rrii

− ×∑ ∑

Neka se sada pretpostavi da su sile posmatranog sistema vezane za svoje napadne tačke (sistem vezanih paralelnih sila). Geometrijska tačka kroz koju prolazi napadna linija rezultante sistema vezanih paralelnih sila (tačka C), čiji položaj se ne menja, pri bilo kom zaokretanju svih sila oko svojih napadnih tačaka za isti ugao (za bilo koju osu Ou), naziva se centar (središte) sistema vezanih paralelnih sila.

r

r

rFr

FC

i ii

ii

=∑∑

rr

rFr

FC

i ii=∑

r

xF x

Fy

F y

Fz

F z

FC

i ii

C

i ii

C

i ii= = =

∑ ∑ ∑r r

, ,r

r

Veličina i∑ naziva se statički moment sistema vezanih paralelnih sila u odnosu na

centar O. Brojioci u prethodnim izrazima predstavljaju statičke momente sistema vezanih paralelnih sila u odnosu na ravni Oyz, Oxz i Oxy, respektivno.

F ri i

Težište tela

Geometrijska tačka kroz koju prolazi napadna linija rezultante sila Zemljine teže svih delića tela pri bilo kom položaju tela u prostoru, naziva se težište tela.

r rG Gi

i

= ∑∆ rr

rr

GC

ii=∑∆Gi

xx

GyC

ii

y

Gz

z

GC

ii

C

ii= = =

∑ ∑ ∑∆ ∆ ∆G G Gi i i

, ,

γ i =∆∆

GV

i

i

rr

rrC

i ii

ii

=∑∑γ

γ

∆

∆

V

V

i

i

Kod nehomogenih tela - γ(x, y,z)= lim GV

GVV

i

iV 0i∆ ∆

∆∆

∆∆→ →

=0

lim

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 9 2

Kod homogenog tela γ γi const= = ., ∆ ∆G Vi i= ⋅ = ⋅γ γ, G V

rr

rr

VC

ii=∑∆Vi

xx

Vy

y

Vz

z

VC

ii

C

ii

C

ii= = =

∑ ∑ ∑∆ ∆V Vi i

, ,∆Vi

∆G Si i= =γ∆ γh G,

Sh rr

rr

SC

ii=∑∆Si

r

LSγG,LSγG ii =∆=∆ rrr

LC

ii=∑∆Li

Metode za određivanje težišta homogenih tela

Metoda simetrije homogenih tela

dređivanje težišta tela koje ima ravan simetrije

Težište homogenog tela, koje ima ravan etrij

i j

O sim e, nalazi se u toj ravni.

x x y yi j i j z z= = = −, , ∆ ∆V Vi jz zi j+ = 0

∆Vk zk

k

n

=∑ =

10

∆Vk z z Vkk

n

C=∑ =

1

zC = 0

dređivanje težišta tela koje ima osu simetrije

etrij

O

Tezište homogenog tela koje ima osu sim e nalazi se na toj osi.

x x y y z zi j i j i j= − = − =, , ∆ ∆ ∆ ∆V Vi jy yi jV Vi jx xi j+ = + =0 0 ,

x yC C= = 0

dređivanje težišta tela koje ima centar simetrije

O

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 9 3

Težište homogenog tela koje ima centar simetrije nalazi se u toj tački.

= −x x y y z zi j i j i j= − = −, , x y zC C C= = = 0

Računska metoda određivanja položaja težišta tela

r

r

rrdV

dVC

V

V

=r

rlim r

n

∫r

limC

i ii

i

n=→∞

=

→∞

∑ Vγ ∆

i=∑

n i

n iVγ ∆

1

1

∫

γ

γ

G dV=r rr

GrdVC

V

= ∫1 γ

V∫ γ

xG

xdV yG

ydV zG

zdVCV

CV

CV

= =∫ ∫ ∫1 1 1

γ γ γ, , =

( = const. )γ xV

xdV yV

ydV zV

zdVCV

CV

CV

= = =∫ ∫1 1 1, , ∫

SxdS y

SydS z

SzdSC

SC

SC

S

= = =∫ ∫ ∫1 1 1, , x

xS

xdS yS

ydSCS

CS

= =∫ ∫1 1,

xL

xdL yL

ydL zL

zdLCL

CL

CL

= = =∫ ∫1 1

∫, ,

Metoda rastavljanja

1

r rrG

G rC ii

n

= i=∑1

1

xG

x yG

G y zG

G zC i ii

C i ii

C i ii

= = =∑ ∑ ∑1 1 1, , G

xV

V x yV

V y zVC i i

iC i i

i

= =∑ ∑1 1, , V zC i ii

= ∑1

xS

S x yS

S y zSC i i

iC i i

i

= =∑ ∑1 1, , S zC i ii

= ∑1

xL

L x yL

L y zC i ii

C i ii

= =∑ ∑1 1, ,

Metoda "negativnih" težina

LL zC i i

i

= ∑1

rrr

G G

C C i ii

C ii

k=+

=

rG r Gk

+r∑

=∑

1

1

r

r r

rGr G r

G GC

i ii

k

ii

k=+ −

+ −

=

=

∑

∑

( )

( )

1

1

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 9 4

G G GC ii

k

= +=∑

1

Eksperimentalne metode za određivanje težišta tela

- metoda vešanja. - metoda merenja vagom a F l. M (F )= 0A i

i

r∑

GB=

a F lF F

B

A B

=+

M (F )= 0A i

i

r∑ , FB (b+

b acos

d) Gb = 0−

= −α α+(h r)sinb+d = lcosα

,

h r F l GaG

ctgB= +−

α

Guldinove teoreme

Teorema 1: Površina koja nastaje obrpreseca, a koja pripada ravni krive, jednaka pređe njegovo težište pri tom obrtanju.

tanjem luka ravne krive oko ose koju luk ne je proizvodu dužine datog luka i dužine puta koji

Dokaz: dLxdS ϕ=

S xdL=L∫ϕ

xdL LxCL

=∫

S LxC= ϕ S LOC=

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 1 – Predavanje 9 5

Teorema 2: Zapremina koja nastaje obrtanjem ravne figure oko ose koja je ne reseca, a koja pripada ravni figure, jednaka je proizvodu površine ravne figure i dužine puta oji pređe težište ravne figure pri tom obrtanju.

Dokaz

pk

:

dSxdV ϕ=

V xdS= ∫ϕ S

xdS SxCS

=∫

V SxC= ϕ V SOC=

Te

žište tetraedra

AHHF

EGGF

= =21

AFHF

AEGH

= =31

AEGH

ECCH

=

ECCH

=31

EH EC CH= + CH EH=

14