Jednostavne nelinearne zavisnostiavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/glava3.4.pdf ·...

Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd,2017. 1

1

• Jednostavne nelinearne zavisnosti

2

Uvod

• Primena metoda ONK zahteva da model

bude linearan, što znači da parametri

modela figurišu na linearan način (β0 i β).

Model ne mora da bude linearan po

promenljivima (Y i X).

• Postoje jednostavne nelinearne forme koje

su od interesa u ekonomskim analizama, a

koje se jednostavnim transformacijama

mogu prevesti na linearne.



3

Jednostavne nelinearne zavisnosti

• Dvojno-logaritamski model (log-log model)

• Eksponencijalni model (log-lin model)

• Inverzni model

• Polu-logaritamski model (lin-log model)

• Za svaki od modela:

▫ Forma i grafički prikaz

▫ Interpretacija parametra

▫ Kako se dobijaju ocene marginalne

zavisnosti i elastičnosti?

4

Dvojno-logaritamski model: forma

{ { {

∗∗ +=

+=

+=

=

∗∗

i*

i

X

io

Y

i

ioi

ioi

X Y

XlnlnYln

XlnlnYln

XY

i*

i

ββ

ββ

ββ

β

β

β

0

0



5

Dvojno-logaritamski model: interpretacija

X promena lna)(procentua relativna

Y promena lna)(procentua relativna

X/X

Y/Y

Y

X

X

Y

X

Y

X

XX

X

Y

XY

ii

ii

i

i

i

i

i

i

i

ioio

i

i

ioi

=

∂

∂=

∂

∂=⇒

===∂

∂

⇒=

−

β

β

βββββ

ββ

β

β

1

6

Dvojno-logaritamski model: interpretacija II

� Y: 16, 18, 23, 18, 26, 30, 36

� X: 10, 9, 6, 9, 5, 4, 3

� Y – tražnja, X - cena

� β je proporcionalna promena Y

(%) koja je rezultat

proporcionalne promene X (%).

� Ako se X promeni za 1% ,Y će

se promeniti za β%.

� β je elastičnost Y u odnosu na

X.

� Ocena: -0.65, cenovna

elastičnost tražnje



7

Jednostavni linearni model i log-log model na datom

primeru: prilagodjene funkcije

12

16

20

24

28

32

36

40

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

cena

tra

zn

ja

12

16

20

24

28

32

36

40

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

cena

tra

zn

ja

8

Dvojno-logaritamski model: grafički prikaz



Intepretacija parametra nagiba

u linearnom i log-log modelu

Model Forma Parametarnagiba

Parametar elastičnosti

Linearni Konstantan Promenljiv

Log-log model

Promenljiv KonstantanieXY iot

εββ=

iii XY εββ ++= 0

ii XY ∂∂ ( )i

iii

Y

XXY ∂∂

β

ii X/Yβ β

ii Y/Xβ

Rezultati ocenjivanja za polazne podatke

ii*

i XlnYln εββ ++= 0

iii XY εββ ++= 0 5692 .−

5716857236510

3642

./..

.X/Y

⋅−

−=β 6510.−

8572357165692

7080

./..

.Y/X

⋅−

−=β

Model Ocena parametra

nagiba

Ocena parametra elastičnosti



Vežba za sledeći čas

• Posmatramo prvih deset podataka iz primera 3 sa prezentacije Glava 3.

• Oceniti:▫ Jednostavni linearni model▫ Dvojno logaritamski model

• Odrediti ocene marginalne zavisnosti i elastičnosti iz dva modela

12

Eksponencijalni model

Logaritamsko-linearni model: forma

{ {

i*

oi

io

Y

i

ioi

Xoi

XY

XlnYln

XlnYln

eY

*oi

i

ββ

ββ

ββ

β

β

β

+=

+=

+=

=

∗

∗



13

Logaritamsko-linearni model: interpretacija

X promena apsolutna

Y promena lna)(procentua relativna

X

Y/Y

X

Yln

XYln

i

ii

i

i

ioi

=

∂

∂=⇒

=∂

∂⇒

+=

β

β

β

ββ

14

Logaritamsko-linearni model: interpretacija II

� Ako se X promeni za 1 jedinicu, Y se

promeni za procentualni iznos od 100β.

� Parametar nagiba je polu-elastičnost.

� Značajna primena

Ako je X linearni trend (1,2,...), a Yekonomska veličina merena recimo na godišnjem nivou, onda je 100β godišnja stopa rasta (pada) te ekonomske veličine.



15

Logaritamsko-linearni model: grafički prikaz

16

Logaritamsko-linearni model: interpretacija III

� Ako je X linearni trend (t=1,2,...), a Y ekonomska veličina merena na godišnjem nivou, onda je 100β godišnja stopa rasta (pada) te ekonomske veličine.

β

β

ββ

ββ

=−

⇒≈

=−⇒

−+=

=+=

−

−

−

−

1

1

1

01

0

1

t

tt

rasta stope ijaaproksimac

tt

*t

*t

Y

YY

YlnYln

)t(Yln

1,2,...t ,tYln

4434421



17

Logaritamsko-linearni model: primer• Na osnovu kvartalnih podataka u periodu 2001:1-2008:4 ocenjen je

sledeći model zavisnosti za BDP privrede Srbije:

• Kvartalna stopa rasta procenjena je na 1.54%

,rezidualt..BDPln t ++= 015401413

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

13.0

13.2

13.4

13.6

13.8

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

RezidualiStvarno kretanje

Modelom ocenjeno kretanje

18

Logaritamsko-linearni model: primer I• Na osnovu kvartalnih podataka u periodu 2001:1-2015:3 ocenjen je

sledeći model zavisnosti za BDP privrede Srbije:

• Kvartalna stopa rasta procenjena je na 0.7%, ali je rezultat nepouzdan zbog nehomogenosti perioda

,rezidualt..BDPln t ++= 00702513

-.2

-.1

.0

.1

.2

13.0

13.2

13.4

13.6

13.8

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

RezidualiStvarno kretanje

Modelom ocenjeno kretanje



19

Logaritamsko-linearni model:

Kaganova funkcija tražnje za novcem

• Ovo je elementarni model tražnje za novcem u uslovima visoke inflacije i hiperinflacije

• Što je vrednost polu-elastičnosti veća: ▫ to je tražnja za novcem

osetljivija na dalje ubrzavanje inflacije

▫ to se maksimalni inflacioni prihod ostvaruje pri nižim stopama inflacije.

( )

KRIVE LAFEROVE

MAKSIMUMJE TO NOVCA;

EMISIJE OD PRIHOD

RA MAKSIMIZI SEKOJOJ

PRI INFLACIJE NIVO

novcem za traznje telasticnos-polu

inflacija ocekivana

novcem, za traznja mr

- mrln

,emr

e

eo

o

e

→

→

−

−

=

>= −

α

απ

απβ

αβ απ

1

0

20


Kaganova funkcija tražnje za novcem II

• Petrović and Mladenović (2000), Journal of Money, Credit and Banking

Modifikacija za uslove hiperinflacije

▫ Umesto stope inflacije koristi se stopa deprecijacije deviznog kursa▫ Tražnja za novcem, koja se obrazuje kao količnik novčane mase i

indeksa cena, formira se uz upotrebu deviznog kursa umesto cena▫ Model ovog tipa bolje objašnjava uslove hiperinflacije u Srbiji od

klasičnog Kaganovog modela na osnovu mesečnih podataka u periodu 1991:1-1994:1.

• Mladenović and Petrović (2010), Journal of International Money and

Finance

▫ Ocena modela prema dnevnim podacima za period ekstremne hiperinflacije u Srbiji pokazala je da je hiperinflacija trajala relativno dugo zato što je država ubirala rastuće prihode od emisije novca za dugi period vremena.



21


Kaganova funkcija tražnje za novcem III

• Podaci iz Mladenović and Petrović (2010)

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

1993

Realni novac (log)

-40

0

40

80

120

160

M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

1993

Dnevna promena deviznog kursa (u %)

22

Inverzni model: forma

{

∗+=

+=

+=

∗

ii

X

i

i

i

i

XoY

XoY

XoY

i

ββ

ββ

ββ

1



23

Inverzni model: interpretacija

� Ako se X promeni za 1%, Y se promeni za apsolutni iznos od 0.0β po jedinici X.

� Postoji asimetrična reakcija Y u zavisnosti od nivoa X.

� Pri nižim vrednostima X, njegova procentualna promena dovodi do oštrije reakcije Y, nego kada se pri višim vrednostima X menja.

i

i

i

i

ii

i

i

i

X

X

XY

XX

Y

XoY

∂−=∂⇒

−=∂

∂⇒

+=

β

β

ββ

2

24

Inverzni model: grafički prikaz

>↓−

<↑−⇒−=

∂

∂

0

0

2 β

ββ

za jaf

za jaf

XX

Y

ii

i



25

Inverzni model: primeri

� Levi grafik: Engelova kriva potrošnje

� (Y – potrošnja određenog proizvoda, X – dohodak)� Ispod izvesnog nivoa dohotka potrošnja nije moguća. � Postoji saturacioni nivo potrošnje: nezavisno od nivoa dohotka

potrošnja se ne ostvaruje iznad gornjeg praga.

� Desni grafik: Filipsova kriva

� (Y – stopa rasta plata, X –stopa nezaposlenosti )� Postoji asimetrična reakcija plata na promenu nezaposlenosti

na različitim nivoima nezaposlenosti.� Ako je nivo nezaposlenosti ispod prirodne stope (presek krive

sa x-osom), tada jednoprocentna promena nezaposlenosti dovodi do snažnije reakcije plata nego kada je nezaposlenost iznad prirodnog nivoa (X veće od tačke preseka krive sa x-osom).

26

Polu-logaritamski model

Linearno-logaritamski model: forma

{

∗+=

+=

+=

∗

ii

X

ii

ii

XoY

XlnoY

XlnoY

i

ββ

ββ

ββ



27

Linearno-logaritamski model: interpretacija

ii

i

ii

i

i

i

i

i

ii

XX

Y

X promena lna)(procentua relativna

Y promena apsolutna

X/X

Y

Xln

Y

Xln

Y

XlnoY

β

β

β

β

ββ

=∂

∂⇒

=

∂

∂=

∂

∂=⇒

=∂

∂⇒

+=

28

Linearno-logaritamski model: interpretacija

� Ako se X promeni za 1%, Y se promeni za apsolutni iznos od 0.0β jedinica.

� Ako je parametar nagiba pozitivan, tada Ysporije raste od rasta X.

�Tražnja za trajnim potrošnim dobrima�Profit u zavisnosti od uloženog kapitala



29

Linearno-logaritamski model: grafički prikaz

<↓−

>↑−⇒=

∂

∂

0

0

β

ββ

za jaf

za jaf

XX

Y

ii

i

Rezime upotrebe modela I



Linearni Konstantan Promenljiv

Log-log model

Promenljiv Konstantan

Inverzni model

Promenljiv Promenljivi

i

iX

oY εβ

β ++=

ii*

oi XlnYln εββ ++=

iii XY εββ ++= 0

ii XY ∂∂ ( )i

iii

Y

XXY ∂∂

β

ii X/Yβ

2iX/β−

β

ii Y/Xβ

iiYX/β−



Rezime upotrebe modela II



Log-linmodel

Promenljiv Promenljiv

Lin-log model

Promenljiv Promenljiv

ii XY ∂∂ ( )i

iii

Y

XXY ∂∂

iYβ

iX/β iY/β

iXβ

iii XlnoY εββ ++=

ii*

oi XYln εββ ++=

Jednostavne nelinearne zavisnostiavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/glava3.4.pdf ·...

Documents

Transcript of Jednostavne nelinearne zavisnostiavs.ekof.bg.ac.rs/OEkonometrije/materijal/2017/glava3.4.pdf ·...