RADIO KOMUNIKACIJE PRIMENA MAXWELL-OVIH JEDNAČINA Zadatak 1 – Veza Maxwell-ovih jednačina sa jednačinom kontinuiteta Pokazati da se iz prve dve Maxwell-ove jednačine

,rott∂

∂+=

DJH (1)

,rott∂

∂−=

BE (2)

i jednačine kontinuiteta

,divt∂

∂−=

ρJ (3)

mogu izvesti dve preostale jednačine koje opisuju izvornost vektora D i B. REŠENJE 1: Kako je divergencija rotora proizvoljnog vektora identički jednaka nuli, na osnovu prve dve Maxwell-ove i jednačine kontinuiteta dobija se

.0)(div)div(rot

,0)(div)div(rot

=∂

∂−=

=∂

∂+

∂∂

−=

t

ttBE

DH ρ

Integracijom dobijenih izraza po vremenu nalazi se

.div,div

constconst=−

=ρD

B

Na osnovu pretpostavke da u dovoljno dalekoj prošlosti polje nije postojalo, tj. const.= 0, stiže se do preostale dve Maxwell-ove jednačine, ,0div =B (4) .div ρ=D (5) Zadatak 2 – Magnetsko polje pokretne naelektrisane čestice Polazeći od integralnog oblika Maxwell-ove jednačine ,

t∂∂

+=DJrotH odrediti magnetsko

polje loptaste čestice koja je naelektrisana količinom elektriciteta q i kreće se brzinom v. REŠENJE 2: Integralni oblik date Maxwell-ove jednačine,

,SDJlH dt

dSC∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= (6)

za sve površine kroz koje ne prolazi čestica ne sadrži vektor gustine struje (J=0).

Zbog simetrije posmatranog sistema očekujemo da linije magnetskog polja budu krugovi sa centrima na pravcu brzine v. Struju pomeraja, koja u ovom slučaju predstavlja desnu stranu jednačine (6), možemo odrediti ako na neku liniju polja, C, oslonimo površinu S u vidu odsečka sfere poluprečnika r, kao na slici 1.

CC'

S=2πrh

D

dθ

θ

vdt

rdθ

h=r(1-cosθ)

r

v

Slika 1.

Tada na osnovu intenziteta vektora električnog pomeraja naelektrisane čestice,

,4 2r

qDπ

=

možemo odrediti fluks vektora D kroz površinu S,

).cos1(2

)cos1(2 2 θθπ −=−=∫qrDd

SSD

Pošto smatramo da je izabrana površina nepokretna,

.sin2 dt

dqdt

dt SS

θθ=∂∂

=∂∂

∫∫ SDSD

Izvod dθ/dt najlakše je odrediti ako zamislimo da je naelektrisanje nepokretno, a da se kontura kreće brzinom –v. Tada se sa slike 1 može utvrditi relacija

,sinθθ vdtrd = odnosno,

.2sin2

rqvd

tS

θ=

∂∂

∫ SD

Pošto je ,sin2 θπrHd

C=∫ lH

na osnovu prethodnog izraza dobijamo intenzitet magnetskog polja

,4

sin2r

qvHπ

θ=

odnosno vektorski oblik magnetskog polja

.4 3rq

πrvH ×

=

Zadatak 3 – E.m.s indukovana u pravougaonom zavojku Koristeći cirkulaciju vektora jačine električnog polja, odrediti trenutnu vrednost e.m.s. indukovane u pravougaonom zavojku stranica a i b koji se nalazi u polju prostoperiodičnog ravanskog talasa talasne dužine λ>>a,b i amplitude vektora jačine električnog polja Em.

vE

Hn

θ

1

2

a

Slika 2.

REŠENJE 3: Veza između ems indukovane u zavojku i cirkulacije vektora električnog polja data je izrazom

,)( 21 bEEde +−== ∫ lE gde su E1 i E2 odgovarajuće vrednosti električnog polja na mestima stranica dužine b. Ukoliko polje stranice 1 izrazimo u obliku

,cos1 tEE m ω= tada je, zbog propagacionog kašnjenja, polje na mestu stranice 2

.sin2cos2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= θ

λπω atEE m

Ems se, u tom slučaju, može izraziti kao

,sin2sinsinsin2coscoscos ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−= θ

λπωθ

λπωω atattbEe m

Kada se u obzir uzme činjenica da je λ>>a, sinusna funkcija od a/λ postaje približno jednaka svom argumentu, a kosinusna jedinici, tako da izraz za ems postaje

.sinsin2 tabEe m ωθλπ

≈

Upotrebom integralnog oblika jednačine (2) moguće je pokazati da se identičan rezultat dobija na osnovu Faradejevog zakona:

.rot SSSS t

dt

dt

dde Φ∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=== ∫∫∫∫ SBSBSElE (7)

RAVNI, UNIFORMNI EMT Zadatak 4 – Osnovne osobine ravnog TEM talasa

a) Navesti osnovne osobine ravnog, uniformnog TEM talasa koji se prostire kroz vakuum.

b) Pokazati da su trenutne vrednosti gustine energije električnog i magnetskog polja talasa međusobno jednake.

c) Izvesti vezu između trenutnih vrednosti intenziteta Pointingovog vektora i gustine elektromagnetske energije u proizvoljnoj tački prostora.

REŠENJE 4 a) Osnovne osobine ravnog, uniformnog TEM talasa u vakuumu su:

• Vektori E i H su međusobno normalni, i normalni na pravac prostiranja talasa (osobina transverzalnosti). Smer prostiranja talasa određen je smerom Pointingovog vektora, P=E×H.

• Vektori su konstantni u ravnima normalnim na pravac prostiranja talasa (osobina uniformnosti).

• Odnos trenutnih intenziteta vektora E i H u proizvoljnoj tački sredine je konstantan,

.. Zconst ==HE

Konstanta Z naziva se impedansa sredine ili talasna impedansa i

izračunava kao .εμ

=Z U vakuumu ona iznosi

Ω120≈Ω≈= πεμ

3770

00Z (8)

• Brzina prostiranja talasa je .1εμ

=c U vakuumu ona iznosi

.1031 8

000 s

mc ⋅≈=με

(9)

b) Trenutne vrednosti gustine energije električnog i magnetskog polja u vakuumu date su

izrazima ,21 ,

21 2

02

0 HwEw me με == respektivno. Kako je za ravanski talas

,0

0

0 μεE

ZEH == zamenom u prethodnu jednačinu dobija se da je we=wm.

c) Gustina elektromagnetske energije talasa je .20Ewww meem ε=+= Trenutna vrednost

intenziteta Pointingovog vektora je

.0000

2

emem wc

wZEEHP ====

με (10)

Zadatak 5 – Polarizacija rezultantnog talasa Odrediti karakter polarizacije rezultantnog talasa, koji formiraju dva kružno polarizovana ravanska talasa iste učestanosti, faze i smera prostiranja. Ravanski talasi imaju različite amplitude električnog polja i smerove polarizacije (leva i desna).

zv

y

x E2

E1

Slika 3.

REŠENJE 5 Ako postavimo koordinatni sistem tako da se smer z-ose poklapa se smerom prostiranja talasa, tada kružno polarizovane talase predstavljamo preko vektorskog zbira dva linijski polarizovana talasa na sledeći način:

( )( ),sin

,cos

11

11

ztEEztEE

my

mx

βωβω

−=−=

odnosno, ( )( ).sin

,cos

22

22

ztEEztEE

my

mx

βωβω

−−=

−=

Sabiranjem odgovarajućih linijskih komponenti dobijamo komponente rezultantnog talasa ( ) ( )( ) ( ).sin

,cos

2121

2121

ztEEEEEztEEEEE

mmyyy

mmxxx

βωβω

−−=+=

−+=+=

Na osnovu poslednje dve jednačine zaključujemo da će polarizacija rezultantnog talasa biti linijska samo pri E1m=E2m, a kružna samo ako je E1m=0 ili E2m=0. Ako je E1m>E2m u pitanju je desna eliptička polarizacija, dok je za E1m<E2m polarizacija rezultantnog talasa eliptička leva. Zadatak 6 – Efektivna i maksimalna vrednost vektora električnog polja Ravan, uniforman, prostoperiodičan TEM talas, učestanosti f=100MHz prostire se u vakuumu u smeru z-ose. Poznate su efektivne kompleksne komponente električnog polja talasa u koordinatnom početku, Exo=2V/m i Eyo=jV/m. Odrediti:

a) efektivnu vrednost b) najveći trenutni intenzitet vektora E(t) u tački sa koordinatama (1m, 2m, 1,5m).

REŠENJE 6 a) Pošto je talas ravan i uniforman, a sredina bez gubitaka, efektivna vrednost i najveći

trenutni intenzitet vektora E(t) biće konstantni u svim tačkama prostora i zbog toga se njihove vrednosti mogu odrediti u koordinatnom početku. Efektivna vrednost vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu jednaka je kvadratnom korenu zbira kvadrata efektivnih vrednosti pojedinih komponenti,

.222zyx EEEE ++=

Pošto su efektivne vrednosti komponenti datog (eliptički polarizovanog) vektora E

,0 i 1 ,2 000 mVEE

mVEE

mVEE zzyyxx ====== njegova efektivna vrednost u

svim tačkama prostora iznosi .5mVE =

b) Komponente vektora E se, u koordinatnom početku, menjaju u vremenu kao

( ) ( ) .sin2)( i cos22)( 00 mVttE

mVttE yx ωω −==

Odavde se dobija da je najveći trenutni intenzitet vektora E jednak .22mVEm = Pošto

je talasna dužina posmatranog talasa ,3mfc

==λ u ravni z=1,5m vektor E će biti u

protivfazi (fazno pomeren za π) u odnosu na koordinatni početak. ANTENE Zadatak 7 – Polje Hertz-ovog dipola Na osnovu veze između magnetskog vektor potencijala i vektora jačine električnog polja u zoni zračenja, izvesti izraze za intenzitet električnog i magnetskog polja Hertz-ovog dipola čiji je strujni momenat lI . REŠENJE 7 Izraz za zakasneli (retardirani) magnetski vektor potencijal u kompleksnom obliku glasi

.4

dvr

e

v

rj

∫−

=β

πμ JA (11)

Pošto je dužina Hertz-ovog dipola vrlo mala u poređenju sa rastojanjem do tačke u zoni zračenja (l<<r), može se pretpostaviti da je svaki segment dipola jednako udaljen od tačke u kojoj tražimo polje, tako da se r, dato u izrazu (11) ne menja u granicama integrala. Preostala integralna funkcija predstavlja strujni momenat ,lJ Idv

v=∫ gde je I referentna

struje antene. Magnetski vektor potencijal tada postaje

.4 r

eIrjβ

πμ −

= lA (12)

Vektor jačine električnog polja je sledećom relacijom povezan sa potencijalnima

,t

gradV∂∂

−−=AE (13)

ali je u posmatranom slučaju doprinos električnog skalarnog potencijala, V, jednak nuli.

z

l

rθ

A

Eiθ

iφ iriz

H

I

θ+π/2

Slika 4.

Ako dipol postavimo u centar sfernog koordinatnog sistema, u zoni zračenja vektori E i H imaju samo komponente normalne na vektor položaja posmatrane tačke, r. Zbog toga je Er=0, a preostale komponente električnog polja u kompleksnoj notaciji mogu se izraziti kao

θθ ω AjE −= i φφ ω AjE −= . Ukoliko se pravac dipola poklapa sa z-osom tada potrebne komponente magnetskog vektor potencijala u sfernom sistemu glase θθ sinzAA −= i 0=φA . Na osnovu toga

zaključujemo da vektor E ima samo θ-komponentu

),(2

0 θπ

β

θ Fr

eIZjErj−

= (14)

gde je karakteristična funkcija zračenja antene, F(θ), data izrazom

.sin2

)( θβθ lF = (15)

Pošto je vektor jačine magnetskog polja normalan na vektor jačine električnog polja, on poseduje jedino φ-komponentu

0ZEH θ

φ =

Zadatak 8 – Otpornost zračenja i usmerenost Hertz-ovog dipola Odrediti otpornost zračenja i usmerenost Hertz-ovog dipola. REŠENJE 8 Snaga zračenja antene može se odrediti kao realni deo fluksa Poinitnovog vektora kroz zatvorenu površinu koja obuhvata antenu,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= ∫S

Z dP SPRe (16)

Za zatvorenu površinu biramo sferu sa centrom na mestu dipola, da bi Pointingov vektor, koji ima jedino radijalnu komponentu, u svim tačkama bio normalan na njenu površinu,

.sin24sin 2

0

2

00

2θθπ

πθβπ

drr

IlZdSZEP

Sz ∫ ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Pošto Hercov dipol ima kružni dijagram zračenja u horizontalnoj ravni, za elementarnu površinu se koriste horizontalni pojasevi sfere (duž kojih je intenzitet vektora jačine električnog polja konstantan). Rešavanjem integrala

( ) ,34)1(sincos1sin

1

1

2

0

cos2

0

3 ∫∫∫−

==−=−= dttdd

tπ θπθθθθθ

dobijamo da je snaga zračenja Hercovog dipola ( ) .

6

2

0 πβIlZPz =

Otpornost zračenja predstavlja količnik snage zračenja i kvadrata efektivne vrednosti referentne struje, što za Hercov dipol iznosi

( ) ( ) Ω≈== 20

62

2

02llZ

IP

R ZZ β

πβ

(17)

Intenzitet zračenja antene predstavlja snagu izračenu u elementarni prostorni ugao,

( ) .,2

2Z

ErddP

I ZZ =

Ω=φθ (18)

Usmerenost antene predstavlja odnos intenziteta zračenja za posmatrani pravac i prosečnog intenziteta zračenja za čitavu antenu,

( ) ( ).)(

41

( 24

0

φθπ

π

φθφθ

π,=

ΩΩ

),=,

∫F

RZ

dI

ID

ZZ

Z (19)

Najčešće se posmatra samo njegova maksimalna vrednost, koja za Hercov dipol u vakuumu iznosi

( ){ }( )

dB. 76,15,1220

120,max2

2≈=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ll

DD β

βπ

πφθ

Zadatak 9 –Polje žičane antene sa poznatom raspodelom struje Kako se može izračunati električno i magnetsko polje u zoni zračenja žičane antene koja se nalazi u vazduhu? Poznata je dužina antene, L, i raspodela struje duž antene, I(l). REŠENJE 9 Pošto smo utvrdili da u zoni zračenja vektor električnog polja nema radijalnu komponentu,

)),,((4

)( φθπμωωω

β

efrr

rj

rr reIjjAj liiAiiE r ××=××==

−

⊥ (20)

gde je efektivna dužina antene definisana izrazom

,)(1),( ∫=L

jef

redlII

Rill βφθ (21)

pri čemu R predstavlja vektor položaja orjentisanog segmenta antene dl. Efektivna dužina se može posmatrati kao dužina ekvivalentnog Hercovog dipola koji u datom pravcu daje isto polje kao i posmatrana antena. Na osnovu prethodnih relacija vektor električnog polja se, slično kao u slučaju Hercovog dipola (14), može izraziti

),,(2

0 φθπ

β

FEr

eIZ

jrj−

= (22)

pri čemu je karakteristična funkcija zračenja antene u vektorskom obliku

( ) )).,((, φθλπφθ efrr liiF ××= (23)

Magnetsko polje u zoni zračenja može se izraziti preko vektora električnog polja i talasne impedanse vazduha,

.1

0EiH ×= rZ

(24)

Zadatak 10 –Veza između otpornosti i karakteristične funkcije zračenja antene Odrediti otpornost zračenja usamljene antene, ako je poznata njena karakteristična funkcija zračenja, F ),( φθ REŠENJE 10 Na osnovu izraza (16) i (17), otpornost zračenja može se napisati u sledećem obliku

∫=S

Z dSZE

IR .1

0

2

2

Ukoliko intenzitet vektora jačine električnog polja izrazimo preko karakteristične funkcije zračenja, dolazimo do tražene veze sa otpornošću zračenja,

( ) ( )∫ ∫ ΩΩ==S

Z dFZ

rdSF

ZR .

4,

4

4

0

22

02

22

0π

πφθ

π (25)

Zadatak 11 –Karakteristična funkcija zračenja simetričnog dipola Odrediti karakterističnu funkciju zračenja simetričnog neopterećenog dipola sa sinusnom raspodelom struje ( )[ ]zlIzI m −= βsin)( , svedenu na maksimum stojećeg talasa struje Im. REŠENJE 11 Da bi odredili karakterističnu funkciju zračenja prema izrazu (23), potrebno je pronaći efektivnu dužinu antene datu sa (21).

F(θ)

z

l rθ

lef(θ)

iθ

iφir

iz

IIm

I0

Slika 5.

Za simetrični dipol sa sinusnom raspodelom struje, čiji se pravac poklapa sa z-osom, efektivna dužina je

( ) ( ) .sinsin)(1)(

21

1

0

cos0

cos

4444 34444 214444 34444 21I

zjz

Il

zjz

L

j

mef dzezldzezledlI

Ir ∫∫∫ −++==

−

θβθββ ββθ iill Ri

Ukoliko iskoristimo Euler-ov (eksponencijalni) oblik sinusne funkcije dobijamo da je

( )[ ] ( )[ ]

[ ]

( ).sincoscossin

1

)(sincos)(cossin

21

cos2

0

2

cos

01cos1cos

1

ljle

zljzle

dzeej

I

lj

l

zj

l

lzjlzj

βθβθβ

βθβθβ

θβ

θβ

θβθβ

+−=

+++−=

−=

−

−

−

−−++∫

Na identičan način nalazimo da je

( ),sincoscossin

1 cos22 ljleI lj βθβ

θβθβ −−=

tako da efektivna dužina simetričnog dipola iznosi

.sin

cos)coscos(2)( 2 zefll il

θβθβ

βθ −

=

Zamenom ove vrednosti u izraz (23) zaključujemo da je karakteristična funkcija zračenja simetričnog dipola

( ) .sin

cos)coscos(θθ

βθβθ iF llm

−= (26)

Indeks m ukazuje da je karakteristična funkcija zračenja svedena na struju u maksimumu stojećeg talasa u anteni, mI . Ukoliko se za referentnu struju odabere neka druga vrednost

0I , promeniće se karakteristična funkcija zračenja, ali će električno polje ostati isto jer u njemu figuriše proizvod ).,(),(00 φθφθ mm FIFI = (27)

Zadatak 12 –Jačina električnog polja štap antene Izračunati jačinu električnog polja koje na rastojanju r=20km, u horizontalnoj ravni stvara vertikalna štap antena, dužine l=6m, napajana iz predajnika učestanosti f=2MHz snagom P0=200W. Otpornost gubitaka svedena na ulazne priključke antene iznosi Rg=2Ω. REŠENJE 12 Kako je visina antene generalno dosta manja od rastajanja do tačaka u zoni zračenja možemo smatrati da štap antena sa svojim likom u provodnoj zemlji obrazuje simetričan dipol. S obzirom da je u posmatranom slučaju antena kratka tj. βl<<1, možemo uprostiti karakterističnu funkciju zračenja (26) razvojem kosinusnih funkcija u red prema obrascu

.1 ,2

1cos2

<<−≈ ααα Na osnovu izloženog dobijamo da je karakteristična funkcija

zračenja izražena u odnosu na maksimalnu struju stojećeg talasa Im, ( ) .sin

2)(

2θβθ lFm =

Kako je otpornost gubitaka određena za struju na ulaznim priključcima antene ,sin0 lIlII mm ββ ≈= potrebno je na istu struju svesti i karakterističnu funkciju zračenja.

Koristeći jednakost (27) nalazimo da je karakteristična funkcija zračenja štap antene svedena na struju ulaznih priključaka jednaka onoj za Hercov dipol,

.sin2

)()(0

0 θβθθ lFII

F mm ==

Na osnovu prethodnog i izraza (25) moguće je odrediti otpornost zračenja vertikalne štap antene. Mada ima istu funkciju zračenja, njena otpornost zračenja biće dvostruko manja nego za Hercov dipol, jer ovakva antena zrači samo u gornju polovinu sfere,

( ) . 63,0 10 2 Ω=Ω= lRZ β Kako je otpornost zračenja antene manja od otpornosti gubitaka, imamo veoma mali stepen iskorišćenja antene. S obzirom su obe otpornosti izražene u odnosu na referentnu struju antene moguće ga je izraziti

.24,00

=+

=+

==gubz

z

gubz

zzRR

RPP

PPP

η (27a)

Da bi mogli izračunati intenzitet električnog polja potrebno je odrediti struju na ulaznim priključcima antene,

A. 73,80 ===z

o

z

zRP

RP

Iη

U horizontalnoj ravni je θ=π/2, tako da karakteristična funkcija zračenja i intenzitet električnog polja imaju maksimalnu vrednost,

.m

mV 3,32

12 0

0 ==l

rI

ZE β

π

Zadatak 13 –Ekvivalentni generator antene Svaka prijemna antena može se u odnosu na svoje priključke zameniti ekvivalentnim generatorom. Kako se određuje elektromotorna sila, a kako unutrašnja otpornost takvog generatora? REŠENJE 13 Elektromotorna sila ekvivalentnog generatora jednaka je naponu praznog hoda između priključaka prijemne antene, a unutrašnja otpornost ovog generatora jednaka je otpornosti te antene kada radi kao emisiona. Zadatak 14 – Indukovana ems i snaga predata prilagođenom prijemniku, gubici predajne antene Emisioni polutalasni dipol postavljen je paraleleno savršeno provodnoj ravni, na visini h=2,5 m, kao na slici 6. Dipol se napaja iz generatora učestanosti f=60MHz snagom P0=1kW. Prijemni polutalasni dipol nalazi se na avionu udaljenom r=10km, pod uglom od 300 odnosu na horizontalnu ravan. Na mestu prijemnog dipola izmeren je intenzitet električnog polja od 14 mV/m. Ako su otpornosti predajnog i prijemnog dipola jednake Rz=73Ω. odrediti:

a) struju na priključcima i otposnost gubitaka predajne antene b) efektivnu vrednost ems indukovane u prijemnom dipolu i snagu koju prijemni dipol

predaje prilagođenom prijemniku.

I

h60o

r

30o

Slika 6.

REŠENJE 14 Uticaj struja i naelektrisanja indukovanih u savršeno provodnoj ravni može se zameniti uvođenjem lika antene. Pošto je rastojanje do prijemne antene znatno veće od rastojanja između antene i njenog lika, vektori električnog polja koji potiču od antene i lika imaju približno iste intenzitete i pravce.

I

h

2hsinθ

r

h

I

θ

E

-Ee-jβ2hsinθ

Slika 7.

Smerovi ovih vektora su različiti zbog suprotnog smera struje u liku antene, a različite su i njihove faze. Faze ovih vektora ne mogu se smatrati približno jednakim zbog toga što male razlike u rastojanju, kroz faktor βr, mogu prouzrokovati znatne razlike u fazi. Na osnovu izloženog intenzitet rezultantnog polja na mestu prijemne antene iznosi

( ),sinsin21 sin2 θβθβ hEeEE hjrez =−= −

gde je intenzitet polja na rastojanju r od centra dipola

.sin

cos2

cos

20

θ

θπ

π rIZ

E m⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

a) Zbog činjenice da je dužina jednog kraka dipola λ/4, maksimum stojećeg talasa struje nalazi se upravo na ulaznim priključcima antene i važi

.A 5,3cos

2cos60

sin

sin2

sin20 ≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==θπ

θ

θπ

r

hcf

EII rez

m

Kako za ovako određenu struju važi i relacija

,0gz

oRR

PI

+= (28)

otpornost gubitaka svedena na ulazne priključke iznosi

. 8,820

0 Ω≈−= Zg RI

PR

b) Efektivna vrednost ems, koja je indukovana u prijemnoj anteni usled ravnog, uniformnog

EM talasa sa vektorom jačine električnog polja E, određuje se na osnovu izraza

,FEπλε −= (29)

gde je F vektor karakteristične funkcije zračenja prijemne antene za pravac i smer ka predajnoj anteni. Gornji izraz za ems dobija se primenom teorema reciprociteta i kompenzacije. Na osnovu oblika karakteristične funkcije zračenja dipola zaključujemo da će vektori E i F biti normalni na poteg između predajne i prijemne antene, odnosno imaće isti pravac i različite smerove. Sa slike uočavamo da se predajna antena u odnosu na uzdužnu osu dipola vidi pod uglom od 300 tako da je indukovana ems

mV. 3,9

6sin

6cos

2cos

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

ππ

πλε rezE

Snaga koju prijemna antena predaje prilagođenom prijemniku je jednaka

μW. 3,04

2≈=

ZR R

P ε (29a)

Zadatak 15 – Maksimizacija primljene e.m.s. Na mesto prijema stiže jonosferski talas, učestanosti f=30MHz, pod uglom θ=π/4 u odnosu na vertikalu. Efektivna vrednost električnog polja ovog talasa je E=1mV/m, a vektor E leži u incidentnoj ravni. Prijemna antena je polutalasni dipol čiji se centar nalazi na visini h iznad savršeno provodne zemlje. Dipol leži u incidentnoj ravni i sa vertikalom zaklapa ugao od α=π/3, kao što je prikazano na slici 8. Odrediti visinu h tako da ems indukovana u prijemnoj anteni bude maksimalna i izračunati tu ems. Koliki procenat indukovane ems potiče od reflektovanog talasa?

θE

hn

ε0, μ0

α

∞→σ Slika 8. REŠENJE 15 Indukovana ems u anteni jednaka je zbiru ems indukovanih od strane incidentnog i reflektovanog talasa. Na osnovu izraza (29) apsolutna vrednost ems jednaka je

,cos2212211

θβπλ

πλε hjeFFE −−=+= FEFE (30)

gde su E1 i E2 vektori jačina električnog polja incidentnog i reflektovanog talasa, a F1 i F2, karakteristične funkcije zračenja prijemne antene u pravcima iz kojih ovi talasi nailaze.

h

ε0, μ0

αθ

θ

θ1

θ2n

E1

F1

E2

F2

Slika 9.

Prema slici 9 nalazimo

,sin

cos2

cos

2,1

2,1

2,1 θ

θπ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=F

što za uglove 125

1πθ = i ,

122πθ = daje vrednosti F1=0,95 i F2=0,21.

Kako su obe vrednosti F1,2 pozitivne, maksimalnu apsolutnu vrednost indukovane ems

dobijamo ukoliko je ,1cos2 −=− θβ hje odnosno Z. ),21(cos4

∈+= kkhθ

λ Najmanja visina

za koju je prethodni uslov zadovoljen iznosi hmin=3,5m, a indukovana ems po apsolutnoj vrednosti maksimalno iznosi

( ) mV. 7,321max =+= FFEπλε

Procentualni udeo koji potiče od reflektovanog talasa određen je odnosom

%.1821

2 ≈+ FFF

Zadatak 16 – Karakteristična funkcija zračenja kružne antene Polazeći od izraza za indukovanu ems, izračunati karakterističnu funkciju zračenja kružne okvirne antene površine S, koja ima N zavojaka, ako je ukupna dužina provodnika antene mnogo je manja od talasne dužine, λ.

Sr θ

φ

Er

Hr

x

y

z

rφi

irr

Slika 10.

REŠENJE 16 Vektor karakteristične funkcije zračenja, F, odredićemo na osnovu ems koju u anteni indukuje ravan, uniforman EM talas. Na osnovu Faradejevog zakona (7) nalazimo da se u N zavojaka površine S, indukuje ems .0 SHSB NjNjj ωμωωε −=−=Φ−= (31) Prema datoj slici, između vektora magnetskog i električnog polja dolaznog EM talasa

postoji veza ,1

0EiH ×−= rZ

tako da ems postaje

( ) ( ) .0

0 EiSEiS rr NjNZ

j×=×= βωμε

Poredeći dobijeni izraz sa (29) možemo da zaključimo kako je vektor karakteristične funkcije okvirne antene

.sin22

22

φθββ iiSF NSjNjr −=×−= (32)

Zadatak 17 –Ems indukovana u petlji Predajna antena je mali pravougaoni namotaj sa N=10 zavojaka, površine zavojka S=40cm2, koji se napaja strujom efektivne vrednosti I=9,5A i učestanosti f=15MHz. Pravougaoni namotaj nalazi se u ravni crteža 11 na h=1m iznad provodne zemlje. Prijemna antena je kratak vertikalan monopol, dužine l=2m, do kojeg stižu dva talasa prikazana na slici 11. Jonosfera se može aproksimirati savršeno provodnom ravni na visini hv=110km. Izračunati efektivnu vrednost ems indukovane u anteni ako je r=500km.

l

θ

h

r

hv

Slika 11.

REŠENJE 17 Po teoremi reciprociteta, efektivna vrednost ems indukovane u monopolu ista je kao ems koja bi se indukovala u pravougaonom namotaju, ako se monopol napaja strujom jačine I0=9,5A. Kako se monopol nalazi iznad savršeno provodne zemlje zajedno sa svojim likom formira simetričan dipol. Pošto je dužina ovakvog dipola dosta manja od korišćene talasne dužine λ=20m, karakteristična funkcija zračenja se u odnosu na struju priključka može se

aproksimirati izrazom (Zadatak 12) .sin2

)(0 θβθ lF =

2hcosθ1,2

θ1,2

h

h

H1

E1H2

E2

Slika 12.

Sa slike vidimo da je vrednosti karakteristične funkcije potrebno je odrediti za dve različite vrednosti θ, ali kako je rastojanje namotaja od zemlje zanemarljivo u odnosu na visinu

jonosfere sledi da je ,11102

500tg 2,1 mkmkm

±⋅=θ te da su uglovi približno isti θ1,2≈66,250 i

F(θ1,2)≈0,29. Na osnovu toga, vektori magnetskog polja oba talasa imaće približno jednake intenzitete, ali će među njima postojati fazna razlika β2hsinθ.

Na rastojanju koje prelaze talasi km, 26,5464 22 ≈+≈ vhrR intenzitet magnetskog polja ima vrednost

,mA 27,80)(

2 2,100

02,1

μθπ

≈== FR

IZEH

pa je rezultantno magnetsko polje

.mA 26,159)coscos(21 2,1

cos22,1

μθβθβ ≈=+= − hHeHH hjrez

Kako je rezultantni vektor upravan na ravan crteža, efektivnu vrednost indukovane ems dobijamo u obliku

mV. 45,7500 ≈== SNHZSNH rezrez βωμε Zadatak 18 – Efektivna površina štapnih antena Izračunati efektivnu površinu a) polutalasnog dipola i b) vertikalnog četvrttalasnog monopola iznad savršeno provodne zemlje ako je radna učestanost f=30MHz. REŠENJE 18 Efektivna površina antene predstavlja odnos snage koju prijemna antena predaje prilagođenom prijemniku i intenziteta Pointingovog vektora na mestu prijemne antene, pod uslovom da je vektor električnog polja primarnog talasa paralelan vektoru karakteristične funkcije zračenja. Ukoliko je otpornost gubitaka u prijemnoj anteni Rg tada je efektivna površina

( )( )

( ) ).,(44

),(

4),(

2

20

2

20

2max φθ

πλφθπ

λεφθ GE

ZRR

EF

E

ZRR

PS

gZgZ

Peff =⋅

+=⋅

+==

P (33)

Dobitak antene G(θ,φ) predstavlja odnos intenziteta zračenja u datom pravcu i maksimalnog zračenja referentne antene kada se obe antene napajaju istom snagom. U

ovom slučaju je za referentnu antenu odabran izotropni radijator bez gubitaka, pa se dobitak antene može izraziti u obliku

( ) ).,(),(),( 20 φθηφθπ

φθ DFRZ

RRR

GzgZ

Z =+

= (34)

Efikasnost, η, i usmerenost antene, D(θ,φ), definisani su izrazima (27a) i (19). Pošto u zadatku nije specificirana otpornost gubitaka, smatraćemo da je efikasnost razmatranih antena η=1. a) Na osnovu izraza (19) i podatka da je otpornost zračenja polutalasnog dipola , 14,73 Ω=ZR (35)

dobijamo da je usmerenost polutalasnog dipola D=1.64≈2,15dB. Za datu radnu učestanost efektivna površina postaje Seff=13m2.

b) Kako četvrttalasni monopol ima dvostruko manju otpornost zračenja, njegova usmerenost je dvostruko veća (za 3dB). Isto važi i za efektivnu površinu koja u ovom slučaju iznosi Seff=26m2.

Zadatak 19 – Snaga predata prilagođenom prijemniku Predajna jagi-antena, prikazana na slici 13, napaja se iz generatora učestanosti f=450MHz, snagom P0=100W. Usmerenost ove antene je D=12dB, a gubici u anteni su zanemarljivo mali. Prijemna antena je polutalasni dipol koji se nalazi na rastojanju r=10km od predajne antene u pravcu njenog maksimalnog zračenja. Osa dipola zaklapa ugao θ=600 sa pravcem prema predajnoj anteni. Prijemna i predajna antena leže u ravni crteža, u kojoj leži i vektor jačine električnog polja predajne antene. Izračunati:

a) snagu koju prijemna antena predaje prilagođenom prijemniku (PR), b) procenat uložene snage koji je predat potrošaču, c) efektivnu vrednost ems indukovane u polutalasnom dipolu.

θ

r

ε0, μ0

Slika 13.

REŠENJE 19 a) Intenzitet Pointingovog vektora na mestu prijemne antene je

.mW 26,1

4 220 μ

π== TG

rPP (36)

Pošto su gubici predajne antena zanemarljivi, njihovi dobici GT i GR jednaki su koeficijentima usmerenosti i mogu se odrediti na osnovu izraza (19). Efektivna površina prijemne antene je

,cm 86,3)3

(4

22

===πθ

πλ

RReff GS

a snaga predata prilagođenom prijemniku

nW. 494 2

0 ≈== ReffTeffR SGr

PSP

πP

b) Odnos snage koju prijemna antena predaje prilagođenom prijemniku i snage kojom se napaja predajna antena moguće je odrediti na osnovu jednakosti

.4 22

2

0 r

SSGG

rPP ReffTeff

RTR

λπλ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (37)

Kada se u posmatranom slučaju ovaj odnos izrazi u procentima dobijamo da je preneto 49⋅10-9% od uložene snage.

c) Pošto između indukovane ems i snage predate prilagođenom prijemniku postoji veza (29a), i otpornost zračenja polutalasnog dipola iznosi RZ=73,14Ω, za indukovanu ems dobijamo

mV. 8,34 ≈= zR RPε Zadatak 20 – Karakteristika zračenja složene antene Prijemnu antenu čine dva kratka, simetrična, neopterećena dipola, ukrštena pod pravim uglom, dužine kraka l=20cm. Napon između krajeva jednog prijemnog dipola fazno se pomera za π/2 i sabira sa naponom između krajeva drugog dipola.

a) Na osnovu rezultantne ems, odrediti karakterističnu funkciju zračenja složene antene u ravni koja sadrži dipole.

b) Ako antena radi kao predajna i dipoli se napajaju strujom I, odrediti intenzitet električnog polja na mestu prijema koje se nalazi na liniji preseka simetralnih ravni dipola, na rastojanju d. Kako je polarizovan elektromagnetski talas u zoni zračenja?

+π/2

Slika 14. REŠENJE 20 a) Pošto se između ems indukovanim u dipolima unosi kašnjenje od π/2, rezultantna ems

dobija se sabiranjem odgovarajućih fazora, kao što je to prikazano na slici 15.

εrε2

ε1

Slika 15.

Efektivna vrednost rezultantne ems iznosi

( ) ,2

2 22

21

22

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+=

πθθβ

εεε FFEr

gde se θ određuje u odnosu na pravac prvog dipola, kao što je prikazano na slici 16.

θπ/2+θ

I2I1

F1

F2

Slika 16.

Kako su posmatrani dipoli kratki (βl<<1), njihove karakteristične funkcije zračenja, svedene na struju ulaznih priključaka, mogu se apriksimirati izrazom (Zadatak 12)

.sin2

)(0 θβθ lF =

Koristeći prethodni izraz, rezultantna ems postaje

,cos2

sin2

2 22

22

ElllEr =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= θβθβ

βε

a karakterstična funkcija zračenja složene antene, u ravni koja sadrži dipole, je konstantna, tj. ne zavisi od ugla θ,

.2lF β

= (38)

Ovakva neusmerena antena pogodna je za prijem ultrakratkih talasa (FM), zbog toga što se predajnici nalaze u raznim pravcima u horizontalnoj ravni.

b) Kada antena radi kao predajna, dipoli se napajaju prostoperiodičnim strujama iste

efektivne vrednosti ali fazno pomerenim za četvrtinu periode. Na liniji preseka simetralnih ravni dipola vektori električnog polja pojedinih dipola biće međusobno normalni, i između njih postoji kašnjenje od π/2. Ako se polje jednog dipola u vremenu menja prema zakonu E1(t)=Ecos(ωt), zbog postojanja kašnjenja polje drugog dipola postaje E2(t)=Esin(ωt). Trenutni intenzitet električnog polja na osnovu izloženog ne zavisi od vremena i iznosi,

.22

)()()( 021 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

ππ

FrIZtEtEtE

Na liniji preseka simetralnih ravni dipola talas je, kao što vidimo, kružno polarizovan, u pravcima osa dipola rezultantni talas je linijski polarizovan, a u ostalim pravcima eliptički.

Zadatak 21 – Uniforman antenski niz, karakteristična funkcija zračenja Uniforman antenski niz sastoji se od tri četvrttalasna monopola iznad provodne zemlje, napajana strujama istog intenziteta, I=15A, i učestanosti 40 MHz, ali različitih početnih

faza. Rastojanje između susednih dipola je 6/3λ=d . U tački M, koja se nalazi u ravni crteža 17, na rastojanju r=8km, potrebno je postaviti polutalasni prijemni dipol.

a) Napisati izraz za karakterističnu funkciju zračenja uniformnog antenskog niza od n članova. Kada ova funkcija ima maksimum i koliki je on?

b) Odrediti fazni pomak, δ, između struja pojedinih dipola tako da karakterisrična funkcija zračenja antenskog niza ima svoj maksimum u pravcu prijemnog dipola.

c) Kako treba orijentisati prijemni dipol da bi ems indukovana u njemu bila najveća? Koliku snagu u tom slučaju on predaje prilagođenom prijemniku?

I1 θ=π/6

rd

I2

d

I3

M

Slika 17.

REŠENJE 21 a) Uniforman antenski niz sastoji se od n identičnih antena koje su paralelno poređane duž

neke ose, na jednakim međusobnim rastojanjima, d. Antene se napajaju strujama istih intenziteta, ali je početna faza struje u svakoj anteni za δ veća nego u prethodnoj anteni niza, tj.

.1δj

kk eII =+ (39) Zajedno sa svojim likom u provodnoj zemlji četvrttalasni monopoli obrazuju polutasne dipole. Intenzitete vektora električnog polja pojedinih dipola iz niza smatramo približno jednakim u tački M, međutim razlikujemo njihove faze zbog različitog pređenog puta i faznog pomeraja koji postoji između struja.

θ

rd dM

Iejδ

dcosθ

I Iej2δ

Slika 18.

Talas koji potiče od i-te antene prelazi put duži za dcosθ u odnosu na i+1-vu antenu, zbog čega fazno kasni za βdcosθ. Ovome treba dodati još i ugao δ za koji struja i+1-ve antene prednjači struji i-te antene, tako da je ukupno fazno kašnjenje talasa koji potiče od i-te antene u odnosu na talas i+1-ve antene jednako

.cos δθβ +=Φ d (40)

Na osnovu izloženog, rezultantno polje koje uniforman antenski niz stvara u pravcu koji sa osom niza zaklapa ugao θ iznosi

).1( )1(2121

Φ−ΦΦ ++++=+++= njjjn eeeEEEEE LL

Intenzitet ovog polja dobijamo ako odredimo moduo geometrijske progresije za n članova u zagradi,

,)(11

11 Φ=−

−=

Φ

Φ

nj

jnFE

eeEE

gde je

,)2/sin()2/sin()(

ΦΦ

=ΦnFn (41)

karakteristična funkcija zračenja uniformnog antenskog niza. Na osnovu relacije

( ) ( ) ( )[ ] 02/ctg2/ctg)2/sin(2

2/sin)(=Φ−Φ

ΦΦ

=Φ∂

Φ∂nnnFn

nalazimo da se maksimum ove funkcije dobija za Φ=0 i da iznosi

.)(lim0

nFn =Φ→Φ

(42)

b) Da bismo ostvarili maksimum karakteristične funkcije zračenja antenskog niza u pravcu prijemnog dipola, koji je određen uglom θ, treba odabrati fazni pomak δ tako da se zadovolji jednakost Φ=βlcosθ+δ=0. Na osnovu izloženog dobijamo potrebnu vrednost faznog pomeraja između struja dipola

.2

cos πθβδ −=−= d

c) Prijemni polutalasni dipol treba postaviti paralelno vektoru rezultantnog polja, tj. u ravni crteža i normalno na poteg r, jer tada talas stiže pod uglom π/2 u odnosu na njegovu osu i upravo u tom pravcu njegova karakteristična funkcija zračenja ima maksimum jednak Fλ/2(π/2)=1. Maksimalna vrednost indukovane ems jednaka je

( ).022

2312/ =Φ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= FEEF

βπ

βε λ

Intenzitet polja koje potiče od jednog dipola u nizu ima vrednost

,m

mV 8,91

2sin

2cos

2cos

20

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=θπ

θππ

πrIZ

E

a maksimalna vrednost karakteristične funkcije zračenja antenskog niza od 3 elementa jednaka je F3(Φ=0)=3, tako da za maksimalnu ems dobijamo ε≈0,66V. Snaga koju prijemni dipol predaje prilagođenom prijemniku iznosi

mW. 48,14

2==

zR R

P ε

Zadatak 22 – Oblikovanje karakteristike zračenja uniformnog antenskog niza Uniforman antenski niz sastoji se od n=5 polutalasna dipola. Rastojanje između susednih dipola je d=0,75m, a dipoli su upravni na osu niza. Radna učestanost je f=100MHz, a jačina struje napajanja jednog dipola je I0=5A. Koliki treba da bude fazni pomak δ između struja napajanja susednih dipola da bi se dobio niz sa longitudinalnim, odnosno transverzalnim zračenjem? Za oba niza odrediti:

a) širinu glavnog lista karakteristike zračenja u ekvatorijalnoj ravni dipola, kao ugao između pravaca nultog zračenja,

b) intenzitet električnog polja u ravni normalnoj na ose dipola, na rastojanju r=60km u pravcu koji sa osom niza zaklapa ugao θ=π/3.

REŠENJE 22 Za postizanje maksimuma karakteristične funkcije zračenja u pravcu koji je određen uglom θ, treba odabrati fazni pomak δ tako da se zadovolji jednakost Φ=βlcosθ+δ=0, tj. .cosθβδ d−= (43) Niz sa longitudinalnim zračenjem ostvaruje maksimum karakteristične funkcije zračenja u pravcu ose niza, θ=0, tako da je u datom slučaju potrebno ostvariti δ=-π/2. Niz je sa transverzalnim (bočnim) zračenjem ukoliko je karakteristična funkcija zračenja maksimalna pod uglom θ=π/2 u odnosu na osu niza. To znači da je u ovom slučaju δ=0.

c) U oba slučaja potrebno je odrediti uglove θ za koje važi

( ) ( )( ) ,0

2/sin2/5sin

5 =ΦΦ

=ΦF

odnosno ( ) 02/5sin =Φ i ( ) .02/sin ≠Φ Pošto je karakteristična funkcija zračenja dobijena na osnovu polinoma (n-1)-vog stepena po ejΦ, ima tačno (n-1) nula po Φ. Na osnovu izraza cosθ=(Φ-δ)/βd vidimo da nula po Φ daje dva, jedno ili nijedno rešenje za θ, zavisno od toga da li nula po Φ manja, jednaka ili veća od δ±βd. U posmatranom slučaju postoje 4 nule koje zadovoljavaju relaciju

5Φ/2=±kπ, k=1,2. Razlika između nizova sa longitudinalnim i transverzalnim zračenjem je u pomeraju faze δ što se odražava na ukupno kašnjenje Φ. Za niz sa longitudinalnim zračenjem imamo

),cos1(2

θπ−−=Φ

a nule najbliže smeru θ=0, koji predstavlja maksimum karakteristične funkcije zračenja i određuje glavni list, dobijamo za k=1, tj. Φ=±2π/5 i cosθ1,2=1-4/5. Uglovi koji u ekvatorijalnoj ravni zadovoljavaju datu jednakost iznose ,46,782,1 °±=θ a širina glavnog lista je .15721 °≈−θθ Kod niza sa transverzalnim zračenjem ukupno kašnjenje je

,cos2

θπ=Φ

a širinu glavnog lista odrediće nule najbliže smeru θ=π/2 za koji je Φ=0. Kao i u prethodnom slučaju, nule najbliže glavnom maksimumu se dobijaju za Φ=±2π/5 samo je sada cosθ1,2=±4/5. Karakteristična funkcija stoga ima nule za °= 87,361θ i ,13,1432 °=θ i širinu glavnog lista .10612 °≈−θθ

d) U pravcu koji sa osom niza zaklapa ugao od π/3 imamo sledeće vrednosti ukupnog pomeraja

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+=Φlnitransverzaalnilongitudin

4

4

023

cos2 π

ππππ

Pošto je karakteristična funkcija zračenja parna funkcija po Φ i zbog toga što u ekvatorijalnoj ravni dipol ima kružni dijagram zračenja, za oba niza dobijamo iste vrednosti intenziteta električnog polja

( )( ) .

mmV 07,12

2/sin2/5sin

22 2/00 =

ΦΦ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππ λFrIZ

E

Zadatak 23 – Određivanje karakteristike zračenja i širine snopa antenskog niza Tri polutalasna dipola postavljena su normano na ravan crteža, kao na slici 19, i napajana strujama II =1 , 3/

2 2 πjIeI −= i 3/23

πjIeI −= . Rastojanje između susednih dipola je d=30cm, a radna učestanost je f=500MHz.

a) Odrediti pravac u ekvatorijalnoj ravni dipola u kome je zračenje niza najjače. b) Koliko je jačina električnog polja niza u tom pravcu na rastojanju r=10km, ako je

I=1A? c) Odrediti nule i skicirati karakterističnu funkciju zračenja antenskog niza. d) Izračunati širinu snopa zračenja niza, ako je definišu pravci u kojima je intenzitet

zračenja za 3 dB manji nego u pravcu maksimuma.

I1θ

d

I2 I3

d

Slika 19.

REŠENJE 23 a) Ukupan fazni pomeraj između susednih dipola iznosi

.3

cos πθπ −=Φ

Kako dati niz nije uniforman, njegovu karakterističnu funkciju zračenja određujemo na sledeći način

( )[ ] .6

cos2

cos42/cos2121)( 22223 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Φ=+=++=Φ ΦΦΦ πθπjjj eeeF

Maksimum kosinusne funkcije dobijamo kada je njen argument 0, odnosno za cosθ1m,2m=1/3 i θ1m,2m=±70,53°. Karakteristična funkcija zračenja u ovim pravcima ostvaruje maksimalnu vrednost koja je jednaka F3(0)=4.

b) Intenzitet polja u pravcima maksimalnog zračenja, na rastojanju 10km od niza, iznosi

.m

mV 24)0(22 32/

0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= FF

rIZ

E ππ λ

c) Nule katakteristične funkcije zračenja dobijamo kada je

,26

cos2

ππθπ−=−

što za rešenje daje θ10,20=±131,8°

1

2

3

4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

θ10 θ1

θ1mθ2

Slika 20.

d) Kako je intenzitet zračenja srazmeran kvadratu karakteristične funkcije zračenja, širinu snopa u ekvatorijalnoj ravni definisaće uglovi pri kojima F3(Φ) postane za 2 manje od svoje maksimalne vrednosti, tj.

.2

16

cos2

cos 2,12 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πθπ

Rešenja predstavljaju oni uglovi za koje važi

⎩⎨⎧−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛±=

−

031,0697,0

62arccos2cos 4

1

2,1π

πθ ,

odnosno θ1=45,8° i θ2=91,8°, pa je širina snopa θ2-θ1≈46°. Zadatak 24 – Električno polje u prisustvu reflektora Polutalasni dipol, koji se na priključcima napaja strujom jačine I=1A i učestanosti f=600MHz, postavljen je paralelno sa ivicom i u simetralnoj ravni velikog, savršeno provodnog ugaonog reflektora, kao na slici 21.

a) Proračunati polje ovakvog sistema u tački A koja se nalazi u simetralnoj ravni dipola na rastojanju r>>λ..

b) Odrediti odstojanje reflektora od emisionog dipola , d, tako da polje na mestu prijema ima maksimalnu vrednost. Ako je tačka A udaljena r=10km izračunati intenzitet rezultantnog električnog polja.

c) Izabrati optimalan položaj za prijemni polutalasni dipol u tački A i odrediti snagu koja se u tom slučaju predaje prilagođenom prijemniku.

rd

A

π/3

Slika 21.

REŠENJE 24 a) Prema teoremi likova, uticaj reflektora na ekvivalentno polje možemo predstaviti

uvođenjem dodatnih dipola, koji predstavljaju "odraze" predajnog dipola. Pošto novi sistem mora biti ekvivalentan prethodnom u svim tačkama sa desne strane reflektora, broj dipola i struje u njima odabiraju se tako da tangencijalna komponenta vektora na površini reflektora stalno bude jednaka nuli. Na osnovu teoreme o jedinstvenosti rešenja Maksvelovih jednačina tako odabran sistem će i na mestu prijema dati identično polje kao i emisioni dipol sa ugaonim reflektorom. U posmatranom slučaju ekvivalentni sistem, koji se dobija uklanjanjem reflektora, sastoji se od 6 dipola, pri čemu su smerovi struja u njima prikazani na slici 22. Očigledno je da je sistem simetričan u odnosu na ravni kojima pripadaju stranice reflektora.

d

π/6 A

r23d

d/2

ϕ1

23

4

5 6

Slika 22. Intenzitet električnog polja svakog dipola ponaosob biće približno jednak u tačkama iz zone zračenja, ali će se faze električnog polja razlikovati. Ukoliko za referentni dipol odabermo 1, koji u tački A daje polje E1, tada talasi od ostalih dipola fazno kasne zbog dužih pređenih puteva. Pretpostavićemo da je rastojanje do reflektora mnogo manje od rastojanja na kojem određujemo polje, d<<r, tako da se ugao pod kojim talas dipola 2 stiže u tačku A može aproksimirati sa:

.0

2

23

≈+

= dr

darctgϕ

Pošto su uglovi od ostalih dipola još manji, možemo pretpostaviti da EM talasi svih dipola putuju gotovo paralelno. Na osnovu ovakve aproksimacije nalazimo da talasi dipola 2 i 6 u odnosu na dipol 1 prelaze rastojanje veće za d/2, talasi dipola 3 i 5 prelaze

rastojanje veće za 3d/2, a za dipol 4 rastojanje je veće za 2d. Uzimajući u obzir i smerove struja u pojedinim dipolima nalazimo da je rezultantno polje

.221 223

21 ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+−= −−− dj

djdjrez eee β

ββ

EE

b) Intenzitet rezultantnog električnog polja ( ) ( ),2/sin2sin2 1 ddEErez ββ −=

ima maksimalnu vrednost za ono d koje je veće od nule i zadovoljava relaciju

.2

coscos dd ββ =

Na osnovu parnosti kosinusne funkcije cos(βd)=cos(-βd +2kπ), k∈Z, zaključujemo da je jedino moguće rešenje

,22

πββ kdd+−=

odnosno

. ,3

2 Zkkd ∈=λ

Ukoliko izaberemo dovoljno malo k, tako da d bude istog reda kao i λ<<r, biće ispunjena polazna pretpostavka za veličinu ugla ϕ. Za ovako odabranu vrednost d nalazimo da je intenzitet rezultantnog polja u tački A jednak

.m

mV 2,3122

3333 2/0

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ππ λFrIZEErez

c) Ukoliko prijemni dipol postavimo paralelno predajnom i normalno na ravan crteža 22, njegova karakteristična funkcija zračenja ima maksimum u pravcu iz kojeg dolazi talas, a indukovana ems jednaka je

mV. 522/ ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππλε λFErez

Snaga koja se predaje prilagođenom prijemniku iznosi

nW. 5,854

2≈=

ZR R

P ε