Teorema de RiceTeorema de Rice

Mestrado em Ciência da Mestrado em Ciência da Computação Computação

Profa. Sandra de Amo Profa. Sandra de Amo

Seja P um problema satisfazendo as seguintes Seja P um problema satisfazendo as seguintes condições:condições:

Problema P<M>

1. Os inputs de P são códigos de máquina de Os inputs de P são códigos de máquina de TuringTuring

2. Existe um input 2. Existe um input <M1><M1> tal que P responde tal que P responde positivamentepositivamente a a <M1><M1>

Problema P<M1> YES !

Problema P<M2> NO !

Existe um input Existe um input <M2><M2> tal que P responde tal que P responde negativamentenegativamente a a <M2><M2>

3. Se L(M1) = L(M2) então <M1> 3. Se L(M1) = L(M2) então <M1> ϵϵ P P <M2> <M2> ϵϵ P P (isto é, a resposta do problema só depende do que a máquina (isto é, a resposta do problema só depende do que a máquina faz e não do seu código) faz e não do seu código)

Então P é indecidível

• O Teorema de Rice = “template geral” para provar O Teorema de Rice = “template geral” para provar que certos problemas são indecidíveis que certos problemas são indecidíveis

• Qualquer problema que se encaixa nas hipóteses do Qualquer problema que se encaixa nas hipóteses do teorema de Rice teorema de Rice é indecidível.é indecidível.

• Assim:Assim: - para provar que um certo problema P é indecidível:- para provar que um certo problema P é indecidível:

1. “inventar” uma prova particular de 1. “inventar” uma prova particular de indecidibilidadeindecidibilidade

algum problema indecidivel se reduz a P ?algum problema indecidivel se reduz a P ?OUOU

2. verificar que o problema satisfaz as hipóteses 2. verificar que o problema satisfaz as hipóteses do Teorema de Rice. do Teorema de Rice.

Prova:Prova: • Considere a máquina M2 tal que L(M2) = Considere a máquina M2 tal que L(M2) = ø (ø (M2 não aceita M2 não aceita

nenhum string).nenhum string).

Caso 1: Caso 1: Suponhamos que <M2> Suponhamos que <M2> P P

(isto é, P responde negativamente a <M2>)(isto é, P responde negativamente a <M2>)

• Pela condição (2) sabemos que existe uma máquina <M1> tal quePela condição (2) sabemos que existe uma máquina <M1> tal que

<M1> <M1> ϵϵ P. P.

• Mostremos que A ≤ P Mostremos que A ≤ P

TM

< M,w > < M’ >

M’ = No input x faça1. Execute M em w.2. Se M pára em qr, M’ pára em qr.3. Se M pára em qa, executa M1 em x4. Se M1 pára em qa, M’ pára em qa5. Se M1 pára em qr, M’ pára em qr

Se M não aceita w então M’ não aceita nenhum input x. Isto é: L(M’) = ø = ø = L(M2) . Logo <M’> é instância negativa de P

Se M aceita w então M’ atua exatamente como M1.

Isto é: L(M’) = L(M1)L(M1). Logo <M’> é instância positiva de P

Caso 2:Caso 2: Suponhamos que <M2> Suponhamos que <M2> ϵϵ P (isto é, P responde positivamente a <M2>) P (isto é, P responde positivamente a <M2>)

Consideramos o problema P

<M2> <M2> P PUsando o mesmo argumento do Caso 1, mostramos que

TMA ≤ P

Logo P é indecidível

Logo é indecidível P

Exemplo de Aplicação do Teorema de Exemplo de Aplicação do Teorema de RiceRiceReg = {<M> : L(M) é regular} Reg = {<M> : L(M) é regular} Mostrar que Reg é indecidível.Mostrar que Reg é indecidível.

Prova: Reg satisfaz as 3 condições do Teorema de Rice:Prova: Reg satisfaz as 3 condições do Teorema de Rice:

1.1. Seus inputs são códigos de MTSeus inputs são códigos de MT

2.2. Existe uma MT M1 tal que L(M1) não é regular (basta considerar Existe uma MT M1 tal que L(M1) não é regular (basta considerar a MT tal que L(M1) = palindromosa MT tal que L(M1) = palindromos

Existe uma MT M2 tal que L(M2) é regular (basta considera a MT Existe uma MT M2 tal que L(M2) é regular (basta considera a MT tal que L(M2) = 0*1* )tal que L(M2) = 0*1* )

3.3. Se M e M’ são duas MT tais que L(M) = L(M’) então Se M e M’ são duas MT tais que L(M) = L(M’) então

• ou ambas estão em Reg (no caso de L(M) = L(M’) ser regular )ou ambas estão em Reg (no caso de L(M) = L(M’) ser regular )• ou ambas não estão em Reg (no caso de L(M) = L(M’) não ser regular. ou ambas não estão em Reg (no caso de L(M) = L(M’) não ser regular.

Alguns problemas indecidíveis não Alguns problemas indecidíveis não

verificam as condições do T. Rice:verificam as condições do T. Rice: P = {<M> | M pára em algum string w}P = {<M> | M pára em algum string w}

Mostre que a condição 3 do Teorema de Rice Mostre que a condição 3 do Teorema de Rice não é verificada para o problema P.não é verificada para o problema P.

Logo, não podemos utilizar o T. Rice para Logo, não podemos utilizar o T. Rice para mostrar que P é indecidível.mostrar que P é indecidível.

Precisamos utilizar Precisamos utilizar a técnica da reduçãoa técnica da redução. .

Realmente: Consideremos as seguintes M.T.Realmente: Consideremos as seguintes M.T.

• M1 M1 – entra em loop para todo string w entra em loop para todo string w ≠≠ 0, 0, – párapára em qr qdo executada em w = 0 em qr qdo executada em w = 0

É claro que L(M1) = É claro que L(M1) = • M2 M2

– entra em loop para todo string wentra em loop para todo string wÉ claro que L(M2) = É claro que L(M2) =

Logo: L(M1) = L(M2)Logo: L(M1) = L(M2)

Mas : <M2> Mas : <M2> ϵ ϵ P P

<M1> <M1> ϵ ϵ P P