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funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de Green Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 7 de abril de 2011
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  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    Funciones armónicas. Problema de Dirichlet.Fórmulas de Green

    Jana Rodriguez HertzCálculo 3

    IMERL

    7 de abril de 2011

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    laplaciano

    Laplaciano

    definición (Laplaciano)

    f : Ω→ R3 función C2

    Laplaciano de f

    4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    laplaciano

    Laplaciano

    definición (Laplaciano)

    f : Ω→ R3 función C2

    Laplaciano de f

    4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    laplaciano

    Laplaciano

    definición (Laplaciano)

    f : Ω→ R3 función C2

    Laplaciano de f

    4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    laplaciano

    Laplaciano

    definición (Laplaciano)

    f : Ω→ R3 función C2

    Laplaciano de f

    4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    funciones armónicas

    funciones armónicas

    definición (función armónica)

    f función armónica si

    4f = ∇2f ≡ 0

    (ecuación de Laplace)

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    funciones armónicas

    funciones armónicas

    definición (función armónica)f función armónica si

    4f = ∇2f ≡ 0

    (ecuación de Laplace)

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    funciones armónicas

    funciones armónicas

    definición (función armónica)f función armónica si

    4f = ∇2f ≡ 0

    (ecuación de Laplace)

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    funciones armónicas

    funciones armónicas

    definición (función armónica)f función armónica si

    4f = ∇2f ≡ 0

    (ecuación de Laplace)

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4

    u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla corona

    datos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:

    u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)

    u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)u(2 cos θ,2 sin θ) = 0

    cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)u(2 cos θ,2 sin θ) = 0

    cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    transferencia del calor (solución estacionaria)

    Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    problema de dirichlet

    problema de dirichlet

    problema de dirichlet

    encontrar u : Ω→ R tal que

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    problema de dirichlet

    problema de dirichlet

    problema de dirichlet

    encontrar u : Ω→ R tal que

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    problema de dirichlet

    problema de dirichlet

    problema de dirichlet

    encontrar u : Ω→ R tal que

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    teorema

    teorema

    teorema (unicidad soluciones (D))

    si existe solución de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    entonces es única

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    teorema

    teorema

    teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    entonces es única

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    teorema

    teorema

    teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    entonces es única

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    teorema

    teorema

    teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    entonces es única

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    teorema

    demostración

    al final de esta clase

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    fórmula de green 1

    fórmula de green 1

    fórmula de green 1

    u : Ω∗ → R función C2

    ⇒ ∫∂Ω

    ds =∫∫

    Ω∇2u dx dy

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 1

    fórmula de green 1

    fórmula de green 1

    u : Ω∗ → R función C2

    ⇒ ∫∂Ω∇u.~nds =

    ∫∫Ω∇2u dx dy

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 1

    fórmula de green 1

    fórmula de green 1

    u : Ω∗ → R función C2

    ⇒ ∫∂Ω

    ∂u∂n

    ds =∫∫

    Ω∇2u dx dy

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 1

    demostración

    teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

    ∫∫Ω div

    ~X dx dy

    considerar ~X = ∇u

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 1

    demostración

    teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

    ∫∫Ω div

    ~X dx dy

    considerar ~X = ∇u

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 1

    demostración

    teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

    ∫∫Ω div

    ~X dx dy

    considerar ~X = ∇u

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 2

    fórmula de green 2

    fórmula de green 2

    u : Ω∗ → R función C2

    ⇒ ∫∂Ω

    u∂u∂n

    ds =∫∫

    Ω(u∇2u + (∇u)2)dx dy

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 2

    fórmula de green 2

    fórmula de green 2

    u : Ω∗ → R función C2

    ⇒ ∫∂Ω

    u∂u∂n

    ds =∫∫

    Ω(u∇2u + (∇u)2)dx dy

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 2

    fórmula de green 2

    fórmula de green 2

    u : Ω∗ → R función C2

    ⇒ ∫∂Ω

    u∂u∂n

    ds =∫∫

    Ω(u∇2u + (∇u)2)dx dy

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 2

    demostración

    teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

    ∫∫Ω div

    ~X dx dy

    considerar ~X = u∇u

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 2

    demostración

    teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

    ∫∫Ω div

    ~X dx dy

    considerar ~X = u∇u

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    fórmula de green 2

    demostración

    teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =

    ∫∫Ω div

    ~X dx dy

    considerar ~X = u∇u

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    demostración

    demostración unicidad soluciones (D)

    sup u1,u2 soluciones de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    u∗ = u1 − u2FG2:

    ∫∂Ω u∗

    ∂u∗∂n ds =

    ∫∫Ω(u∗∇

    2u∗ + (∇u∗)2)dxdy0 =

    ∫∫Ω(∇u∗)

    2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

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    demostración

    demostración unicidad soluciones (D)

    sup u1,u2 soluciones de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    u∗ = u1 − u2

    FG2:∫∂Ω u∗

    ∂u∗∂n ds =

    ∫∫Ω(u∗∇

    2u∗ + (∇u∗)2)dxdy0 =

    ∫∫Ω(∇u∗)

    2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    demostración

    demostración unicidad soluciones (D)

    sup u1,u2 soluciones de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    u∗ = u1 − u2FG2:

    ∫∂Ω u∗

    ∂u∗∂n ds =

    ∫∫Ω(u∗∇

    2u∗ + (∇u∗)2)dxdy

    0 =∫∫

    Ω(∇u∗)2dxdy

    ∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    demostración

    demostración unicidad soluciones (D)

    sup u1,u2 soluciones de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    u∗ = u1 − u2FG2:

    ∫∂Ω u∗

    ∂u∗∂n ds =

    ∫∫Ω(u∗∇

    2u∗ + (∇u∗)2)dxdy0 =

    ∫∫Ω(∇u∗)

    2dxdy

    ∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    demostración

    demostración unicidad soluciones (D)

    sup u1,u2 soluciones de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    u∗ = u1 − u2FG2:

    ∫∂Ω u∗

    ∂u∗∂n ds =

    ∫∫Ω(u∗∇

    2u∗ + (∇u∗)2)dxdy0 =

    ∫∫Ω(∇u∗)

    2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte

    ⇒ u∗ ≡ 0

  • funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD

    demostración

    demostración unicidad soluciones (D)

    sup u1,u2 soluciones de

    (D){4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω

    u∗ = u1 − u2FG2:

    ∫∂Ω u∗

    ∂u∗∂n ds =

    ∫∫Ω(u∗∇

    2u∗ + (∇u∗)2)dxdy0 =

    ∫∫Ω(∇u∗)

    2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0

    funciones armónicaslaplacianofunciones armónicas

    aplicaciónproblema de dirichletteorema

    fórmulas de greenfórmula de green 1fórmula de green 2

    unicidad de soluciones PDdemostración