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CAPÍTULO I SISTEMAS DINÁMICOS 1.1. Preliminares Consideremos una ecuación diferencial de la forma  ) , ( ´ x t f x =                 (1.1) La variable t es escalar, R t . La función vectorial n R G f :  es continua en t y xes un abierto de 1 + n R , y n R x . La función vectorial n R R I ϕ :  es una solución de (1.1) si ) (t ϕ  es continuamente diferenciable en I y si ) (t ϕ  satisface (1.1). En algunas partes de la teoría debemos utilizar  la derivada de la función vectorial ) , ( x t f . Estas se denota por dx df  e indica la derivada con respecto a la variable espacial x, esto significa que dx df  es la matriz nxn: = n n n n x f x f x f x f dx df 1 1 1 1 (1.2) con ) , , , ( 2 1 n x x x x =  y ) , , , ( 2 1 n f f f f = . Para el estudio de las funciones vectoriales en n R  debemos emplear la norma:

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CAPÍTULO I

SISTEMAS DINÁMICOS

1.1. Preliminares

Consideremos una ecuación diferencial de la forma ),(´ xtfx = (1.1)

La variable t es escalar, R∈t . La función vectorial nRGf →: es continua en t y x; G

es un abierto de 1+nR , y nRx ∈ . La función vectorial nRRI →⊂ϕ : es una solución

de (1.1) si )(tϕ es continuamente diferenciable en I y si )(tϕ satisface (1.1).

En algunas partes de la teoría debemos utilizar la derivada de la función vectorial

),( xtf . Estas se denota por dxdf

e indica la derivada con respecto a la variable espacial

x, esto significa que dxdf

es la matriz nxn:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

nn

n

xf

xf

xf

xf

dxdf

1

1

1

1

(1.2)

con ),,,( 21 nxxxx = y ),,,( 21 nffff = .

Para el estudio de las funciones vectoriales en nR debemos emplear la norma:

S

n

ii fff == ∑

=1. (1.3)

Para una matriz ijnxn aA = usaremos la norma:

S

n

jiij AaA == ∑

=1,. (1.4)

Es claro que estas son normas sii f es un vector constante y A es una matriz constante.

Es apropiado definir una norma de f y A cuando estos dependen explícitamente de las

variables t y x. Supongamos que hemos considerado la función vectorial ),( xtf para

bta ≤≤ y nRGx ⊂∈ , G es acotado, entonces:

GxbtafSupf

∈≤≤

=sup (1.5)

∑=

=n

jiijaA

1,sup (1.6)

Además la expresión ∫ xdt será la forma abreviada del campo vectorial:

( )∫ ∫ ∫ ∫= dtxdtxdtxxdt n,,, 21 (1.7)

Cuando se considere mapeos T(x), se asumirá que:

)()(

))(()(0

1

xTxT

xTTxT kk

=

= −

(1.8)

1.2. Sistemas dinámicos.

Un sistema dinámico puede ser definido como una prescripción matemática

determinista que involucra los estados de un sistema a lo largo del tiempo. El tiempo se

puede considerar como una variable continua o como una variable discreta que asume

valores enteros. Un ejemplo de un sistema dinámico en el cual el tiempo (denotado por

t) es una variable continua es un sistema de N ecuaciones diferenciales de primer orden,

),,,,(

),,,,(

),,,,(

21

2122

2111

NNN

N

N

xxxtFdt

dx

xxxtFdt

dx

xxxtFdtdx

=

=

=

(1.9)

2

el cual a menudo se escribe como:

))(,()(

txtFdt

tdx = (1.10)

donde x es un vector N dimensional, ie, NRx ∈ . si en F no aparece explícitamente el

tiempo,

))(()(

txFdt

tdx = (1.11)

se dice que el sistema es Autónomo o Independiente del tiempo.

Las ecuaciones (1.10) y (1.11) son un sistema dinámico porque, para algún

estado inicial del sistema x(0) , podemos en principio resolver las ecuaciones y obtener

el estado futuro del sistema x(t ) para t > 0. La Figura 1 muestra el camino seguido por

los estados del sistema a través del tiempo para el caso de N = 3. El espacio ( )321 ,, xxx

en la figura se le conoce como espacio de fase y el camino en el espacio de fase

seguido por el sistema a lo largo del tiempo, empezando en x(0) = x0, se le conoce como

órbita o trayectoria. También es común referirse a un sistema dinámico de tiempo

continuo como flujo; esta última terminología es aparentemente motivada considerando

las trayectorias generados por todas las condiciones iniciales en el espacio de fase como

los caminos seguidos por las partículas de un fluido a lo largo del tiempo (Fig. 2).

Fig(1). Una órbita en un espacio

3­dimensional .

Fig(2). Trayectorias consideradas

como flujo en un espacio

2­ dimensional.

3

1x

3x

2x

)0(x

)(tx

)0(x

1x

2x

En el caso de tiempo discreto con valores enteros (n denota el tiempo variable,

,2,1=n ), un ejemplo de sistema dinámico es un mapeo de la forma:

)(1 nn xMx =+ (1.12)

donde nx es N­dimensional. Dando una condición inicial x0, obtenemos el estado en el

tiempo n = 1 por )( 01 xMx = . Habiendo determinado x0, obtenemos el estado en n = 2

por )( 12 xMx = , y así sucesivamente. Así, una condición inicial x0, genera una órbita o

trayectoria de el sistema de tiempo discreto: ,,,, 10 nxxx .

Una ecuación diferencial de orden N,

),,,,(1

1

2

2

−=

N

N

N

N

dt

xd

dt

xddtdx

xFdt

xd (1.13)

donde ( )Mxxxx ,,, 21 = se puede transformar en un sistema (1.11) por el cambio de

variable:

1

1

2

2

12

2

321 ,,,,, −

− =====N

N

NN

N

Ndt

xdy

dt

xdy

dt

xdy

dtdx

yxy

con lo cual (1.13) se transforma en un sistema N­dimensional:

),,,('

'

'

'

21

1

32

21

NN

NN

yyyFy

yy

yy

yy

==

==

(1.14)

Si en (1.14) se consideran las coordenadas de cada ),,,( 21 iMiii yyyy = , este se

transforma en el sistema NxM­dimensional,

),,,('

'

21,

,1

NjjN

jiji

yyyFy

yy

=

= +

Mj

MjNi

,,1,,,1;1,,1,

==−=

(1.15)

donde ),,,( 21 MFFFF = .

1.3. Existencia y unicidad

4

En este sección estudiaremos las condiciones que debe satisfacer la función

vectorial )x,t(f de la ecuación diferencial con valor inicial:

),(' xtfx = con 00 )( xtx = (1.16)

para que exista y se garantice una solución (t)ϕ de (1.16). Este problema también es

conocido como problema de Cauchy. Obsérvese también que la ecuación (1.16) es

equivalente a la ecuación integral:

∫+=t

t

dssxsfxtx0

0 ))(,()( (1.17)

(1.17) se sigue por integración de (1.16), usando el teorema fundamental del cálculo.

Definición 1.3.1(Punto fijo):

Un punto fijo de un mapeo XXT →: de un conjunto X en sí mismo, es un

punto Xp ∈ el cual es mapeado en sí mismo por T:

ppT =)( (1.18)

Definición 1.3.2(Contracción):

Sea ),( dXX = un espacio métrico. Un mapeo XXT →: es llamado una

contracción en X sii existe un número real 10 <α< tal que para Xyx ∈, :

),(.))(),(( yxdyTxTd α≤ (1.19)

Geométricamente esto significa que algunos puntos x e y tienen imágenes, por

T, que están más juntas que los puntos x e y; precisamente, el radio

),())(),((

yxdyTxTd no excede a la constante α , la cual es estrictamente menor que

1.

Teorema 1.3.1(Teorema del Punto Fijo de Banach o Teorema de la Contracción):

Sea φ≠= ),( dXX un espacio métrico completo. Supóngase que T es una

contracción en X. Entonces T tiene un único punto fijo.

Prueba.

La idea de la prueba es construir una sucesión de Cauchy nx en X y

probaremos que su límite es un punto fijo de T y que T no tiene otro punto fijo.

5

Elijamos Xx ∈0 y definamos la “sucesión iterativa” )(1 nn xTx =+ ó

)( 01 xTx nn =+ . Probaremos que nx es de Cauchy.

))(),((),( 11 −+ = mmmm xTxTdxxd

))(),((),( 211 −−− α=α≤ mmmm xTxTdxxd

),( 212

−−α≤ mm xxd

),(),( 011 xxdxxd mmm α≤+

Por tanto para n>m:

),(),(),(),( 1211 nnmmmmnm xxdxxdxxdxxd −+++ +++≤

( ) ),( 10121 xxdnmmm −++ α+α+α+α≤

),(1

)1(10 xxd

mnm

α−α−α

=−

Puesto que 10 <α< , entonces 11 <α− −mn . Luego:

),(1

),( 10 xxdxxdm

mn α−α

En el termino de la derecha 10 <α< y ),( 10 xxd son fijos, así podemos hacer que este

termino sea tan pequeño como deseamos tomando un m suficientemente grande y n>m.

Esto prueba que nx es de Cauchy.

Desde que X es de Banach, nx converge, es decir xxm → . Probaremos que este

límite es el punto fijo de T.

por la desigualdad triangular:

))(,(),())(,( xTxdxxdxTxd mm +≤

),(),( 1 xxdxxd mm −α+≤

y podemos hacer la suma del segundo miembro tan pequeña como se quiera puesto que

xxm → . Por tanto 0))(,( =xTxd y xxT =)( . Esto demuestra que x es punto fijo de T.

Supongamos ahora que existe otro punto fijo *x , es decir, ** )( xxT = . Luego:

),())(),((),( **** xxdxTxTdxxd α≤=

lo cual implica que *xx = , pues 1<α . Esto prueba el teorema.

6

El teorema del punto fijo de Banach se utilizará para encontrar una solución al

problema de Cauchy y garantizar la existencia de esta solución. Solo se exige a ),( xtf

de (1.17) que satisfaga la siguiente definición:

Definición 1.3.3(Función Lipschirtziana):

Considérese la función ),( xtf con nn RRf →+1: , nRDxatt ⊂∈≤− ,0 ,

),( xtf satisface la Condición de Lipschitz con respecto a x, si en [ ] Datat ×+− 00 , se

cumple:

2121 ),(),( xxLxtfxtf −≤−

donde Dxx ∈21, y L son constantes. A L se le conoce como constante de Lipschitz.

La Condición de Lipschitz juega una parte esencial en el siguiente teorema:

Teorema 1.3.2(De la existencia y Unicidad de Picard):

Sea f continua y acotada ( cf < ) en [ ] Dba ×=Ω , , con

bxxRxD n <−∈= 0/ y supóngase que f satisface la condición de Lipschitz para X,

con constante L. Entonces el problema de Cauchy de valor inicial (1.15) tiene una única

solución. Esta solución existe en un intervalo [ ]β+β− 00 , tt donde

Lcb

a1

,,min .

Prueba:

Sea

→= continuaesRIffIC n:/)( , [ ]β+β−= 00 , ttI , el espacio

métrico con la métrica:

It

tytxyxd∈

−=sup

)()(),(

C(I ) es completo. Sea *C el sub­espacio de C(I ) que consiste en todos las funciones

)(ICx ∈ que satisfacen:

7

β≤− cxtx 0)(

Se observa que C* es cerrado en C(I ) y es completo . Por (1.16) se puede ver que el

problema de Cauchy consiste en resolver )(xtx = donde:

∫+=t

t

dssxtfxxT0

0 ))(,()( (1.20)

Se ve que T es definida para todo *Cx ∈ , pues bc <β ; luego si *Cx ∈ , entonces para

I∈τ , ( ) Ω∈ττ )(, x y la integral (1.20) existe desde que f es continua en Ω . También T

es un mapeo de C* en sí mismo pues:

( ) β≤−≤τττ=− ∫ cttcdxfxtxTt

t0

00 ))(,()(

Probemos ahora que T es una contracción en C*. Por la condición de Lipschitz:

[ ]∫ τττ−ττ=−t

t

dvfxftvTtxT0

))(,())(,())(())((

IvxLtt

∈ττ−τ−≤ )()(max0

),(. vxdLβ≤

Desde que la última expresión no depende de t, podemos tomar es máximo sobre t en la

izquierda:

),())(),(( vxdvTxTd α≤ , donde β=α L

Pero 1<β=α L ,entonces T es una contracción en C*. De lo cual, existe una función

*)( Ct ∈ϕ tal que )())(( ttT ϕ=ϕ , es decir:

∫ ττϕτ+=ϕt

t

dfxt0

0 ))(,()(

y se cumple ))(,()(',0)0( ttftxt ϕ=ϕ=ϕ , es decir que es solución del problema de

Cauchy (1.16).

El teorema del punto fijo de Banach implica también que la solución ϕ de (1.16) es el

límite de la sucesión ,, 10 ϕϕ obtenida por la iteración de Picard:

∫ ττϕτ+ϕ=ϕ +

t

tnn dft

001 ))(,()( . (1.21)

8

1.4. Desigualdad de Gronwall.

Fue introducida por Gronwall en 1918. Las aplicaciones a la teoría de las

ecuaciones diferenciales son de fecha posterior y debemos mencionar el nombre de

Richard Bellmen al respecto. Presentaremos dos versiones de la desigualdad de

Gronwall que son las que más utilizaremos aquí.

Teorema 1.4.1(Gronwall).

Asumamos que para attt +≤≤ 00 , con a > 0, tenemos la estimación:

30

1 )()()( δ+φψδ≤φ ∫t

t

dssst (1.22)

en la cual, para attt +≤≤ 00 , )(tφ y )(tψ son funciones continuas, 0)(,0)( ≥ψ≥φ tt

y 21,δδ son constantes positivas. Entonces, para attt +≤≤ 00 :

∫ψδ

δ≤φ

t

tdss

et 01 )(

3)((1.23)

Prueba.

De la estimación (1.22) se deriva:

1

)()(

)(

30

1

≤δ+φψδ

φ

∫t

t

dsss

t

Multiplicando por )(1 tψδ e integrando:

∫∫∫

ψδ≤δ+ττφτψδ

φψδ t

t

t

ts

t

dss

d

dsss

01

03

01

1 )(

)()(

)()(

Así: ∫∫ ψδ≤δ−δ+φψδt

t

t

t

dssLndsssLn0

130

31 )()())()((

De lo cual:∫ψδ

δ≤δ+φψδ ∫

t

tdss

edssst

t

01

)(

330

1 )()(

Entonces: ∫ψδ

δ≤φ

t

tdss

et 01

)(

3)(. Lqqd.

9

Es interesante probar que si 03 =δ implica que 0)( =φ t en attt +≤≤ 00 .

Una versión modificada es:

Teorema 1.4.2.

Asumamos que para attt +≤≤ 00 , a > 0, se tiene la estimación

31020

)()()( δ+φδ+−δ≤φ ∫t

t

dssttt (1.24)

y 0)( ≥φ t y continua en attt +≤≤ 00 , 321 ,, δδδ son constantes mayores o iguales a

cero. Entonces para attt +≤≤ 00 ,

1

23

1

2)(

)( 1δδ

−−δ

δ+

δδ

≤φtot

t e . (1.25)

Prueba.

Sea 1

2)()(δδ

−ψ=φ tt , entonces:

30 1

2102

1

2 )()()( δ+

δδ

−ψδ+−δ≤δδ

−ψ ∫t

t

tttt , y de lo cual:

31

2

01 )()( δ+

δδ

+ψδ≤ψ ∫t

t

dsst

Aplicando el teorema 1.4.1:

)()( 01

32

1tt

t e−δ

δ+

δδ

≤ψ

Reemplazando )(tψ :

)(

1)( 01

31

22tt

t e−δ

δ+

δδ

≤δδ

+φ Lqqd.

Aplicaremos la desigualdad de Gronwall para estudiar la dependencia de una

solución de sus condiciones iniciales.

Teorema 1.4.3.

10

Sea la ecuación ),(' xtfx = y nRx ∈ , ),(,0,: 1 xtftRRf nn ≥→+ satisface la

condición de Lipschitz con constante L y es continua en t y x. Considérese los

problemas de valores iniciales:

axxtfx == )0(),,(' , cuya solución es )(0 tx en I.

η+== axxtfx )0(),,(' , cuya solución es )(tx∈ en I.

Si ≤ ∈η , )0(∈> , entonces:

Lttxtx e≤ ∈− ∈ )()(0 , en el intervalo I.

Prueba.

Los dos problemas de valores iniciales son equivalentes a las ecuaciones

integrales:

∫ τττ+=t

dxfatx0

0 ))(,()( y ∫ τττ+η+= ∈∈

t

dxfatx0

))(,()(

Restando y aplicando la desigualdad triangular:

∫ τττ−ττ+η≤∈− ∈

t

dxfxftxtx0

0 ))(,())(,()()(0

Y usando la condición de Lipschitz:

∫ ττ−τ+≤ ∈− ∈∈

t

dxxLtxtx0

00 )()()()(

Aplicando la desigualdad de Gronwall con = ∈δ−=φ=ψ=δ ∈ 301 ,)()()(,1)(, txtxtsL

se obtiene:

Lttxtx e≤− ∈ )()(0

1.5. Ecuaciones Autónomas.

Consideremos ahora la ecuación autónoma: )(' xfx = (1.26)

Para caracterizar las soluciones de las ecuaciones autónomas debemos usar tres

conjuntos especiales de soluciones: soluciones de equilibrio o estacionarias, soluciones

periódicas y manifolds integrales.

Empecemos con una simple pero importante propiedad de las ecuaciones

autónomas:

11

Lema 1.5.1. (Propiedad de traslación).

Supóngase que tenemos una solución )(tφ de la ecuación (1.26) en un dominio

nRG ⊂ , entonces )( 0tt −φ , con t0 constante, también es solución.

Prueba.

Transformemos τ→t , con 0tt −=τ . Reemplazando t por τ en la ecuación

(1.26), esta no varía:

))(()(

τφ=ττφ

fd

d

Puesto que dtd =τ se tiene: ))(()(

00 ttf

dt

ttd−φ=

−φ entonces )( 0tt −φ es una

solución de (1.26).

El lema (1.5.1) indica que si el problema de valor inicial 0)0(),(' xxxfx ==

tiene por solución a )(tφ , entonces el problema de valor inicial 00 )(),(' xtxxfx ==

tiene por solución a )( 0tt −φ .

Las soluciones )(tφ y )( 0tt −φ que hemos obtenido son diferentes. Pero en el

espacio de fase estas soluciones corresponden a la misma curva orbital. La propiedad de

traslación es importante para el estudio de soluciones periódicas y para la teoría de

sistemas dinámicos.

Un punto en el espacio de fase con coordenadas ( ))(,),(),( 21 txtxtxx N= ,

para cierto t, es llamado punto de fase. En general, por incremento de t, un punto de fase

se mueve a lo largo del espacio de fase. La ecuación (1.26) es escrita en sus

componentes:

),()(' xftx ii = Ni ,,1 =

Usaremos uno de los componentes de x, en primera instancia x1, como una nueva

variable independiente; esto requiere que 0)(1 ≠xf . Con este cambio se obtiene:

)(

)(

)()(

11

1

2

1

2

xf

xf

dx

dx

xf

xf

dx

dx

NN =

=

(1.27)

12

Las soluciones de (1.27) son llamadas orbitas. Aplicando el teorema de

existencia y unicidad en (1.26) y (1.27) se observa que las orbitas en un espacio de fase

no se interceptan. por supuesto esta conclusión se excluye para las singularidades de

(1.27) que corresponden a los ceros de f1(x). si f2(x) no tiene ceros, tomamos x2 como

variable independiente e intercambiamos los roles de f1(x) y f2(x). Si los ceros de f1(x) y

f2(x) coinciden, tomamos a x3 como una variable independiente, así sucesivamente. El

problema real por tanto consiste en encontrar un punto ( )Naaaa ,,, 21 = tal que:

0)()()( 21 ==== afafaf N

El punto nRa ∈ es un cero de la función vectorial f (x) y los llamaremos punto

crítico; algunas veces lo llamaremos punto de equilibrio.

Definición 1.5.1.

El punto ax = con 0)( =af es llamado un punto crítico de la ecuación

)(' xfx = .

Un punto critico de la ecuación en el espacio de fase puede ser considerado

como una orbita degenerada en este punto.

Notar también que un punto critico corresponde con una solución de equilibrio o

estacionaria de la ecuación, pues atx =)( satisface la ecuación para todo tiempo.

Del teorema de existencia y unicidad se sigue que una solución de equilibrio no

puede encontrarse en tiempo finito (Si una solución de equilibrio se encontrase en un

tiempo finito, dos soluciones deberían interceptarse).

Definición 1.5.2.

Un punto critico ax = de la ecuación )(' xfx = en nR es llamado Atractor

Positivo si existe una vecindad na R⊂Ω de a tal que si atx Ω∈)( 0 implica

atxLimt

=∞→

)( . Si un punto critico tienen esta propiedad para −∞→t , entonces ax = es

llamado Atractor Negativo.

1.6. Soluciones Periódica.

Definición 1.6.1.

13

Supóngase que )(tx φ= es una solución de la ecuación )(' xfx = , nRDx ⊂∈ y

supóngase que existe un numero positivo T tal que )()( tTt φ=+φ para todo nRt ∈ .

Entonces )(tφ es llamado una solución periódica de la ecuación con periodo T.

Si )(tφ tiene periodo T entonces la solución también tiene periodo 2T, 3T, etc.

Supongamos que T es el periodo mas pequeño y llamaremos a )(tφ T­periódica.

Considérese el espacio de fase correspondiente a la ecuación autónoma (1.26).

Para una solución periódica se observa que después de un tiempo T, )(tx φ= asume el

mismo valor en nR . Así una solución periódica produce una orbita cerrado o ciclo en el

espacio de fase. Probaremos esta afirmación en el siguiente lema:

Lema 1.6.1.

Una solución periódica de el sistema autónomo (1.26) corresponde a una orbita

cerrada en el espacio de fase y una orbita cerrada corresponde con una solución

periódica.

Prueba.

Se ve fácilmente que una solución periódica produce una orbita cerrada en el

espacio de fase. Probaremos que una orbita cerrada corresponde a una solución

periódica. Consideremos una orbita cerrada C en el espacio de fase y un punto Cx ∈0 .

Sea )(tφ la solución de (1.26) con 0)0( x=φ , esta traza la orbita C. Por el teorema de

existencia y unicidad, C no puede contener un punto critico, así 0)( >≥ axf para

Cx ∈ . Esto implica que 0' >≥ ax y por tanto, en un cierto tiempo t = T, debemos

retornar a x0. Ahora debemos probar que )()( tTt φ=+φ para Rt ∈ . Notar que se

puede escribir 1tnTt += , con Zn ∈ y Tt << 10 . De la propiedad de traslación se ve

que si )(tφ es una solución con 11)( xt =φ , también )( nTt −φ es una solución con

11 )( xnTt =+φ . Así )()( 11 nTtt +φ=φ y como t1 puede estar en (0,T) tenemos que )(tφ

es T­periódica.

Por supuesto la definición de solución periódica también se aplica a ecuaciones

no autónomas. Sin embargo, las orbitas cerradas de tales sistemas no necesariamente

14

corresponden con soluciones periódicas puesto que la propiedad de traslación no es

válida en ellos. Como ejemplo de esto, considérese el sistema:

txy

tyx

2'2'−=

=

Este tiene como soluciones )()(),()()( 2222 tCostSinytSintCostx β+α−=β+α= . En

el plano de fase x, y se tiene orbitas cerradas, pero con soluciones no periódicas.

1.7 Primeras integrales y curvas Integrales

La ecuación (1.27) en la cual el tiempo ha sido eliminado, puede ser integrada en

algunos casos, lo que produce una relación entre las componentes del vector solución.

Como ejemplo, veamos el caso del oscilador armónico 0'' =+xx , se puede encontrar

que:

( ) Exx =+ 22

21

'21

donde 0≥E es una constante determinada por las condiciones iniciales. Llamaremos a

esta expresión una “primera integral” de la ecuación del oscilador armónico. En el

espacio de fase esta relación corresponde para 0>E con una manifolds, un circulo

alrededor del origen. Para verificar que )(tx y )(' tx satisface esta relación,

diferenciamos:

0)''(''''' =+=+ xxxxxxx

donde hemos usado el hecho que x(t ) resuelve la ecuación.

Para definir generalmente una “primera integral”, debemos introducir el

concepto de “derivada orbital”.

Definición 1.7.1 Considérese la función diferenciable RRF n →: y la función

vectorial nRRx →: . La derivada Lt de la función F a lo largo de la función vectorial x,

parametrizada por t, es:

'''' 22

11

nn

t xxF

xxF

xxF

xxF

L∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂

=

donde nxxx ,,, 21 son los componentes de x. Lt es llamada derivada orbital.

15

Definición 1.7.2.

Considérese la ecuación )(' xfx = nRDx ⊂∈ ; la función F(x) es llamada

“primera integral” de la ecuación si en D se cumple:

0=FLt

con respecto a la función vectorial x(t).

Se sigue de la definición que la primera integral F(x) es constante a lo largo de

las soluciones. Por ello, las primeras integrales son llamadas algunas veces “constantes

de movimiento”. Por otro lado, F(x) = Cte será una curva de nivel de la función F(x) y

estos niveles contienen las orbitas de la ecuación. Todas estas orbitas son llamadas

“manifolds integrales”. Si encontramos las manifolds integrales de una ecuación, nos

ayudara a comprender la construcción de el espacio de fase de esta ecuación.

Ejemplo 1.1.

La ecuación de segundo orden 0)('' =+ xfx tiene como primera integral a la

función:

∫ ττ+=x

dfxxxF )('21

)',( 2

Ejemplo 1.2.

En la ecuación armónica 0'' =+xx , la primera integral es 22

21

'21

)',( xxxxF += .

La familia de círculos ExxxxF =+= 22

21

'21

)',( , 0≥t , corresponde al conjunto de

manifolds integrales.

16

Ejemplo 1.3.

Para la ecuación 0)('' =+ xSinx , la primera integral es )(2'

)',(2

xCosx

xxF −= .

Las orbitas corresponden con las curvas .)',( CtexxF =

Ejemplo 1.4.

Si 2

)(2x

xxf −= , la primera integral es: 622

')',(

322 xxxxxF −+= y las

manifolds integrales son:

17

Ejemplo 1.5.

Sea las ecuaciones: i

ii

i pH

qqH

p∂∂

=∂∂

−= ';' , ni ,,1= , llamadas las ecuaciones

de Hamilton, en la cual H es una C2­función de 2n variables pi, qi. Se ve que H es una

primera integral de las ecuaciones de Hamilton pues:

∑=

=

∂∂

+∂∂

=n

ii

ii

it q

qH

ppH

HL1

0''

H a menudo es llamada Hamiltoniano y Integral de Energía, lo cual se aplica a el caso

en que H es la energía de un sistema mecánico, cuya dinámica es descrita por las

ecuaciones de movimiento de Hamilton.

18