Anlisis de Datos I Esquema del Tema 15

Carmen Ximnez 1

Tema 15: Modelos de distribucin de

probabilidad: Variables discretas 1. INTRODUCCIN

2. EL MODELO UNIFORME

3. EL MODELO BINOMIAL, B(N, )

Las tablas estadsticas Ejemplo

4. EL MODELO DE DISTRIBUCIN MULTINOMIAL __________________

Bibliografa: Tema 11 (pg. 289-296) y apndice final con tablas

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1. INTRODUCCIN

En la prctica, la funcin de probabilidad de la mayora de las variables discretas se ajusta a un modelo terico expresado mediante una frmula concreta.

2. EL MODELO UNIFORME

Todos los valores asumibles por la variable X son equiprobables (=tienen la misma probabilidad). Por tanto, puede asumirse una distribucin uniforme. Grficamente se representa mediante:

X

54321

f(x)

,25

,20

,15

,10

,050

3. EL MODELO BINOMIAL, B(N, )

Consiste en la distribucin del n de aciertos en una serie de ensayos de Bernouilli. Para que la distribucin de probabilidad de una variable X siga el modelo Binomial ha de cumplirse que

1. La variable est definida como variable dicotmica: en trminos de Acierto (1) y error (0)

2. Se de una repeticin de N ensayos independientes en la variable dicotmica en los que la

probabilidad de que el ensayo verifique la condicin 1 (p.e., acierto) sea constante, y se representa por .

3. Se defina una variable X, como el n de veces que se verifica la condicin (los 1) en los N

ensayos. Los valores de X (los xi) oscilan entre 0 y N: X = {0, 1, 2, , N} Si se cumplen las anteriores condiciones, la variable X (n aciertos) se ajusta al Modelo Binomial con parmetros N y . Es decir: X ~ B (N, ) a) Funcin de probabilidad de una variable Binomial:

( ) (1 )x N xN

f xx

=

Donde: !

! ( ) !N Nx x N x

=

b) Valor esperado: E(X) = N c) Varianza: 2(X) = N (1 - )

Donde: 1( )f xJ

= .

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Tablas estadsticas

No siempre es necesario aplicar la frmula para obtener la funcin de probabilidad asociada a un valor de la variable. Existen tablas donde se puede consultar el valor de f (xi). La tabla de la Binomial (Tabla I del libro en pgs. 403-408) tiene la siguiente estructura:

N

x 0,01 0,50 0,99

2 . . .

17

0 1 2

980 020 0+

. . .

f (xi) . . .

Dado X ~ B (N; ), para buscar una f (xi): 1 columna: valor de N 2 columna: posibles valores de X: 0, 1, , N 3 columna: valor de f(xi) bajo diferentes valores de

(aparece en porcentajes, por brevedad. El signo + significa que hay ms de tres ceros)

Ejemplo: P(X = 1) = f(1) = 0,02 bajo X ~ B (x; 2; 0,01)

Nota: Cuando N > 17, f (xi) puede aproximarse mediante el modelo normal (lo veremos en el tema 20) EJEMPLO (resuelto)

Un estudiante responde a un test de 3 preguntas con cinco opciones de respuesta (donde slo 1 es correcta). Si ha respondido azar:

1) Elabore el modelo de distribucin para la variable X (n de aciertos al azar)

X ~ B (N = 3, = 0,20)

( ) (1 )x N xN

f xx

=

0 33 3!(0) 0, 20 (0,80) 1 0,512 0,5120 0!(3 0)!

f

= = =

1 23 3!(1) 0, 20 (0,80) 0, 20 0, 64 0,3841 1!(3 1)!

f

= = =

2 13 3!(2) 0, 20 (0,80) 0, 04 0,80 0, 0962 2!(3 2)!

f

= = =

3 03 3!(3) 0, 20 (0,80) 0, 008 1 0, 0083 3!(3 3)!

f

= = =

Xi 0 1 2 3 f(xi) 0,512 0,384 0,096 0,008

2) Cul es la probabilidad de que acierte todas las preguntas?

P(X = 3) = f(3) = 0,008 (coincide con el valor dado en las tablas de probabilidad)

3) Valor esperado: E(X) = N = (3) (0,20) = 0,60 Varianza: 2(X) = N (1 - ) = (3) (0,20 0,80) = 0,48

4) Cul es la probabilidad de que acierte como mximo 2 preguntas?

P(X 2) = F(2) = 0,512 + 0,384 + 0,096 = 0,992

5) Cul es la probabilidad de que acierte entre 1 y 2 preguntas (ambas inclusive)?

P(1 X 2) = F(2) - F(0) = 0,992 - 0,512 = 0,480

6) Cul es la probabilidad de que acierte al menos 2 preguntas?

P(X 2) = 1 - P(X 1) = 1 0,896 = 0,104

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4. MODELO DE DISTRIBUCIN MULTINOMIAL

Se realizan N ensayos independientes que dan lugar a k resultados: X = { X1, X2, Xk } con probabilidades 1, 2, k, respectivamente (donde 1 + 2 + + k = 1).

Este modelo se trata de una extensin de la Binomial til para variables politmicas (variables discretas con ms de 2 categoras). Funcin de probabilidad de una variable multinomial:

1 2 XX X1 2

1 2

!( , , ..., ) ...! ! ... !

kk

k

Nf X X XX X X

=

Ejemplo

X: Actitud hacia la donacin de rganos

X1: En contra ....... con 1 = 0,15 X2: Indiferentes ... con 2 = 0,40 X3: A favor ........... con 3 = 0,45

Si se extrae una muestra aleatoria de 20 sujetos. Cul es la probabilidad de que 5 estn en contra, 10 sean indiferentes y 5 estn a favor?

1 2 1 5 10 51 2 3

1 2 3

! 20!( 5 10 5) 0,15 0,40 0,45 0,41! ! ! 5! 10! 5!

X X XNf X , X , X X X X

= = = = = =

5. EJERCICIOS Ejercicio 1

Supongamos que es igual de probable que nazcan nios que nias. Si nos fijamos en los prximos 5 partos de una determinada clnica, determine: 1. La probabilidad de que todas sean nias 2. La probabilidad de que las nias sean minora 3. El valor esperado y la varianza de la variable X: nmero de nias Ejercicio 2

Cul es la probabilidad de que al tomar 6 sujetos al azar, los seis superen el Q3 en la variable creatividad? Ejercicio 3

El ndice de audiencia de un determinado programa de TV es el 30%. Tomamos una muestra de 16 domicilios:

1. En cuntos domicilios se espera que estn viendo el programa? 2. Cul es la probabilidad de que al menos en el 25% de domicilios estn viendo el

programa? 3. Supongamos que la cadena suprime el programa si no lo ven al menos el 20% de los

domicilios:

(a) Cul es la probabilidad de que lo suprima? (b) Cul es la probabilidad de que lo suprima si el verdadero ndice de audiencia es el 10%?