Tarea III

Francisco de Lima 10-10185

4 de junio de 2014

Figura 1: Enunciado

1. Determine las bases coherentes del sistema adimensional de

unidades.

Primero determinamos las bases del lado del estator: Sb = 2kV A.V b = 240V , Zb = 28,8Ω, wb = 377rad/s, Lb = Zb/wb = 0,0764H. Ib = 8,3333A. Una vez conocidas las bases del estator, deter- minamos las inductancias Ld y Ldf y con ellas es posible hallar la relación de vueltas entre estator y campo. Ld = Ldp.u ·Lb = 0,1146H., Lmd = Ld−Lσd = 1,35p.u = 0,10H. Ldf =

√ 3·240V w·ifn = 0,2207H.,

1

Ldf = √ Lmd · Lmf =⇒ Lmf = 0,5H. Con ésto obtenemos: NdNf =

√ Lmd Lmf = 0,4414.

Una vez conocida la relación de vueltas, es fácil obtener las bases del campo: V bf = NfNd · V b = 543,7659V., Ibf =

Nd Nf · Ib = 3,7680A., Lbf = 0,3922H.

Por último se obtiene la base de impedancia mutua: Zbe−f = Zbf−e = 65,2529Ω.

2. Realice un análisis de los resultados obtenidos cuando se in-

tegran las ecuaciones dinámicas por medios numéricos.

En los algoritmos 1 y 2 se muestran los códigos empleados para determinar el transitorios electro- magnético y electromecánico del motor de sincrónico

Observación: las corrientes de las grá�cas mostradas a continuación representan el comportamiento de las variables de estado "hermitianas" (id,iq,iad,iaq)

Algoritmo 1 Planteamiento Problema No-Lineal

function [ px]= Sistema ( t , x ) global Ld Lq Ldf Ldad Lqaq a vd vq ; pi=3.1416; a=exp(1 i ∗2∗pi /3) ; va=sqrt (2 ) ∗cos ( t ) ; vb=sqrt (2 ) ∗cos ( t−2∗pi /3) ; vc=sqrt (2 ) ∗cos ( t−4∗pi /3)

; vab=sqrt (2/3) ∗ [ 1 a a ^2 ]∗ [ va vb vc ] ' ; vdq=vab∗exp(−1 i ∗x (7 ) ) ; vd=real ( vdq ) ; vq=imag( vdq ) ;

%Accionamiento de l a fuen t e en e l campo (a l o s 5 s . ) i f t

Algoritmo 2 Solución Problema No-Lineal

%%Programa para e l c á l c u l o d e l t r a n s i t o r i o d e l motor s inc rón i co clear ( ) ; clc ( ) ; global Ld Lq Ldf Ldad Lqaq vd vq ;

Xo = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 3 . 1 4 1 6 / 3 ] ; % Condiciones i n i c i a l e s tspan = [0 3 000 ] ; % Tiempo de s imulac ión [ t ,X] = ode45 (@Sistema , tspan ,Xo) ; %ODE

id=X( : , 1 ) ; i q=X( : , 2 ) ; I f=X( : , 3 ) ; iad=X( : , 4 ) ; i aq=X( : , 5 ) ; w=X( : , 6 ) ; o=X ( : , 7 ) ;

i a=sqrt (2/3) ∗ real ( ( ( id+1 i ∗ i q ) .∗exp(1 i ∗o ) ) ) ; Te=((Ld−Lq) ∗ id .∗ i q+Ldf∗ I f .∗ i q+Ldad∗ i q .∗ iad−Lqaq∗ i aq .∗ id ) ; Pe=Te .∗w; t=t /377 ;

%Conjunto de Gráf icas 1 f igure ( ) subplot ( 2 , 1 , 1 ) , plot ( t , id , t , i q ) , legend ( ' id (p . u) ' , ' i q (p . u) ' , '

Locat ion ' , ' SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Co r r i en t e s (p . u) ' )

subplot ( 2 , 1 , 2 ) , plot ( t , iad , t , i aq ) , legend ( ' iad (p . u) ' , ' i aq (p . u) ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Co r r i en t e s (p . u) ' )

%Conjunto de Gráf icas 2 f igure ( ) subplot ( 2 , 1 , 1 ) , plot ( t , I f ) , legend ( ' i f (p . u) ' , ' Locat ion ' , '

SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Cor r i ente (p . u ) ' )

subplot ( 2 , 1 , 2 ) , plot ( t , i a ) , legend ( ' i a (p . u) ' , ' Locat ion ' , ' SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Cor r i ente (p . u) ' )

%Conjunto de Gráf icas 3 f igure ( ) subplot ( 2 , 1 , 1 ) , plot ( t ,w) , legend ( ' Veloc idad (p . u) ' , ' Locat ion ' , '

SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Veloc idad (p . u) ' ) subplot ( 2 , 1 , 2 ) , plot ( t , o ) , legend ( ' Pos i c i ón ( rad iane s ) ' , '

Locat ion ' , ' SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Pos i c i ón ( rad ) ' )

%Conjunto de Gráf icas 2 f igure ( ) subplot ( 2 , 1 , 1 ) , plot ( t , Te) , legend ( 'Te (p . u) ' , ' Locat ion ' , '

SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Par (p . u) ' ) subplot ( 2 , 1 , 2 ) , plot ( t , Pe ) , legend ( 'Pe (p . u) ' , ' Locat ion ' , '

SouthEast ' ) , xlabel ( 'Tiempo ( s ) ' ) , ylabel ( ' Potencia (p . u) ' )

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −10

0

10

20

X: 6.774 Y: 0.787

Tiempo(s)

C or

rie nt

es (

p. u)

X: 7.77 Y: −1.589

id (p.u) iq (p.u)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −10

−5

0

5

10

X: 7.844 Y: 1.049e−05

Tiempo(s)

C or

rie nt

es (

p. u)

iad (p.u) iaq (p.u)

Figura 2: Corrientes en ejes directo y cuadratura

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −4

−2

0

2

4

X: 7.714 Y: 2.848

Tiempo(s)

C or

rie nt

e (p

.u )

if (p.u)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −10

−5

0

5

10

Tiempo(s)

C or

rie nt

e (p

.u )

ia(p.u)

Figura 3: Corriente de campo y de fase

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −0.5

0

0.5

1

1.5

X: 7.401 Y: 1

Tiempo(s)

V el

oc id

ad (

p. u)

Velocidad (p.u)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

1000

2000

3000

Tiempo(s)

P os

ic ió

n (r

ad )

Posición (radianes)

Figura 4: Velocidad angular y posición mecánica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −2

0

2

4

6

X: 7.474 Y: 2.4

Tiempo(s)

P ar

( p.

u)

Te (p.u)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −2

0

2

4

6

X: 7.493 Y: 2.4

Tiempo(s)

P ot

en ci

a (p

.u )

Pe (p.u)

Figura 5: Par y potencia en el eje

En las grá�cas anteriores se aprecia en todas ellas cómo el campo se conecta a la fuente en el segundo 5. Por otra parte, se observa en la grá�ca 5 cómo la potencia y el par en régimen permanente

5

se estabilizan en exactamente 2,4P.ude las bases monofásicas de potencia. En la �gura 4 se observa cómo la velocidad angular se aproxima a w = 1 antes de pasar el campo y luego de ésto es de exactamente 1.

La grá�ca 3 muestra cómo se estabiliza la corriente de fase y se observa cómo la corriente de campo llega a la corriente de campo máxima escogida.

La grá�ca 2 muestra dos cosas de interés. La primera de ellas es que las corrientes de los devanados amortiguadores se hacen cero (porque no se inducen tensiones en los devanados del rotor), y la segunda

es que Ie = √

( id√ 3 )2 + ( iq√

3 )2 = 1,0238. Lo cual es aproximadamente 1, con lo que se comprueba que

se obtiene corriente nominal.

3. Determine con el modelo las corrientes de campo que ha-

cen operar a la máquina en factor de potencia capacivo e

inductivo de 0.85.

Para determinar las corrientes de campo solicitadas, utilizaremos el diagrama fasorial en convención motor.

Ef = D + ∆V (1)

D = V e− (Re+ jXq) · Ie (2)

∆V = −(Xd−Xq) · Ie · sen(δ − φ)∠δ (3) La tabla 1 presenta las soluciones del diagrama fasorial tanto para condición capacitiva como para

inductiva.

Cuadro 1: Soluciones Capacitivo

D 1,7273]− 30,55820 ∆V 0,4429]− 30,55820 Ef 2.1666 If 1.6049 Iq 0.4641 Id -0.8858

Inductivo

D 0,9295]− 62,39350 ∆V 0,2546]− 62,39350 Ef 1.1841 If 0.8770 Iq 0.8607 Id -0.5091

4. Análisis transitorio de cortocircuito

El cuadro 2 muestra las condiciones iniciales y en régimen permanente de la máquina. Estos valores se utilizan para determinar el vector de constantes k y de�nir de esa forma la solución homogénea y permanente del sistema

Cuadro 2: Condiciones iniciales y permanentes Capacitivo

Corrientes Iniciales Permanentes Id -0.8858 -1.4444 Iq 0.4641 0 If 1.6049 0.16049 Iad 0 0 Iaq 0 0

Inductivo

Corrientes Iniciales Permanentes Id -0.5091 -0.7893 Iq 0.8607 0 If 0.8770 0.8770 Iad 0 0 Iaq 0 0

El algoritmo 3 muestra el código para obtener el transitorio electromagnético ante un cortocircuito en bornes.

6

Algoritmo 3 Transitorio Electromagnético

%Programa para e l c á l c u l o de so l u c i ón t r a n s i t o r i a e l e c t romagné t i ca . clear ( ) ; clc ( ) ;

Re=0.05; Rf=0.08; Rad=0.03; Raq=0.03; Ld=1.5; Ldf =1.35; Ldad=1.35; Lq=1; Lqaq=0.85; Lf =1.55; Lfad =1.3 ; Lad=1.5;

Laq=1; t =0 : 0 . 0 1 : 6 0 ;

%Matrices L=[Ld 0 Ldf Ldad 0 ;0 Lq 0 0 Lqaq ; Ldf 0 Lf Lfad 0 ; Ldad 0 Lfad Lad 0 ;0 Lqaq

0 0 Laq ] ; G=[0 −Lq 0 0 −Lqaq ; Ld 0 Ldf Ldad 0 ;0 0 0 0 0 ;0 0 0 0 0 ;0 0 0 0 0 ] ; R=diag ( [ Re Re Rf Rad Raq ] ) ; A=−L\(R+G) ; [V, D]=eig (A) ; D=diag (D) ;

%Condiciones I n i c i a l e s ( v a r i a b l e s hermit ianas ) i o=sqrt (3 ) ∗ [−0.8858 0 .4641 1 .6049 0 0;−0.5091 0 .8607 0 .8770 0 0 ] ' ;

%Régimen Permanente ( v a r i a b l e s hermi t ianas ) I=sqrt (3 ) ∗ [−1.4444 0 1 .6049 0 0;−0.7893 0 0 .8770 0 0 ] ' ;

for j =1:2 %Soluc ión k=V\( i o ( : , j )−I ( : , j ) ) ;

id=I (1 ) + V(1 , 1 ) ∗k (1 ) ∗exp(D(1) ∗ t ) + V(1 , 2 ) ∗k (2 ) ∗exp(D(2) ∗ t ) + V(1 , 3 ) ∗ k (3 ) ∗exp(D(3) ∗ t ) + V(1 , 4 ) ∗k (4 ) ∗exp(D(4) ∗ t ) + V(1 , 5 ) ∗k (5 ) ∗exp(D(5) ∗ t ) ;

i q=I (2 ) + V(2 , 1 ) ∗k (1 ) ∗exp(D(1) ∗ t ) + V(2 , 2 ) ∗k (2 ) ∗exp(D(2) ∗ t ) + V(2 , 3 ) ∗ k (3 ) ∗e