Fecha de entrega: Jueves 4 de noviembre del 2010

Tarea 2: Intervalos de Confianza

1.- Sea X una sola observacion de una poblacion con f.d.p. dada por:

f (x; θ) = θxθ−1, 0 < x < 1, θ > 0, y cero en otro caso.

a) Encuentre una cantidad pivotal y utilıcela para encontrar un intervalode confianza para θ.

b) Demuestre que(

Y

2, Y)

es un intervalo de confianza para θ. Encuentresu coeficiente de confianza. Defina Y = −1/ ln X.

2.- Sea Y4 la maxima estadıstica de orden de una muestra aleatoria detamano n = 4, de una poblacion con f.d.p. uniforme sobre el intervalo (0, θ) .Sean 0< c1 < c2 ≤ 1 constantes tales que:

P [c1θ < Y4 < c2θ] = 0.95.

Verifique que c1 =4√

0.05 y c2 = 1 satisfacen estas condiciones. ¿Cual esentonces un intervalo del 95 % de confianza para θ?.

3.- Con base en una muestra aleatoria de tamano n de una poblacioncon f.d.p. Poisson (λ), construya un intervalo del 90 % de confianza para lamedia poblacional. Suponga que X = 2.1.

4.- Sea X1, X2, ..., X9 una muestra aleatoria de tamano 9 de una poblacioncon f.d.p. N (µ, σ2) .

a) Si σ2 es conocida, encuentre un intervalo del 95 % de confianza para µ.b) Si σ2 es desconocida, encuentre un intervalo del 95 % de confianza para

µ.c) Si la muestra aleatoria dio como resultado los valores: -1.712696134,

2.065253911, 0.229590604, -0.205428416, 2.672605395, 0.785087849, -0.006248616,-0.579787652, -0.244153624. y σ2 = 1.

¿Cual es el intervalo de confianza y la longitud del intervalo en a)?

¿Cual es el intervalo de confianza y la longitud del intervalo en b)?

Compare estos intervalos. Comente el resultado.

5.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacion con f.d.p.N (µ, σ2) . Sean 0 < a < b. Demuestre que la longitud esperada del intervaloaleatorio:

(

n∑

i=1

(Xi − µ)2

b,

n∑

i=1

(Xi − µ)2

a

)

1

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es (b − a) × nσ2/ab.

6.- De una lista electoral de opinion publica, se invita a 100 personas deentre 10 000 adultos a expresar su preferencia por los candidatos A y B.Treinta personas prefirieron a A. De esto se concluyo que entre 2100 y 3900personas de la poblacion prefieren a A. ¿Que nivel de confianza se uso en esteinforme?.

Note que n = 100 y Y = 30 es el numero de exitos (las personas queprefirieron a A) y que el intervalo esta dado para la media np.

7.- Un hospital desea estimar el numero promedio de dıas requerido paratratamiento de pacientes entre las edades de 25 a 34 anos. Una muestra alea-toria de 500 pacientes de hospital entre estas edades produjo una media de5.4 dıas y una desviacion estandar igual a 3.1 dıas. Suponiendo normalidad,construya un intervalo del 95 % de confianza para la longitud media de per-manencia para la poblacion de pacientes de la cual fue extraıda la muestra.

(Suponga aquı que S2 = 1n−1

∑

n

i=1

(

Xi − X)2

).

8.- Con base en datos historicos, se sabe que la variabilidad del diametrode una parte producida por una maquina particular puede ser representa-da por una desviacion estandar de 0.1 pulgadas; sin embargo nada se sabesobre la media poblacional. Se tomo una muestra de tamano 100 y la me-dia muestral del diametro es 8.4 pulgadas. Encuentre intervalos de confianzapara la media del 95 y 75 % , suponiendo que los diametros se distribuyennormalmente y las observaciones muestrales son independientes.

9.- Un educador esta interesado en el coeficiente de inteligencia (IQ) mediode una poblacion dada (digamos los alumnos de primer ingreso de ciertauniversidad). Es muy caro examinar a la poblacion entera, pero se hace lasuposicion de que el IQ se distribuye normalmente con varianza 121 en lapoblacion de interes. El educador quiere tomar una muestra aleatoria a fınde determinar un intervalo del 90 % de confianza para el IQ medio. ¿Que tangrande se necesita la muestra para que la amplitud del intervalo de confianzano sea mayor que 5?. ¿Y para que no sea mayor que 1?.

10.- Un rancho se dedica a la produccion de uvas para mermelada. Lossiguientes datos son medidas de azucar en las uvas de una muestra tomadade cada una de 30 cargas de camion:

16.0 15.2 12.0 16.9 14.4 16.3 15.6 12.9 15.3 15.115.8 15.5 12.5 14.5 14.9 15.1 16.0 12.5 14.3 15.415.4 13.0 12.6 14.9 15.1 15.3 12.4 17.2 14.7 14.8

Suponga que estas observaciones provienen de una poblacion N (µ, σ2) .

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a) Proporcione estimadores puntuales de µ y de σ.b) Encuentre un intervalo del 90 % de confianza para µ.

11.- La longitud de vida de unas lamparas de luz de la marca X se suponeque es N (µ, 784). La longitud de vida del mismo tipo de lamparas pero dela marca Y se supone que es N (µ, 627) e independiente de la de X. Si unamuestra aleatoria de tamano n = 56 de lamparas de la marca X produjox = 937.4 horas y una muestra aleatoria de tamano m = 57 de lamparasde la marca Y produjo y = 988.9 horas, encuentre un intervalo del 90 % deconfianza para µX − µY , cual marca prefiere?.

12.- Sea X igual a la longitud (en centımetros) de una cierta especie depez cuando es capturado en la primavera. Una muestra aleatoria de n = 13observaciones de X es: 13.1 , 5.1 , 18.0 , 8.7 , 16.5 , 9.8 , 6.8 , 12.0 ,17.8 ,25.4 , 19.2 , 15.8 , 23.0.

a) De un estimador puntual de la desviacion estandar σ de esta especiede pez.

b) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para σ y concluya.

13.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de tamano n de una pobla-cion con f.d.p. exponencial con parametro θ desconocido.

a) Demuestre que la distribucion de W = 2θ

∑

n

i=1 Xi es χ2(2n). Sugerencia:

encuentre la funcion generadora de momentos de W.b) Use W para construir un intervalo del (1-α)×100 % de confianza para

θ.c) Si n = 7 y x = 93.6, de un intervalo del 90 % de confianza para la

media θ.

14.- Sean X y Y igual al numero de miligramos de alquitran en cigarroscon filtro y sin filtro, respectivamente. Suponga que las distribuciones de Xy Y son N (µX , σ2

X) y N (µY , σ2

Y) , respectivamente. Una muestra aleatoria

de n = 9 observaciones de X fue:

0.9 1.1 0.1 0.7 0.3 0.9 0.8 1.0 0.4

y una muestra aleatoria independiente de m = 11 observaciones de Y fueron:

1.5 0.9 1.6 0.5 1.4 1.9 1.0 1.2 1.3 1.6 2.1

Encuentre un intervalo del 98 % de confianza para σ2X

/σ2Y

y comente susresultados.

15.- Sea p igual a la proporcion de ciudadanos estadounidenses que estana favor de la pena de muerte. Si una muestra aleatoria de n = 1234 deestos ciudadanos produjo y = 864 que estan a favor de la pena de muerte,encuentre un intervalo del 95 % de confianza para p.

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