Estimacion Por Intervalos

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10.3 Estimación por intervalos Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos: Intervalo de confianza El intervalo de confianza es una expresión del tipo [ θ 1 , θ 2 ] ó θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 , donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estima determinado nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este int cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunsta Variabilidad del Parámetro i no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos apor literatura cient!fica o en un estudio piloto. "ambi#n $a% m#todos p tama&o de la muestra que prescinden de este aspecto. 'abitualmente como medida de esta variabilidad la desviación t!pica poblacional % σ . Error de la estimación Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud de de confianza. (uanta más precisión se desee en la estimación de un más estrec$o deberá ser el intervalo de confianza %, si se quiere m disminuir el error, más observaciones deberán incluirse en la muest En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, más err al aumentar la precisión. e suele llamar E , seg)n la fórmula E = (θ 2 - θ 1 *+ . Límite de Confianza Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado población se sit)e en el intervalo de confianza obtenido. El nivel denota por - /0*, aunque $abitualmente suele expresarse con un porc 0*2 334*. Es $abitual tomar como nivel de confianza un 564 o un 554 corresponden con valores 0 de 3,36 % 3,3 respectivamente.

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10.3 Estimacin por intervalosConsiste en la obtencin de un intervalo dentro del cual estar el valor del parmetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimacin por intervalos se usan los siguientes conceptos:Intervalo de confianzaElintervalo de confianzaes una expresin del tipo [1, 2] 1 2, donde es el parmetro a estimar. Este intervalo contiene al parmetro estimado con un determinado nivel de confianza. Pero a veces puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un equivalente circunstancial.Variabilidad del ParmetroSi no se conoce, puede obtenerse una aproximacin en los datos aportados por la literatura cientfica o en un estudio piloto. Tambin hay mtodos para calcular el tamao de la muestra que prescinden de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad ladesviacin tpicapoblacional y se denota.Error de la estimacinEs una medida de su precisin que se corresponde con la amplitud delintervalo de confianza. Cuanta ms precisin se desee en la estimacin de un parmetro, ms estrecho deber ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, ms observaciones debern incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, ms error se comete al aumentar la precisin. Se suele llamarE, segn la frmulaE = (2- 1)/2.Lmite de ConfianzaEs la probabilidad de que el verdadero valor del parmetro estimado en la poblacin se site en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-), aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje ((1-)100%). Es habitual tomar como nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores de 0,05 y 0,01 respectivamente.Valor Tambin llamadonivel de significacin. Es la probabilidad (en tanto por uno) de fallar en nuestra estimacin, esto es, la diferencia entre la certeza (1) y el nivel de confianza (1-). Por ejemplo, en una estimacin con un nivel de confianza del 95%, el valor es (100-95)/100 = 0,05Valor crticoSe representa por Z/2. Es el valor de la abscisa en una determinada distribucin que deja a su derecha un rea igual a /2, siendo 1- el nivel de confianza. Normalmente los valores crticos estn tabulados o pueden calcularse en funcin de la distribucin de la poblacin. Por ejemplo, para unadistribucin normal, de media 0 y desviacin tpica 1, el valor crtico para = 0,1 se calculara del siguiente modo: se busca en latabla de la distribucinese valor (o el ms aproximado), bajo la columna "rea"; se observa que se corresponde con -1,28. Entonces Z/2= 1,64. Si la media o desviacin tpica de la distribucin normal no coinciden con las de la tabla, se puede realizar el cambio de variable t =(X-)/ para su clculo.Con estas definiciones, si tras la extraccin de una muestra se dice que "3 es una estimacin de la media con un margen de error de 0,6 y un nivel de confianza del 99%", podemos interpretar que el verdadero valor de la media se encuentra entre 2,7 y 3,3, con una probabilidad del 99%. Los valores 2,7 y 3,3 se obtienen restando y sumando, respectivamente, la mitad del error, para obtener el intervalo de confianza segn las definiciones dadas.Para un tamao fijo de la muestra, los conceptos de error y nivel de confianza van relacionados. Si admitimos un error mayor, esto es, aumentamos el tamao del intervalo de confianza, tenemos tambin una mayor probabilidad de xito en nuestra estimacin, es decir, un mayor nivel de confianza.Otros usos del trmino estimacinEl trmino estimacin tambin se utiliza enciencias aplicadaspara hacer referencia a un clculo aproximado, que normalmente se apoya en la herramienta estadstica aunque puede no hacerlo. En este sentido, un ejemplo clsico son los poco conocidos pero tiles en economaproblemas de Fermi.

Estimacin de parmetros por intervalosEs el procedimiento utilizado para conocer las caractersticas de un parmetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.Con una muestra aleatoria, de tamao n, podemos efectuar una estimacin de un valor de un parmetro de la poblacin; pero tambin necesitamos precisar un:Intervalo de confianzaSe llama as a un intervalo en el que sabemos que est un parmetro, con un nivel de confianza especfico.Nivel de confianzaProbabilidad de que el parmetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.Error de estimacin admisibleQue estar relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Estimacin de la media de una poblacinEl intervalo de confianza, para la media de una poblacin, con unnivel de confianza de 1 , siendoXla media de una muestra de tamaonyla desviacin tpica de la poblacin, es:

El error mximo de estimacines:

Cuantomayor sea el tamaode la muestra, n,menor es el error.Cuantomayor sea el nivel de confianza, 1-,mayor es el error.Tamao de la muestra

Siaumentamos el nivel de confianza,aumenta el tamao de la muestra.Sidisminuimos el error, tenemos queaumentar el tamao de la muestra.

Ejemplo. El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviacin tpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.

2.Indica el tamao muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n 4

Se redondea

Estimacin de una proporcinSi en unapoblacin, una determinada caracterstica se presenta en una proporcinp, la proporcinp', de individuos con dicha caracterstica en lasmuestrasde tamao n, se distribuirn segn:

Intervalo de confianza para una proporcin

El error mximo de estimacines:

En una fbrica de componentes electrnicos, la proporcin de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analiz una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrndose que 90 de ellos eran defectuosos. Qu nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18E = 0.2 - 0.18 = 0.02

P(1 - z/2