Estimacin Puntual Dada una v.a. X, de la que suponemos conocido el modelo de distribucin que sigue, buscamos informacin sobre Sea

un parmetro desconocido.

Un estimador puntual depende de la muestra.

es una funcin que

Una estimacin puntual es el valor de la estadstica de la muestra correspondiente.

= ( x1 , x2 ,..., xn )

Estimadores puntualesEjemplo: Sea una muestra aleatoria simple, X1, X2, ...... , Xn de una poblacin con (, 2). Estimador de la media poblacional: es la n media muestral x

=x=i =1

i

Estimador de la varianza poblacional: es la varianza muestral

n

( xi x ) 2 2 = S2 = i =1 ( n 1)n

Propiedades deseables de los estimadoresInsesgamiento Se dice que un estimador es insesgado (o centrado) si la esperanza del estimador coincide con el parmetro a estimar. En caso contrario se dice que es sesgado.E ( ) =

Ejemplo: Se extrae una m.a. de una poblacin normal con media . Probar que la media muestral es un estimador insesgado para

1 n 1 n E ( y ) = E ( yi ) = E ( y i ) = n i =1 n i =1

Ejemplo:

Solucin

Por lo tanto el estimador de la varianza no es insesgado, pero es asintticamente insesgado ya que su esperanza tiende a 2 cuando el tamao de la muestra tiende a infinito.

Ejercicio

Solucin

Intervalo confidencial para la media

Ejemplo:Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una marca determinada dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos. Suponga que el contenido de nicotina de estos cigarrillos sigue una distribucin normal con una desviacin estndar de 1 miligramo. a) Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos. b) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es de 2,9 miligramos, qu puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado?

Solucin a)

Interpretacin: Tenemos una certeza del 95% de que el verdadero contenido promedio de nicotina se halla entre 267 y 333 miligramos

b) Como 29 se encuentra en el intervalo hallado nopodemos descartarlo como valor posible del parmetro

Ejemplo:El tiempo (en minutos) que tardaron 15 operarios para familiarizarse con el manejo de una mquina moderna adquirida por la empresa fue: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7, 3, 3.6, 2.8, 4.8. Suponga que los tiempos se distribuyen normalmente. a) Determine e interprete un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio. b) El instructor considera que el tiempo promedio requerido por la poblacin de trabajadores que recibe instruccin sobre esta mquina es 5 minutos, qu se puede decir de acuerdo con el intervalo hallado?

Solucin a)

Interpretacin: Tenemos un 95% de certeza de que el verdadero tiempo promedio que requieren los operarios para familiarizarse con la mquina est entre 326 y 434 minutos. b) La apreciacin del instructor no parece ser correcta ya que el promedio 5 minutos est fuera del intervalo hallado (aunque debera analizarse con un I.C. unilateral)

2.

reemplazando en el denominador del pivote p por su estimador.

Observacin

Ejemplo:Para poder controlar la fabricacin de un producto se toman 85 muestras de un determinado componente y se concluye que 10 de ellos no cumplen las especificaciones. Calcula un intervalo de confianza al 95% para la proporcin de defectuosos. Solucin

EjercicioSe quiere analizar el ndice de productividad de los trabajadores de una empresa, y se ha tomado una muestra aleatoria de 200 empleados y se ha observado que el 5% de ellos no alcanzan el nivel mnimo productivo que se quiere conseguir de cada uno de ellos. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporcin de empleados que no llegan al nivel de productividad fijado.

Determinacin del tamao de muestra n para estimar la media poblacional (N infinito)E = z1-/2

n

es la mitad del ancho del intervalo de confianza

(producto del coeficiente y el error estndar) y se denomina error mximo de estimacin E. Dado un valor de error y un cierto nivel de confianza, podemos estimar cul sera el tamao de la muestra

n=

z

2 1 / 2 2

2

E

EjemploUn analista de un departamento de personal desea estimar el nmero medio de horas de capacitacin al ao para los supervisores de una divisin de la compaa con un margen de error inferior a 3 horas y confianza de 90%. Con base en datos procedentes de otras divisiones, el analista estima que la desviacin estndar de las horas de capacitacin es 20 horas. Cul es el tamao de muestra mnimo requerido? Solucin

Determinacin del tamao de muestra n para estimar la media poblacional (N finito)E= z1-/2

n

N n N 1

es la mitad del ancho del intervalo de

confianza (producto del coeficiente y el error estndar) por el factor de correccin para poblacin finita y se denomina error mximo de estimacin E. Dado un valor de error y un cierto nivel de confianza, podemos estimar cul sera el tamao de la muestra

z12 / 2 2 N n= 2 2 2 z1 / 2 + E ( N 1)

Determinacin del tamao de muestra n para estimar la proporcin poblacional (N infinito)pq E= z1-/2 es la mitad del ancho del intervalo de confianza n (producto del coeficiente y el error estndar) y se denomina error mximo de estimacin E.

Dado un valor de error y un cierto nivel de confianza, podemos estimar cul sera el tamao de la muestra

n=

z

2 1 / 2 2

pq

E

Ejemplo:Para poder controlar la fabricacin de un producto se toman 85 muestras de un determinado componente y se concluye que 10 de ellos no cumplen las especificaciones. Cul debera ser el tamao de la muestra si se quiere que el error cometido al estimar la proporcin sea menor de 0.05 con una probabilidad 0.95?. Solucin

EjercicioUna empresa est interesada en determinar la proporcin de sus clientes que poseen una segunda residencia. Por ello selecciona al azar a 500 clientes y encuentra que 35 disponen de ella. a) Calcular un intervalo de confianza al 95% para dicha proporcin. b) Cuntos clientes debera haber seleccionado para asegurar con la misma confianza que en el apartado anterior se tiene un error en la estimacin de a lo ms del 5%?

EjercicioUna empresa tiene siete empleados (considerados como la poblacin). El nmero de horas extras que cada empleado realiza semanalmente se presenta en la tabla Empleado Horas extras Javier 6 Sal 5 Susana 9 Berta 4 Juan 7 Aura 8 Carlos 3 1. Cul es el promedio de horas extras semanal en la poblacin y su varianza? 2. Cul es el promedio y error estndar de horas extras semanales, si la muestra est conformada por Javier y Susana? 3. Cul es el promedio esperado de las medias y su varianza? 4. Calcular un intervalo confidencial al 98% para el promedio de horas extras. 5. Si es posible, calcular un intervalo confidencial al 98% para el total de horas extras.