Intervalos de Confianza II

Intervalos de Confianza

Intervalo de confianza para la media de la población (µ)Cuando una muestra contiene menos de 30 mediciones es necesario aplicar la Distribución t para construir un intervalo de confianza alrededor de la media poblacional.

Para construir dicho intervalo alrededor de la media y la varianza, hay que determinar el área (1-α) de la curva. Por ejemplo, si escogemos un intervalo de confianza del 0.95 nos deja un 0.0.25 a cada lado de la curva.

Cómputo y Ajustes por Mínimos Cuadrados Agrm. Enmanuel Rodríguez



Dada , , , S, el intervalo de confianza alrededor de la media se computa mediante:

Dónde =n-1 (siempre que n<30)

•


Ejemplo:En un levantamiento de control se realizaron 16 observaciones de una misma línea base. La media (solo los segundos) fue de 25.4” con una desviación estándar de 1.3”. Determine el intervalo de confianza del 95% para la media.


Solución: Para este ejemplo el intervalo de confianza (1-α) es 0.95 y el área α=0.05. Como el valor central de la gráfica es la media nos deja un área de α/2 para cada lado de la curva, lo que nos deja un área de 0.025 tanto para el lado izquierdo como para el derecho. El valor apropiado de la tabla t para 15 grados de liberta (=n-1) se encuentra en la tabla t de la siguiente forma:

Encontramos en la columna izquierda de la tabla los grados de libertad correspondientes al levantamiento, en este caso 15(16-1).Intersectamos la fila de los grados de libertad con la columna 0.025 (α/2) y encontramos el valor de 2.131.Luego aplicamos la ecuación antes mostrada, la cual puede resumirse en:

sustituyendo

Esto será igual a 25.4”0.7”Construimos el intervalo, 24.7<µ<26.1De esto interpretamos que partiendo de esta muestra, con 95% de confianza, la media de la población se encuentra en el rango (24.7, 26.1).


Intervalo de confianza para la varianza de la población ()Los intervalos de confianza para la varianza de la población están basados en la Distribución Chi cuadrado. Recordando que esta no es una curva simétrica tenemos que el intervalo de confianza viene dado por:



Ejemplo: Un agrimensor con un error de puntería y de lectura es estimado recolectando 20 mediciones a un prisma bien centrado. La desviación estándar para este agrimensor es ±1.8”. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la ?

Solución: Para este caso el intervalo está dado por (1-α)= 0.95, α=0.05 y α/2=0.025, con =19 ( =n-1).


1) Encontramos la fila de 19 (20-1) grados de libertad y la intersectamos con la columna de 0.975 (1-α/2=0.025) y obtenemos el valor de 8.91.

2) Encontramos el valor para 19 grados de libertad y un área de 0.025 y obtenemos 32.85.Sustituimos en la ecuación

1.87<<6.91

3) Para el intervalo de confianza del 95%, se espera que la varianza de la población () se encuentre entre 1.87 y 6.91.



Intervalos de confianza para comparación de dos muestrasPara determinar el intervalo de confianza entre dos muestras se aplica la Distribución F, y el intervalo de confianza del 95% (1-α) viene dado por:

Agrm. Enmanuel RodríguezCómputo y Ajustes por Mínimos Cuadrados

1) Buscamos en la tabla 0.025 el valor correspondiente a la columna v1=30 y lo intersectamos con la fila v2=24. El valor es 2.21

2) Buscamos el valor correspondiente a v1=24 y v2=30, este valor es 2.14.

3) Sustituimos en la ecuación:

4) De este resultado interpretamos que para el radio comparativo entre las dos varianzas está comprendido entre 2.08 y 9.83.

5)Este tipo de ajustes es utilizado en redes de ajuste por trilateración que contienen un mínimo de vértices fijos.

• Ejemplo: Asumamos que una red de ajustes por trilateración mínimamente concentrado tiene 24 grados de libertad y una varianza de 0.49. Una red de ajuste con la misma característica de la anterior, con 30 grados de libertad y una varianza de 2.25. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% (1-α) para estas dos muestras?

Solución: Para solucionar este problema, tenemos una varianza en el numerador de 2.25 y 0.49 en el denominador.


Cálculo de la dimensión de la muestra para un levantamiento de controlUn problema muy común en las prácticas topográficas es seleccionar el mínimo de observaciones a realizar para una precisión específica. Para determinar el número de repeticiones empleadas en un levantamiento de control aplicaremos la siguiente fórmula:

Dónde n es igual al número de repeticiones, tα/2 es el intervalo de confianza deseado, es la precisión máxima permitida (tomaremos siempre la precisión del instrumento) e I es la precisión exigida.



Ejemplo: Se está preanalizando una red de control horizontal, se exige que la precisión esperada sea ±2”en un intervalo de confianza del 95%. Con un error máximo permitido de ±2.6”.

Solución: debido a que no tenemos el tamaño final de la muestra no podemos usar ningún valor de la tabla, por lo que sustituimos el Intervalo del 95%(1-α) por el error probable del 95%(E95).


1) Sustituyendo en la ecuación tenemos que:2 = 6.49 repeticiones.

2) Debido a que los levantamientos de control se hacen por doble deflexión siempre tenemos que tomar el número par siguiente al resultado obtenido, de este modo tenderemos igual número de observaciones para la lectura directa e inversa.

Intervalos de Confianza II

Documents

Transcript of Intervalos de Confianza II