Capitulo II

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FLUJO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS

2.1 FLUJO ELCTRICO Dado un fluido, el flujo de su caudal se calcula como la cantidad de fluido que atraviesa una determinada superficie A con una velocidad , es decir, su flujo se representa por medio de la siguiente

v

ecuacin:

=vAAnlogamente para un campo elctrico, se define al flujo elctrico, como la cantidad de campo elctrico, que atraviesan una determina superficie de rea A. Formulando el flujo elctrico de manera similar al caso anterior, se obtiene una expresin matemtica que resulta de la sustitucin de la velocidad del fluido V por el campo elctrico E, siendo E el flujo elctrico. Considrese en primer trmino un rea plana A, perpendicular a un campo elctrico uniforme E tal como lo indican la figura 2.1. Se

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Captulo II define el flujo elctrico a travs de esta rea como el producto de la magnitud del campo E por el rea A:

E = E A

=0E A A

Fig. 2.1a La Superficie de frente al campo elctrico E, es A y el ngulo entre E y A es = 0. El flujo E es: E = E . A = EA

A E

A

Fig. 2.1b Superficie inclinada respecto a la orientacin de cara en un ngulo = 0, siendo el ngulo entre E y A. E = E . A = EA cos

A

Fig. 2.1c La superficie es tangente a las lneas del campo elctrico. E y A son entre s perpendiculares, es decir, el ngulo entre E y A es =90. E = EA cos 900 = 0

La unidad en el SI, de flujo elctrico es 1 N-m2/C. Obsrvese que si la superficie y el campo son ortogonales, E y A son perpendiculares 48

Flujo Elctrico y Ley de Gauss y el flujo es cero. Una superficie plana tiene dos lados; por tanto, son dos las direcciones posibles de A, siempre se debe especificar la direccin elegida, debido a que dependiendo de esa eleccin, el flujo puede tomar valores negativo, nulo o positivo. Con una superficie cerrada siempre se debe elegir la direccin de A saliendo de la superficie. Por consiguiente, el flujo elctrico hacia fuera de la superficie cerrada corresponde con un valor positivo de E, y por el contrario el flujo elctrico hacia adentro, toma un valor negativo. Si la superficie donde se va a medir el flujo no es plana. La expresin del flujo elctrico se convierte en una integral de superficie de la componente E, con respecto al rea (componente perpendicular del campo elctrico por el rea de la superficie), o integral de superficie.

E = E dA

2.2 LEY DE GAUSS Carl Friedrich Gauss, contribuy al desarrollo de varias ramas de las matemticas, entre ellas la geometra diferencial, el anlisis real y la teora de nmeros. La "curva de campana"' de la estadstica es una de sus invenciones. Gauss tambin realiz investigaciones de avanzada del magnetismo terrestre y calcul la rbita del primer asteroide que se descubri. La ley de Gauss establece una manera diferente de expresar la relacin entre la carga elctrica y el campo elctrico. El flujo elctrico neto a travs de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido y se define superficie Gaussiana, SG) es proporcional a la carga elctrica neta encerrada por dicha superficie. Tal como se observa en la figura 2.2.

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Flujo Elctrico y Ley de Gauss

Fig. 2.2 Superficie Gausiana

La Ley de Gauss se formula como:

E =

SG

E dA =

qneta o

El campo que crea una sola carga puntual positiva q, posee lneas de campo que se extienden en forma radial hacia afuera en todas direcciones. Si colocamos la carga en el centro de una superficie esfrica imaginaria de radio r, el mdulo del campo elctrico en todos los puntos de la superficie est dada por:

E=

1 q Keq = 2 4 r 2 r o

En cada punto de la superficie, E es perpendicular a sta y su magnitud es la misma en todos los puntos. El flujo elctrico total es simplemente el producto del mdulo del campo E por el rea total de la esfera. El flujo es independiente del radio r, de la esfera. Depende nicamente de la carga q encerrada por la esfera. La ley de Gauss es vlida para una superficie de cualquier forma o tamao, con la sola condicin de que se trate de una superficie cerrada, dentro de la cual se encuentre la carga q. El elemento de rea ds siempre apunta hacia afuera de la superficie cerrada. As, el flujo elctrico es positivo en las regiones donde el campo elctrico apunta hacia afuera de la superficie y negativo donde apunta hacia adentro.

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Captulo II Si la carga puntual que encierra la superficie es positiva, el campo elctrico est dirigido en forma radial hacia afuera; el ngulo < 90, su coseno es positivo y la integral de flujo es positiva. Por el contrario si ahora la carga es negativa, el campo elctrico est dirigido en forma radial hacia adentro; el ngulo > 90, el coseno es negativo, la integral de flujo toma un valor negativo, tal como se ilustra en las figuras 2.3a y b. Para una superficie cerrada que no encierra carga, las lneas de campo (originadas por cargas situadas afuera de la regin) entran por un lado y deben salir por el otro lado, en la figura 2.4 se ilustra como el campo entra y sale de la superficie originando en ella un flujo nulo. Fig.2.3b Fig.2.3a Superficie Gaussiana en torno a una carga negativa; flujo negativo positiva; positivo (entrante) (saliente)

E Fig. 2.4 Medicin de flujo nulo, debido a que la Superficie no encierra la carga que produce el campo.

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Flujo Elctrico y Ley de Gauss

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La ley de Gauss tambin se puede escribir de la siguiente manera:

E =

q E dA = neta o SG

E =

q E E cos dA dA = neta o SG

2.3 PROPIEDADES DE UNA SUPERFICIE GAUSSIANA (S.G)

a. Se define como el lugar geomtrico de todos los puntos queencierran completamente, a una carga elctrica, pudiendo esta, ser puntual o un conjunto de cargas. En cada uno de estos puntos el mdulo del campo elctrico debe ser el mismo.

b. Se trata de una superficie imaginaria y cerrada, que parafines de facilidad del clculo del campo elctrico debe ser simtrica y de geometra conocida. c. La seleccin de la S.G. depende de cmo, se distribuyan las lneas de campo al atravesarla, es decir, la S.G. debe tener la misma simetra, que presenta la distribucin de cargas, a estudiar. Por lo cual, se debe cumplir que existe una 49

superficie gaussiana por cada distribucin de carga. Por ejemplo, para una carga puntual se define por S.G. a un cascaron esfrico de radio r, para objetos unifilares e infinitos (barras, vigas, etc.) la S.G. es un cascaron cilndrico de largo L y radio r y as sucesivamente. d. La S.G. debe contener el punto donde se desea determinar el campo elctrico. 2.1 CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTTICO El campo elctrico creado por una distribucin de carga de naturaleza conductora, posee un tratamiento especial. Los conductores en equilibrio electrosttico presentan notables virtudes, las cuales se indican a continuacin:

a. Cuando se coloca en un conductor, un exceso de carga y sta sehalla en reposo, dicha carga reside en su totalidad en la superficie, no en el interior del material, gracia a que en un conductor las cargas tienen gran libertad de movimiento, al existir la fuerza de repulsin entre las diferentes cargas, stas se mueven hasta alcanzar un punto de equilibrio en el borde externo del objeto, lo cual establece una condicin estacionaria de la carga.

Fig. 2.5 Superficie Gaussiana en el interior de un conductor, no encierra carga. 50

Captulo II

Supngase que se construye una superficie gaussiana dentro de un conductor, como se indica en la figura 2.5. Puesto que la carga neta encerrada por la S.G. es nula entonces la integral del campo es nula, E = 0. Si se supone que la superficie se encoge hasta encerrar una regin del conductor tan pequea que se puede considerar como un punto P; entonces la carga en ese punto debe ser cero. Por tanto, no puede haber un exceso de carga en punto alguno dentro de un conductor en equilibrio electrosttico, todo exceso de carga debe ubicarse en la superficie del conductor.

b. En condiciones electrosttica el campo elctrico E en todos lospuntos del interior de un material conductor es cero. Si E no fuera cero, las cargas se desplazaran y se rompe la condicin electrosttica.

c. En regiones cercanas a un conductor en equilibrioelectrosttico, el mdulo del campo elctrico es proporcional a la densidad superficial de carga e inversamente proporcional a la permitividad del vaco, y es independiente de la distribucin de carga y de su geometra.

E=

o

d. En regiones del cuerpo con menor radio de curvatura se debe cumplir que el campo elctrico es ms intenso en comparacin con otras regiones de mayor radio de curvatura.

Fig. 2.6 Proceso de induccin de cargas.

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En la figura 2.6 se observan tres casos de un objeto conductor con carga q positiva. En primer lugar, el cuerpo conductor posee su carga en el exterior en condiciones electrostticas. Seguidamente de considera que al objeto de le realiza una cavidad, pero sin que exista ningn tipo de carga en ella, en dicho caso se puede emplear una superficie gaussiana de rea A, para demostrar que la carga neta que encierra la S.G. cero y por ende no existe campo en el interior del objeto conductor. El tercer caso contempla que se coloca un cuerpo pequeo con una carga q, adentro de la cavidad de un conductor que no tiene carga, manteniendo al cuerpo conductor aislado de la carga q, se observa que tambin en este caso el campo medido por la S.G. de rea A es nulo, en cualquier lugar de la S.G., de acuerdo con la ley de Gauss, la carga total en el interior de esta superficie debe ser cero. Por lo tanto, es lgico concluir que existe una carga del mismo valor pero de signo diferente (-q), que anula por as decirlo, a la carga ubicada dentro de la cavidad. Por consiguiente, debe haber una carga -q distribuid