FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS

2.1 FLUJO ELÉCTRICO

Dado un fluido, el flujo de su caudal se calcula como la cantidad de fluido que atraviesa una determinada superficie A con una

velocidad , es decir, su flujo se representa por medio de la siguiente ecuación:

Análogamente para un campo eléctrico, se define al flujo eléctrico, como la cantidad de campo eléctrico, que atraviesan una determina superficie de área A. Formulando el flujo eléctrico de manera similar al caso anterior, se obtiene una expresión matemática que resulta de la sustitución de la velocidad del fluido V por el campo eléctrico E, siendo E el flujo eléctrico.

Considérese en primer término un área plana A, perpendicular a un campo eléctrico uniforme E tal como lo indican la figura 2.1. Se define el flujo eléctrico a través de esta área como el producto de la magnitud del campo E por el área A:

1

Fig. 2.1a La Superficie de frente al campo eléctrico E, es A y el ángulo entre E y A es ф = 0º. El flujo фE es:

фE = E . A = EA

Capítulo II

La unidad en el SI, de flujo eléctrico es 1 N-m2/C. Obsérvese que si la superficie y el campo son ortogonales, E y A son perpendiculares y el flujo es cero. Una superficie plana tiene dos lados; por tanto, son dos las direcciones posibles de A, siempre se debe especificar la dirección elegida, debido a que dependiendo de esa elección, el flujo puede tomar valores negativo, nulo o positivo.

Con una superficie cerrada siempre se debe elegir la dirección de A saliendo de la superficie. Por consiguiente, el flujo eléctrico hacia fuera de la superficie cerrada corresponde con un valor positivo de E, y por el contrario el flujo eléctrico hacia adentro, toma un valor negativo.

Si la superficie donde se va a medir el flujo no es plana. La expresión del flujo eléctrico se convierte en una integral de superficie de la componente E, con respecto al área (componente perpendicular

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Fig. 2.1b Superficie inclinada respecto a la orientación de cara en un ángulo ф = 0º, siendo ф el ángulo entre E y A.

фE = E . A = EA cos ф

Fig. 2.1c La superficie es tangente a las líneas del campo eléctrico. E y A son entre sí perpendiculares, es decir, el ángulo entre E y A es ф=90º.

фE = EA cos 900 = 0

Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

del campo eléctrico por el área de la superficie), o integral de superficie.

2.2 LEY DE GAUSS

Carl Friedrich Gauss, contribuyó al desarrollo de varias ramas de las matemáticas, entre ellas la geometría diferencial, el análisis real y la teoría de números. La "curva de campana"' de la estadística es una de sus invenciones. Gauss también realizó investigaciones de avanzada del magnetismo terrestre y calculó la órbita del primer asteroide que se descubrió.

La ley de Gauss establece una manera diferente de expresar la relación entre la carga eléctrica y el campo eléctrico. El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido y se define superficie Gaussiana, SG) es proporcional a la carga eléctrica neta encerrada por dicha superficie. Tal como se observa en la figura 2.2.

La Ley de Gauss se formula como:

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Fig. 2.2 Superficie Gausiana

Capítulo II

El campo que crea una sola carga puntual positiva q, posee líneas de campo que se extienden en forma radial hacia afuera en todas direcciones. Si colocamos la carga en el centro de una superficie esférica imaginaria de radio r, el módulo del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie está dada por:

En cada punto de la superficie, E es perpendicular a ésta y su magnitud es la misma en todos los puntos. El flujo eléctrico total es simplemente el producto del módulo del campo E por el área total de la esfera. El flujo es independiente del radio r, de la esfera. Depende únicamente de la carga q encerrada por la esfera.

La ley de Gauss es válida para una superficie de cualquier forma o tamaño, con la sola condición de que se trate de una superficie cerrada, dentro de la cual se encuentre la carga q. El elemento de área ds siempre apunta hacia afuera de la superficie cerrada. Así, el flujo eléctrico es positivo en las regiones donde el campo eléctrico apunta hacia afuera de la superficie y negativo donde apunta hacia adentro.

Si la carga puntual que encierra la superficie es positiva, el campo eléctrico está dirigido en forma radial hacia afuera; el ángulo < 90°, su coseno es positivo y la integral de flujo es positiva. Por el contrario si ahora la carga es negativa, el campo eléctrico está dirigido en forma radial hacia adentro; el ángulo > 90°, el coseno es negativo, la integral de flujo toma un valor negativo, tal como se ilustra en las figuras 2.3a y b.

Para una superficie cerrada que no encierra carga, las líneas de campo (originadas por cargas situadas afuera de la región) entran por un lado y deben salir por el otro lado, en la figura 2.4 se ilustra como el campo entra y sale de la superficie originando en ella un flujo nulo.

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Fig.2.3a Superficie Gaussiana en torno a una carga positiva; flujo positivo (saliente)Fig.2.3b Superficie Gaussiana en torno a una carga negativa; flujo negativo (entrante)

E

Fig. 2.4 Medición de flujo nulo, debido a que la Superficie no encierra la carga que produce el campo.

Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

La ley de Gauss también se puede escribir de la siguiente manera:

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Capítulo II

2.3 PROPIEDADES DE UNA SUPERFICIE GAUSSIANA (S.G)

a. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos que encierran completamente, a una carga eléctrica, pudiendo esta, ser puntual o un conjunto de cargas. En cada uno de estos puntos el módulo del campo eléctrico debe ser el mismo.

b. Se trata de una superficie imaginaria y cerrada, que para fines de facilidad del cálculo del campo eléctrico debe ser simétrica y de geometría conocida.

c. La selección de la S.G. depende de cómo, se distribuyan las líneas de campo al atravesarla, es decir, la S.G. debe tener la misma simetría, que presenta la distribución de cargas, a estudiar. Por lo cual, se debe cumplir que existe una superficie gaussiana por cada distribución de carga. Por ejemplo, para una carga puntual se define por S.G. a un cascaron esférico de radio r, para objetos unifilares e infinitos (barras, vigas, etc.) la S.G. es un cascaron cilíndrico de largo L y radio r y así sucesivamente.

d. La S.G. debe contener el punto donde se desea determinar el campo eléctrico.

2.4 CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO

El campo eléctrico creado por una distribución de carga de naturaleza conductora, posee un tratamiento especial. Los conductores en equilibrio electrostático presentan notables virtudes, las cuales se indican a continuación:

a. Cuando se coloca en un conductor, un exceso de carga y ésta se halla en reposo, dicha carga reside en su totalidad en la superficie, no en el interior del material, gracia a que en un conductor las cargas tienen gran libertad de movimiento, al existir la fuerza de repulsión entre las diferentes cargas, éstas se mueven hasta alcanzar un punto de equilibrio en el borde

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Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

externo del objeto, lo cual establece una condición estacionaria de la carga.

Supóngase que se construye una superficie gaussiana dentro de un conductor, como se indica en la figura 2.5. Puesto que la carga neta encerrada por la S.G. es nula entonces la integral del campo es nula, E = 0. Si se supone que la superficie se encoge hasta encerrar una región del conductor tan pequeña que se puede considerar como un punto P; entonces la carga en ese punto debe ser cero. Por tanto, no puede haber un exceso de carga en punto alguno dentro de un conductor en equilibrio electrostático, todo exceso de carga debe ubicarse en la superficie del conductor.

b. En condiciones electrostática el campo eléctrico E en todos los puntos del interior de un material conductor es cero. Si E no fuera cero, las cargas se desplazarían y se rompe la condición electrostática.

c. En regiones cercanas a un conductor en equilibrio electrostático, el módulo del campo eléctrico es proporcional a la densidad superficial de carga e inversamente proporcional a

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Fig. 2.5 Superficie Gaussiana en el interior de un conductor, no encierra carga.

Capítulo II

la permitividad del vacío, y es independiente de la distribución de carga y de su geometría.

d. En regiones del cuerpo con menor radio de curvatura se debe cumplir que el campo eléctrico es más intenso en comparación con otras regiones de mayor radio de curvatura.

En la figura 2.6 se observan tres casos de un objeto conductor con carga q positiva. En primer lugar, el cuerpo conductor posee su carga en el exterior en condiciones electrostáticas. Seguidamente de considera que al objeto de le realiza una cavidad, pero sin que exista ningún tipo de carga en ella, en dicho caso se puede emplear una superficie gaussiana de área A, para demostrar que la carga neta que encierra la S.G. cero y por ende no existe campo en el interior del objeto conductor. El tercer caso contempla que se coloca un cuerpo pequeño con una carga q, adentro de la cavidad de un conductor que no tiene carga, manteniendo al cuerpo conductor aislado de la carga q, se observa que también en este caso el campo medido por la S.G. de área A es nulo, en cualquier lugar de la S.G., de acuerdo con la ley de Gauss, la carga total en el interior de esta superficie debe ser cero. Por lo tanto, es lógico concluir que existe una carga del mismo valor pero de signo diferente (-q), que anula por así decirlo, a la carga ubicada dentro de la cavidad. Por consiguiente, debe haber una carga -q distribuida en la superficie de la cavidad, atraída hacia ella por la carga q, del interior de la cavidad. La carga total del conductor debe seguir siendo cero; por tanto, debe aparecer una carga +q en su superficie externa del conductor que indique la presencia del cuerpo

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Fig. 2.6 Proceso de inducción de cargas.

a

Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

con carga q en el interior de la cavidad del cuerpo conductor. A este proceso descrito anteriormente se define inducción de cargas, en el material conductor.

Ejemplo 2.1

Se tiene una esfera conductora con carga positiva q, sólida y de radio R. Halle la expresión del campo eléctrico en punto adentro y afuera de la esfera.

La superficie gaussiana a ser usada en cada caso debe ser una esfera de radio r. El campo eléctrico en el exterior de la esfera (r < R).

El campo eléctrico en el exterior de la esfera (r R).

Ejemplo 2.2

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Fig. 2.7 Ejemplo 2.1

Capítulo II

Se tiene una esfera, no conductora de radio a con densidad de carga volumétrica = A/r2, donde A es una constante, entera positiva y r es la distancia radial medida desde el centro de la esfera. Determine:

a. El campo eléctrico en el interior de la esfera (r a).b. El campo eléctrico sobre la esfera (r = a).c. El campo eléctrico en el exterior de la esfera (r a).

Al igual que el caso anterior la superficie gaussiana corresponde con una superficie esférica de radio r, para todos los casos.

El campo eléctrico en el interior de la esfera (r a).

El potencial eléctrico sobre la esfera (r = a).

El campo eléctrico en el exterior de la esfera (r a).

Ejemplo 2.3.

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Fig. 2.8 Ejemplo 2.2

Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

Se tiene una carga eléctrica distribuida de manera uniforme a lo largo de un alambre delgado infinitamente largo. La carga por unidad de longitud es λ, (se supone positiva). Determine el campo eléctrico.

La expresión que se obtiene en este caso, sirve también como una aproximación del campo producido por, un alambre finito, con carga uniforme, siempre y cuando la distancia entre el punto, donde se desea conocer el campo, y el alambre, sea mucho menor que la longitud (L) de este.

Ejemplo 2.4

En la figura 2.10 se muestra la sección transversal de dos cilindros conductores coaxiales, de gran longitud, uno es macizo de radio a, y presenta una carga +q, el otro, se encuentra rodeando al cilindro macizo, siendo el valor de su radio interno igual a b y el externo igual a c, este último tiene una carga igual a -2q.

a. Diga cómo se distribuye la carga en el cilindro hueco. b. Dibuje las líneas de campo eléctrico.c. Determine la expresión del campo en las siguientes regiones:

r < a (dentro del cilindro macizo).a < r < b (entre ambos cilindros).

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Fig. 2.9 Ejemplo 2.3

ba

c

+

- q

+q

-2q

q

Capítulo II

b < r < c (dentro del cilindro hueco)r > b (fuera del cilindro hueco)

La carga se va a redistribuir, en el cilindro conductor hueco de tal manera que en la superficie interna se induce una valor de carga –q y en la externa se inducirá, una carga +q, de forma tal que la carga neta vista desde cualquier punto externo, al segundo cilindro será igual a -q.

Las líneas de campo eléctrico se dibujan de tal manera que nacen en cargas positivas y llegan a cargas negativas, tal como se indica en la figura 2.10b.

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Fig. 2.10 Ejemplo 2.4

Fig. 2.10a Distribución de carga

Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

El campo eléctrico varía dependiendo de la región bajo estudio.

Para r<a (dentro del cilindro conductor macizo).

Para a<r<b (entre ambos cilindros).

Para b<r<c. (dentro del cilindro hueco)

Para r>b (fuera del cilindro hueco)

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Fig. 2.10b Líneas de campo eléctrico

Capítulo II

Ejemplo 2.5

Halle el campo eléctrico creado por una lámina plana, delgada e infinita, que tiene una densidad superficial de carga , positiva uniformemente distribuida.

2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una esfera aislante de 0.12 m, de radio tiene carga distribuida uniformemente en todo su volumen, con un valor de 0.9 nC. El centro de la esfera se encuentra ubicado a una distancia de 0.24 m, arriba de una gran lámina uniforme, cargada, cuya densidad de

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Fig. 2.11 Ejemplo 2.5

a

b

c

d

Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

carga es de -8.00 nC/m2. Determine el campo eléctrico en el punto medio entre la esfera y el plano.

2. Una esfera conductora sólida de radio R, se encuentra ubicada de forma concéntrica, dentro de una coraza aislante muy delgada, de radio 2R, ambas objetos esféricos poseen el mismo valor de carga Q distribuida uniformemente.a. Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) en cada una de

las siguientes regiones 0< r <R, R<r<2R y r> 2R.b. Grafique la magnitud del campo eléctrico en función de r.

3. Una esfera conductora sólida, de radio R, se encuentra cargada positivamente, con un valor Q. La esfera está rodeada de la carcaza aislante de radio interior R y radio exterior 2R. La carcaza aislante tiene una densidad de carga uniforme .a. Halle el valor de de modo que la carga neta del sistema en

conjunto sea cero.b. Con el valor de obtenido en el inciso (a), determine la

magnitud y dirección del campo eléctrico, en cada una de las siguientes regiones: 0<r<R, R< r<2R y r>2R.

c. Muestre sus resultados en una gráfica de la componente radial del campo en función de r.

4. Una carcaza esférica aislante, pequeña, con radio interior a y radio exterior b, se ubica de forma concéntrica, dentro de una carcaza esférica aislante, de mayor tamaño, cuyo radio exterior tiene un valor d y su radio interior un valor c, como lo indica la figura. La carcaza interior tiene una carga total +q y la carga de la carcaza exterior tiene valor –q, en ambas carcazas las cargas se distribuye uniformemente en todo su volumen.a. Calcule las densidades de carga en la

coraza interior y en la coraza exterior.b. Calcule el campo eléctrico (magnitud y dirección) en términos

de q y de la distancia r, con respecto al centro común de las dos corazas, para:

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Capítulo II

i. r < aii. a < r < b

iii. b < r < civ. c < r < dv. r > d.

vi. Muestre sus resultados en una gráfica de la componente radial del campo en función de r.

5. Se tiene un sistema conformado por una barra muy larga que está cargada con densidad lineal de carga constante y una carga puntual Q, tal como lo indica la figura. Determine:a. El campo eléctrico que la carga produce en el punto de

coordenadas (c, c).b. El campo eléctrico que es producido por la barra, en el punto de

coordenadas (c, c).c. El campo eléctrico resultante en (c, c).

6. Un cable coaxial, muy largo, está compuesto por un conductor cilíndrico interior de radio a y un cilindro coaxial, exterior de radio interior b y radio exterior c. El cilindro exterior está montado sobre soportes aislantes y no tiene carga neta. El cilindro interior tiene una carga positiva, uniforme por unidad de longitud .a. Indique la distribución de carga del sistema.b. Dibuje las líneas del campo eléctrico.c. Calcule el campo eléctrico en las regiones:

i. r < aii. a < r < b

iii. b < r < c

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Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

iv. c < r < dv. r > d.

d. Muestre sus resultados en una gráfica de la componente radial del campo en función de r.

7. En la figura adjunta, se muestra un sistema conformado por: una esfera maciza no conductora de radio R1, la cual posee una distribución de carga volumétrica uniforme . Una esfera hueca conductora, concéntrica con la primera, de radio interno R2 y radio externo R3, la cual posee inicialmente una carga positiva Q. Finalmente, y rodeando de forma concéntrica a las dos primeras, se encuentra una tercera esfera hueca conductora de radio interno R4 y radio externo R5, la cual no posee carga.a. Indique la distribución de carga del sistema.b. Dibuje las líneas de campo eléctrico en cada región.c. Determine la densidad de carga superficial, interna y externa,

para las esferas conductoras.d. Halle el vector de campo eléctrico en las siguientes regiones:

i. 0 r < R1ii. R1 r < R2

iii. R2 r < R3iv. R3 r < R4v. r ≥ R4

8. El sistema está conformado por tres planos de carga, infinitos (A, B y C), cargados con densidades - , 2 y , respectivamente. Los tres planos se encuentran enfrentados, como se muestra en la figura. Si llamamos región I a la que se encuentra entre - y A, región II, entre A y B, región III, entre B y C y región IV, entre B y .

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y

x

A B C

- 2

RegiónI

RegiónII

RegiónIII

RegiónIV

Capítulo II

a. Dibuje las líneas de Campo Eléctrico en todas las regiones entre los planos.

b. Calcule el Campo Eléctrico en todas las regiones entre los planos. Utilice los ejes coordenados de la figura para establecer la dirección del campo.

9. En la figura adjunta, se muestran dos distribuciones de carga lineales 1 y 2, ambas positivas, las cuales se ubican en los puntos (2,0,0) y (-2,0,0) respectivamente, y cuya extensión es ilimitada a lo largo del eje z.a. Determine el campo eléctrico

neto en el punto (-4, 6, 0).b. Si se coloca una carga puntual,

negativa, en el punto (0, 0, 2), calcule la fuerza eléctrica sobre ella.

10. Se tiene una anillo de radio R, cargado con una densidad lineal de carga uniforme . a. Encuentre el campo eléctrico

creado por el anillo a una distancia z de su centro.

b. Encuentre el punto M de coordenadas (0,0,h) en el cual el campo eléctrico tiene un valor máximo.

11. Considere una línea cargada positivamente, muy larga, cuya carga por unidad de longitud λX, es uniforme; y una esfera aislante sólida

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Flujo Eléctrico y Ley de Gauss

de radio a = 2 y centro en el punto (10, 0), la cual tiene una

densidad de carga, no uniforme, para 0 < r < 2, donde o es una constante conocida y positiva y r es la distancia radial.a. Determine el vector de campo eléctrico total en el punto

Po = (6; 3).b. Determine el valor de la densidad lineal de carga λX para que el

campo total en el punto Po, solo tenga componente en el eje y.

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