Capitulo 6 Heterocedasticidad Abril

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Econometra bsica

Heterocedasticidad

1

CAPITULO 6 HETEROCEDASTICIDAD 6.1 NATURALEZA Uno de los supuestos del modelo clsico es que,2 var(i ) = E[ i E ( i )]2 = E ( i2 ) = es constante para cada observacin.

Es decir, todos los trminos de error tienen la misma varianza. El que este supuesto no se cumpla se conoce como heterocedasticidad de las perturbaciones. Existen diversas razones por las que heterocedasticidad de las perturbaciones: Razones lgicas Son aquellas relacionadas a modelos de corte transversal. Usualmente, cuando se trabaja con datos de corte transversal es habitual encontrarse con oscilaciones importantes en la renta de los individuos, los tamaos de las empresas o la riqueza de las diferentes regiones: EJEMPLO 1: Si nuestro propsito es analizar los costos de produccin de una determinada industria, con informacin de corte transversal, es posible que las empresas de mayor escala de planta, tengan una mayor diversificacin de los costos, parte de los cuales no suelen cuantificarse con exactitud. De modo que a mayor escala de planta es posible que se tenga una mayor dispersin en cuanto a costos. EJEMPLO 2: Supongamos que tenemos datos de renta y de gasto en alimentacin para un nmero grande de familias. Si representamos en un grfico el gasto en alimentacin frente a la renta es de esperar que encontremos heterocedasticidad. puede producirse la

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2

Probablemente, la dispersin en el gasto en alimentacin para diferentes niveles de renta aumente con la renta. Las familias pobres tienen menos flexibilidad en su nivel de gasto en alimentacin, de manera que veremos poca dispersin en el gasto de alimentacin para dichas familias. Por el contrario, cabe esperar que algunas familias ricas gasten mucho en alimentacin (por ejemplo, comiendo caviar o cenando a menudo en restaurantes caros) y que otras familias ricas con preferencias diferentes gasten mucho menos en alimentacin, destinando su renta a otros usos. As, con datos de corte transversal, cuando se realizan estudios de presupuesto familiar asociados a su capacidad de consumo, lo que ocurre, generalmente, es que a mayores niveles de ingreso las familias tienen un mayor nmero de posibilidades de utilizar su ingreso, por tanto, puede crecer la dispersin absoluta e incluso relativa 2 de los gastos de consumo. En consecuencia, i puede aumentar con el nivel de ingreso. EJEMPLO 3: Supongamos que 100 estudiantes se apuntan a una clase de mecanografa. Supongamos que algunos han escrito a mquina antes y otros no lo han hecho nunca. Al acabar la primera clase, algunos estudiantes mecanografan fatal y otros lo hacen bastante bien. Si construyramos un grfico mostrando los errores tipogrficos cometidos por los estudiantes con respecto a las horas acumuladas de mecanografa, veramos que la dispersin de los errores tipogrficos disminuye a medida que la variable explicativa (el nmero de horas acumuladas de mecanografa) aumenta. La diferencia en los errores cometidos entre el mejor y el peor de la clase ser probablemente ms pequea despus de la ltima clase que despus de la primera clase. Errores de cuantificacin y Especificacin Con series de tiempo, a medida en que mejoran las tcnicas de 2 recoleccin de datos, es probable que i tienda a disminuir. Por tanto, instituciones que cuentan con equipos de procesamiento de informacin muy sofisticados probablemente tiendan a cometer menos errores que aquellas instituciones que no poseen este tipo de herramientas. Por ltimo, una especificacin errnea del modelo o la presencia de algn tipo de cambio estructural puede ser motivo de un comportamiento sistemtico distinto del trmino de error de unos perodos a otros. 6.2 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MNIMOCUADRTICOS

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3

Considerando que existe heterocedasticidad el modelo de dos variable tradicional ahora debe plantearse del siguiente modo: Yi = 1 + 2 X 2i + i Donde: E (i ) = 0 E (i j ) = 0 E ( i2 ) = i2 El ltimo supuesto implica que la variacin de la perturbacin puede variar de una observacin a otra. Cules son los efectos de este cambio sobre las propiedades de los estimadores mnimo cuadrticos? Para verificar la posible existencia de algunos cambios, consideremos en primer lugar la propiedad de insesgadez. Siendo el estimador mnimo cuadrtico: 2 = 2 2 [6.1]

x y x x Y = x x ( =2i i 2 2i 2i i 2 2i 2i

[6.2]

1

x x X x 2 = 1 2 2i + 2 22i 2i + 2i2 i x2 i x2i x2 ix 2 = 2 + 2i2 i x2 i Por tanto, E( 2 ) = 2 + E( 2 ) = 2 Del mismo modo, 1 = Y 2 X 2 [6.3]

x

+ 2 X 2i + i )2 2i

x E ( ) x2i i 2 2i

[6.4]

Econometra bsica 1 = 1 + 2 X 2 + 2 X 2 E ( 1 ) = E ( 1 ) + X 2 E ( 2 ) + E ( ) X 2 E ( 2 ) E ( 1 ) = 1 + 2 X 2 2 X 2 E ( 1 ) = 1

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4

[6.5]

Es decir, aun en condiciones de heterocedasticidad, los estimadores mnimo cuadrticos son insesgados. Ahora La varianza de este estimador sigue siendo la misma? Al respecto, de la relacin [6.3] se deduce que, 2 2 =

x x2i 2 2i

i

Por lo cual la varianza de 2 esta dado por la expresin: Var ( 2 ) = E ( 2 2 ) 2 x 2i i Var ( 2 ) = x2 2i De donde, Var ( 2 ) = 2

x ( x )

2 2 21 i 2 2 2i

[6.6]

Es posible mostrar que la varianza dada por (6.6) es mnima? Consideremos el siguiente estimador lineal arbitrario, 2 = ciYi E ( 2 ) = 1 ci + 2 ci X i + ci E ( i ) E ( 2 ) = 1 ci + 2 ci X i E( 2 ) = 2 el cual ser insesgado solo bajo la siguiente restriccin, [6.7]

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La varianza de 2 esta dado por la expresin: Var ( 2 ) = E[ ciYi E ( ciYi )]2 Var ( 2 ) = E[ ci (Yi E (Yi )]2 Var ( 2 ) = E[ ci i ]2 Var ( 2 ) = ci2 i2 [6.8]

c = 0 c X =1i i i

Para obtener las ponderaciones ci que minimizan la Var ( 2 ) de tal modo que a su vez se cumple las condiciones de ci = 0 y ci X i = 1 ? Se

utiliza los multiplicadores de Lagrange, mediante el cual podemos establecer la siguiente funcin: L = ci i2 1 ( ci ) 2 ( ci X i 1) Por la condicin de primer orden, derivamos esta ltima funcin con respecto a ci , 1 y 2 e igualando a cero se obtiene: 2c1 12 1 2 X 21 = 0 2 2c2 2 1 2 X 22 = 0 ... 2 2cn n 1 2 X 2 n = 0 ci = 0 ci X i + 1 = 0 Obsrvese que se tiene (n+2) ecuaciones con igual nmero de incgnitas. Ahora, despejando cada ci obtenemos: 1 X c1 = [ 12 + 2 2 21 ] 2 1 1 1 X c2 = [ 12 + 2 2 22 ] 2 2 2 ... 1 X cn = [ 12 + 2 22 n ] 2 n n cuya expresin general es:

Econometra bsica 1 X ci = [ 12 + 2 2 2i ] 2 i i Luego su suma es:

Heterocedasticidad

6

[6.9]

c

i

1 1 X = [1 ( 2 ) + 2 ( 2i )] 2 i i2

[6.10)

Multiplicando (6.10) por X 2i ambos miembros tenemos: 1 X X2 ci X 2i = [1 ( 2i ) + 2 ( 2i )] 2 i2 i2 Como

c

i

=0 y

c Xi

i

= 1 entonces, [6.11] [6.12]

1 1 X 0 = [1 ( 2 ) + 2 ( 2i )] 2 i i22 1 X 2i X 2i 1 = [1 ( 2 ) + 2 ( 2 )] 2 i i

Por tanto, la solucin del sistema [6.11] y [6.12] para 1 y 2 es: X 2 ( 2 i )] i2 1 = X2 X 1 [ ( 2 )][ ( 2i )] [ ( 2i )]2 2 i i i2 X 2 ( 2 i )] i2 2 = X2 X 1 [ ( 2 )][ ( 2i )] [ ( 2i )]2 2 i i i2 Reemplazando (6.13) y (6.14) en (6.7) tenemos: 1 X X 1 )[ ( 2i ) + ( 2i ) ( 2 )] 2 2 2 i i i i ci = 2 X X 1 [ ( 2 )][ ( 2i )] [ ( 2i )]2 2 i i i2 (

[6.13]

[6.14]

[6.15]

Entonces, estas son las ponderaciones que minimizan la Var ( 2 ) . S reemplazamos estas ponderaciones en la relacin lineal definida por [6.6], obtenemos,

Econometra bsica 2 =

Heterocedasticidad2i i 2 i 2 2i

7

(1 / )[ ( X Y / [ (1 / )][ ( X2 i 2 i

/ i2 )] [ ( X 2i / i2 )]2

) ( X 2i / i2 ) (Yi / i2 )

[6.16]

Del mismo modo, reemplazando [6.15] en [6.8] tenemos: Var ( 2 ) =

[ (1 / )][ ( X 2i / )] [ ( X 2i / i2 )]22 i 2 2 i

(1 /

2 i

)

[6.17]

En conclusin, cuando existe heterocedasticidad, los estimadores mnimo cuadrticos no poseen la menor varianza dentro de la clase de estimadores insesgados y por lo tanto no son eficientes. Por lo expuesto, existen tres posibilidades para estimar 2 : El primero, aun cuando existe heterocedasticidad suponer que esta no existe y proceder a utilizar las frmulas convencionales dadas por: yx 2 = i 2 2i x2 i

2 ) = Var ( 2 x22i

El segundo, suponer que existe heterocedasticidad y utilizar las siguientes frmulas: yx 2 = i 2 2i x2 i Var ( 2 ) =

Y finalmente, considerar que existe heterocedasticidad y utilizar las siguientes frmulas:

x ( x )2 i

2 2 21 i 2 2 2i

(1 / )[ ( X Y / ) ( X / ) (Y / [ (1 / )][ ( X / )] [ ( X / )] (1 / ) Var ( ) = [ (1 / )][ ( X / )] [ ( X / )] 2 =2i i 2 i 2 i 2 2i 2i 2 i i 2 i 2i 2 i 2 2 i 2 2 i 2 2i 2 i 2i 2 i

2 i

)

2

Evidentemente, este ltimo procedimiento es el ms adecuado para estimar un modelo en presencia de heterocedasticidad. Pero, Qu mtodo es este? Este mtodo es conocido como mnimos cuadrados

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ponderados el cual nos proporciona estimadores eficientes. El criterio de este mtodo es el siguiente: Dado el siguiente modelo: Yi = 1 + 2 X 2i + i Donde: E (i ) = 0 E (i j ) = 0 E ( i2 ) = i2 Bajo el supuesto de que se conocen las varianzas heterocedsticas de las 2 2 perturbaciones, i , dividiendo el modelo [6.18] por i se obtiene: Wi = 1Z1i + 2 Z 2i + i* [6.19] [6.18]

Donde las variables transformadas corresponden a las variables 2 originales divididas por el valor conocido i Una caracterstica importante de este procedimiento es pasar de un modelo heterocedstico utilizando variables originales a un modelo homocedstico con variables transformadas, es decir, s: Var ( i* ) = E ( Entonces, Var ( i* ) = 1 E ( i ) 2 2 i Es una constante.

i 2 ) i

Var ( i* ) = 1

De este modo, si se mantienen los dems supuestos, solo queda aplicar el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios en el modelo transformado dado por [6.19] y obtener estimadores, lineales, insesgados y de varianza mnima. Por tanto, aplicando el MMCO para la estimacin de los parmetros de a relacin [6.19] tenemos: e = (W Z2 i i 1 1i

2 Z 2i ) 2

Econometra bsica ei2 = 2 (Wi 1Z1i 2 Z 2i )( Z1i ) = 0 1

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ei2 = 2 (Wi 1Z1i 2 Z 2i )( Z 2i ) = 0 2 De donde se deduce las siguientes ecuaciones normales:

W Z W Zi i

1i 2i

= 1 Z12i + 2 Z 2i Z1i

= 1 Z1i Z 2i + 2 Z 2i2

Cuya solucin para 2 es: 2 =

W Z Z W Z Z Z Z ( Z Z )i 2i 2 1i i 1i 2 2i 2 1i 2i 1i

1i 2

Z 2i

Siendo: Wi = Yi i 1 Z1i = i X Z 2i = 2i i

Entonces,

2

(1 / )[ ( X Y / = [ (1 / )][ ( X2 i 2i i 2 i

2 i 2

/ i2 )] [ ( X 2i / i2 )]2 2i

) ( X 2i / i2 ) (Yi / i2 )

[6.20]

Var ( 2 ) =

[ (1 / i2 )][ ( X 2i / i2 )] [ ( X 2i / i2 )]22

(1 /

2 i

)

[6.21]

Ntese que estas dos ltimas frmulas deducidas son exactamente iguales a [6.16] y [6.17]. 6.3 PROPIEDADES DE LAS VARIANZAS ESTIMADAS ESTIMADORES MNIMOCUADRTICOS DE LOS

Como se ha mostrado, en condiciones de heterocedasticidad, los estimadores mnimo cuadrticos de los coeficientes de regresin son

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insesgados pero no eficientes (es decir, no tienen varianza mnima). Por tanto, si el trmino de perturbacin es heterocedastico y no lo sabemos (o lo sabemos pero no lo tomamos en cuenta) y usamos las formulas convencionales dadas por [6.2] y [6.6] los estimadores resultantes tendrn solo una propiedad deseable. El problema se complica cuando se trata de utilizar estos estimadores para la prueba de hiptesis o para construir intervalos de confianza, por que no solo se requiere que estos estimadores sean insesgados sino que sus varianzas tambin lo sean. En caso contrario, las pruebas de hiptesis no son vlidas y los intervalos construidos resultan incorrectos. Es posible mostrar que las varianzas de los estimadores mnimo cuadrticos son insesgados?. Si no lo son Cul es el sesgo? De qu depende este sesgo? La varianza del estimador homocedasticidad es, mnimo cuadrtico 2 considerando

2 X 2i ) 2 2 n2 S = 2 x22i Este mismo estimador es insesgado en presencia de heterocedasticidad?. Para responder esta pregunta es necesario calcular su esperanza matemtica.i 1

(Y

E (Yi 1 2 X 2i ) 2 2 n2 E ( S ) = 2 x22i En consecuencia, E (Yi 1 2 X 2i ) 2 = E[ ( 1 + 2 X 2i + i 1 2 X 2i ) 2 ] E (Yi 1 2 X 2i ) 2 = E[( 1 1 ) ( 2 2 )X 2i + i ]2 E (Y X ) 2 = E[( ) ( )X + ]2

i

1

2

2i

1

1

2

2

2i

i

Como, 1 1 = Y 2 X 2 Y + 2 X 2 + = ( 2 2 ) X 2 + Reemplazando, E (Yi 1 2 X 2i ) 2 = E[( 2 2 ) x 2i + i ]2

En presencia de heterocedasticidad se tiene que,

2 E (Yi 1 2 X 2i ) 2 = x2i E ( 2 2 ) 2 + E ( i ) 2 2 E ( 2 2 ) x2i ( i )

Econometra bsica E( 2 2 ) 2 =

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x [ x ]

2 2i i 2 2 2i

E ( i ) 2 = E[ i2 2 i + 2 ] =E[ i2 n 2 ] E ( i ) 2 = E ( i2 ) Y adems, E ( 2 2 ) x 2i ( i ) = E ( 2 2 ) x 2 i i E ( 2 2 ) x 2 i 1 1 E[ i ] 2 = i2 i2 n n

x 2i i E ( 2 2 ) x 2i ( i ) = E ( 2 2 ) x 2i i = E[ x22i2 ) x ( ) = E[ ( x 2i i ) ] = E( 2 2 2i i x22i

x

2i

i ]

1 E ( x 2 i i ) 2 = 2 x 2i

x x2 2i 2 2i

2 i

Reemplazando E (Yi 1 2 X 2i ) 2 =

x x2 2i 2 2i

2 i

+ i2

E (Yi 1 2 X 2i ) 2 = i2 Finalmente siendo, E (Yi 1 2 X 2i ) 2 2 n2 E ( S ) = 2 x22i Entonces, E (Yi 1 2 X 2i ) 2 2 n2 E ( S ) = 2 x22i2 2 i

1 x22i i2 i2 n x22i

1 x22i i2 i2 2 n x22i

S

2 2

=

1 x 2i i n i2 x 2 2i2 (n 2) x 2i

2

2 2 2 n x 2i i2 x 2i i2 n x 2i i2

=

2 (n 2) x 2i

2 n x 2 i

S

2

2

=

2 2 n x 2i i2 + (n 1) x 2i i2 2 n( n 2)[ x 2i ] 2

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Como este estimador de la varianza de 2 no es igual a la expresin obtenida por el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios suponiendo homocedasticidad, llegamos a la conclusin de que la varianza calculada de forma convencional est sesgada cuando la perturbacin es heterocedstica. Esto significa que si efectuamos el anlisis de regresin basndonos en la idea equivocada de que la perturbacin es homocedstica, las inferencias acerca de los coeficientes de la poblacin sern incorrectos. El sesgo viene dado por S2 2 2 2 2 2 2 ) = n x 2i i + (n 1) x 2i i x 2i i Var ( 2 2 2 n(n 2)[ x 2i ] 2 [ x 2 i ] 2

2

2 2 n(n 1) x 2i i2 + (n 1) x 2i i2 2 S Var ( 2 ) = 2 2 n(n 2)[ x 2i ] 2

Es evidente que la direccin del sesgo depende del signo de esta expresin. Para n>2, el denominador ser siempre positivo y, por tanto, el signo decisivo ser el del numerador. Este signo depende del tipo de 2 2 relacin que existe entre xi y i . Por ejemplo, si i = a + bxi , donde b > 0 , el sesgo es negativo. Es decir, si xi y i2 .se hallan positivamente asociadas, el sesgo es negativo y el uso de los errores estndar calculado de forma convencional tender a producir regiones de aceptacin e intervalos de confianza ms estrechos que los correctos, lo cual significa que la probabilidad de rechazar la hiptesis nula, siendo esta cierta, ser mayor que la indicada por el nivel de significacin que se mencione. 6.4 CONSECUENCIAS DEL PROBLEMA DE HETEROCEDASTICIDAD Si es que estimamos el modelo asumiendo que existe heterocedasticidad 2 y se conocen los i es necesario tomar en cuenta que: Var ( 2 ) > Var ( 2 ) Lo cual implica que los intervalos de confianza basados en la primera sern innecesariamente mayores. Asimismo, las pruebas t y F posiblemente mostrarn resultados inexactos puesto que la Var ( 2 ) es excesivamente grande y aparentemente ser estadsticamente no significativo pudiendo ser significativo si los correctos intervalos de confianza se establecieran utilizando el mtodo de mnimos cuadrados ponderados. Si es que estimamos el modelo asumiendo que no existe heterocedasticidad el problema se complica. Este es el caso por lo general comn.

Econometra bsica En el modelo siguiente: Yi = 1 + 2 X 2i + i

Heterocedasticidad 13

Si aplicamos MCO asumiendo que existe homocedasticidad en un caso en que existe heterocedasticidad la varianza de 2 ser: Var ( 2 ) =2

x

2 2i

Esta varianza ser un estimador sesgado de Var ( 2 ) , lo que implica que, en promedio, se est sobreestimando o subestimando esta ltima. Como ya sostuvimos el sesgo depende de la relacin existente entre i y la variable exgena X i Por las consideraciones anteriores, no podemos basarnos en los intervalos de confianza, ni en las pruebas t y F utilizadas convencionalmente por que podemos cometer serios errores. 6.5 IDENTIFICACION DEL PROBLEMA DE HETEROCEDASTICIDAD2 Como generalmente no es posible conocer i para un modelo de regresin determinado:

No existe una regla fija para determinar la existencia del problema de heterocedasticidad Existen algunas reglas para detectar la existencia del problema de heterocedasticidad, la mayora de las cuales estn basados en el examen de los errores muestrales del MMCO. Estos exmenes requieren que el tamao muestral sea relativamente grande a fin de que los errores muestrales, ei , sean buenas estimaciones de i .

Los procedimientos usuales para detectar si existe o no existe heterocedasticidad en un modelo determinado son los siguientes: a) Naturaleza del problema En las series de corte transversal que involucren unidades heterogneas, la existencia de un problema de heterocedasticidad, puede ser la regla antes que la excepcin. b) Mtodo grfico

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Heterocedasticidad 14

Calcular la regresin bajo el supuesto de que no existe heterocedasticidad 2 2 Aun cuando ei y i no son la misma cosa, si la muestra es suficientemente grande, considerarla como una aproximacin 2 X i (o Yi ) para verificar la Graficar ei en funcin de existencia de algn patrn sistemtico que los relacione.

c)

Prueba de Park A travs de esta prueba, se formaliza el mtodo grfico, asumiendo que:2 i2 = X i e

El cual puede ser escrito tambin como, 2 Ln i2 = Ln + LnX i + i2 2 Como antes, dado que i es desconocida se usa ei como una aproximacin y se estima el siguiente modelo de regresin: 2 Lnei2 = Ln + LnX i + i Si es estadsticamente significativo ello implica la existencia de heterocedasticidad.

d)

Prueba de Glejser Este mtodo nos propone: Obtener los errores muestrales bajo el supuesto de que existe homocedasticidad mediante el MMCO. Regresionar los valores absolutos de los errores muestrales con la variable exgena con la cual se sospecha que est asociada utilizando las siguientes relaciones funcionales: ei = 1 + 2 X i + i ei = 1 + 2 X i + i 1 + i Xi 1 ei = 1 + 2 + i Xi ei = 1 + 2 ei = 1 + 2 X i + i ei = 1 + 2 X i2 + i

Econometra bsica e)

Heterocedasticidad 15

Prueba de correlacin de rango de Spearman Estimar el modelo Yi = 0 + 1 X i + i y obtener los errores muestrales, ei . Determinar el coeficiente de correlacin, rS , de el valor absoluto de los errores y la variable exgena. Realizar la siguiente prueba de hiptesis:

Ho : Ha :

=0 0

No existe heterocedsticidad Existe heterocedasticidad

Donde:

es el coeficiente de correlacin de rango Spearman poblacional.

Utilizar el siguiente estadstico de prueba: rS n 2 1 rS2

t n2 = f)

Prueba de Goldfeld-Quandt2 Consiste en suponer que la varianza heterocedstica i est positivamente relacionada con una de las variables explicativas. En el modelo de regresin:

Yi = 0 + 1 X i + i Suponiendo que:

i2 = X i2Ordenar las observaciones de menor a mayor de acuerdo con los valores de la variable exgena X i . Omitir c observaciones centrales y dividir el resto de observaciones en dos muestras iguales. Estimar el modelo propuesto con base a las observaciones de cada muestra. Obtener la suma de los errores muestrales al cuadrado en cada muestra. Utilizar el siguiente estadstico de prueba:

Econometra bsica

Heterocedasticidad 162 2i

nc k 2 F= e12i nc k 2 h) Prueba de White Considerando el siguiente modelo de regresin: Yi = 1 + 2 X 2i + 3 X 3i + i

e

Estimar los errores muestrales del modelo propuesto Efectuar la siguiente regresin auxiliar:

2 ei2 = 1 + 2 X 2i + 3i X 3i + 4 X 2i + 5 X 32i + 6 X 2i X 3i + vi

Utilizar el estadstico de prueba:

k2 = nR 2i) Prueba de Breusch-Pagan Considere el modelo de k variables: Yi = 1 + 2 X 2i +,..., k X ki + i2 suponiendo que la varianza del error i se describe como:

i2 = f ( 1 + 2 Z 2i + ... + m Z mi )2 Es decir, que i es cierta funcin de las variables Z no estocsticas; algunas o la totalidad de las X pueden utilizarse como variables Z . Especficamente suponga que:

i2 = 1 + 2 X 2i + ... + m X mi2 Es decir, i es una funcin lineal de las Z . 2 Por tanto, para evaluar si i es homocedstica, se puede evaluar la hiptesis de que:

Econometra bsica

Heterocedasticidad 17

2 = 3 = ... = m = 0El procedimiento en la prctica es el siguiente:

Estimar el modelo y obtener los residuos ei 2 2 Obtener = ei N Construir las variables pi , las cuales se definen como: ei2 2

pi =

Efectuar la regresin de pi en funcin de las Z : pi = 1 + 2 Z 2i + ... + m X mi + vi Obtener la suma de cuadrados explicada por la regresin anterior (SCE) y definir:

= 1 2 ( SCE )Si existe homocedasticidad y el tamao de la muestra N aumenta indefinidamente, entonces:2 ~ m 1 2 Si > m 1 (de tablas al nivel de significancia escogido)

Se puede rechazar la hiptesis de homocedasticidad. 6.6 REMEDIOS ANTE LA PRESENCIA DE HETEROCEDASTICIDAD En la prctica si se quiere utilizar el mtodo de mnimos cuadrados 2 ponderados se tiene que recurrir a ciertos supuestos razonables sobre i para poder transformar el modelo original de manera de que cumpla con el supuesto de homocedasticidad. Si se tiene el siguiente modelo: Yi = 0 + 1 X i + i Es posible considerar los siguientes supuestos: SUPUESTO 1: E ( i2 ) = 2 X i2

Econometra bsica Dividiendo el modelo original por X i : Yi 1 = 0 + 1 + i Xi Xi Xi Yi 1 = 0 + 1 + vi Xi Xi

Heterocedasticidad 18

Donde, obviamente vi es el trmino de perturbacin para el modelo transformado. Es relativamente fcil mostrar que el modelo transformado es homocedstico:

i 2 1 ) = 2 E ( i2 ) = 2 Xi Xi Bajo estas condiciones es posible estimar el modelo transformado sin ningn problema utilizando el MMCO.E (vi2 ) = E ( SUPUESTO 2: E ( i2 ) = 2 X i Dividiendo el modelo original por Xi :

Yi Xi Yi Xi

= 0

1 Xi 1 Xi

+ 1

Xi Xi Xi Xi

+

i Xi

= 0

+ 1

+ vi

Donde, vi es el trmino de perturbacin cuya varianza es: E (vi2 ) = E (

i 2 1 ) = E ( i2 ) = 2 Xi Xi

SUPUESTO 3: E ( i2 ) = 2 [ E (Yi )]2 Dividiendo el modelo original por E (Yi ) : Yi Xi i 1 = 0 + 1 + E (Yi ) E (Yi ) E (Yi ) E (Yi )

Econometra bsica Yi Xi 1 = 0 + 1 + vi E (Yi ) E (Yi ) E (Yi )

Heterocedasticidad 19

Donde, vi es el trmino de perturbacin cuya varianza es:

E (vi2 ) = E (

i 2 1 ) = E ( i2 ) = 2 2 E (Yi ) [ E (Yi )]

Esta transformacin no es operativa por que la E (Yi ) depende de 0 y 1 que no se conocen. Sin embargo es posible conocer Yi = 0 + 1 X i el cual es un estimador de E (Yi ) de modo que el modelo transformado debera ser: Yi X 1 = 0 + 1 i + i Yi Yi Yi Yi SUPUESTO 4: Transformacin Logartmica. Si en lugar de utilizar el modelo Yi = 0 + 1 X i + i utilizamos el modelo LnYi = 0 + 1 LnX i + i es posible que se reduzca el problema de heterocedasticidad, ya que se comprimen las escalas en las que se miden las variables.

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Heterocedasticidad 20

ANEXO F NOCIONES BASICAS DE EVIEWS 3.1 HETEROCEDASTICIDAD 6.1 PRUEBA DE HETEROCEDASTICIDAD a) Mtodo Grfico

Estando en el Workfile1

Seleccionar la variable endgena (consu) seguida de la exgena (ingre) presionando la tecla ctrl. Seleccionar Open/as Equation En la ventana activa (Equation Specification) pulsar OK. Seleccionar el comando Forecast estando en la ventana objeto ecuacin En la ventana activa (Forecast) pulsar OK

Estando en el Workfile

Seleccionar Genr En la ventana activa escribir e=resid Nuevamente seleccionar Genr En la ventana activa escribir e2=e*e

Estando en el Workfile:

Seleccionar la variable exgena (ingre) seguida del objeto serie e (alternativamente, e2 y consuf) presionando la tecla ctrl. Seleccionar Open/as Group En la ventana activa (Group: Untitled) seleccionar View/Graph/Scatter/Simple Scatter

1 Para

esta seccin utilice 6_Heterocedasticidad_Consumo

el

archivo

en

formato

Eviews:

Capitulo

Econometra bsica

Heterocedasticidad 21

Anlisis de los resultados:

En el Grfico adjunto a medida que aumenta el nivel del ingreso (ingre) se nota que los residuos al cuadrado son ms dispersos por ello es posible que exista heterocedasticidad. En el caso del anlisis grfico siempre es necesario considerar adicionalmente los grficos: residuos en funcin al ingreso y el valor absoluto de los residuos en funcin al ingreso. (Hgalo!) b) Prueba de Park

Estando en el Workfile

Utilizar el comando Genr para generar el logaritmo de los residuos al cuadrado (le2) y el logaritmo de la variable exgena (lingre). Utilizando el Mouse seleccionar la serie le2 seguida de lingre presionando la tecla ctrl. Seleccionar Open/as Equation En la ventana activa (Equation Specification) pulsar OK.

Econometra bsica

Heterocedasticidad 22

Anlisis de los resultados:

La probabilidad de rechazar la hiptesis de nulidad de que el coeficiente asociado a la variable lingre es 0.81. Por tanto, segn Park no existe heterocedasticidad. c) Prueba de Glejser

Estando en el Workfile:

Utilizar el comando Genr para generar el valor absoluto de los residuos escribiendo en la ventana activa: [email protected](e) Seleccionar la serie abse seguida de la serie ingre utilizando el Mouse presionando la tecla ctrl. Seleccionar Open/as Equation En la ventana activa (Equation Specification) reemplazar abse ingre C por abse=c(1)+c(2)*ingre. Pulsar OK

Econometra bsica

Heterocedasticidad 23

Estando en la ventana activa En la ventana activa del objeto ecuacin (Equation: Untitled)

Seleccionar el comando Procs/Specify/Estimate En la ventana activa (Equation Specification), alternativamente, escribir: Abse=c(1)+c(2)*yngre^0.5 Abse=c(1)+c(2)*(1/yngre) Abse=c(1)+c(2)*(1/yngre^0.5) Abse=(c(1)+c(2)*yngre)^0.5) Abse=(c(1)+c(2)*yngre^2)^0.5

Econometra bsica

Heterocedasticidad 24

Anlisis de los resultados: Es posible que exista heterocedasticidada. (verifique la prueba de significancia individual de cada uno de los resultados de las especificaciones anteriores) d) Prueba de Correlacin por grado de Spearman

Estando en el Workfile

Seleccionar la serie abse y la serie ype utilizando el ratn y presionando la tecla ctrl. Seleccionar Procs/Make Regressor Group

Estando en la ventana del objeto grupo:

Marcar toda la informacin de las series seleccionadas. Presionar ctrl. C Activar el Excel y Presionar ctrl. V. Calcular el coeficiente de correlacin de rangos Spearman del valor absoluto de los residuos con la variable ingre

Anlisis de los resultados:

Recordar que el coeficiente de rangos Spearman es: d i2 rS = 1 6[ ] n(n 2 1) Y que el estadstico de prueba es:

Econometra bsica t n2 = e) rS n 2 1 rS2

Heterocedasticidad 25

Prueba de Goldfeld y Quand

Estando en la ventana del Workfile

Activar el comando Procs/Sort Series para ordenar las observaciones de todas las series del fichero de acuerdo con los valores de ingre (variable exgena) en forma ascendente. En el cuadro de dilogo activado escribir ingre y seleccionar el sentido ascendente de la ordenacin. Pulsar OK Estando en la ventana del Workfile Seleccionar las series consu y ingre Presionando la tecla Ctrl y con el botn derecho del Mouse seleccionar Open/as Equation En la ventana activa (Equation Specification) reemplazar en el cuadro de dilogo de sample reemplazar 30 por 13. Pulsar OK En la ventana del objeto ecuacin activar el comando Name y pulsar OK. Si se desea se puede cambiar el nombre del objeto ecuacin asignado por defecto por el Eviews como EQ01. Luego de realizada una regresin siempre es posible guardar como un escalar la desviacin estndar de la regresin,

=

e

2 i

nk

, escribiendo en la lnea de comandos: scalar [email protected]

Econometra bsica Estando en la ventana activa (Equation: EQ01)

Heterocedasticidad 26

Seleccionar el comando Procs/Specify/Estimate En el cuadro de dilogo de sample reemplazar 1 por 18 y 13 por 30. Pulsar OK En la ventana del objeto ecuacin activar el comando Name y en recuadro escribir EQ02. pulsar OK. Guardar como un escalar la desviacin estndar de la regresin escribiendo en la lnea de comandos :scalar [email protected]

En la lnea de comandos, generamos el estadstico para realizar el contraste de Golfeld y Quandt, escribiendo:

Scalar f=(se2/se1)^2

El valor muestral del estadstico lo vemos en la parte inferior izquierda de la pantalla haciendo doble Clic sobre el objeto escalar que acabamos de crear (Compruebe que dicho valor es 4.0745958099) Tomando en cuenta que, el estadstico de prueba de Goldfeld y Quandt, se distribuye como una F con 11 grados de libertad en el numerador y el denominador, en la lnea de comandos calculamos la probabilidad de rechazar la hiptesis nula siendo esta cierta, escribiendo:

Scalar [email protected](f,11,11)

Anlisis de los resultados:

Econometra bsica

Heterocedasticidad 27

Cmo la probabilidad de rechazar la hiptesis nula (de homocedasticidad) siendo esta cierta es de 0.01408971 (no supera el nivel de significancia del 5%) se concluye que existe heterocedasticidad. Contraste de White

f)

Estando en la ventana del Workfile

Seleccionar las series consu ingre Presionando la tecla Ctrl y con el botn derecho del Mouse seleccionar Open/as Equation

En la ventana del objeto ecuacin:

Seleccionar el comando View/Residual Test/White Heterokedasticity (cross term), o alternativamente, Seleccionar el comando View/Residual Test/White Heterokedasticity (no cross terms)

Anlisis de los resultados:

Siendo nR 2 = 5.330902 el cual est asociado a la probabilidad de rechazar la hiptesis nula siendo esta cierta de 0.069568 (supera el nivel de significancia del 10%) rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad. Es decir, segn White existe heterocedasticidad.

Econometra bsica g) Prueba de Breusch-Pagan-Godfrey

Heterocedasticidad 28

Estando en la ventana del Workfile

Seleccionar las series consu ingre Presionando la tecla Ctrl y con el botn derecho del Mouse seleccionar Open/as Equation.

En la lnea de comandos escribir:

Scalar [email protected] Scalar scr3=(se3^2)*28 Scalar var4=sc3/30 Cerrar la ventana del objeto ecuacin

Estando en la ventana del Workfile

Seleccionar el comando Genr y en el recuadro de dilogo escribir: pi=e2/var4

Estando en la ventana del Workfile

Seleccionar las series pi y ingre Presionando la tecla Ctrl y con el botn derecho del Mouse seleccionar Open/as Equation. En la ventana activa (Equation Specification) pulsar OK.

En la lnea de comandos escribir:

Scalar [email protected] Scalar [email protected] Scalar var5=se5^2 Scalar scr5=var5*28 Scalar sce5=scr5*cr2/(1-cr2) Scalar estbp=1/2*(sce5) [email protected](estbp,1)

Anlisis de los resultados:

Como la probabilidad de rechazar la hiptesis nula siendo esta cierta es de ..... (supera el nivel de significancia del 5%?) rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad. Es decir, segn Breusch-Pagan-Godfrey existe heterocedasticidad.

5.1 SOLUCION AL PROBLEMA DE HETEROCEDASTICIDAD

Econometra bsica

Heterocedasticidad 29

El procedimiento de estimacin mediante el mtodo de mnimos cuadrados ponderados utilizando el software Eviews es el siguiente:

Seleccionar la variable endgena (consu) seguida de la exgena (ingre) presionando la tecla ctrl. Seleccionar Open/as Equation En la ventana activa (Equation Specification) pulsar Option Escribir en la casilla Weighted LS/TSLS la variable de ponderacin. Por ejemplo si consideramos el supuesto 1 escribir: 1/INGRE. Pulsar OK Estando en la ventana de Equation Specification pulsar nuevamente OK

Los resultados deben ser los siguientes:

Estos resultados tienen caractersticas adicionales a otros objetos ecuacin:

En la parte superior aparece la variable de ponderacin. Es necesario indicar que Eviews reescala esta variable ponderacin dividindola por su media. Los estadsticos ponderados (Weighted Statistics) corresponden al modelo transformado.

Econometra bsica

Heterocedasticidad 30

Los estadsticos sin ponderar (Unweighted Statistics) se calculan con base a las variables del modelo original.