1. 1. Cuaderno de Actividades: Fsica I 3) Trabajo y Energa68Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
2. 2. Cuaderno de Actividades: Fsica I3) Trabajo y Energar3,1) Trabajo de una fuerza, w FArF BrmrABr dr rr r rrBW r F drFA B{rA1 24 4 3El trabajo de una fuerzawFes una integral de lnea a travs de la .r rEl wF depender del conocimiento de F F(r) en cada punto de la , el rvectordr es un desplazamiento elemental. Como toda integral de lnea sedeber parametrizar .El w F se puede entender como la evaluacin total del efecto de la fuerza Fen el desplazamiento del cuerpo. r uurCASO PARTICULAR: F cte r r rW FAB F .rAB F F F// 69Lic. Percy Vctor Caote FajardoA B rAB
3. 3. Cuaderno de Actividades: Fsica IrW + ,Si F // rABrW 0 ,Si F rABrW - ,Si F// rAB[W] Nm Joule J3,2) Energa, EEs la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.Tipos de Energa:i) Energa Cintica, EkEnerga vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos. r v 1 2Ek = mvm 2 0ii) Energa Potencial, EpEnerga asociada a la configuracin del sistema para la cual se define.Es una energa que corresponde al sistema. Depende de cmo estndistribuidos los elementos del sistema. 70Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
4. 4. Cuaderno de Actividades: Fsica Ii) Ep Gravitacional: Epg m2 rm1 G m1 m2E pg = rCaso Particular de Epg:mE pg = mghh NIVELEp: ; El nivel es irrelevante!ii) Ep Elstica, Epe Sistema Elsticos Sistema m k idealPE: Posicin de equilibrio km F 0 xmxxConfiguracin del sistema: x{x deformacin del resorte)1E pe kx 2271Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
5. 5. Cuaderno de Actividades: Fsica IEpe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energa, con lo cual la referencia no es importante.Es posible lograr una ecuacin similar de Epe para todo sistema elstico.iii) Energa Mecnica, EMEs la energa constituida por la energa cintica y la energa potencial de unapartcula. Observar que no es una energa que describa alguna propiedad de lapartcula. Resulta una definicin conveniente, como veremos. EM E K + E P EKT + EKR + E pg + E pe3.3) Relaciones entre W y E, R R (W,E)El trabajo y la energa estn ntimamente conectados, reflejndose dichaconexin en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton porun lado, y a Leyes de Conservacin, por otro.( ) ri) R R W , EKFREsta relacin es una forma elegante de la Segunda ley de Newton. r2 r r r W12 FR .dr FRr1r r dv rdv rr m .dr m .drFRW12 dt dt124 4 3 *rv = v x i + v y + vz k j r dr = dxi + dyj + dzk72Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
6. 6. Cuaderno de Actividades: Fsica I dvx dv y dvz (*) = dt i + dt j + dt { k . dxi + dyj + dzk } dx = vx dt dvxdv ydvz = dx +dy +dz dy = v y dt 1 dt 3 dt 2dt dz = v dt z dv d 1 2 1 2 x vx dt = vx dt = vx dt dt 2 2Y por simetra operacional, 1 2 1 2 {2 2 2} vx + v y + v z v 22W12rFRr dv r 1 2 m .dr m v dt 2 1 2 = Ek 1 = Ek r WFR= Ekr r rW FK= Ek FR = maii) R = R (WFNC, EM)Esta relacin muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrandoclaramente su carcter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara lascondiciones para que dicha energa se conserve.Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM.73Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
7. 7. Cuaderno de Actividades: Fsica I r FNC = Trabajo de la Fnc W Q; EM 50 J de Ek a 50J de Q (forma de energa no mecnica)Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.Fc = Son fuerzas que conservan la EM.Estn definidas por Fc = - U: Operador NablaU: Funcin potencial escalarU = Ep (Energa Potencial)Toda Fc tendr asociada una energa potencial: Fc EprFc EpFg WEpgFelsticas EpeEsto debe ser as debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cualsignifica que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada,siempre es cero,r r r F = (U ) (U ) = 0 (U ) = 0El operador nabla se define as, d d d i +j + k dxdydz r rAhora, si una fuerza es conservativa,F = Fc , entonces, deber satisfacer dela condicin de rotor nulo, 74Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
8. 8. Cuaderno de Actividades: Fsica IFx Fy Fx Fz Fy Fz y x z x z y r r rrEsto es, la fuerzaj F = Fxi + Fy + Fz k deber de cumplir simultneamentelas tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas. rOtra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( ) Fc esmediante la independencia de su W segn cualquier trayectoria .1Fcrr rr1r2F cte 22r r1 Fc .dr W1 23Finalmente, podramos decir segn la definicin de estas fuerzas, que elrW FC E p , ecuacin que ser muy til para efecto de determinarrelaciones importantes.Regresando a la FNC: No estn definidas por la ecuacin Fnc = - U U = E p asociada W FNC depende de la rWFNCno es evaluable por la ecuacin W FNC E pDe todo lo anterior,75Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
9. 9. Cuaderno de Actividades: Fsica I W FNC ME? Probar esta relacin partiendo de la primera relacin donde larr rFR = Fc + Fnc .Conservacin de la EM: Para que la energa mecnica se conserve,EM 0 W FNC 0 rr FNC FNC rEMi EMfEn general,Como W FNC EM EMf EMi , entonces,EMf EMi +W FNC3,4) Potencia, PEs la cantidad fsica escalar que informa la rapidez de realizar trabajo oenerga.i) Potencia media, PM:76Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
10. 10. Cuaderno de Actividades: Fsica I WPm = tii) Potencial Instantnea, P:W dWP ( t ) lim =t 0 t dt r v ( t) rF ( t)rrP ( t ) F .v Ju [ P] = = watt W sS3P18) Una pequea piedra de 0,10 kg se deja en libertad desde su posicin de reposo en el punto A, en el borde de un tazn hemisfrico A R de radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra es pequea en comparacin con R, as queV puede tratarse como una partcula. El trabajo efectuado por la friccin sobre la piedra al bajar de A y B en el fondo del tazn es 0,22 J,Qu rapidez tiene la piedra al llegar a B?,B77Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
11. 11. Cuaderno de Actividades: Fsica ISOLUCION:A R R w = 0,1R = 0,6 VB =? nivelm rBvBrN f rw:fuerza conservativaf, N : fuerzas no conservativas.rwWFnc = EM, FNC f rWfA B= EMB EMAEM = Ek + Epg r 1 2WfA B= EkB E pgA = mvB mgR 2 2( ) rvB = WAB + mgR ? f m r? Se podr resolver usandoW FR Ek2 FRrvB =WABmr r r rW FR=W + Ww N +W f78Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
12. 12. Cuaderno de Actividades: Fsica I r r rww w.r = wR 2 FRrvB = WAB ? mS3P1) Sobre una partcula acta la fuerza r ()F ( x, y , z ) 3 x y 2 z i + 3 x 2 yz + zy N: j ra) Es F una fuerza conservativa?b) Si a) es afirmativo, halle la funcin potencial escalar, U (x,y,z).c) Halle la energa potencial si para un problema particular U (1,0,1) 1.d) El movimiento es en el plano? Discuta.SOLUCION:r r124 { 4 3 14243 } {F ( r ) = F ( x, y , z ) = 3xy 2 z i + 3x 2 yz + zy j }FxFy r ra) F Fc ? r r F = 0derivadas parciales cruzadasFx Fy Fx Fz Fy Fz ===y x z x z y6xyz = 6xyz 3xy2 0La ultima ecuacin no es correctala fuerza es no conservativa!? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar el problema.S3P2)Dado el siguiente campo de fuerzas, rF ( x, y, z ) ( x + x ) i + ( 2 y + 1) + ( z + z ) k , 2j3a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo.b) Halle la energa potencial asociada para U (1,1,1) 0.c) De una curva de energa potencial que represente un caso fsico concreto. 79Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
13. 13. Cuaderno de Actividades: Fsica ISOLUCION:( 4 3 124124 ) 4 3j 1244 3 (F ( x, y , z ) x 2 + x i + ( 2 y + 1) + z 3 + z k ) Fx FyFx FzFy Fza) 0 0, 0 0, 00yxz x z y r F Fc U { E p } / F Ub) U U(x,y,z) F Fc - Ur rF .dr U .dr 123U U U rU i+j+k dr = dxi + dyj + dzkxyzr U UUU .dr dx +dy +dz dUx yz r rF .dr dU r r : U F .drrPara determinar U se puede integrar F tal como lo indica la Ec anterior,U { Fx dx + Fy dy + Fz dz}Analizando la por cada componente e introduciendo una cte funcional encada caso:x : U Fxdx 80Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
14. 14. Cuaderno de Actividades: Fsica I x3 x 2 U {}x + x dx + + cx ( y, z ) 2 3 2y : U Fy dy{ } U { 2 y + 1} dy y 2 + y + c y ( x, z )z : U Fz dz z4 z2 U { }z + z dz + + cz ( x, y ) 3 4 2Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene, x3 x 2 z4 z2 { }U ( x, y , z ) + y + y + + c E p ( x, y , z ) 2 324 2r Fc U Fx i + Fy + Fz k jDonde la constante c se determina por la condicin que caracteriza al problemafsico, Ep (1,1,1) 01 1 1 1 c + + { 1 + 1} + + 3 2 4 2Ep (x,y,z) / c 43/12c) c1) Ep de un ncleo atmicoEp 0R r 81Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
15. 15. Cuaderno de Actividades: Fsica Ic2) Ep de sistema m - kEp-A Axc3) Ep de sistema planetario o sistema atmico Epr ? Podra proponer dos curvas ms de Ep.S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta Adesde el reposo sobe una superficiecircular lisa AB para despus moversesobre la superficie horizontal BC, cuyo k8mCD 12 m B82Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
16. 16. Cuaderno de Actividades: Fsica Icoeficiente de rozamiento es = 0,2. En el punto C est colocadoun resorte de constante k = 103 N/m: a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B. b) Cunto se comprime el resorte?SOLUCION:m=4AB = lisok = 103VA = 0 BC = rugoso = 0,2a) NB=?0 Ak 0BDCL (m) al pasar por B,0 2mvBFcp N B w = Fcp Rw 2B vB N B = w + m , w = mg NB R vB = ?Analizando de A B: WFnc 0, Fnc = NEmA EmB 1 2EMA Epg A mgR EMB mvB vB 2 gR 2 22 gRN B mg + mx= 3mgR b) Sea la compresin dada por DE, DE=x?83Lic. Percy Vctor Caote Fajardo CED
17. 17. Cuaderno de Actividades: Fsica Ir r rD E : FNC f ;W FNC = f EM -f (12 + X) EME - EMB 1 1 k { x} m ( 2 gR ) 2 2 2 a (x) 2 + bx + c 0 / f k mg x ? 84Lic. Percy Vctor Caote Fajardo