1. ABRIL . GEOMETRIA - 4TO

1

I.E. I.E.CEBA SANTA ISABEL!” Mes: Abril

DEFINICIÓN

Reunión de dos rayos con un mismo origen. Dicho origen se llama vértice y los rayos denominados lados.

. m ∢ A0B = .

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión

CLASES DE ÁNGULOS

Según su Medida

1. Ángulos Convexos

∢ Agudo. 0 < < 90º .

∢ Recto. = 90º .

∢ Obtuso. 90º < < 180º .

Sub – Área: Geometría 4º Secundaria1

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I.E.CEBA SANTA ISABEL!” Mes: Abril

2. Ángulos No Convexos

. 180º < < 360º .

Según su característica

1. Ángulos Adyacentes

2. Ángulos Consecutivos

3. Ángulos ComplementariosDos ángulos son complementarios, si sus medidas suman 90º.

. + = 90º .

También:

C : Complemento de . C = 90° – .

4. Ángulos SuplementariosDos ángulos son suplementarios, si su medidas suman 180º.

. + = 180º .

También:

S : Suplemento de . S = 180° – .

5. Ángulos Opuestos por el vértice

BisectrizEs el rayo que parte del vértice y biseca al ángulo

. : Bisectriz del ∢A0B .

PROPIEDAD:

Sub – Área: Geometría 4º Secundaria

+ = 90°

A C T I V I D A D E N A U L A

3


1. Hallar m BOE. Si es bisectriz de AOC.

a) 100°b) 120°c) 135°d) 155°e) 165°

2. En la figura calcular “x”.

a) 144°b) 120°c) 108°d) 126°e) 132°

3. En la figura calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 150°b) 115°c) 105°d) 125°e) 135°

4. En la figura calcular “x”.

a) 45° b) 50° c) 55°d) 60° e) 65°

5. En la figura calcular “x”

a) 75° b) 60° c) 45°d) 30° e) 80°

6. En la figura calcular “x”. Si - =

a) 48° b) 44° c) 42°d) 36° e) 18°

7. En la figura calcular la m BOD. Si mAOC=100° y m XOY = 80°.

a) 50° b) 90° c) 70°d) 60° e) 120°

8. En la figura calcular el valor de “x”:

a) 135° b) 120° c) 150°d) 144° e) 105°


4


1. En la figura calcular “x”:

a) 30° b) 25° c) 20°d) 15° e) 10°

2. En la figura calcular “x”:

a) 20° b) 10° c) 12°d) 15° e) 18°

3. En el gráfico: hallar “x”

a) 100° b) 120° c) 140°d) 130° e) 150°

4. Hallar el m BOC. Si m AOD=100° y mBOD=80° y m AOC=40°

a) 30° b) 40° c) 20°d) 80° e) 10°

5. Hallar m AOC. Si es bisectriz del BOD y además AOB y AOD son complementarios.

a) 30° b) 36° c) 90°d) 60° e) 45°

6. En la figura calcular el complemento de x, Si es el mayor de los ángulos consecutivos.

a) 40° b) 140° c) 50°d) 45° e) 55°

7. Del gráfico calcular el mínimo valor entero de “x”:

a) 54° b) 50° c) 51°d) 52° e) 55°

8. Hallar “x”. Si es bisectriz del AOC.

a) 20°b) 10°c) 12°d) 14°e) 30°


A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

5


1. El Suplemento del Complemento de un ángulo excede en 80° al complemento del mismo ángulo. Calcular el complemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo.

a) 10° b) 11° c) 12°d) 13° e) 14°

2. La suma del Complemento y Suplemento de un ángulo es igual al triple de la medida de dicho ángulo. Calcular el Suplemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo.

a) 30° b) 40° c) 72°d) 50° e) 55°

3. El Suplemento del Complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del Complemento del mismo ángulo. Calcular el Suplemento del ángulo que tiene por medida la mitad de la medida del primer ángulo.

a) 140° b) 135° c) 120°d) 150° e) 30°

4. Sean y las medidas de dos ángulos. Si la suma del Complemento de 2 con el

Suplemento de 4 es igual a los del

Suplemento de 2 y además + = 12°; hallar.

CCC......................CC

2n veces

a) 4° b) 6° c) 8°d) 9° e) 3°

5. Las medidas de dos ángulos Suplementarios son proporcionales a 1 y 5. Calcular el Suplemento del Complemento del Complemento del menor de los ángulos mencionados.

a) 120° b) 140° c) 150°d) 160° e) 115°

6. Se tienen dos ángulos adyacentes de tal manera que la medida del ángulo formado por sus bisectrices es igual a la medida de uno de ellos. Calcular la razón de las medidas de dichos ángulos.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

7. Se tienen los ángulos consecutivos AOM, MOB, BON, NOQ y QOC, tal que

es bisectriz del AOB y es bisectriz del BOC, además m AOB = 4(m

BON) y m NOC=5(m BON). Si m MOQ =75°, calcule m BON.

a) 10° b) 15° c) 20°d) 24° e) 28°

8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que m AOB=60°, mBOC=20° y (m AOB) (m COD) = (m AOD) (m BOC); calcule la m COD.

a) 40° b) 20° c) 10°d) 80° e) 60°



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1. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que el Complemento de su medida es igual a la mitad de la misma medida.

a) 30° b) 45° c) 75°d) 80° e) 60°

2. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que el Suplemento del Complemento de su medida, es igual al séxtuplo de la misma.

a) 12° b) 15° c) 18°d) 20° e) 30°

3. Hallar la medida de un ángulo si el Complemento de dicho ángulo es a su Suplemento como 2 es a 7.

a) 45° b) 30° c) 54°d) 36° e) 40°

4. Dados dos ángulos calcular la medida de uno de ellos; sabiendo que el Complemento de la diferencia de dichos ángulos es igual al Suplemento de la suma de los mismos.

a) 12° b) 60° c) 90°d) 45° e) 30°

5. En la igualdad mostrada calcular “”S((C)) + C(S2) = S(C(S3))

a) 54° b) 45° c) 30°d) 60° e) 40°

6. La diferencia de las medidas de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 60°. Calcular m

DOB. Si es bisectriz del ángulo AOB.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°

7. Los rayos consecutivos y , calcular m

COB sabiendo que los ángulos AOD, BOE y COF tienen igual medida y que el ángulo AOF mide 114° y la mitad de la medida del ángulo formado por el rayo y la bisectriz del COD es 16°

a) 10° b) 15° c) 20°d) 25° e) 30°

8. Se tienen 5 ángulos consecutivos alrededor de un punto cuyas medidas se encuentran en progresión aritmética. Calcular el máximo valor entero que puede tomar la razón.

a) 60 b) 40 c) 37d) 36 e) 35


No dejes para mañana lo que puedes hacer

hoy


7


ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Ángulos Correspondientes

Un interno y el otro externo, a un mismo lado.

. = .

Ángulos Alternos Internos

Ambos internos uno en cada lado.

. = .

Ángulos Conjugados Internos

Ambos internos y en un mismo lado

. + = 180° .

PROPIEDADES:

1. . x = + .

2. . x = 90° .


8


3.

. + = a + b + c .

4.

. + + + + = 180º .

5.

. + + + + = 180º . n .n = Nº de Segmentos

6. Ángulos Paralelos

. = .

. + = 180° .



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1. Si: L1 // L2. Calcular “x”

a) 40° b) 50° c) 60°d) 30° e) 70°

2. Si: , calcular “x”.

a) 16° b) 20° c) 18°d) 24° e) 15°

3. Si: L1 // L2. Calcular x

a) 18° b) 16° c) 15°d) 10° e) 25°

4. Si: L1 // L2. Calcular “x”

a) 40° b) 50° c) 60°d) 30° e) 15°

5. Las medidas de los ángulos y suman 42°. Calcular la medida del ángulo “x”, si L1 // L2

a) 96° b) 240° c) 132°d) 128° e) 111°

6. En el esquema mostrado las rectas L1 y L2

son paralelas; calcular el valor de “x”

a) 80° b) 73° c) 82°d) 42° e) 56°

7. Si: L1 // L y L3 // L4. Calcular .


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a) 30° b) 60° c) 45°d) 37° e) 53°

8. Si: , calcular “x”:

a) 65° b) 45° c) 15°d) 30° e) 20°

1. Calcular “x”. Si L1 // L2

a) 19°b) 18°c) 16°d) 20°e) 21°

2. Si L1 // L2. Calcular

a) 80°b) 20°c) 70°d) 40°e) 75°

3. Si , calcular “x”:

a) 60°b) 40°c) 50°d) 35°e) 20°

4. Si: , calcular “x”:

a) 10°b) 20°c) 25°d) 30°e) 45°

5. Si: L1 // L2. Calcular “ ”

a) 110°



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b) 90°c) 130°d) 100°e) 120°

6. Calcular “x”, si a + b = 50° y .

a) 40°b) 50°c) 70°d) 60°e) 65°

7. En el esquema las rectas L1 y L son paralelas. Calcular la medida del ángulo “”.

a) 60° b) 90° c) 85°d) 42° e) 72°

8. Calcular “x”. Si L1 // L2

a) 60°b) 50°c) 40°d) 70°e) 100°


Jamás engañes a otro, y no

serás engañado.Carlos Torres

Jamás engañes a otro, y no

serás engañado.Carlos Torres

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1. Considerando los datos del esquema mostrado indicar la relación correcta entre a; b; c, además L1 // L2.

a) b + c = a + 90b) a + b + c = 180c) a + b = c + 90d) a + b – c = 180e) a + c = b + 90

2. Calcular el ángulo “” en la siguiente figura si L1, L2 y L3, son paralelas

a) 40° b) 60° c) 30°d) 50° e) 70°

3. En el esquema mostrado L1 // L2, calcular la medida del ángulo que forman L3 y L4, si L5 y L3 forman un ángulo de 25°

a) 10° b) 15° c) 12°d) 24° e) 32°

4. Si L1 // L2 // L3 calcular “x” si el rayo L4 es bisectriz del ángulo en el vértice A.

a) 77° b) 26° c) 52°d) 78° e) 42°

5. Calcular “x”, si

a) 30° b) 25° c) 10°d) 15° e) 20°

6. Calcular x, siendo:

a) 60° b) 75° c) 105°d) 135° e) 140°

7. En la figura: L1 // L2



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Hallar:

a) 1 b) 2 c)

d) e)

8. Si: , calcular “x”.

a) 154° b) 115° c) 130°d) 144° e) 120°

1. Si las rectas L1 y L2 son paralelas el valor de “x” es:

a) 10°b) 20°c) 30°d) 40°e) 50°

2. Si L1 // L2. Calcular “x”

a) 130°b) 140°c) 170°d) 150°e) 145°

3. Hallar x. Si L1 // L2

a) 60° b) 75° c) 105°d) 135° e) 150°

4. Hallar “x”:

a) 100°b) 120°c) 130°d) 150°e) 160°

5. Si L1 // L2. Hallar “x”

a) 36°b) 32°c) 40°d) 30°e) 72°

6. Calcular “x”, si

a) 36°b) 40°



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c) 25°d) 35°e) 30°

7. Si y , = ; calcular

“x”.

a) 45°b) 60°c) 75°d) 80°e) 67.5°

8. Si: L1 // L2. Calcular “x”Si: + = 220°

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°


Coopera con todos, pero sin interferir en su manera de pensar y

actuar.

Carlos Torres

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DEFINICIÓN

Es aquella figura geométrica determinada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. P = punto interiorQ = punto exterior

NOTACIÓNABC se lee: triángulo ABC

ElementosVértices: A, B, y C.

Lados: , y .

Longitud de sus lados: a, b, y cm∢ internos: , y m∢ externos: 1 . 2 y 3

Perímetro: 2p = a + b + c

Semiperímetro:

CLASIFICACIÓN

I. Por la Medida de sus Lados

Equilátero

3 lados

Isósceles

2 lados

Escaleno

3 lados


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II. Por la Medida de sus Ángulos

AcutánguloEs aquel que tiene sus 3 ángulos internos agudos.

(0 < , , < 90°)

ObtusánguloEs aquel que tiene un ángulo interno obtuso.

(90° < < 180°)

Rectángulo:Es aquel que tiene un ángulo interno rectoa y b : catetosc: hipotenusa

PROPIEDADES BÁSICAS

Existencia del Triángulo

1.

. b-c <a <b + c .

2.

. aº + bº + cº = 180º .

3.

. xº + yº + zº = 360º .


Si a > b > centonces

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4.

. .

5. A mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa

. Si: > > a > b > c .

PROPIEDADES PARTICULARES

6.

. aº + bº = xº + yº .

7.

. aº + bº = xº + yº .

8.

. xº = aº + bº + cº .


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9.

. aº + bº = xº + yº .

10. Si: AB = BC El triángulo ABC es equilátero

11.

. x = 180º – (º + º) .

12.

. x = 90º - º .

13. Si:

Teorema de Arquímedes

. AD + CD < AB + BC .



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1. En la figura mostrada, determinar el tipo de triángulo que es ABC.

a) Escaleno b) Rectánguloc) Obtusángulo d) Isósceles e) Equilátero

2. En la figura, calcular la suma de todos los valores enteros pares que puede tomar ”x”

a) 18 b) 21 c) 14d) 17 e) 28

3. En la figura, calcular “x”

a) 18 b) 72 c) 36d) 60 e) 90


a) 60 b) 45 c) 36d) 72 e) 30

5. En la figura, calcular el mínimo valor entero que puede tomar el perímetro del triángulo ABC.

a) 14 b) 13 c) 12d) 15 e) 16


a) 105 b) 110 c) 115d) 125 e) 135


a) 2 b) 3 c) 5d) 2,5 e) 4


a) 18 b) 30 c) 20d) 45 e) 37



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1. En la figura, calcular “x”:

a) 75 b) 30 c) 60d) 45 e) 90


a) 135 b) 120 c) 150d) 105 e) 144

3. En la figura, calcular los valores enteros pares que puede tomar “x”.

a) 7; 8; 9 b) 6; 8 c) 8; 10d) 6 e) 8


a) 18 b) 15 c) 12d) 20 e) 30


a) 115 b) 125 c) 135d) 145 e) 140


a) 20 b) 30 c) 25d) 18 e) 24


a) 15 b) 18 c) 20d) 22,5 e) 30

8. En la figura, hallar “x°”. Si es bisectriz interior del triángulo rectángulo ABC.

a) 30°b) 22° 30’ c) 15°d) 10°e) N.A


1. ABRIL . GEOMETRIA - 4TO

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