Capitulo-4_empuje de Tierras

Mecánica de Suelos II Profesor Oscar Echeverri Ramírez

Capítulo 4. Empuje de tierras Presión ejercida por el suelo a su alrededor contra estructuras de retención (muros, tablestacas) Objetivo: calcular las presiones en situaciones de equilibrio límite (suelo al borde de la falla por cizalladura). Teoría de Rankine - suelos friccionantes.

zPv ×= γ

Pv : Presión vertical γ

: Pero unitario correspondiente al estado en que se encuentre el suelo.

z : Profundidad

Bajo la acción de , el suelo se presiona lateralmente

originándose un esfuerzo horizontal .

PvPh

zkPvkPh γ00 ==

0k : Coeficiente de presión de tierras en reposo.

0k = 0,4 -0,6 para suelos granulares sin finos.

0k = 0,4 arena suelta.

0k = 0,8 arena muy compacta.

0k = 0,5 arena natural compacta.

1


z

Ph

Pv

Ph

Pv

z

Ph

Pv

Ph

Pv

Cascajo y arena 60,035,00 −=k

Limos y arcillas 75,045,00 −=k

Arcillas preconsolidadas 10 =k

φsenk −= 10 Suelo normalmente cargado

Pa

Pv

Pp

2 1 3

Envolvente de Falla

τ

σ

Circulo :”en reposo” ;sin falla

Circulo :”estado activo”

1

Circulo :”estado pasivo”

2

3

zk ××γ0

Pa

PvPp

22 11 33

Envolvente de Falla

τ

σ

Circulo :”en reposo” ;sin falla

Circulo :”estado activo”

11

22

Circulo :”estado pasivo”33

zk ××γ0

2


A partir del “estado en reposo” se puede llegar a la falla de dos formas diferentes: 1. Disminución del esfuerzo horizontal (“expansión”)

Ph: disminuye hasta alcanzar un valor mínimo Pa

Pv: permanece constante

zkPaPh a ××== γ Estado activo de Rankine, círculo No. 2.

ak : Coeficiente de presión activa de tierras

PaPh = : Esfuerzo principal menor 3σ

Pv: Esfuerzo principal mayor 1σ

φφφ σσσσ NcsiNcN ×=⇒=+×= 3131 0,2 Reemplazando:

φNPaPv ×= φN

PvPa =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==2

º45tan

2º45tan

11 2

2

φφφN

ka

3


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2º45tan2 φ

ak

2. Aumento del esfuerzo horizontal (“compresión”)

Ph: aumenta hasta alcanzar un valor máximo Pp

Pv: permanece constante.

zkPpPh p ××== γ Estado pasivo de Rankine, círculo No. 3.

pk : Coeficiente de presión pasiva de tierras.

PpPh = : Esfuerzo principal mayor 1σ .

Pv: Esfuerzo principal menor 3σ .

φφφ σσσσ NcsiNcN ×=⇒=+×= 3131 0,2 Reemplazando:

φNPvPp ×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2º45tan2 φ

φNk p

4


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2º45tan2 φ

φNk p

pa kkk << 0 Evaluación del empuje en suelos friccionantes (Rankine).

h

4 2 1

3

z a. Estado plástico activo

φσσ N×= 31

φNPaPv ×=

1

4

2

3

Suposiciones básicas:

Pared interna de la estructura de contención vertical y lisa.

Superficie del lleno horizontal.

Distribución lineal de presiones.

La estructura puede deformarse lo necesario para producir los estados activo o pasivo.

h

44 22

11

33

z

11

44

22

33


Pared interna de la estructura de contención vertical y lisa.

Superficie del lleno horizontal.

Distribución lineal de presiones.

La estructura puede deformarse lo necesario para producir los estados activo o pasivo.

5


φ

γN

zPa ×=

Presión horizontal sobre el muro a la profundidad z.

Si evaluamos Pa en toda la altura h de la estructura de contención:

∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

h

dzzN

dEa0φ

γ

φ

γNhEa

2²

=

z

hka ××γ

hz

hka ××γ

hh

Empuje total activo ejercido por un relleno (friccional) de superficie horizontal contra un muro de pared vertical lisa. b. Estado plástico pasivo

φσσ N×= 31

φNPvPp ×=

6


φγ NzPp ××= Presión horizontal sobre el muro a la profundidad z.

( )∫×=h

dzzNdEp0

φγ φ

γ NhEp ×=2

²

Empuje total pasivo ejercido por un relleno (friccional) de superficie horizontal contra un muro de pared vertical lisa.

• Si el relleno es inclinado

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−−=

φββ

φβββγ

22

222

coscoscoscoscoscos

cos21 hEa

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+=

φββ

φβββγ

22

222

coscoscoscoscoscoscos

21 hEp

Para el caso 0=β

222

2

2

22

21

2º45tan

21

11

21

cos11cos11

21

hkh

sensenhhEa

a γφγ

φφγ

φ

φγ

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−−=

Nota: igual sucede con Ep.

7


• Si sobre la superficie del lleno (horizontal) actúa una carga de

intensidad q uniformemente distribuida. Estado plástico activo

z

hka ××γ

+h

q

qka ×

z

hka ××γ

+hh

q

qka ×

Pvq z ∆== σ

φNqqkPvkPaPh aa =×=∆=∆=∆

hqkhkEa aa ××+×= 2

21 γ

Nota: igual sucede para Ep

8


Densidad del “liquido equivalente”.

zh Ph

zhh Ph

zkPh a ××= γ

zkPh ××= γ0

zkPh p ××= γ

zkPh ××=⇒ γ

ek γγ =×

eγ : Densidad del “liquido equivalente”

zPh e ×= γ

9


Teoría de Rankine: suelos cohesivos ( 0≠c y 0=φ )

2 1

3

Envolvente de Falla

τ

σ

Circulo : “en reposo”

Circulo : “estado activo”1

CÍRCULO1:“En reposo”, sin falla

zkPvkPh ××=×=⇒ γ00 1. Estado activo

3σ⇒= PaPh 1σγ ⇒×= zPv

φφσσ NcN 231 += csi 20 31 +=⇒= σσφ

Circulo : “estado pasivo”

2

3

c

PvPp

zk ××γ0

Pa

22 11 33

Envolvente de Falla

τ

σ

Circulo : “en reposo”

Circulo : “estado activo”11

22

Circulo : “estado pasivo”33

c

PvPp

zk ××γ0

Pa

10


cPaPv 2+= ( ) czcPvPa 22 −×=−= γ

CIRCULO 2: ( ) czPa 2−×=⇒ γ 3. Estado pasivo

1σ⇒= PpPh 3σγ ⇒×= zPv

φφσσ NcN 231 += csi 20 31 +=⇒= σσφ

cPvPp 2+= ( ) czPp 2+×= γ

CIRCULO 3: ( ) czPp 2+×=⇒ γ Evaluación del empuje en suelos cohesivos (Rankine).

h

z

2c

2c ( )ch 2−×γ

a

d

fe

c

b

z0

Horizontal

hh

z

2c

2c ( )ch 2−×γ

a

d

fe

c

b

z0

Horizontal

11


1. Estado activo

czPa 2−×= γ (Empuje activo a la profundidad z)

Si evaluamos sobre toda la altura h:

hchEa ×−×

= 22

²γ

czPa 2−×= γ

0=zSi (Superficie) cPa 2−=⇒

chPahzSi 2−×=⇒= γ

γγ czczPazzSi 220 000 =∴−×==⇒=

02422

022

22

²0

zchhch

chhhchEaSi

c ===∴=×

⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

××∴×−==

γγ

γγ

024 zchc ==γ

12


hc: Altura crítica: máxima altura vertical teórica a la que puede llegarse en un corte de material cohesivo sin soporte y sin

derrumbe. En la práctica se afecta por un FS = 2,0.

hchEa ×−×

= 22

²γ

Considera presiones negativas (tensiones).

Localización (y)

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−=×

330

20

1zhEazhEayEa

Si en la evaluación de Ea no se consideran tensiones:

( ) ( )

0

2

0

20

2

22

22

222

`

zchch

zhchczhhhaE

×+×−×

=

−−×

=×⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

−×

=

γ

γγ

γγ 22 22

2`

chchaE +×−×

=

13


2. estado pasivo

z

2c

2c h×γ

Horizontal

h

z

2c

2c h×γ

Horizontal

h

czPp 2+×= γ (Empuje pasivo a la profundidad z)

Si evaluamos sobre toda la altura h:

hchEp ×+×

= 22

²γ

czPp 2+×= γ 0=zSi cPp 2=⇒

chPphzSi 2+×=⇒= γ

14


Localización (y)

hchEp ×+×

= 22

²γ

23 21hEphEpyEp +=×

Si actúa una sobrecarga (q) uniformemente distribuida:

hqhchEa ×+×−×

= 22

²γ

hqhchEp ×+×+×

= 22

²γ

Teoría de Rankine: Suelos con fricción y cohesión.

φφ

γN

hcN

hEa ×−

×=

22

²

φφγ NhcNhEp ××+×

×= 2

2²

Superficie lleno horizontal, sin sobrecarga

15


Deformaciones (inclinación) mínimas necesarias para producir los estados de Rankine.

SUELO ESTADO ACTIVO

ESTADO PASIVO

No cohesivo compacto 0,0005h 0,005h

No cohesivo suelo 0,002h 0,01h

Cohesivo duro 0,01h 0,02h

Cohesivo blando 0,02h 0,04h

Conclusiones • A mayor resistencia del suelo menor será la deformación

requerida para producir los estados activo y pasivo. • En suelos friccionantes las deformaciones necesarias para

producir los estados activo o pasivo son menores que en suelos cohesivos.

• La deformación necesaria para producir el estado activo es menor que la necesaria para el desarrollo del estado pasivo.

h

Deformación

“Compresión”

Estado Pasivo

h

Deformación

h

Deformación

“ Expansión”

Estado Activo

h

Deformación

“Compresión”

Estado Pasivo

“ Expansión”

Estado Activo

16


Teoría de Coulomb (suelos friccionantes, 0≠φ y c = o). (1776)

h

4

32

1

β

h 44

3322

11

β


Pared estructura de contención: vertical o inclinada y rugosa.

Superficie del lleno horizontal o inclinada.

La estructura puede deformarse lo necesario para producir los estados activo y pasivo.

Superficie de falla plana ( observada en arenas limpias).

1

2

3

4


Pared estructura de contención: vertical o inclinada y rugosa.

Superficie del lleno horizontal o inclinada.

La estructura puede deformarse lo necesario para producir los estados activo y pasivo.

Superficie de falla plana ( observada en arenas limpias).

11

22

33

44

h

β

O

A

B

δω

EW

φFh

β

O

A

B

δω

EW

φF

• La cuña OAB tiende a deslizarse por su propio peso.

17


• Se producen esfuerzos de fricción en el respaldo del muro (OA)

y a lo largo de OB. • φδ ≤≤0

• ⇒= 0δ muro liso

• valor práctico de δ (Terzaghi)

32

2φδφ

≤≤

Para cualquier cuña dada:

E

FW

Direccion EDireccion F

E

FW


W: conocida en magnitud y dirección.

E y F se conoce su dirección. Se puede construir el triángulo de esfuerzos y determinar el valor de

E. Procedimiento: • Dibujar diferentes cuñas. • Calcular empujes para cada cuña.

• Determinar Emáx ( cuña “ crítica “)

Nota: Existen métodos gráficos que permiten calcular Emáx (Culmann, Engesser, Mecánica de suelos, E. Juárez B. & A. Rico R., tomo II).

18


Solución matemática. Teoría de Coulomb (Suelos friccionantes)

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscos1coscos

cos2

²

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−+

+×+×

−×

×=

βωωδβφφδωδω

ωφγ

sensen

hEa

⇒

akhEa '2

2

××

=γ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscos1coscos

cos2

²

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−++

+×−×

+×

×=

βωδωβφφδδωω

ωφγ

sensen

hEp

⇒

pkhEp '2

2

××

=γ

19


Nota: Si el muro es vertical 0=ω

Si el relleno es horizontal 0=β

Si la pared del muro es lisa 0=δ

akhEa '2

²×

×=

γ Teoría de Rankine

Nota: Si δ es grande la superficie de deslizamiento real se aparta mucho del plano de falla supuesto en la teoría de Coulomb

• Error: 30 % para Ep con φδ =

Disminuye al disminuir δ

• si la superficie de la falla coincide con la pared de contención

W (peso cuña) = 0 , E = 0

• si la superficie de falla hace un ángulo φ con la horizontal.

φFW

hφ φF

Wh

φ φFW

hφ

F=W E=0

20


Diagrama de presiones Punto de aplicación del empuje

Terzaghi:

• Trazar por el centro de gravedad de la cuña crítica una paralela a

OB. • Intersección paralela y respaldo aproximado al punto de

aplicación de E.

⎩⎨⎧

××=××=

=p

a

kzPpkzPa

Ph''

γγ

h ⎩⎨⎧

××=××=

=p

a

kzPpkzPa

Ph''

γγ

h

a)

h

Horizontala)

E3h

h

Horizontal

E3h

b) A

h

O

BInclinado

Paralela a OB

EW

b) A

h

O

BInclinado

Paralela a OB

WE

21


Teoría de Coulomb: suelos con fricción y cohesión Se toma como superficie de falla el plano que vaya desde la base del muro hasta la zona de agrietamiento

h

O

A

B

δ φF

W

EN

D

C Zona de tension. (agrietamiento).

Con altura :

φγ

Ncz 20 =M

Grieta

h

O

A

B

δ φF

W

EN

D

C Zona de tension. (agrietamiento).

Con altura :

φγ

Ncz 20 =M

Grieta

FUERZAS

MAGNITUD

DIRECCIÓN

W Área cuña OABC x γ

Vertical

F

Desconocida Ángulo φ con la

perpendicular al plano OC

M

C ( cohesión) x

longitud OC

Paralela a OC

N

C(cohesión) x Fa*

(adherencia) x longitud OD

Paralela a OD

E

Desconocida Ángulo δ con la

paralela al plano OD

22


*Nota: En general para suelo blando Fa toma una valor 1 y en suelo duro del orden de 0,5. Procedimiento: • Para cada cuña se construye un polígono de fuerzas. • Se calcula E para cada cuña hasta encontrar el máximo valor.

E

FW


MN

E

FW


MN

Empuje pasivo Puede procederse igual que para empuje activo; pero la teoría de Coulomb resulta, para éste caso, muy poco aproximada y del lado inseguro. Método semiempírico de Terzaghi para el cálculo de empujes contra muros de contención. • Basado en análisis sobre muros reales (midió presiones laterales

contra un muro rígido haciéndole girar en torno a su base en el sentido activo y pasivo).

23


• Proporciona resultados un tanto conservadores, sin embargo es

el método más ampliamente utilizado. • Útil para alturas de muro hasta 7 m. Consideraciones básicas: • El muro puede deformarse (desplazarse) lo suficiente para

producir los estados activo ó pasivo. • La presión del agua en los poros del relleno es despreciable. • Los parámetros del suelo que aparecen en las fórmulas pueden

determinarse con precisión. • Procedimiento: 1. Clasificar el material de lleno en uno de los siguientes tipos: I. Suelo granular grueso, sin finos (arena, grava, limpias). II. Suelo granular grueso, con finos limosos. III. Suelo residual con piedras, gravas, arenas y finos arcillosos

en cantidad apreciable. IV. Arcilla blanda o muy blanda, limos orgánicos o arcillas

limosas. V. Fragmentos de arcillas dura o medianamente dura, protegidos

de modo que no penetre agua entre ellos. Notas: Los tipos IV y V deberían descartarse de ser posible. Si el muro debe proyectarse antes de conocer el material de lleno, el cálculo del empuje se basará en las condiciones más desfavorables relativas al suelo a utilizar.

24


2. Geometría de lleno y condición de cargas:

ββ

a. La superficie del lleno es plana, inclinada o no y sin sobrecarga alguna. b. La superficie del lleno es inclinada a partir de la corona del muro hasta cierta altura sobre ella, donde se hace horizontal.

βββ

c. La superficie del lleno es horizontal y sobre ella actúa una sobrecarga uniformemente distribuida.

qq

q’q’ d. La superficie del lleno es horizontal y sobre ella actúa una sobre carga lineal uniformemente distribuida, paralela a la corona del muro.

25


3. Cálculo del empuje y punto de aplicación: • para el caso a:

h

a

b

H

H/3EH

EVh

a

b

H

H/3EH

EV

2

21 HkEv v ×=

Ev vertical; Actúa a los largo del plano ab.

2

21 HkEh h ×=

Eh horizontal; Actúa a H/3 a partir de la base.

26


Gráficas valores de Kv y Kh

Graficas para determinar el empuje de rellenos con superficie plana, según

Terzaghi. Mecánica de suelos. Tomo II. Juárez Badillo y Rico Rodríguez.

27


Eh y Ev valor del empuje por metro lineal de muro. Nota: si se trabaja con lleno de material tipo V, el punto de

aplicación de Eh estará localizada a una distancia d’ sobre la base del muro.

( )mHd 2,131' −=

• Para el caso b:

h

a

b

H

H/3EH

EV

H1

h

a

b

H

H/3EH

EV

H1

Gráficas valores de Kh y Kv en función de tipo de suelo, ángulo

β , y de la relación HH1

.

Nota: si se trabaja con el suelo tipo V, el empuje se aplicará a la

distancia d’, antes definida.

28


Mecánica de suelos. tomo II. Juárez Badillo y Rico Rodríguez..

29


• para el caso c: La presión horizontal se incrementa en la cantidad:

qCPh ×=∆

HqCEh ××=∆

a

b

H

EH

EV

q

qCPh ×=∆

a

b

H

EH

EV

q

qCPh ×=∆

Tipo de suelo de lleno C

I

0,27

II

0,30

III

0,39

IV

1,00

V

1,00

30


• para el caso d:

h

EH

EV

40º

q’

'qCP ×=h

EH

EV

40º

q’

'qCP ×=

• La presión horizontal deberá incrementarse en la cantidad

'qCP ×= (C, se debe obtener de la tabla anterior).

Punto de aplicación de P: • Trazar recta con ángulo de 40º con la horizontal. • El punto de intersección de la recta con la pared del muro será el

punto de aplicación.

• Si al trazar la recta a 40º el punto de aplicación de P queda por

debajo del muro, el efecto de q’ puede despreciarse. Nota: la carga que produce también una presión vertical sobre la fundación del muro:

31


q’

60º

b fe

q’

60º

b fe

efqPv '

=

Para efectos del análisis de estabilidad solo se considera la parte de

la presión que actúa sobre la fundación (tramo eb). Resumen:

a

b

H

H/3EH

EV

H2 Epa

b

H

H/3EH

EV

H2 Ep

32


2

21 HkEv v ×=

2

21 HkEh h ×=

Empuje Activo

222

1 HkEp p ×=

hp k

k γγ ×=32

Empuje Pasivo

Ep: suele despreciarse

Horizontal

H=h

RANKINETERZAGHI

2

21 HkEh h ×= hkEa a ××= γ

21

Horizontal

H=h

RANKINETERZAGHI

2

21 HkEh h ×= hkEa a ××= γ

21

El método de Terzaghi supone una buena (firme) cimentación del muro (fuerzas de fricción y adherencia muro-suelo están dirigidas hacia abajo), el efecto estabilizante que tiende a reducir el empuje. Si el suelo de fundación es muy blando, el asentamiento tiende a invertir el sentido de esta fuerza aumentando en forma considerable el empuje. Para este último caso, los valores del empuje deberán aumentarse en un 50%.

33

Capitulo-4_empuje de Tierras

Documents

Transcript of Capitulo-4_empuje de Tierras