Apuntes de Catedra Del Capitulo 1

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (Compilación) UMSA –UCB – EISPDM: LA PAZ – BOLIVIA, 2015. Hacia una Física para la vida y la Investigación Científica Editorial Crítica x y z z B x B y B λ ϕ ψ B r x y z z B x B y B λ ϕ ψ B r

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analisis vectorial en el plano y en el espacio

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ANÁLISIS VECTORIAL

EN EL PLANO Y EN EL

ESPACIO

Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo

(Compilación)

UMSA –UCB – EISPDM: LA PAZ – BOLIVIA, 2015.

Hacia una Física para la vida y la

Investigación Científica

Editorial Crítica

x

y

z

zB

xByB

λϕ

ψ

Br

x

y

z

zB

xByB

λϕ

ψ

Br

Page 2: Apuntes de Catedra Del Capitulo 1

PROLOGO A LA PRIMERA EDICIÓN

Desde hace tiempos inmemoriales el hombre ha tratado y tratará de conquistar el mundo entero, conquista que ha originado el

alejamiento del hombre a entender a la naturaleza, al tiempo que ahora se nos ha dividido en países desarrollado, sub – desarrollados y

en desarrollo. En esta conquista el pilar fundamental ha sido sin lugar a duda las ciencias exactas y aplicadas , por ello en esa lucha de

entender el comportamiento de la naturaleza la Física aportó grandemente, al punto de necesitar herramientas mas sofisticas como ser la

Matemática Abstracta y la Filosofía con su teoría materialista del conocimiento, hoy que hemos avanzado en enormes pasos gracias al

rápido avance de las ciencias informáticas y la electrónica creemos encontrarnos en la cúspide de nuestra creación, sin embargo el precio

que se nos avecina es un mundo sin agua, sin atmósfera y por sobre todo sin recursos naturales. Las ciencias antiguas no fueron creadas

con fines lucrativos ni con fines de destrucción entre nosotros, por el contrario fueron creados a fin de facilitar el trabajo pesado que

hacíamos, caso de la Dinamita por ejemplo, pero así como ningún ser humano es igual al otro no todos piensan igual, por ello es hora de

concienciar a los estudiantes desde niveles inferiores a fin de que puedan utilizar el conocimiento para el servicio de la humanidad y no

para su destrucción, por ello planteo empezar desde abajo, se ve que en algunos colegios secundarios y en las mismas universidades no

se fomenta el razonamiento, creatividad y percepción visual, sino se busca mecanizar al estudiante. En este sentido el análisis vectorial

constituye el pilar fundamental de la Física aplicada, ya que su lenguaje es elegante y formal y se apoya de la ciencia fáctica como es la

Matemática y la ventaja que se notará en lo posterior en las demás temáticas de la Física será que; expresar cualquier cantidad Física en

forma vectorial o escalar constituirá no solo un resultado sino estará envuelta en todo un cúmulo de interpretaciones y consecuencias.

Este capítulo se inicia con la conceptualización de vector, clasificaciones de los diferentes tipos de vectores, diferenciación entre

cantidades escalares y vectoriales, también se estudia en forma detallada el espacio tridimensional siendo este espacio el espacio real de

nuestra existencia, se estudian las diferentes operaciones vectoriales de forma completa y acompañada de sus respectivas

interpretaciones, al finalizar de leer el capítulo usted debe poder resolver cualquier problema que involucre el estudio de los vectores ya

que se muestran desarrolladas ejercicios poco usuales en la literatura Física y además se proponen ejercicios a fin de evaluar la

capacidad de razonamiento del estudiante.

El presente material bibliográfico está dedicado a mi fiel esposa que es la Física, mi amante la señorita Matemática y mi fiel compañera

la soledad, mismas que cambiaron mi concepción de espacio y del tiempo al cual les agradezco por darme la oportunidad de crecer

como ser humano y conocer otros mundos que no había conocido.

Prof. Lic. Evaristo Mamani Carlo

CATEDRÁTICO DE FÍSICA – MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO

ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR “PEDRO DOMINGO MURILLO”

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ÍNDICE

PRÓLOGO ÍNDICE 1. DEFINICIÓN ............................................................................................................................. 1 2. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA ................................................................................... 1 3. NOMBRAMIENTO DE UN VECTOR ..................................................................................... 1 4. REPASO DE TRIGONOMÉTRÍA EN EL PLANO ................................................................ 1 5. REPRERSENTACIÓN DEL MÓDULO DE UN VECTOR ..................................................... 3 6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES ........................................ 3 7. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARE4S DE UN VECTOR EN EL PLANO ............................................................................................................................................. 3 8. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARE4S DE UN VECTOR EN EL ESPACIO ......................................................................................................................................... 4 9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO .................................................................................... 5 10. SIGNOS DEL PLANO ESPACIAL .......................................................................................... 6 11. TIPOS DE VECTORES ............................................................................................................. 6 11.1 Vectores Paralelos .................................................................................................................... 6 11.2 Vectores Concurrentes ............................................................................................................. 6 11.3 Vectores Colineales .................................................................................................................. 6 11.4 Vectores Coplanares ................................................................................................................. 7 11.5 Vectores Perpendiculares ......................................................................................................... 7 11.6 Vector cero ó nulo ................................................................................................................... 7 11.7 Vectores Unitarios .................................................................................................................... 7 12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO .............................................................................. 7 13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO ........................................................................... 8 14. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR DE FORMA VECTORIAL ..................................... 8 15. OPERACIONES VECTORIALES ............................................................................................ 8 15.1 Suma y/o Resta de Vectores ..................................................................................................... 8 15.2 Producto Escalar ó Producto Interno Entre Vectores ............................................................... 9 15.3 Producto Vectorial ó Producto Cruz Entre Vectores ............................................................. 10 15.4 Triple Producto Escalar Entre Vectores ................................................................................. 12 15.5 Triple Producto Vectorial Entre Vectores .............................................................................. 13 16. TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR CUALQUIERA A UNITARIO .......................... 14 17. OPERACIONES VECTORIALES Y ESCALARES CON LOS VERSORES UNITARIOS EN EL PLANO Y ESPACIO ......................................................................................................... 14 15.4 PARALELISMO DE VECTORES ........................................................................................ 12 BIBLIOGRAFÍA

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 1

Los principios del análisis vectorial En el plano y en el espacio

1. DEFINICIÓN. Un vector es un elemento matemático que tiene tres elementos:

• Módulo o tamaño • Dirección • Sentido

2. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA. Todo vector esta representado por una línea continua, que tiene un origen y una flecha que indica su sentido, es decir: 3. NOMBRAMIENTO DE UN VECTOR . Al igual que todos los objetos tienes sus nombres, todo vector puede ser nombrado utilizando las letras del alfabeto, ya sean mayúsculas o minúsculas, algunas notaciones comunes son:

.,ˆ, etc E d ,b ,Avtr

Todas estas notaciones representan vectores, pero para una mejor comprensión utilizaremos la notación

universal, que es: Ar

. Antes de seguir adelante, hagamos un breve repaso de trigonometría: 4. REPASO DE TRIGONOMETRÍA EN EL PLANO.

Relación de ángulos:

Módulo o tamaño Dirección

Sentido

Módulo o tamaño Dirección

Sentido

Sistema Sexagesimal: ´´601

´60º1

==

Sistema Inglés

Sistema Centesimal: 100`` 1`

100`1g

==

Sistema Francés.

Sistema Radiánico :

[ ] g10090ºrad2

π ==

Existen tres maneras de vivir la vida; uno creer que todo es un milagro, dos creer que nada es un milagro y tres creer que el milagro lo hacemos nosotros mismos.

Autor: E=mc 2

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Triángulos Rectángulos: Triángulos Oblicuángulos:

Conversión del seno al coseno y viceversa:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )α ctgα90ºtg

α senα90ºcos

α cosα90ºsen

=−=−=−

Identidades Trigonométricas:

a

b

βa

b

β

Teorema de Pitágoras : 222 bac +=

Relación de ángulos : [ ]rad2

º90πβθ ==+

Relaciones Trigonométricas:

tgθ ; ctgθ

senθ ; cscθ

cosθ secθ;

b

a

cosβ

senβ ; tg

c

bcos

;c

a sen;

a

b

cos

sen ; tgθ

c

a ; cosθ

c

bsenθ

111 ======

=====

ββ

βθθ

cd

φ

ω

cd

φ

ω

Ley de Senos : ( ) ( ) ( )φλω sen

p

sen

c

sen

d ==

Ley de Cosenos :

( )( )( )λcosdpdpc

coscdcdp

ωcoscpcpd

2

2

2

222

222

222

⋅⋅⋅−+=

⋅⋅⋅−+=⋅⋅⋅−+=

φ

Relación de ángulos : [ ]rad º180 πωλφ ==++

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )2

2αcos1αcos ;

2

2αcos1αsen

βαcosβαcos2

1βcosαcos

βαsenβαsen2

1βcosαsen

βαcosβαcos2

1βsenαsen

βtgαtg1

βtgαtgβαtg

βsenαsenβcosαcosβαcos

αcosβsenβcosαsenβαsen

1α2cosα2sen1αsenαcos2αcos

αcosαsen 22αsen

1αcosαsen

22

2222

22

+=−=

−++=⋅

−++=⋅

+−−=⋅

⋅±=±

=±±=±

−=−=−=

==+

m

m

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) par) (Función αcosαcos

impar) (Función αsenαsen

Zn ; π 2

1n x 0xcos

Zn ; nπx 0xsen

2

αβ sen

2

βα 2senβcosαcos

2

βα cos

2

βα 2cosβcosαcos

2

βα sen

2

βα 2cosβsenαsen

2

βα cos

2

βα 2senβsenαsen

=−−=−

∈∀

+=⇒=

∈∀=⇒=

+=−

+=+

+=−

+=+

2 : mcEPor =

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5. REPRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE UN VECTOR. El módulo de cualquier vector está representado por la siguiente notación:

Avector del Módulo A

Avector Arr

rr

Éste módulo representa el tamaño o magnitud de una cantidad vectorial 6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES. Una cantidad se dice vectorial cuanto para su determinación se requiere de tres elementos: Módulo, Dirección y Sentido. En cambio una cantidad se dice escalar cuando para su especificación solo se requiere de una sola cantidad que es precisamente su magnitud, número ó escalar, algunos de los ejemplos de estas cantidades son:

etc. Masa ,m ; Eléctrica Carga Q ;a TemperaturT ; distancia d ; tiempot

:Escalares Cantidades

etc. ,Eléctrico CampoE ;Fuerza F ; nAceleracióa ; Velocidadv ; Posiciónr

:sVectoriale Cantidades

:::::

:::::rrrrr

7. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARES DE UN VE CTOR EN EL PLANO. Para obtener dichas componentes, se los debe descomponer es decir, proyectar al vector en los ejes cartesianos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1360ºcos ; 0360ºsen 0270ºcos ; 1270ºsen

1180ºcos ; 0180ºsen 2

3150ºcos ;

2

1150ºsen

2

1120ºcos ;

2

3120ºsen

2

160ºcos ;

2

360ºsen

2

245ºcos ;

2

245ºsen

2

330ºcos ;

2

130ºsen

090ºcos ; 190ºsen 10ºcos ; 00ºsen

:Notables Angulos

===−=

−==−==

−====

====

====

Ar

xA

yA

x

y

Ar

θ

Ar

xA

yA

x

y

Ar

θ

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Donde:

y direcciónla en Avector del Componente A

x direcciónla en Avector del Componente A

y

xr

r

De la figura anterior puede verse que si se conocen el módulo del vector y la dirección, pueden obtenerse las componentes como:

( ) ( )θθ senA A ; cos AA yx

rr==

En cambio si se conocen las componentes cartesianas, el modulo y la dirección pueden obtenerse de las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( )

=⇒=+= −

x

y

x

yyx A

Atg

A

Atg ; AAA 122 θθ

r

Es decir, los problemas que involucran vectores en el plano tienen soluciones conocidas que se los puede resolver utilizando las anteriores relaciones. 8. COMPONENTES CARTESIANAS O RECTANGULARES DE UN VE CTOR EN EL ESPACIO. Análogamente al caso anterior para obtener dichas componentes, se los debe descomponer es decir, proyectar al vector en los ejes cartesianos del plano espacial:

Donde:

z eje del respecto ángulo

y eje del respecto ángulo

x eje del respecto ángulo

Directores Ángulos

y direcciónla en Bvector del Componente B

y direcciónla en Bvector del Componente B

x direcciónla en Bvector del Componente B

resRectangula sComponente

z

y

x

λϕψ

r

r

r

Uniendo los vértices de cada componente con el vector, tenemos triángulos rectángulos a resolver:

x

y

z

zB

xByB

λϕ

ψ

Br

x

y

z

zB

xByB

λϕ

ψ

Br

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Ç Por otro lado tenemos: Finalmente, realizando la operación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1

1

222

2

2

2

222222

222

=++⇒

==++

=

+

+

=++

λϕψ

λϕψ

coscoscos

B

B

B

BBB

B

B

B

B

B

Bcoscoscos zyxzyx

r

r

rrrr

9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO . Cuando se trata del plano cartesiano nos hacemos referencia a problemas bidimensionales, es decir los ejes x –y, en este caso se habla de cuadrantes y están dados por:

x

y

z

zB

xByB

λϕ

ψ

Br

xB

Br

ψ

x

y

z

zB

xByB

λϕ

ψ

Br

xB

Br

ψ

Por lo cual tenemos:

( ) ( )

( )

B

Bcos

B

Bcos ;

B

Bcos

z

yx

r

rr

=

==

λ

ϕψ

Mismos que se denominan Cosenos Directores , ya que direccional al vector.

x

y

z

zB

xB

yB

Br

( ) ( )22yx BB +

zB

x

y

z

zB

xB

yB

Br

( ) ( )22yx BB +

zB

Por el teorema de Pitágoras:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )222

22

22

zyx

zyx

BBBB

BBBB

++=⇒

+

+=

r

r

Que se denomina; El teorema de Pitágoras en el espacio .

x+

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

x−

y+

y−

x+

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

x−

y+

y−

Cuyos signos son:

( )( )( )( )( )−+

−−+−++

,Cuarto

,Tercero

,Segundo

,Primero

y ,x SignosCuadrante

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10. SIGNOS DEL PLANO ESPACIAL . Cuando se trata del plano espacial nos hacemos referencia a problemas tridimensionales, es decir los ejes x – y - z, en este caso se habla de octantes y están dados por: 11. TIPOS DE VECTORES. Dentro del análisis vectorial existen una infinidad de vectores, algunos de los cuales son: 11.1 Vectores Paralelos. Son vectores que pueden tener el mismo sentido ó sentido opuesto, y son aquellos de la forma: 11.2 Vectores Concurrentes. Son vectores que pueden concurrir a un punto ó pueden concurrir de un punto,y son aquellos de la forma: 11.3 Vectores Colineales. Son vectores que están ubicados a lo largo de una sola línea y pueden tener el mismo sentido ó sentidos opuestos y están dados del siguiente modo:

x+

x−

y+y−

z+

z−

I Octante

II OctanteIII Octante

IV Octante

V Octante

VI OctanteVII Octante

VIII Octante

x+

x−

y+y−

z+

z−

I Octante

II OctanteIII Octante

IV Octante

V Octante

VI OctanteVII Octante

VIII Octante

Cuyos signos son: ( )

( )( )( )( )( )( )( )( )−−+

−−−−+−−+++−++−−++−+++

, ,Octavo

, ,Séptimo

, ,Sexto

, ,Quinto

, ,Cuarto

, ,Tercero

, ,Segundo

, ,Primero

z y , ,x SignosOctante

Br

Br

cr

cr

sentidomismo del Paraleloslosantiparale ó

opuestos sentidosdel Paralelos

Br

Br

cr

cr

sentidomismo del Paraleloslosantiparale ó

opuestos sentidosdel Paralelos

cr

dr

er

ar

br

br

cr

dre

r

ar

punto un de esConcurrent punto una esConcurrent

cr

dr

er

ar

br

br

cr

dre

r

ar

punto un de esConcurrent punto una esConcurrent

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11.4 Vectores Coplanares. Son vectores que están ubicados en un mismo plano, y están dados por: 11.5 Vectores Perpendiculares. Son vectores que forman un ángulo recto, y están dados por:

11.6 Vector Cero ó nulo. Es aquel vector que se representa por: 0r

y cuyo módulo está dado por:

0 0 =r

11.7 Vectores Unitarios. Son aquellos vectores cuyo módulo está dado por la unidad y se los representan generalmente por:

1 A A

A=⇒

A UnitarioVector

AVector r

rr

A los vectores unitarios se los denomina también VERSORES. 12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO. En el plano x – y, los vectores unitarios están dados por:

sentidomismo del Colineales

opuestos sentidosde Colineales

sentidomismo del Colineales

opuestos sentidosde Colineales

ar

br a

r

br

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13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO. En el plano x – y - z, los vectores unitarios están dados por: 14. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR DE FORMA VECTORIAL. Para representar un vector de forma vectorial ya sea en el plano ó en el espacio se debe utilizar las componentes cartesianas ó rectangulares y los vectores unitarios (versores), es decir:

( ) ( )( ) ( ) ( )

++=⇒++=

+=⇒+=

=⇒=

2z

2y

2xzyx

2y

2xyx

xx

AAAAk Aj Ai A A :espacio el en vectorial ciónRepresenta

AAAj Ai A A : plano el en vectorial ciónRepresenta

AAi A A : eje un en vectorial ciónRepresenta

A Vector

rr

rr

rr

r

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

15. OPERACIONES VECTORIALES. Existen diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar con los vectores, algunos de los cuales son:

vectorial Producto Triple

escalar Producto Triple

vectorial `Producto

escalar Producto

ciónMultiplica

Sustración ó Resta / Adiciónó Suma

15.1 Suma y/o resta de vectores. Para sumar y/o restar vectores, existen dos métodos por los cuales se los puede realizar, estos son:

• El método analítico • El método gráfico

x+x−

y+

y−i

j1 j

1 i

=

=

x+x−

y+

y−i

j1 j

1 i

=

=

x+

x−y+y− i

1 k

1 j

1 i

=

=

=

j

k

z+

z−x+

x−y+y− i

1 k

1 j

1 i

=

=

=

j

k

z+

z−

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a) Método analítico para sumar y/o restar vectores .

( ) ( ) ( ) kBAjBA iBABAkBjBiBB

kAjAiAAzzyyxx

zyx

zyx

3

:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean

±+±+±=±⇒

++=

++=

rr

r

r

rr

b) Método Gráfico para sumar y/o restar vectores. Sean los vectores D ,C ,B ,Arrrr

, que están representados por: c) Propiedades de la suma y/o resta de vectores. Las principales propiedades son:

( ) ( )( )

AnAAAAAA

BrBr

BABA

A

AA

BrArBAr

CBACBA

ABBA

Rry VC ,B A Sean

rrrrrrr

rr

rrrr

rr

rrr

rrrr

rrrrrr

rrrr

rrr

=++++++

=

+≤+

=⋅

⋅±⋅=±⋅

+±=±±

+±=±

∈∈

....)6

)6

)6

00)5

0)4

)3

)2

)1

,: 3

15.2 Producto Escalar ó producto interno entre vect ores. Sólo se puede multiplicar escalarmente entre vectores y se los representa por el símbolo: “o” y se lo define como:

Br

Ar

Cr

Dr

Br

Ar

Cr

Dr

Sr

DCBASrrrrr

+++=

Br

Ar

Cr

Dr

Br

Ar

Cr

Dr

Sr

DCBASrrrrr

+++=

Br

−Ar

Cr

Dr

−Pr

DCBAPrrrrr

−+−=

Br

−Ar

Cr

Dr

−Pr

DCBAPrrrrr

−+−=

n veces

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zzyyxx

zyx

zyx

3

BABA BABAkBjBiBB

kAjAiAA⋅+⋅+⋅=⇒

++=

++=

:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean

ro

r

r

r

rr

Es decir el resultado de ésta operación es un escalar ó numero, otra definición alternativa de este producto escalar es:

( )θcosBABAkBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

3

⋅⋅=⇒

++=

++=

rrro

r

r

r

rr

:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean

Donde θ es el ángulo menor entre ambos vectores. a) Propiedades del producto escalar entre vectores. Las principales propiedades son:

( )( ) ( ) ( )

( )

AAAAAA

ángulo un By A entrecos BABA

losantiparale sonBy ABABA

sentidomismo del paralelos sonBy ABABA

laresperpendicu sonBy ABA

Si

A

BrABArBAr

CABACBA

ABBA

Rry VC ,B A Sean

ro

rrrro

r

rrrrro

r

rrrrro

r

rrrrro

r

rrro

r

ro

r

ro

rro

rro

r

ro

rro

rrro

r

ro

rro

r

rrr

=⇒=

∃⇒⋅=

⇒⋅−=

⇒⋅=⇒=

=

⋅=⋅=⋅

±=±

=

∈∈

)6

0

:)5

00)4

)3

)2

)1

,:

2

3

θ

15.3 Producto Vectorial ó producto cruz entre vecto res. Sólo se puede multiplicar vectorialmente entre vectores y se los representa por el símbolo: “x” y se lo define como:

( ) ( ) ( ) kBABAjBABA iBABA

BBB

AAA

kji

BAkBjBiBB

kAjAiAAxyyxxzzxyzzy

zyx

zyx

zyx

zyx

3

:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean

⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==×⇒

++=

++=

rr

r

r

rr

El resultado de ésta operación es otro vector, que nada tiene que ver con los vectores originales. Otra definición alternativa para el módulo del vector resultante de ésta operación es:

Ar

Br

θAr

Br

θ

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 11

( )θsenBABAkBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

3

⋅⋅=×⇒

++=

++=

rrrr

r

r

rr

:por dados están que ; VB ,A:vectores los Sean

Donde θ es el ángulo menor entre ambos vectores. En cuyo caso ésta resultante obedece la regla de la mano derecha, es decir: a) Propiedades del producto vectorial entre vectore s. Las principales propiedades son:

( )( ) ( ) ( )

( )0)6

0

:)5

000)4

)3

)2

)1

,: 3

rrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

rrr

∃⇒⋅=×

⇒⋅=×⇒=×

=×=×

⋅×=×⋅=×⋅

×±×=±×

×−=×

∈∈

AA

ángulo un By A entre senBABA

laresperpendicu sonBy ABABA

losantiparale y/o paralelos sonBy ABA

Si

AA

BrABArBAr

CABACBA

ABBA

Rry VC ,B A Sean

θ

b) Interpretación geométrica del producto Vectorial entre dos vectores. De la definición alternativa para el módulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: ( )θsenBABA ⋅⋅=×

rrrr, en

cuyo caso tenemos la siguiente interpretación geométrica:

Ar

Br

θAr

Br

θ

Ar

Br

BArr

×

θ

º90

º90

Ar

Br

BArr

×

θ

º90

º90

Ar

Br

θ( )θ senB

r

Br

Ar

amoParalelogr

Ar

Br

θ( )θ senB

r

Br

Ar

amoParalelogr

Ar

( )θ senBr Rectángulo

Ar

( )θ senBr Rectángulo

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 12

De las figuras anteriores puede verse que el área del paralelogramo formado entre los vectores BArr

y es idéntico al área del rectángulo equivalente, es decir:

( ) BAθsenBArrrr

×=⋅⋅== rectángulo delÁrea amoparalelogr delÁrea

Por lo cual, sea: BA

rry vectores los entre formado amoparalelogr delÁrea A = , entonces:

BArr

×=A

Es decir; el módulo del producto vectorial entre dos vectores representa el área que encierra dichos vectores al formar una figura geométrica denominado paralelogramo. 15.4 Triple Producto Escalar entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores cualesquiera, y cuyo resultado arroja un escalar ó número, y se define de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )xyyxzxzzxyyzzyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

3

CBCBACBCBA CBCBA

CCC

BBB

AAA

CBA

kCjCiCC

kBjBiBB

kAjAiAA

⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==×⇒

++=

++=

++=

:por dados están que ; VC ,B ,A:vectores los Sean

rro

r

r

r

r

rrr

a) Propiedades del triple producto escalar entre ve ctores. Las principales propiedades son:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) AA:queya VB ,A ABA

coplanares vectores sonCy B ACBA si ó

CBvector allar perpendicu es ACBA Si

C ,B A vectores lospor formado pedoparalelepí del VolumenCBA

ACBBACCBA

ACBCBA

Rry VC ,B A Sean

00)6

,0

0:)5

,)3

)2

)1

,:

3

3

rrrrrrro

r

rrrrro

r

rrrrro

r

rrrrro

r

rro

rrro

rrro

r

ro

rrrro

r

rrr

=×∈∀=×

⇒=×

×⇒=×

×=×=×

×=×

∈∈

b) Interpretación geométrica del Triple producto Es calar entre vectores. De la definición alternativa para el módulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: ( )θsenBABA ⋅⋅=×

rrrr, y

de la definición alternativa del producto escalar entre vectores, tenemos la siguiente interpretación geométrica:

( ) ( ) ( ) ( )θλθ cossenCBAcosCBACBA ⋅⋅⋅⋅=⋅×⋅=×rrrrrrrr

or

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Por lo cual de la figura puede verse que el volumen del paralelepípedo curvo es idéntico al volumen del paralelepípedo curvo pero ahora los lados tienen diferentes valores, es decir:

( ) ( )θλ cosAsenCBrecto pedoparalelepí del Volumencurvo pedoparalelepí del Volumen ⋅⋅⋅⋅==rrr

Por lo cual, sea: CB,Arrr

y vectores los entre formado pedoparalelepí del VolumenV = , entonces:

( )CBAVrr

or

×=

Para asegurar que el volumen sea una cantidad positiva, ya que se corre el riesgo de que el producto escalar resulte una cantidad negativa, es conveniente aplicar valor absoluto, por lo cual:

( )CBAVrr

or

×=

Es decir; el valor absoluto del triple producto escalar entre tres vectores representa el volumen que encierra dichos vectores al formar una figura geométrica denominado paralelepípedo. . 15.5 Triple Producto Vectorial entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores cualesquiera, y cuyo resultado arroja otro vector, y se define de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )CBABCACBA

kCjCiCC

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

zyx

3

rro

rrro

rrrr

r

r

r

rrr

:por dados están que ; VC ,B ,A:vectores los Sean

−=××⇒

++=

++=

++=

a) Propiedades del triple producto vectorial entre vectores. Las principales propiedades son:

Br

Ar

Cr

CBrr

×

θ

λº90

º90

curvo pedoParalelepí

Br

Ar

Cr

CBrr

×

θ

λº90

º90

curvo pedoParalelepí

Br

( )θcos Ar

( )λ senCr

recto pedoParalelepí

Br

( )θcos Ar

( )λ senCr

recto pedoParalelepí

Br

( )θcos Ar

( )λ senCr

recto pedoParalelepí

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( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) BB:queya VB ,A BBA

A CBB CACBA

C BAB CACBA

CBACBA

Rry VC ,B A Sean

00)4

)3

)2

)1

,:

3

3

rrrrrrrrr

rro

rrro

rrrr

rro

rrro

rrrr

rrrrrr

rrr

=×∈∀=××

−=××

−=××

××≠××

∈∈

16. TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR CUALQUIERA A UNITAR IO. Sea A

r cualquier vector, que

no es unitario, para convertirlo en unitario se debe realizar la operación:

A

AA r

r

=

17. OPERACIONES VECTORIALES Y ESCALARES CON LOS VER SORES UNITARIOS EN EL PLANO Y ESPACIO. 18. PARALELISMO DE VECTORES Sean los vectores A

r, B vectores en el espacio, si ambos son vectores paralelos del mismo sentido o de

sentidos contrarios, entonces se cumple que:

RmnAmBóBnABASi ∈∀==⇒ ,;|| rrrrrr

Es decir, que uno de los vectores se puede expresar como múltiplo de otro vector o viceversa. 19. COMPONENTE Y PROYECCIÓN DE UN VECTOR EN LA DIRECCION DE OTRO Para mayor claridad, sea d la componente de A

r en la dirección de B , como se muestra a continuación:

0kjkiji

1kkjjii

===

===

ooo

ooo

:escalar ciónMultiplica

ijkikjjki

jikkij kji

0kkjjii

−=×=×−=×

=×−=×=×

=×=×=×

:vectorial ciónMultiplicar

Del diagrama tenemos:

θθ coscos AdA

d r

r =⇒=

Como:

BA

BAAd

BA

BArr

ro

rr

rr

ro

r

=⇒=θcos

De donde:

B

BAACompd B r

r

orr

r ==

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 15

NOTA 1: Hay que remarcar que para encontrar la componente de Ar

en la dirección de B debemos multiplicar (producto escalar) el vector A

r por el vector unitario B / B .

NOTA 2. El signo de la componente de A

r en la dirección de B es positiva si el ángulo entre A

ry B es

menor que 90º, si el ángulo es mayor que 90º dicha componente será negativa. NOTA 3. Si nos interesa el vector proyección de A

r sobre B , entonces simplemente hay que ampliar el

vector unitario B / B en ACompB

rr veces. Es decir, la proyección de A

r sobre B es:

B

B

B

BA

B

BACompAoy BB r

r

r

r

or

r

rrr

rr

==Pr

De donde:

BB

BAAoyB

r

r

ro

rr

r

=2

Pr

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 16

PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO

Problema 1 Determinar el valor del Br

y el ángulo α para que el vector resultante de los tres vectores

sea nulo, para los cálculos considere que: 4=Ar

y 6=Cr

.

( ) ( ) jsensenBcosicoscosBsenS ˆ 6 4ˆ 6 4 αααααα ++−+−+=rrr

Pero por condición del problema: ji S ˆ 0ˆ00 +==rr

, por lo cual dos vectores son iguales; si y solo si sus

componentes son iguales; de este modo queda: (b) sensenBcos

(a) coscosBsen

0 6 4

0 6 4

=++−

=−+

ααα

αααr

r

Resolviendo (a) y (b), entonces dividiendo la ecuación (a) por αcos y la ecuación (b) por αsen y

recordando que; αααα

αα

ctgsen

cosy tg

cos

sen == tenemos: )(b Bctg

)(a Btg

'6 4

' 6 4

+=

−=r

r

α

α

Multiplicando (a’) por (b’) y recordando que; 1=⋅ αα ctgtg , tenemos: ( )( ) 236 6 6 16 BB B

rrr−=+−= ,

B 2016362

=−=⇒r

52=⇒ Br

y de la ecuación (a’):

−= −

4

61

Btg

r

α º9,20=⇒ α

Problema 2 Sean los vectores: k 4j 2ˆk 2j 3ˆ2 +−=+−= i mB ; i Arr

, determinar:

a) El valor de “m” tal que el ángulo entre ambos vectores sea de 60º

b) Si m = 1, calcular la siguiente operación: ( ) ( )[ ] ABAAABArrrrr

orr

×+××

Solución. a) Recordando la definición de producto escalar tenemos: cosβBABA ⋅⋅=rrr

or

, según el

problema; º60=β , por lo cual calculando los módulos antes de insertar en la anterior ecuación;

( ) 17232 222 =+−+=Ar

y ( ) 2042 2222 +=+−+= mmBr

, luego calculando el producto escalar de

ambos vectores; mmBA 214862 +=++=r

or

; finalmente insertando en la ecuación de la definición;

º6020 17214 2 cos mm ⋅+⋅=+ , como 2

1º60 =cos , entonces la anterior ecuación se transforma en:

34017 428 2 +=+ mm

Br

Ar

Cr

αα

αx

y

Br

Ar

Cr

αα

αx

y

Solución. Sea Sr

el vector suma que está dado por:

CBASrrrr

++= , descomponiendo cada vector en sus componentes tenemos:

jsenCi cosCC

jcosAi senAA ;jsenBi cosBB

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

αα

ααααrrr

rrrrrr

+−=

−=+=,

Pero según el problema: 4=Ar

y 6=Cr

, por lo cual el

vector suma será:

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 17

Elevando al cuadrado para hacer perder la raíz cuadrada, se reduce a: 04442242 =−− mm , resolviendo

la ecuación cuadrática para m: 2

51952224±=m 90226 21 ≈≈⇒ my m

b) si 1=m , entonces los vectores serán: kji B ; kji A ˆ 4ˆ 2ˆˆ 2ˆ 3ˆ2 +−=+−=rr

, y por propiedades del

producto vectorial: 0rrr

=× AA , entonces, solo debe realizarse la operación: ABrr

× , que está dado por:

( ) ( ) ( ) kjikji

kji

AB ˆ ˆ 6ˆ 8ˆ 43ˆ 82ˆ 124

232

421

ˆˆˆ

++=+−+−−+−=−−=×

rr

Por lo cual la operación dada será: ( ) ( )[ ] kjiABAAABA ˆ ˆ 6ˆ 8 ++=×+××rrrrr

orr

Problema 3. El coseno del ángulo que deben formar dos vectores de igual módulo para que su resultante sea la mitad del valor de uno de ellos es:

ninguno e d c b a )8

5)

5

7)

7

5)

8

7) −−

Solución. Sean los vectores By Arr

cuyos módulos son iguales, y su configuración es:

Considerando que: 122 =+ θθ sencos y según la condición del problema: ASrr

2

1= , por lo cual

tenemos: 4

12222

2

1 =+⇒+= θθ coscosAArr

8

7−=⇒ θcos

Problema 4. Completar las siguientes frases. a) Si el producto escalar de dos vectores es cero entonces estos vectores son:

Perpendiculares

b) Si el producto vectorial de dos vectores es nulo, entonces estos vectores son:

Paralelos ó antiparalelos

c) El valor absoluto del resultado del triple producto escalar entre tres vectores es el:

Volumen del paralelepípedo formado poi los tres vectores.

d) El modulo de un vector unitario es: uno e) Por que el modulo de un vector cualquiera no puede ser negativo Ya que , para hallar el módulo

se debe elevar cada componente al cuadrado para luego sacar la raíz cuadrada.

θ

Ar

Br

θ

Ar

Br

Descomponiendo los vectores:

j senBi cosBB ; iA A ˆ ˆ ˆ θθrrrrr

+==

Y considerando que: BArr

= , la resultante será:

( ) j senA icosAAB AS ˆ ˆ θθrrrrrr

++=+=

Cuyo módulo es:

( ) θθθθθ 2222 211 sencoscosAsencosAS +++=++=rrr

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 18

Problema 5. Dado el vector br

cuyo ángulo respecto del eje +z es 60º, y ángulo respecto del eje +y es 120º de forma que su modulo vale 5; se pide hallar:

a) las componentes del vector br

respecto de los ejes x , y , z. b) El ángulo que forma respecto del eje +x.

c) Representar al vector br

en forma vectorial d) Grafique e identifique en que octante está ubicado.

e) Hallar el vector unitario asociado al vector br

Solución. a) De la definición de cosenos directores, sea: λϕψ ,, los ángulos que forma con los ejes

zyx ,, respectivamente, entonces: ( ) ( ) ( )

; b

bcos

b

bcos ;

b

bcos zyx

rrr === λϕψ , de las condiciones

del problema: 5º60,º120 === b ,r

λϕ , por lo cual: ( ) ( )2

5

2

5 =⇒⋅=−=⇒⋅= zzyy bcosbby ; bcosbb λϕ

rr

y de la definición de módulo de un vector:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

5

2

25

2

5

2

55

2222222222 ±=⇒=

−−=−−=⇒++= xzyxzyx bbbbbbbbbrr

.

b) De la ecuación: ( ) º4552

5

=⇒

=⇒

=⇒= −

+

− ψψψψ 1

b

x1x cosb

bcos

b

bcos

x

rr , por otro lado

cuando ésta componente en x es negativa: º1355

2

5

=⇒

−=⇒ −

−ψψ 1

bcos

x

.

c) El vector representado de forma vectorial será:

⇒+−−=

⇒+−=⇒++=

octanteTercer k j i b ó

octante Cuartok j i b

k bj bi bb zyx

ˆ2

5ˆ2

5ˆ2

5

ˆ2

5ˆ2

5ˆ2

5

ˆˆˆr

r

r

d) La gráfica correspondiente será: Problema 6. Sean los vectores dados en la siguiente figura:

x+

x−

y+y−

z+

z−

2

5

2

5−

2

5

2

5−

2

5−2

5

br b

r

x+

x−

y+y−

z+

z−

2

5

2

5−

2

5

2

5−

2

5−2

5

br b

r

e) El vector unitario asociado al vector br

será:

+−−=+−−

=

+−=+−

=⇒=

k j i k j i

b

k j i k j i

b

b

bb

ˆ2

1ˆ2

1ˆ2

1

5

ˆ25ˆ

25ˆ

2

5

ˆ

ˆ2

1ˆ2

1ˆ2

1

5

ˆ25ˆ

25ˆ

2

5

ˆ

ˆ r

r

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 19

Solución.

a) De la figura los vectores expresados de forma vectorial serán: k j i B ; j i A ˆ3ˆ4ˆ2ˆ4ˆ2 −−=−−=rr

y

k j i C ; ˆ6ˆ2ˆ2 ++−=r

b) De la definición de producto escalar: ( ) ( )CA

CAcoscosCACA rr

ro

rrrr

or

⋅=⇒⋅⋅= θθ

⋅=⇒ −

CA

CAcos rr

ro

r

1θ , calculando cada término por separado: ( )( ) ( )( ) ( )( )602422 +−+−−=CAr

or

4−=⇒ CAr

or

, ( ) ( ) ( ) 5220042 222 ==⇒+−+−= AArr

y ( ) ( ) ( )222 622 ++−=Cr

11244 ==⇒ Cr

, por lo cual:

⋅⋅⋅−= −

11252

41cosθ º7,97=⇒θ

c) El volumen del paralelepípedo formado por los vectores esta dado por la operación: ( )CBAVrr

or

×= ,

entonces:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 60242202362423642

622

342

042

=−−−+−−−−−−−−−=−

−−−−

=×CBArr

or

, por

lo cual el volumen será: 6060 ==V

d) Para calcular: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]CAC B AAC BA C rr

orrr

orrrr

or

×−× , observemos que el termino ( )CACrr

or

× multiplica al otro término, y cuyo resultado de ésta cantidad es un número, y el resultado de:

( )[ ] ( ) B AAC BA C rr

orrrr

or

−× es un vector, por lo cual la multiplicación de un número por un vector es posible y el resultado será otro vector, ya que el número no hace otra cosa que aumentar o disminuir al

vector, pero observemos que por propiedades: ( ) ( ) ( ) 0=×=×=× CCAACCCACrr

orrr

orrr

or

ya que:

0rrr

=×CC , por lo cual ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0rrr

orrr

orrrr

or

=×−× CAC B AAC BA C

x+

y+

z+

Ar

BrC

r

a

b

c

6

4

2

===

c

b

a

x+

y+

z+

Ar

BrC

r

a

b

c

6

4

2

===

c

b

a

Hallar:

a) Los Vectores Ar

, Br

y Cr

en forma vectorial.

b) El ángulo entre los vectores Ar

y Cr

. c) El volumen del paralelepípedo formado por los

vectores Ar

, Br

y Cr

.

d) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]CAC B AAC BA C rr

orrr

orrrr

or

×−×

e) ( )[ ] ( ) ( )BC AAC BACrrrrrrrr

×××−×××

f) ( )( )( )CACA

CA

ro

rr

orr

or

g) ( )( )( ) CABCArrrrr

××××

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 20

e) Para la operación: ( )[ ] ( ) ( )BC AAC BACrrrrrrrr

×××−××× , calculemos por partes: 0rrr

=× AA , por lo

cual ( ) ( ) 0rrrrr

=××× BC AA , luego: k j i

kji

BA ˆ16ˆ6ˆ12

342

042

ˆˆˆ

+−=−−

−−=×rr

y luego:

( ) k j i

kji

BAC ˆ12ˆ104ˆ68

16612

622

ˆˆˆ

−+=−

−=××rrr , y ( )[ ] k j i

kji

C BAC ˆ242ˆ432ˆ648

622

1210468

ˆˆˆ

+−=−

−=×××rrrr

finalmente: ( )[ ] ( ) ( ) k j i BC AAC BAC ˆ242ˆ432ˆ648 +−=×××−×××rrrrrrrr

f) ( )( )( )CACA

CA

ro

rr

orr

or

, del anterior inciso: 4−=CAr

or

entonces:

( )( )( )( )( ) ( ) ∃/−=−=−=

−− CACA

CA 2562561

4 4444

ro

rr

orr

or

, es decir no existe la raíz par de un número negativo.

g) la operación ( )( )( ) CABCArrrrr

×××× haciendo por partes: k j i

kji

CA ˆ4ˆ12ˆ24

622

042

ˆˆˆ

++−=−

−−=×rr ,

luego: ( ) k j i

kji

BCA ˆ72ˆ64ˆ20

342

41224

ˆˆˆ

+−−=−−

−=××rrr y ( )( ) k j i

kji

ABCA ˆ48ˆ144ˆ288

042

726420

ˆˆˆ

−−=−−

−−=×××rrrr y

finalmente: ( )( )( ) k j i

kji

CABCA ˆ288ˆ1632ˆ768

622

48144288

ˆˆˆ

+−−=−

−−=××××rrrrr Entonces:

( )( )( ) k j i CABCA ˆ288ˆ1632ˆ768 +−−=××××rrrrr

Problema 7. Demostrar la ley de los senos y de los cosenos de forma vectorial. Solución. De la siguiente configuración:

Finalmente: ( ) ( ) ( )φθλ sen

c

sen

b

sen

ar

rr

== .

ar

br

cr

θ

λ

φ

ar

br

cr

θ

λ

φ

Ley de Senos: Utilizando la interpretación del módulo del producto vectorial, el área del triángulo anterior será:

( ) ( ) ( )abbccaArrrrrr −×=−×−=×=

2

1

2

1

2

1

Y como: aarr −= , entonces:

( ) ( ) ( )φλθ senabsenbcsenca ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ rrrrrr

2

1

2

1

2

1

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 21

Por otro lado para la ley de Cosenos, de la figura puede verse que: ⇒=+ cbarrr

( ) ( ) babacbbabbaaababaccr

orrrrr

orr

orr

orr

orrr

orrr

or

2222 ++=⇒+++=++= , ya que el producto

escalar es conmutativo, utilizando su definición alternativa, tenemos:

( )φ−⋅⋅++= 180º 2222

cosbabacrrrrr

, como el coseno de la resta de ángulos está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφφ cossensencoscoscos −=+=− 180º180º180º

Finalmente la ley de cosenos para el lado del vector cr

será: ( )φcosbabac ⋅⋅−+=rrrrr

2222

, de forma

análoga se pueden obtener para otros lado. Problema 8. Demostrar las siguientes relaciones por las propiedades de los vectores:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] AB2

ABAAA f) A2kAkjAjiAi e)

2CBAACCBBA d) D CBAC DBADCBA c)

0BACACBCBA b) 2

BA2

B2

A2

BA a)

rrrrrrrrrrr

rro

rrrrro

rrrrro

rrrro

rrrrr

rrrrrrrrrrro

rrrrr

×=×××=××+××+××

×=×××××−×=×××

=××+××+××−=×

Solución. a)

( )( ) ( ) ( )( )θθθ 222222221 cosBAsenBAsenBABA −⋅=⋅⋅=⋅⋅=×

rrrrrrrr

( ) ( )( ) ( )22222222222

BABAcosBABAcosBABAr

orrrrrrrrrrr

−⋅=⋅⋅−⋅=⋅−⋅= θθ

donde θ es el ángulo entre los vectores By Arr

. b) utilizando la definición alternativa del triple producto vectorial y recordando que el producto escalar es conmutativo tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 rrr

orrr

orrr

orrr

orrr

orrr

orrrrrrrrrr

=−+−+−=××+××+×× BACABCACBCABCBABCABACACBCBA

c) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]D BACC BADD CBAC DBADCBArrr

orrrr

orrr

orrrr

orrrrrr

×−×=×−×=××× haciendo rotar

dos veces en el triple producto escalar ( )[ ] ( )[ ] D CBAC DBArrr

orrrr

or

×−×=

d) Utilizando la propiedad del triple producto vectorial, recordadn que el producto escalar es conmutativo y considerando la propiedad ciclica del triple producto escalr tenemos:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]=×−××=×××× A CCBC ACBBAACCBBArr

orrrr

orr

orrrrrr

orr

( ) ( )[ ] ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ][ ] ( )[ ] ( )[ ]CBCBAC CBABAA CBCC CBABA Ar

orrr

orrrr

or

orrrrr

orrrr

or

orr r

××=××=×−××

Luego: ( ) ( ) ( ) ( )CBACAA ABBCCBrrrrrr

or

orr

orr

or

×××× === , finalmente reemplazando en la anterior

ecuación: ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]2 CBAACCBBArr

orrrrr

orr

×=×××× .

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 22

e) Sea el vector Ar

de la forma: kajaiaA zyxˆ ˆ ˆ ++=

r, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k AkA kkj AjA jji AiA iikAkjAjiAi ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆr

or

or

or

or

or

orrr

−+−+−=××+××+×× ,

recordando que: zyx aAk aAj ,aAiy kkjjii ======r

or

or

oooo ˆ,ˆˆ1ˆˆˆˆˆˆ , se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) AAAk aj ai aAkAkjAjiAi zyx

rrrrrrr23ˆˆˆ3ˆˆˆˆˆˆ =−=++−=××+××+××

f) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ABABAAB AAA BAABAAArrrrrrrr

orrr

orrrrrr

×=×−=−×=×××2 2

Problema 9. Calcular el área del triángulo de vértices: (-2 , 1 , 0) , (3 , 0 , 6) y (4 , 5 , -1). Solución. Dibujando los puntos en el plano espacial, tenemos:

Entonces: ( ) ( ) ( ) 2886264123 222 =++−=×GFrr

, luego el área del triángulo será: 2

2886=A .

Problema 10. Analizar cuando: BABArrrr

−=+

Solución. Sean los vectores 3 , VBA ∈rr

, entonces por propiedades:

( ) ( ) ( ) ( )BABABABABABArr

orrrrrrrr

orr

++=+⇒+=++2

, desarrollando el lado derecho, tenemos:

222 BBAABBABBAAABA

rro

rrro

rro

rro

rro

rrr++=+++=+ , por otro lado:

( ) ( ) ( ) ( )BABABABABABArr

orrrrrrrr

orr

−−=−⇒−=−−2

, desarrollando igual que en el anterior caso:

222 BBAABBABBAAABA

rro

rrro

rro

rro

rro

rrr+−=+−−=− , entonces ambos desarrollo serán iguales

si y solo si: Ba lar perpendicu es ABABABArrr

orrrrr

0⇒=⇔−=+⇒ , es decir ambos resultados

serán iguales solamente cuando los vectores serán ortogonales.

x+

x−

y+y−

z+

z−

ar

br

cr

1P2P

3P

FrG

r

x+

x−

y+y−

z+

z−

ar

br

cr

1P2P

3P

FrG

r

El vector que corresponde al punto 1 es:

jib ˆ ˆ 2 +−=r

, el correspondiente al punto 2:

kia ˆ 6 ˆ 3 +=r y el correspondiente al punto 3 es:

kjic ˆ ˆ 5 ˆ 4 −+=r , por otro lado, de la figura puede verse también que:

kjicbFbFc ˆˆ 4ˆ 6 +−−=−=⇒=+ rrrrrr, por otro

lado: kjicaGaGc ˆ7ˆ 5ˆ +−−=−=⇒=+ rrrrrr,

finalmente el área del triángulo estará dado por:

k j i

kji

GFGFA ˆ26ˆ41ˆ23

751

146

ˆˆˆ

2

1 ++−=−−−−=×⇒×=

rrrr

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 23

Problema 11. Encontrar un vector yr

que sea colineal al vector: ( )1- 1, 2,b =r

, de tal forma que se

verifique: 3 by =r

or

.

Solución. Como se quiere que el vector yr

sea colineal al vector br

, entonces se cumple que:

Rm bm y ∈∀=rr

, por lo tanto de la condición: ( ) ( )2

33

b mbbm bbm by

r

ro

rro

rro

r =⇒=== , por otro lado:

6ˆˆˆ 2 =⇒−+= bkjibrr

, entonces: ( ) kji bm y ˆˆˆ 26

3 −+==rr

kjiy ˆ2

1ˆ2

1ˆ −+=⇒r

Problema 12. Determine el vector resultante zyxrrr ++ en términos de los vectores a

r y b

r. El dibujo

muestra a una semicircunferencia inscrita en un rectángulo. Los vectores zyxrrr

,, forman 60º , 45º y 30º

respectivamente con la horizontal.

De la figura anterior tenemos: cdzrrr += , pero como Rn b ndb con paralelo es d ∈∀=⇒

rrrr y

Rm a mca con paralelo es c ∈∀=⇒rrrr

, por lo cual: a mb nzrrr += , ahora hallemos n y m,

multiplicando escalarmente la anterior ecuación por br

y luego por ar

tenemos:

( ) ( )

( ) ( )

⋅=⇒

⋅⋅==⇒+=→

⋅=⇒

⋅⋅==⇒+=→

⇒+=

b

coszn

b

cosbz

bb

bznba mbb nbz

a

coszm

a

cosaz

aa

azmaa mab naz

a mb nz

b

a

r

r

r

rr

ro

r

ro

rro

rro

rro

r

r

r

r

rr

ro

r

ro

rr

orr

orr

or

rrr

ro

ro

º30º30

º60º60

2

2

Ya que 0=ba r

or

pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el triángulo isósceles:

ar

br

xr y

r

zr

ar

br

xr y

r

zr

Solución. trabajando para el vector zr

, tenemos:

ar

br

zr

cr

dr

º30

ar

br

zr

cr

dr

º30

º30

ar

ar

zr

a brr

2=

º30

ar

ar

zr

a brr

2=

Por la ley de cosenos:

( ) ( )30º 230º 2222

cosazcos zazaa ⋅=⇒⋅−+= rrrrrrr

Luego:

( ) ( ) ( )30º30º 2

2

30º 2 cosb

z cos

b

zy cos

a

z=⇒⋅=⋅= r

r

r

r

r

r

por lo cual: ( ) ( )2

360º30º2 == cos cos m

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Y ( ) ( )4

330º30º == cos cos n , finalmente: a b z

rrr

2

3

4

3 += , de forma análoga deben hacerse para los demas

vectores: Rqp a qb py ∈∀+= ,rrr

, por lo tanto:

( ) ( )

( ) ( )

⋅=⇒

⋅⋅==⇒+=→

⋅=⇒

⋅⋅==⇒+=→

⇒+=

b

cosyp

b

cosby

bb

bypba qbb pby

a

cosyq

a

cosay

aa

ayqaa qab pay

a qb py

b

a

r

r

r

rr

ro

r

ro

rr

orr

orr

or

r

r

r

rr

ro

r

ro

rr

orr

orr

or

rrr

ro

ro

º45º45

º45º45

2

2

Ya que 0=ba r

or

pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el triángulo isósceles:

Y ( ) ( )2

145º45º == cos cos p , finalmente: a b y

rrr +=2

1 , Finalmente para el último vector tenemos::

Rsr a sbr x ∈∀+= ,rrr

, por lo tanto:

( ) ( )

( ) ( )

⋅=⇒

⋅⋅==⇒+=→

⋅=⇒

⋅⋅==⇒+=→

⇒+=

b

cosxr

b

cosbx

bb

bxrba sbbr bx

a

cosxs

a

cosax

aa

axsaa sabr ax

a sbr x

b

a

r

r

r

rr

ro

r

ro

rr

orr

orr

or

r

r

r

rr

ro

r

ro

rr

orr

orr

or

rrr

ro

ro

º60º60

º30º30

2

2

Ya que 0=ba r

or

pues son perpendiculares, por otro lado resolviendo el triángulo isósceles:

Por la ley de cosenos:

( ) ( )45º 245º 2222

cosaycos yayaa ⋅=⇒⋅−+= rrrrrrr

Luego:

( ) ( ) ( )45º45º 2

2

45º 2 cosb

y cos

b

y y cos

a

y=⇒⋅=⋅= r

r

r

r

r

r

por lo cual: ( ) ( ) 145º45º2 == cos cos q

º45

ar

ar

yr

a brr

2=

º45

ar

ar

yr

a brr

2=

Por la ley de cosenos:

( ) ( )60º 260º 2222

cosaxcos yaxaa ⋅=⇒⋅−+= rrrrrrr

Luego:

( ) ( ) ( )60º60º 2

2

60º 2 cosb

x cos

b

x y cos

a

x=⇒⋅=⋅= r

r

r

r

r

r

por lo cual: ( ) ( )2

330º60º2 == cos cos s

º60

ar

ar

xr

a brr

2=

º60

ar

ar

xr

a brr

2=

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ANÁLISIS VECTORIAL EN EL PLANO Y ESPACIO Autor: Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo (E = mc2) 25

Y ( ) ( )4

160º60º == cos cosr , finalmente: a b x

rrr

2

3

4

1 += , por lo cual el resultado buscado es:

( ) b aa b a b a b zyxrrrrrrrrrrr

2

3 13

2

3

4

3

2

1

2

3

4

1 ++=+++++=++ .

Problema 13. Hallar el ángulo λ entre las diagonales de un cubo de lado “ a ”, como se muestra en la figura: Solución. Expresando las diagonales de forma vectorial como se muestra: Problema 2.

El vector diagonal Cr

, está dado por: k j i C aaa ++=r

,mientras que el otro

vector diagonal está dado por: k j i E aaa −+=r

, luego de la definición de

producto escalar: ( )

⋅=⇒⋅⋅= −

EC

ECcoscosECEC 1

rr

ro

rrrr

or

λλ , luego

calculando cada termino:

( )

70.5º 3

1cos

3 3cos

E ; 3C ; EC

12

1

2222222222

=∴

=

⋅=⇒

−++==++==−+=

−− λλaa

a

aaaaaaaaaaarrr

or

Page 29: Apuntes de Catedra Del Capitulo 1

BIBLIOGRAFIA

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