Solucionario Capitulo 2 - Mischa Schwartz Telecommunication Networks

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  • EJERCICIOS

    2.1. Remtase a la figura 2.3.Calculese a la probabilidad de k eventos independientes en

    los m intervalos de duracin t unidades de tiempo, si la probabilidad de un evento en

    cualquier intervalo es de p, mientras que la probabilidad de no evento es q = 1 - p.

    Mustrese como se obtiene la distribucin binomial de la ecuacin (2.4).

    DESARROLLO

    Mustrese como se obtiene la distribucin binomial de la ecuacin (2.4).

    k

    (k) ; ; ; 1

    n!;q 1

    (n k)!k!

    lim

    n!lim 1

    (n k)!k!

    n(n 1)(n 2)(n k 1)lim 1

    n !

    n(n 1lim

    :

    1

    k n k

    n

    n k

    k n k

    n

    k m k

    n

    nk

    n

    n

    k

    np p q np p p q

    k

    n

    k n

    np q

    y

    n n

    k n

    n

    si

    n

    k

    )(n 2)(n k 1) 1 2 1lim 1 1 .... 1 1

    n

    lim 11

    1 11 1 1lim 1

    lim1 1! !

    (n)!

    n

    k

    n

    nn nn

    n

    n

    k k

    k

    k

    n n n

    n

    en n nn

    e e

    e

    k k

    Pk

  • 2.2. En el problema 2.1, sea p= t, donde es un factor de proporcionalidad. Esto

    relaciona entonces la distribucin binomial con el proceso de Poisson. Sea t 0,

    con T = mt fijo. Mustrese que en el lmite se obtiene la distribucin de Poisson de la

    ecuacin (2.1). Mustrese que el valor medio E(k) y la varianza k2 son iguales a T.

    Cul es la probabilidad de que no ocurra alguna llegada en el intervalo T? Grafquese

    sta como una funcin de T. Reptase para la probabilidad de que ocurra al menos una

    llegada de T.

    DESARROLLO

    Mustrese que el valor medio E(k) = T.

    0

    0 0 0 0

    10

    0

    (k)

    (k)

    (k) 1

    (k)

    !

    : u

    !

    (k)! (k 1)! (k 1)!

    (k) u u u u u(k 1)!

    E(k) u

    (k)

    n

    u

    u

    u

    k

    T

    k

    u

    u

    k k ku u u

    u u u u

    ku u u u u

    u

    p e

    p e

    p

    kp k ke e e

    e e e e e

    T

    k

    si T

    u

    k

    u u uE

    k k

    uE

    T

    E T

    Mustrese que la varianza 2

    k =T.

    Grafquese sta como una funcin de T. Reptase para la probabilidad de que ocurra al

    menos una llegada en T.

    ( , )

    !

    k

    TP k T eT

    k

  • 2.3. Calclese y grafique la distribucin de Poisson dada por la ecuacin (2.1) para los

    tres casos T= 0.1, 1, 10. En el tercer caso trtese de calcular y graficar para al menos k

    = 20. (La aproximacin de Stirling para el factorial puede ser til.) Comienza la

    distribucin a acumularse y a formarse un pico en E(k) como lo predice la razn de

    cambio k/E(k)=1

    T?

    ( , )

    !

    k

    TP k eT

    Tk

  • 2.4. Llvense a cabo los detalles del anlisis que dan como resultado las ecuaciones

    (2.10) y (2.11), mostrando que la suma do Poisson es tambin de Poisson.

  • 2.5. Remtase a la ecuacin dependiente del tiempo (2.12a) que gobierna la operacin de

    la cola M/M/1. Inciese en el tiempo t=0 con la cola vaca (Cules son entonces los

    valores de pn(0)?).

    Hgase /=0.5 para simplificar, tmese t = 1 y escjase un t y un t muy pequeas

    de manera que puedan ignorase trminos de orden (t)2 y mayores. Escrbase un

    programa que recursivamente calcule Pn(t+t) conforme t aumenta por t y mustrese

    que pn(t) finalmente cae en el conjunto de probabilidades de estado estacionario {pn,

    tmese el valor mximo de n como 5. El conjunto de probabilidades de estado

    estacionario obtenido deber concordar con la ecuacin (2.20). Nota: La ecuacin (2.12a)

    debe modificarse un poco al calcular p0(t+t) y p5(t+t). Tal vez se quiera plantear el

    problema en forma de matriz-vector.

    DESARROLLO:

    Realizando iteraciones en la ecuacin el sistema se observa en la siguiente tabla

    T/P(n) P0(T) P1(T) P2(T) P3(T) P4(T) P5(T) Sumatoria

    0 1 0 0 0 0 0 1

    1 0,9 0,1 0 0 0 0 1

    2 0,83 0,16 0,01 0 0 0 1

    3 0,779 0,197 0,023 0,001 0 0 1

    4 0,7405 0,2204 0,036 0,003 0,0001 0 1

    5 0,71053 0,23553 0,04784 0,00572 0,00037 0,00001 1

    6 0,686583 0,245492 0,058185 0,008862 0,000833 0,000044 0,999999

    7 0,6670231 0,2521397 0,0670511 0,0121885 0,0014781 0,0001141 0,9999946

    8 0,65074873 0,25661032 0,07458744 0,01553268 0,00227634 0,00022768 0,99998319

    9 0,63699592 0,25961959 0,08097878 0,01878689 0,00319224 0,00038701 0,99996042

    10 0,62522025 0,26162906 0,08640448 0,02188715 0,00419066 0,00059013 0,99992172

    11 0,61502403 0,26294326 0,09102347 0,02479958 0,0052402 0,00083216 0,99986271

    12 0,60611028 0,26376738 0,09497067 0,0275101 0,00631453 0,00110653 0,99977949

    13 0,59825273 0,26424233 0,09835823 0,03001704 0,00739249 0,00140602 0,99966884

    14 0,59127592 0,26446655 0,1012784 0,03232625 0,00845765 0,00172347 0,99952824

    15 0,58504164 0,26450986 0,10380678 0,03444774 0,00949767 0,00205219 0,99935589

    16 0,57943945 0,26442242 0,10600528 0,03639363 0,01050358 0,0023863 0,99915067

    17 0,57437999 0,2642407 0,10792467 0,03817679 0,01146913 0,00272077 0,99891204

    18 0,56979013 0,26399142 0,10960669 0,03981005 0,01239023 0,00305145 0,99863996

    19 0,5656094 0,26369434 0,11108584 0,04130575 0,01326445 0,00337504 0,99833482

    20 0,56178733 0,26336415 0,11239067 0,0426755 0,0140907 0,00368897 0,99799731

    21 0,55828142 0,26301177 0,11354498 0,04393005 0,01486883 0,00399135 0,99762842

    22 0,55505564 0,26264538 0,11456868 0,0450793 0,01559946 0,00428083 0,99722928

    23 0,55207915 0,26227106 0,11547847 0,04613227 0,01628372 0,00455653 0,9968012

  • 24 0,54932545 0,26189335 0,11628849 0,04709718 0,01692313 0,00481794 0,99634555

    25 0,54677157 0,26151559 0,11701072 0,0479815 0,0175195 0,00506487 0,99586375

    26 0,54439753 0,26114021 0,11765536 0,04879202 0,01807477 0,00529736 0,99535727

    27 0,54218582 0,26076897 0,11823118 0,04953491 0,01859102 0,00551563 0,99482753

    28 0,54012104 0,2604031 0,1187457 0,05021576 0,01907033 0,00572004 0,99427597

    29 0,53818955 0,26004341 0,11920545 0,05083967 0,01951481 0,00591106 0,99370396

    30 0,53637928 0,25969044 0,11961609 0,05141127 0,01992655 0,00608923 0,99311286

    31 0,53467944 0,25934445 0,11998256 0,05193481 0,02030756 0,00625511 0,99250393

    32 0,53308039 0,25900557 0,1203092 0,05241414 0,02065979 0,00640933 0,99187842

    33 0,53157346 0,25867378 0,12059983 0,05285277 0,02098514 0,00655251 0,99123749

    34 0,53015087 0,25834896 0,12085781 0,05325395 0,02128538 0,00668527 0,99058224

    35 0,52880558 0,25803092 0,12108615 0,05362062 0,02156221 0,00680823 0,98991371

    36 0,5275312 0,25771943 0,12128752 0,05395549 0,02181726 0,00692198 0,98923289

    37 0,52632197 0,25741423 0,12146431 0,05426105 0,02205203 0,00702711 0,98854069

    38 0,52517262 0,25711502 0,12161865 0,05453957 0,02226794 0,00712418 0,98783798

    39 0,52407836 0,2568215 0,12175247 0,05479315 0,02246635 0,00721372 0,98712556

    40 0,52303482 0,25653338 0,12186751 0,05502372 0,02264851 0,00729624 0,98640419

    41 0,52203802 0,25625035 0,12196534 0,05523306 0,02281558 0,00737222 0,98567456

    42 0,52108429 0,25597212 0,12204739 0,05542279 0,02296865 0,00744211 0,98493734

    43 0,52017028 0,25569839 0,12211494 0,05559442 0,02310876 0,00750634 0,98419313

    44 0,51929293 0,25542889 0,12216918 0,05574934 0,02323684 0,00756532 0,9834425

    45 0,51844941 0,25516335 0,12221118 0,05588883 0,02335379 0,00761941 0,98268596

    46 0,51763714 0,25490152 0,12224193 0,05601405 0,02346041 0,00766896 0,98192402

    47 0,51685373 0,25464317 0,12226231 0,05612611 0,02355749 0,00771432 0,98115713

    48 0,51609699 0,25438805 0,12227316 0,05622601 0,02364572 0,00775577 0,9803857

    49 0,5153649 0,25413597 0,12227522 0,05631466 0,02372576 0,00779361 0,97961012

    50 0,51465561 0,25388671 0,12226918 0,05639294 0,02379822 0,0078281 0,97883076

    La ultima columna verificando la sumatoria de todas las probabilidades

    Ahora si calculamos las probabilidades con la ecucaiones 2.20 nos da:

    P(0) 0,50793651

    P(1) 0,25396825

    P(2) 0,12698413

    P(3) 0,06349206

    P(4) 0,03174603

    P(5) 0,01587302

    Bastante cercano a lo que tenemos en la tabla.

  • 2.6. Dervese la ecuacin (2.15), la cual gobierna las probabilidades de estado

    estacionario de la cola M/M/1, de dos maneras:

    1. De la ecuacin generadora inicial (2.12).

    K

    2. A partir de argumentos debalance deflujos que incluyen transiciones entre estados n-

    1,n, y n + 1, como se indica en la figura 2.11.

  • 2.7. Como una generalizacin de anlisis de la cola M/M/1, considrese un proceso de

    nacimiento-muerte con llegadas independientes del estado n y salidas dependientes de

    estado n. (Vanse la Figs.2.24 y 2.25.) Mustrese, aplicando argumentos de balance,

    que la ecuacin que gobierna las probabilidades de estado estacionario est dada por:

    (n + n)pn = n-1 pn-1 + n+1pn + 1

  • DESARROLLO:

    1) Teniendo presente las figuras 2.24, 2.25 y resolviendo por inspeccin con las

    siguientes consideraciones:

    a. Hacia el estado nE cuando el sistema contiene n elementos se produce un flujo de

    entrada desde los estados 1nE y 1nE , que dan una tasa global de llegada al estado nE

    de:

    1 1 1 1. .n n n nP P

    b. Desde el estado nE se produce un flujo de salida hacia los estados 1nE y 1nE que dan

    una tasa global de salida del estado nE de:

    . .n n n nP P

    c. Para que el sistema est en equilibrio ambas tasa deben equilibra