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CAPTULO 6

TEOREMAS ENERGTICOSLA ENERGA ELSTICA EXPRESADA EN FUNCIN DE LAS CARGAS APLICADAS

Hasta ahora, habamos utilizado la siguiente expresin de la densidad de energa elstica:

x) = 12

(

x+

y y

+ z

z+

xy xy

+ yz yz

+ xz xz

Que, integrada a lo largo de todo el slido, nos proporcionaba la energa elstica almacenada por ste.

Podramos expresar dicha energa en funcin de las cargas aplicadas al slido o en funcin de los desplazamientos que en l se producen?

Supongamos que las cargas aplicadas al slido crecen,progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizadopor todas las cargas que actan sobre el slido quedaraalmacenado como energa elstica de deformacin U en el slido y, por tanto:

U = WEl trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un slido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientosde sus puntos de aplicacin (en las direccin de las mismas, por supuesto).

Fii

ir

1 n

2W = Fii =1

di

di

Geometra sin deformar

Geometra deformada

Si entre las cargas aplicadas existiera algn momento, bastara con tener en cuenta que:- donde se dijera fuerza se debera decir momento- donde se dijera desplazamiento se debera decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas)se debera escribir W=M.

F1

2F2 F2 F11 1

1d2 2 1

d2

EJEMPLOS:

P

W=1/2 P.d

d

M

W=1/2 M.

ENERGA ELSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIN

W=x 1F 2 Fo xo

L d A

A F d

= L = E

L =

FL AE2W = U

= 1 Fd2

= F L2 AE

COEFICIENTES DE INFLUENCIA

Consideremos dos puntos i y j del slido sobre los que actan, respectivamente, lasF i cargas: r rFi Fjr Representemos por

los vectoresji j desplazamientos, de manera tal que:

iiiii = vector desplazamiento del punto icuando slo acta la carga: rF j Fir ji

= vector desplazamiento del punto jcuando slo acta la carga: rFi

Si sobre el slido acta un sistema de cargas:

rF1 , F2

,...... ren los puntos: 1,2,n, el vector desplazamiento total i

r r

Fnen el punto i ser:i =

iF i

i1

+ i 2

+ ........ +

in

d ij

= coeficiente de influencia: proyeccin del desplazamiento que experimenrta el puntod ij j

i , sobre la recta de accin de Fi

cuando seaplica una carga unidad en el punto j con la

F j 1 misma direccin y sentido que r

d i

= proyeccirn del vector desplazamiento del punto i, segn la direccin de la fuerza Fi cuando actan todas las cargas

d i = d i 1 F1 + d i 2 F2 + ........ + d in Fn FRMULAS DE CLAPEYRON Emile CLAPEYRON (1799-1864)

U = W

1 n= Fi2 i = 1

d i

Como:

d i =

d i1

F1

+ d i 2

F2

+ ........ +

d in

Fn

1 n nU = W

= 2

d ij Fi F ji = 1

j = 1

Cabe otra expresin alternativa a la anterior si consideramos que, del sistemade n ecuaciones:

d i =

d i1

F1

+ d i 2

F2

+ ........ +

d in

Fn

despejramos las fuerzas:

F j =

k j 1

d 1

+ k j 2

d 2

+ ........ +

k jn

d n

1 n 1 n nU = W =

F j

d j =

k

jm d

j d m2 j = 1

2 j = 1m = 1PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Se denomina desplazamiento virtual de un punto a un desplazamiento arbitrario, concebido matemticamentey que no tiene lugar en la realidad, pero que es geomtrica y fsicamente posible.El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarse en equilibrio

Caso de una partcula puntual

Jean Baptiste Le Rond DALEMBERT (1717-1783)

F1

z P F1P

r

= desplazamiento virtual

F2 F2

r

=F3 R =

r r

+F1 F2

r

kk+ F3

= Rx ir +

R y rj +

R z ry F3

r x ir

+ y rj

+ z r

= F + + = = 0x r r r r r r rT 1 F2 F3 R

rcomo R

r r

= 0, T = 0

Caso de un slido rgido

F1

rFi = fuerza exterior aplicada al slido en el punto i

iFin. .

Fi3

rFij

k=R= fuerza interior que ejerce el punto j sobre el iF i1

Fi2

r Rx irr

+ R y rj +r

Rz rr rM O

r r r

= M x i

r

+ M y j

+ M z kr =r

xir

+ yj +r

zkr =

x i

+ y j

+ z k

RText

= r rr

r+ M O

r

= Rxx +

R yy +

Rzz

+ M x x

+ M y y

+ M z z = 0

rr ,r

x 0 ,

y = z

= x

= y

= z = 0

R x = 0

Rx = R y

= Rz = 0M x = M y

= M z = 0EJEMPLO

B NB

G . yB

Wx F? A

yG

B

. . G A

(xyB

xA

NA y

xy+=2 2A B A

xA

2 x A )

+ (y B

2+ y B )

x= L2

y =

x A x

y

= y B

= 1 x A

BB y B A

G 2 2 y B A

T = Fx

Wy = 0

Fx

= W 1 x A x

F = W

x A ext A G

A 2 y A

2 yB

Caso de un slido deformableConsiderermos un slido en equilibrio bajo la accin de un sistema decargas

Fi , como se muestra en la figura. En cualquier punto genrico(Q) del slido, el tensor dertensiones verificar las ecuaciones deequilibrio interno. Sean

u5

ui los desplazamientos de los puntos del slido.F2 , ur 2rSistema de fuerzas reales: Fi r

r rF1 , u1

[T ]Q

Sistema de desplazamientos reales: ui

rF3 , ur 3

r rF4 , u4u7 u6

Slido elstico en equilibrio bajo la accin de unsistema de fuerzas y unas ligaduras

rSometamos al slido anterior a un segrundo sistema de fuerzas virtuales Ficomo se muestra en la figura. Sean

ui

los desplazamientos virtuales de lospuntos del slido, los cuales no violan las condiciones de contorno del slido.

F5

r

ij

ij

ur 2

Sistema de tensiones virtuales: Sistema de deformaciones virtuales:

F3 , ur 3

ijijF1 , ur 1 Q

F7

ur 4

F6

Slido elstico en equilibrio bajo la accin de unsistema de fuerzas virtualesTrabajo realizado por las fuerzas exteriores reales:

TirExt

= Fi

ur

Energa interna virtual almacenada en el slido:

U =

ijij dVv

Se puede demostrar que, estos dos trabajos virtualesson iguales:

TExt

= U

Lgicamente, si el cuerpo considerado fuese un slido rgido:

TExt

= U = 0De una manera ms formalista.

z f

Campo de desplazamientos virtuales

k(fsicamente posibles) impuestos al slido:

fV

y

x

se llega a:

xxr r

[T], [D]

du

r

r =

yzr

x ir

+ y rj

+ z r

TExt

= V fV

dVol

+ f dU =

V

(

+ y y

+ z z

+ xy xy

+ xz xz

+ yz

)dVol

TExt

= U

yzTrabajo virtual realizado por las fuerzas reales (por unidad de volumen y en el contorno) aplicadas al slido cuando se le imponen los desplazamientos virtuales

rV fV

r dVol

r+ f

r

d =

xx= V

(

+ y y

+ z z

+ xy xy

+ xz xz

+ yz

)dVol

Trabajo virtual de las tensiones internas caso de que el slido sufriera el campo de desplazamientos virtuales supuesto (las componentes de tensin son las que, realmente, existen dentro del slido, mientrasque las componentes de deformacin

,

que aparecen se deducendel campo de desplazamientos virtuales)TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI James Clerk

Fi Gj

PQ j i

MAXWELL (1831-1879)

SISTEMA I SISTEMA II

En un slido elstico, el trabajo realizado por un sistema de cargasr

F{r } para losdesplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargasr

{G} distinto esidntico al trabajo realizado por el sistema de cargas {G} para los desplazamientosrresultantes de aplicar el sistema de cargas

qj=q

{F }.

F

Q1

1Pdi=d

Mdi=d P1Q1

Fd = Mq

qj=qSistema I Sistema II

d ij

= d jiEJEMPLO DE APLICACIN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD

Una barra de longitud L se encuentra empotrada en su extremo B y sometida, de forma independiente, a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), tal como se representa en la figura. Cuando acta el sistema de cargas 1, las flechas (desplazamientos verticales, y) que experimentan los puntos de la barra vienen dados

por la ecuacin (referida al sistema de ejes de la figura):

y = F C

(L x)2 (2L + x), donde Ces una constante conocida. Determinar la flecha del punto A cuando acta sobre la barra el sistema de cargas 2.

Sistema 2F Sistema 1Fx BA B A

y L L/2

L/2

Sistema 1: flecha en el punto medio:

f I =

5FL3

8C3 3

fATeorema de reciprocidad: F II

= F f I

= F 5FL 8C

II 5FL

f=A 8CTEOREMAS DE CASTIGLIANO

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:

Carlo Alberto CASTIGLIANO (1847-1884)

U = 1 2

d ij Fi F j

= 1 2

k mn d m d n

UFi

= d ij F j

= d i

La derivada de la energa elstica respecto de una de lascargas aplicadas al slido es igual a la proyeccin del desplazamiento del punto de aplicacin de la carga considerada segn la direccin de la misma

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

U d m

= k mn d n

= Fm

La derivada de la energa elstica de un slido respecto deldesplazamiento en uno de los puntos en los que acta una fuerza, proporciona la componente de dicha fuerza segn la direccin del desplazamiento considerado

EJEMPLO DE APLICACIN DEL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Sabiendo que la energa elstica almacenada en la viga de la figura toma el valor:EI [ 2 2 ]U = 0,3d12

0,511d 2 d1

+ 0,00476d 2determinar el valor de la carga aplicada en la seccin 1.

F1=P F2=2P

1 2

Ud1

2 m3 m

1= EI [0,3d

6 m

0,2555d 2 ]= F1 = P(Ver Ec.(2))TEOREMA DE MENABREA (O DEL TRABAJO MNIMO)

P D

L. F. MENABREA (1799-1864)

EAB C

RC RD RE

Las tres reacciones hiperestticas RC, RD y RE pueden calcularse liberando todas las coacciones excepto la de los apoyos en A y en B y, por tanto, resolviendo la estructura, ya isosttica, en funcin de las tres reacciones mencionadas.Si calculsemos la energa elstica U almacenada en la pieza (que resultara ser funcin de las tres reacciones incgnitas), podramos aplicar el primer teorema de Castigliano teniendo en cuenta que, en la estructura original, los puntos C, D y E no sufren desplazamientos verticales, por lo que: U RC

= U RD

= U = 0RE

Los valores de las reacciones hiperestticas que actan sobre un slido hacen mnima su energa elstica