Universidad de Chile Departamento de Ingeniera Matemtica

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (No 1011 0011 0010 1010 1101 0001 0100 Lineales)

L

m

MA-33A Clculo Numrico Gonzalo Hernndez OlivaGHO EDO - MA-33A 1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1) Mtodos Numricos para EDO ena) b) c) d) e) f) g) h) i) Motivacin Definiciones: EDO Lineal y Problema de Cauchy Resultados Tericos para Problema de Cauchy Mtodo de la Serie de Taylor Mtodo de Euler para Problema de Cauchy Mtodos de Runge-Kutta para Problema de Cauchy: Ejemplo Mtodos Euler y Runge-Kutta Orden 4 Mtodos Multi-pasos Explcitos Sistemas de EDO y EDO de Orden SuperiorEDO - MA-33A 2

2) BibliografaGHO

1) MN para EDO: Motivacin 1Variacin de Cantidades Continuas en el Tiempo: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Ecuacin del Pndulo Simple: Demostrar !d g + sen = 0 2 dt L (t = 0) = 02

L

'(t = 0) = '0m

Propuesto: Ecuaciones del Pndulo de FoucaultGHO EDO - MA-33A 3

1) MN para EDO: Motivacin 2Variacin de Cantidades Continuas en el Tiempo: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Trayectorias de Partculasy

Cada Librex m g y

Lanzamiento Proyectiles g v0 fR

f = ma + fR (v)

m24

mx = mg + f R ( x) = mg cxGHO EDO - MA-33A

x

1) MN para EDO: Motivacin 30011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Un ejemplo de dinmica de resortes:x =0 L0 m

k, L

d x k L = x 1 2 2 dt m x +9 2GHO EDO - MA-33A 5

1) MN para EDO: Motivacin 40011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Modelo de Crecimiento Logstico de una Poblacin: La poblacin p (t ) de EEUU en el siglo 20 crece aproximadamente segn la edo no lineal logstica:

dp 2 = p (t ) p (t ) dt Donde: =0.02 y =0.00004. Desde 1900 se han medido los datos de la tabla en la prxima transparencia. Se puede afirmar que el modelo es adecuado ? Cul es error entre 1900 y 1980 ?GHO EDO - MA-33A 6

1) MN para EDO: Motivacin 40011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Modelo de Crecimiento Logstico de una Poblacin:Tiempo tk0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

Ao1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980GHO

p(t) real76.1 92.4 106.5 123.1 132.6 152.3 180.7 204.9 226.5

dp = p (t ) p 2 (t ) dt solucin 500 p (t ) = 1 4239 50 t exacta 1+ 761 e

(

)

pk +1 = pk + h( pk pk 2 ) pk = p (t = tk ) k = 0,...,8 = n (T t0 ) (1980 1900) h= = = 10 8 n tk = hk = 10k k = 0,1,...,8EDO - MA-33A 7

1) MN para EDO: Motivacin 40011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Modelo de Crecimiento Logstico de una Poblacin:Tiempo tk0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

Ao1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980GHO

p(t) real76.1 92.4 106.5 123.1 132.6 152.3 180.7 204.9 226.5

p(t) Edo76.1 89.9 105.6 123.2 142.7 164.0 186.7 210.6 235.3EDO - MA-33A

p(t) Euler76.1 89.0 107.5 123.3 141.7 152.1 173.5 203.8 229.1

Error10.0 2.5 0.9 -0.1 -10.1 -11.7 -6.0 -5.7 -8.8

Error20.0 0.9 -1.9 -0.1 1.6 11.9 13.2 6.8 6.28

1) MN para EDO: Motivacin 5Ecuacin de Duffing: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Esta edo no-lineal se utiliza para describir diferentes sistemas dinmicos (resortes, transformadores, etc). La forma ms general de esta ecuacin es:d 2 x(t ) dx(t ) + + ( x3 (t ) 0 2 x(t ) ) = cos (t + ) dt 2 dt

Por ejemplo, la edo del flujo magntico de un transformador tiene la forma: 3 2 + b + 0 = E cos (t )NGHO EDO - MA-33A 9

1) MN para EDO: Motivacin 5Ejemplo Ecuacin de Duffing: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 x + x + ( x3 0 2 x ) = cos (t + ) = 1, = 1, 0 = 1 = 1, = 1, = 0Ejemplo de caos ordenado

GHO

EDO - MA-33A

10

1) MN para EDO: Ecuacin Diferencial LinealSegn Orden0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

LinealesIntegrables

Coeficientes Constantes o Variables Homogneas o No

Encontrar y = f (x) tal que: EDO

an ( x) y ( x) +( n)

+ a1 ( x) y ( x) + a0 ( x) y( x) = g( x)(1)

No-LinealesGHO

Tratamiento Analtico Caso a Caso Solucin Va Mtodo Euler o R-KEDO - MA-33A 11

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

a1 ( x) y '( x) + a0 (x) y( x) = g( x) y '( x) + p( x) y( x) = f ( x)

( p ( x ) dx ) y '( x) + p ( x) y ( x) = 0 y ( x) = ce ( p ( x ) dx ) p y '( x) + p ( x) y ( x) = f ( x) y ( x) = g ( x)eh

( p ( x ) dx ) + e( p ( x ) dx ) f ( x )e( p ( x ) dx ) dx y ( x ) = ce ( p ( x ) dx ) c + f ( x)e( p ( x ) dx ) dx y ( x) = e 12 GHO EDO - MA-33A

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ecuacin Tipo Bernoulli: y '( x) + p( x) y( x) = f ( x) y ( x) Al multiplicar la edo por: (1 ) y se obtiene:(1 ) y y '+ (1 ) p( x) y1 = (1 ) f ( x)

1

( y1 )'+ (1 ) p( x)( y1 ) = (1 ) f ( x)

Si se define: u = y

1

se obtiene la edo lineal:

u '+ (1 ) p( x)u = (1 ) f ( x)GHO EDO - MA-33A 13

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

x Ejemplo Ecuacin Tipo Bernoulli: y '+ xy = y2 yy '+ 2xy2 = 2x ( y2 )'+ 2xy2 = 2x2

Si se define: u = y se obtiene la edo lineal: u '+ 2xu = 2x x2 x2 u( x) = (ce +1) y( x) = u = ce +1 Ejercicios Propuestos: y '+ y = x y , y '+ xy = xy2 2 2 3 2 21 2 3x 2

2 3 2

y '+ x y = xy , ( xy ) ' = ( xy ) ( x + 1)21 2

( x + 1) y y = xe + (1 x) y yGHO EDO - MA-33A 14

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Propuesto: Ecuacin Tipo Ricati:y '( x) = p( x) + q( x) y( x) + r( x) y2 ( x) (+)

Se puede linealizar esta edo ? Sea y1 una solucin de (+)y1 '( x) = p( x) + q( x) y1 ( x) + r ( x) y12 ( x) ( y y1 )' = q( x)( y y1 ) + r ( x)( y 2 y12 ) = q( x)( y y1 ) + r ( x)( y + y1 )( y y1 ) z ' = q( x) z + r ( x) z( z + 2 y1 ) z ' = ( q( x) + 2r ( x) y1 ) z + r ( x) z Edo Tipo Bernoulli:2GHO EDO - MA-33A 15

1) MN para EDO:Problema de Cauchy o de Valor Inicial0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

f : 2 Dada una funcin y un punto inicial y0 : Encontrar una funcin y :

diferenciable en ambas variables tal que: Problema No-Lineal De Primer Orden No Homogneo

y (t = t0 ) = y0 dy (t ) = f (t , y (t )) dt t [t0 , T ]GHO

Solucin nicaEDO - MA-33A 16

1) MN para EDO:Resultados Tericos para Problema de Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Se dice que una funcin f : R satisface una condicin de Lipschitz en la variable y si existe L (constante de Lipschitz) con la propiedad:2

f (t, y1 ) f (t, y2 ) L y1 y22

(t, y1 ),(t, y1 ) R

Sea R un conjunto convexo. Si existe una constante L que verifica: f (t, y) L (t, y) R y entonces f satisface la condicin de Lipschitz en RGHO EDO - MA-33A 17

1) MN para EDO:Resultados Tericos para Problema de Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Teo: Sean R = {(t , y ) / t0 t T , < y < } y una 2 contnua en R . Si f funcin f : R satisface una condicin de Lipschitz en la variable y entonces el problema de valor inicial:y (t = t0 ) = y0 dy (t ) = f (t , y (t )) t [t0 , T ] dt tiene solucin nica

GHO

EDO - MA-33A

18

1) MN para EDO:Mtodo de la Serie de Taylor para Prob. Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

La solucin del Problema de Cauchy se desarrolla en Serie de Taylor. Las derivadas se obtienen de la edo:y (t = t0 ) = y0 dy (t ) = f (t , y (t )) dt t [t0 , T ]f (k ) ( t0 ) k y(t) = (t t0 ) + Error k! k =0n

f (n+1) ( (t)) n+1 Error(t) = (t t0 ) (n +1)!

df (t0 , y0 , y '0 ) y(t0 ) = y0 , y '(t0 ) = y '0 = f (t0 , y0 ), y ''(t0 ) = y ''0 = ,... dtGHO EDO - MA-33A 19

1) MN para EDO:Mtodo de Euler para Problema de Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Se determinan n valores yk de la funcin y : en puntos tk equi-espaciados en [t0 , T ]:(T t0) h= tk = t0 +kh k = 0,..., n n

y0 = y (t = t0 )

Error:h (2) y (i ) 220

Mtodo Inexacto !GHO

yk +1 = yk + hf (tk , yk )EDO - MA-33A

2

1) MN para EDO:Mtodo de Runge-Kutta de Orden 2 para P. Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Mejoramos el mtodo de Euler de la siguiente forma:yk +1 = yk + q + 2 q1 1 k 2 k

q1k = hf (tk , yk ) q 2 k = hf (tk + h, yk + hf (tk , yk ))

h2 h2 yk +1 = y (tk + h) y (tk ) + hy '(tk ) + y ''(tk ) = y (tk ) + hf (tk , yk ) + f '(tk , yk ) 2 2 f (tk , yk ) f (tk , yk ) f (tk , yk ) f (tk , yk ) f '(tk , yk ) = y '(tk ) = f (tk , yk ) + + t y t y f (tk , yk ) h 2 f (tk , yk ) h 2 yk +1 = y (tk + h) y (tk ) + hf (tk , yk ) + f (tk , yk ) + 2 t 2 yGHO EDO - MA-33A 21

Tenemos que:

1

1) MN para EDO:Mtodo de Runge-Kutta de Orden 2 para P. Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Por otra parte:

yk +1 = yk + 1hf (tk , yk ) + 2 hf (tk + h, yk + hf (tk , yk )) f (tk + h, yk + hf (tk , yk )) f (tk , yk ) + h f (tk , yk ) f (tk , yk ) + hf (tk , yk ) t y

f (tk , yk ) f (tk , yk ) yk +1 = y(tk ) + 1hf (tk , yk ) + 2 h f (tk , yk ) + h + hf (tk , yk ) t y f (tk , yk ) f (tk , yk ) + 2 h2 f (tk , yk ) yk +1 = y(tk ) + (1 + 2 )hf (tk , yk ) + 2 h2 2 t y

Igualando 1 y 2 : + = 1 1 2GHO EDO - MA-33A

1 2 = 2

1 2 = 222

1) MN para EDO:Mtodo de Runge-Kutta de Orden 2 para P. Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

dy (t ) = f (t , y (t )) (t0 , y0 ) dado dt

y0 dado

RK Orden 2

q = hf (tk , yk ) q k = hf (tk + , yk +1 k 2 h 2

qk1 2

)

yk +1 = yk + q2k

Error:GHO

O(h )EDO - MA-33A 23

3

1) MN para EDO:RK 2: Ejemplo Simple0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 2

yk = y (t = tk ) k = 0,..., 4 = n dy y y = , y(1) = 1 (T t ) dt t t h = n 0 = (24 1) = 0.25 t y(t) = tk = hk = 0.25k k = 0,1,..., 4 1+ ln(t) 2 q1k = hf (tk , yk ), q 2 k = hf (tk + 1 h, yk + 1 q1k ) y y 2 2 f (t, y) = ,y0 =1 yk +1 = yk + q 2 k k = 0,1,..., 4 t tt 1 1. 5 2 yt 1 k q1 0 0 q2 0. 0247 yk 1 E abs 0 E rel 0

1. 25 1. 0219 1 0. 03695 0. 04578 1. 0247 0. 0028 0. 0027 1. 0672 2 0. 05108 0. 05488 1. 0705 0. 0033 0. 0031 1. 1812 4 1. 1846 0. 0034 0. 0030 1. 75 1. 1221 3 0. 05738 0. 05918 1. 1254 0. 0033 0. 0029GHO EDO - MA-33A 24

1) MN para EDO:RK 2 aplicado al modelo crecimiento logstico:0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 2

p ' = p(t ) p (t ) f (t, p) = p p2

pk = p (t = tk ) k = 0,...,8 = n(T t )

h = n 0 = (19801900) = 10 tk = hk = 10k k = 0,1,...,8 8 = 0.02, = 0.00004 q1k = hf (tk , yk ), q 2 k = hf (tk + 1 h, yk + 1 q1k ) 2 2 pk +1 = pk + q 2 k k = 0,1,...,8 p(t ) = p =76.10 0

k = 0 : t0 = 0, h = 10, p0 = 76.1 q = hf (t0 , p0 ) = 12.9035, q 0 = hf (t0 + , p0 +1 0 2 h 2 q10 2

) = 13.7844

p1 = p0 + q 2 0 = 89.8844 k = 1: t1 = 10, h = 10, p1 = 89.8844 q = hf (t1 , p1 ) = 14.7452,q = hf (t1 + , p1 +1 1 2 1 h 2 q11 2

) = 15.667825

p2 = p2 + q 2 2 = 105.5523GHO EDO - MA-33A

1) MN para EDO:Mtodo de Runge-Kutta de Orden 3 para P. Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

y0 dadoRK Orden 3

q = hf (tk , yk )1 k 2

q k = hf (tk + h , yk + 2

qk1 2

)Error:

q3k = hf (tk + h, yk q1k 2q2k )

yk +1 = yk + ( q + 4q k + q k )1 6 1 k 2 3GHO EDO - MA-33A

O(h )26

4

1) MN para EDO:Mtodo de Runge-Kutta de Orden 4 para P. Cauchy0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

y0 dado1 k 2 k 3

RK Orden 4

q = hf (tk , yk ) q q = hf (tk + , yk +h 2 h 2 q1k 2 q 2k 2 3

) )

q k = hf (tk + , yk +4 k

= hf (tk + h, yk + q k )1 6 1 k 2 3 4

Error:5

yk +1 = yk + ( q + 2q k + 2q k + q k ) O(h )GHO EDO - MA-33A 27

1) MN para EDO:Ejemplo Mtodos Euler y Runge-Kutta Orden 40011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

tk0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5GHO

Exacto0.5000000 0.6574145 0.8292986 1.0150706 1.2140877 1.42563942

Euler0.5000000 0.6554982 0.8253385 1.0089334 1.2056345 1.4147264EDO - MA-33A

R-K Orden 40.5000000 0.6574144 0.8292983 1.0150701 1.2140869 1.42563841 2

Error R-K0.0000000 0.0000001 0.0000003 0.0000005 0.0000008 0.000001028

y ' = y t + 1 t [0, 2] y (0) =

1) MN para EDO:Mtodos Multipasos Explcitos0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Un mtodo multipaso de paso m para resolver el problema de Cauchy es de la forma:+ a0 yk +1 m + + b0 f (tk +1 m , yk +1 m )] + h[bm 1 f (tk , yk ) + bm 2 f (tk 1 , yk 1 ) +

yk +1 = am 1 yk + am 2 yk 1 +

Se necesitan m valores iniciales: y0 , y1 ,..., ym1 Los coeficientes am1 , am2 ,..., a0 y bm1 , bm2 ,..., b0 son las constantes del mtodo y: h = (Tt ) tk =t0 +kh k =0,...,n n0

yk +1 = yk + h[3 f (tk , yk ) f (tk 1 , yk 1 )] Adams Por Bashforth m=2 Ejemplo y0 , y1 dados GHO EDO - MA-33A 29

1) MN para EDO:Mtodos Multipasos Explcitos0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Adams Bashforth de 3 Pasos

h yk +1 = yk + [23 f (tk , yk ) 16 f (tk 1 , yk 1 ) + 5 f (tk 2 , yk 2 )] 12 3 (4) y0 , y1 ,y2 dados Error (k + 1) = y ( )h3 [t , t ]8k +1 k +1 k 2 k +1

Adams Bashforth de 4 Pasosh yk +1 = yk + [55 f (tk , yk ) 59 f (tk 1, yk 1) + 37 f (tk 2 , yk 2 ) 9 f (tk 3 , yk 3 )] 24 251 (5) y0 , y1,y2 ,y3 dados Error (k + 1) = y ( )h 4 [t , t ]720k +1 k +1 k 3 k +1GHO EDO - MA-33A 30

1) MN para EDO:Sistemas de Edo0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Un sistema de primer orden (condiciones iniciales) de edo no-lineales es de la forma:dx1 = f1 (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt dx2 = f 2 (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt dxn = f n (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt t [0, T ]GHO EDO - MA-33A

x1 (t = 0) = x

0 1

(+)

x2 (t = 0) = x2 0 xn (t = 0) = xn 0

31

1) MN para EDO:Sistemas de Edo0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Teorema: Supongamos que las funciones fi () son continuas y satisfacen la condicin de nLipschitz en D :fi (t , u1 , u2 ,..., un ) fi (t , v1 , v2 ,..., vn ) L u j v jj =1

u = (t , u1 , u2 ,..., un ), v = (t , v1 , v2 ,..., vn ) D

D = {(t , z1 , z2 ,..., zn ) 0 t T , < z j < j = 1,..., n}

Entonces el sistema de edo no-lineales (+) tiene solucin nica. La condicin de Lipschitz se satisface si:GHO

fi (t , u1 , u2 ,..., un ) L (t , u1 , u2 ,..., un ) D + fi C1 u jEDO - MA-33A

32

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Mtodo de Euler0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

T h = , tk = kh k = 0,1,..., n n xik = xi (tk ) Aproximacin de Runge-Kutta x10 = x1 (0),..., xn 0 = xn (0) Condiciones iniciales x1k , x2 k ,..., xnk x1,k +1 , x2,k +1 ,..., xn ,k +1 i = 1,..., n, k 0 xi ,k +1 = xik + hf i (tk , x1k , x2 k ,..., xnk ) i = 1,..., n, k 0

GHO

EDO - MA-33A

33

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge Kutta de Orden 20011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

T h = , tk = kh k = 0,1,..., n n xik = xi (tk ) Aproximacin de Runge-Kutta x10 = x1 (0),..., xn 0 = xn (0) Condiciones iniciales x1k , x2k ,..., xnk x1,k +1 , x2,k +1 ,..., xn,k +1 i = 1,..., n, k 0

q1ik = hfi (tk , x1k , x2 k ,..., xnk ) i = 1,..., n, k 0 q 2ik = hfi (tk + h , x1k + 1 q11k , x2 k + 1 q12 k ,..., xnk + 1 q1nk ) 2 2 2 2 xi ,k +1 = xik + q 2ik i = 1,..., n, k 0GHO EDO - MA-33A 34

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 20011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

El modelo de Lotka - Volterra predice la evolucin en el tiempo de una poblacin con 2 especies, una depredadora x1(t) y la otra presa x2(t). Se supone que la poblacin presa tiene suficiente comida y que su natalidad es proporcional a la cantidad de presas vivas: k1x1(t). La mortalidad de la poblacin presa depende del nmero de presas y depredadores: k2x1(t)x2(t). La natalidad de la poblacin depredador es: k3x1(t)x2(t) y su mortalidad es: k4x2(t). Se expresa el cambio en la poblaciones presa y depredador mediante el sedo:dx1 (t ) dx2 (t ) = k1 x1 (t ) k2 x1 (t ) x2 (t ) = k3 x1 (t ) x2 (t ) k4 x2 (t ) t = 1,..., 4 dt dt x1 (1) = 1000, x2 (t = 1) = 500 k1 = 3, k2 = 0.002, k3 = 0.0006, k4 = 0.5GHO EDO - MA-33A 35

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 20011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

En la iteracin k de RK 2 aplicada a este sedo, hay que calcular 1 1 2 2 primero: q 1k , q 2 k luego q 1k , q 2 k y luego x1,k +1 , x2,k +1x1k = x1 (tk ), x2 k = x2 (tk ) Aprox. RK x10 = x1 (0), x20 = x2 (0) c. i. x1k , x2 k x1,k +1 , x2,k +1 , k = 0,1, 2,3 donde xi ,k +1 = xik + q 2ik

t [0, 4], n = 4, h = T = 1, tk = k , k = 0,1,..., 4 n

q11k = hf1 (tk , x1k , x2 k ), q12 k = hf 2 (tk , x1k , x2 k ) q 21k = hf1 (tk + h , x1k + 1 q1k1 , x2 k + 1 q2 k1 ) 2 2 2 q 2 2 k = hf 2 (tk + h , x1k + 1 q1k1 , x2 k + 1 q2 k1 ) 2 2 2GHO EDO - MA-33A 36

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 20011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

f1 (t , x1 , x2 ) = k1 x1 k2 x1 x2 , f 2 (t , x1 , x2 ) = k3 x1 x2 k4 x2

Iteracin 0: k = 0, t0 = 0, h = 1, x10 = 1000, x20 = 500q110 = hf1 ( x10 , x20 ) = k1 x10 k2 x10 x20 = 2000 q120 = hf 2 ( x10 , x20 ) = k3 x10 x20 k4 x20 = 50 q 210 = hf1 ( x10 + 1 q110 , x20 + 1 q120 ) = 3900 2 2 q 2 20 = hf 2 ( x10 + 1 q110 , x20 + 1 q120 ) = 367.5 2 2 x11 = x10 + q 210 =4900 x21 = x20 + qGHO

2 20

=867.5 Y as sigue paraEDO - MA-33A

k = 1, t0 = 1, h = 1 x11 = 4900, x21 = 867.537

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge Kutta de Orden 30011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

T h = , tk = kh k = 0,1,..., n n xik = xi (tk ) Aproximacin Runge-Kutta x10 = x1 (0),..., xn0 = xn (0) Condiciones iniciales x1k , x2k ,..., xnk x1,k +1 , x2,k +1,..., xn,k +1 q1ik = hfi (tk , x1k , x2k ,..., xnk ) i = 1,..., n q2ik = hfi (tk + h , x1k + 1 q11k , x2k + 1 q12k ,..., xnk + 1 q1nk ) i = 1,..., n 2 2 2 2

q3ik = hfi (tk + h, x1k q11k 2q21k , x2k q12k 2q22k ,..., xnk q1nk 2q2nk ) xi,k +1 = xik + 1 ( q1ik + 4q2ik +q3ik ) i = 1,..., n, k 0 6GHO EDO - MA-33A

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1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge Kutta de Orden 40011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

h = T , tk = kh k = 0,1,..., n n

xik = xi (tk ) Aproximacin de Runge-Kutta x10 = x1 (0),..., xn 0 = xn (0) x1k , x2 k ,..., xnk x1,k +1 , x2,k +1 ,..., xn ,k +1 q1ik = hfi (tk , x1k , x2 k ,..., xnk ) i = 1,..., n q 2ik = hfi (tk + h , x1k + 1 q11k , x2 k + 1 q12 k ,..., xnk + 1 q1nk ) i = 1,..., n 2 2 2 2 q 3ik = hfi (tk + h , x1k + 1 q 21k , x2 k + 1 q 2 2 k ,..., xnk + 1 q 2 nk ) i = 1,..., n 2 2 2 2 q 4ik = hfi (tk + h, x1k + q 31k , x2 k + q 32 k ,..., xnk + q 3nk ) i = 1,..., n xi ,k +1 = xik + 1 ( q1ik + 2q 2ik + 2q 3ik + q 4ik ) i = 1,..., n, k 0 6GHO EDO - MA-33A

39

1) MN para EDO:Edo de Orden Superior(n) ( n 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 1)

y

= f ( t , y, y ',..., y

) t [0, T ]y ( n 1) (t ) t [0, T ]y0 y0 ' y0 ( n1)

y (0) = y0 , y '(0) = y0 ',..., y ( n 1) (0) = y0 ( n 1) x1 (t ) y (t ), x2 (t ) dx1 = y ' = x2 dt dx2 = y '' = x3 dt y '(t ),..., xn (t )x1 (t = 0) = x10

(+)

x2 (t = 0) = x2 0 xn (t = 0) = xn 0

dxn = y ( n ) = f ( t , y, y ',..., y ( n 1) ) = f ( t , x1 , x2 ,..., xn ) dtGHO EDO - MA-33A 40

1) MN para EDO:Edo de Orden Superior: Ecuacin de Duffing0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

x ''+ x '+ ( x x ) = cos ( t )3

x1

x, x2

x'

x1 ' = x2 x2 ' = x2 + x1 x13 + cos ( t )

GHO

EDO - MA-33A

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2) Bibliografa0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1) R. Burden & J. D. Faires, Anlisis Numrico, Sptima Edicin, Thomson Learning, 2002. 2) C. Gerald & P. O. Wheatley, Applied Numerical Analysis 7th Edition, Pearson Addison Wesley, 2004. 3) G. Hernndez O.: Apuntes de Clculo NumricoGHO EDO - MA-33A 42