EJERCICIOS DE

INTERVALOS DE

CONFIANZA

Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación del valor μ.En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshov.En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

Ejercicio #1Los siguientes datos son los puntajes

obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).

2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20.

Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional  desconocida. Como  es desconocido, lo estimamos por s=18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

Luego, el intervalo de confianza para  es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.

Ejercicio #2En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:

Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianza de 95%

Ejercicio #3supongamos que se plantea la hipótesis de que

el promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos.

Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo:

= 2930s= 450n= 30

Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se obtiene:

Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianza de 95%. Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).

Ejercicio #4Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en

minutos, en 10 pruebas cronometradas por su entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?

Ejercicio #5 La puntuación promedio de una muestra de

20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al azar,

para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Se sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal)

Ejercicio #4Un entrenador de fútbol está interesado en

estimar, con un 99% de confianza, la fuerza máxima de los músculos cuadriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue una distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de 85 Nw y una cuasivarianza de 144. Determinar un intervalo de confianza para la media y otro para la varianza de la fuerza máxima de estos músculos.

Ejercicio #5En una encuesta hecha por los alumnos y

alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de votantes favorables al alcalde actual.

Ejercicio #6¿Cuáles deben ser los tamaños muestrales en

el sondeo del problema anterior para tener, con los mismos niveles de confianza, la

certeza de que el alcalde actual salga reelegido por mayoría absoluta, en el caso de arrojar la encuesta los mismos resultados?

Ejercicio #7En una encuesta a 360 alumnos de un centro,

elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?

Ejercicio 8Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen

62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?

Atentamente:

Luis Alberto Garcia Aguilar